Properties

Label 35.35.497...681.1
Degree $35$
Signature $[35, 0]$
Discriminant $4.974\times 10^{84}$
Root discriminant $262.97$
Ramified primes $11, 71$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{35}$ (as 35T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 181*x^33 + 470*x^32 + 14259*x^31 - 45478*x^30 - 638530*x^29 + 2447153*x^28 + 17767052*x^27 - 82345759*x^26 - 312539633*x^25 + 1833247298*x^24 + 3264215879*x^23 - 27715265019*x^22 - 13487454777*x^21 + 286033632049*x^20 - 123264134993*x^19 - 1983204888009*x^18 + 2337315606897*x^17 + 8777927035267*x^16 - 17238219604018*x^15 - 21289728738165*x^14 + 71563023595709*x^13 + 8692436762607*x^12 - 169783075654432*x^11 + 94786315419610*x^10 + 202072200901306*x^9 - 240242794434974*x^8 - 58566297948415*x^7 + 212040077699383*x^6 - 73316281317651*x^5 - 51014137537536*x^4 + 37974482870362*x^3 - 1868368126575*x^2 - 3872034006535*x + 804494744591)
 
gp: K = bnfinit(x^35 - 2*x^34 - 181*x^33 + 470*x^32 + 14259*x^31 - 45478*x^30 - 638530*x^29 + 2447153*x^28 + 17767052*x^27 - 82345759*x^26 - 312539633*x^25 + 1833247298*x^24 + 3264215879*x^23 - 27715265019*x^22 - 13487454777*x^21 + 286033632049*x^20 - 123264134993*x^19 - 1983204888009*x^18 + 2337315606897*x^17 + 8777927035267*x^16 - 17238219604018*x^15 - 21289728738165*x^14 + 71563023595709*x^13 + 8692436762607*x^12 - 169783075654432*x^11 + 94786315419610*x^10 + 202072200901306*x^9 - 240242794434974*x^8 - 58566297948415*x^7 + 212040077699383*x^6 - 73316281317651*x^5 - 51014137537536*x^4 + 37974482870362*x^3 - 1868368126575*x^2 - 3872034006535*x + 804494744591, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![804494744591, -3872034006535, -1868368126575, 37974482870362, -51014137537536, -73316281317651, 212040077699383, -58566297948415, -240242794434974, 202072200901306, 94786315419610, -169783075654432, 8692436762607, 71563023595709, -21289728738165, -17238219604018, 8777927035267, 2337315606897, -1983204888009, -123264134993, 286033632049, -13487454777, -27715265019, 3264215879, 1833247298, -312539633, -82345759, 17767052, 2447153, -638530, -45478, 14259, 470, -181, -2, 1]);
 

\(x^{35} - 2 x^{34} - 181 x^{33} + 470 x^{32} + 14259 x^{31} - 45478 x^{30} - 638530 x^{29} + 2447153 x^{28} + 17767052 x^{27} - 82345759 x^{26} - 312539633 x^{25} + 1833247298 x^{24} + 3264215879 x^{23} - 27715265019 x^{22} - 13487454777 x^{21} + 286033632049 x^{20} - 123264134993 x^{19} - 1983204888009 x^{18} + 2337315606897 x^{17} + 8777927035267 x^{16} - 17238219604018 x^{15} - 21289728738165 x^{14} + 71563023595709 x^{13} + 8692436762607 x^{12} - 169783075654432 x^{11} + 94786315419610 x^{10} + 202072200901306 x^{9} - 240242794434974 x^{8} - 58566297948415 x^{7} + 212040077699383 x^{6} - 73316281317651 x^{5} - 51014137537536 x^{4} + 37974482870362 x^{3} - 1868368126575 x^{2} - 3872034006535 x + 804494744591\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $35$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[35, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(497\!\cdots\!681\)\(\medspace = 11^{28}\cdot 71^{30}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $262.97$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $11, 71$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $35$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(781=11\cdot 71\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{781}(1,·)$, $\chi_{781}(258,·)$, $\chi_{781}(598,·)$, $\chi_{781}(400,·)$, $\chi_{781}(529,·)$, $\chi_{781}(20,·)$, $\chi_{781}(669,·)$, $\chi_{781}(542,·)$, $\chi_{781}(676,·)$, $\chi_{781}(37,·)$, $\chi_{781}(730,·)$, $\chi_{781}(427,·)$, $\chi_{781}(45,·)$, $\chi_{781}(174,·)$, $\chi_{781}(687,·)$, $\chi_{781}(48,·)$, $\chi_{781}(179,·)$, $\chi_{781}(190,·)$, $\chi_{781}(456,·)$, $\chi_{781}(375,·)$, $\chi_{781}(588,·)$, $\chi_{781}(463,·)$, $\chi_{781}(214,·)$, $\chi_{781}(471,·)$, $\chi_{781}(356,·)$, $\chi_{781}(474,·)$, $\chi_{781}(91,·)$, $\chi_{781}(740,·)$, $\chi_{781}(742,·)$, $\chi_{781}(103,·)$, $\chi_{781}(108,·)$, $\chi_{781}(498,·)$, $\chi_{781}(243,·)$, $\chi_{781}(245,·)$, $\chi_{781}(119,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{21} - \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{16} - \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{22} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{1}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{23} + \frac{2}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{25} - \frac{1}{5} a^{15} - \frac{2}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{16} - \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{28} - \frac{1}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{29} - \frac{1}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{425} a^{30} - \frac{11}{425} a^{29} - \frac{42}{425} a^{28} - \frac{1}{425} a^{27} + \frac{38}{425} a^{26} - \frac{9}{425} a^{25} - \frac{11}{425} a^{24} + \frac{16}{425} a^{23} - \frac{27}{425} a^{22} + \frac{36}{425} a^{21} + \frac{7}{425} a^{20} + \frac{1}{17} a^{19} + \frac{132}{425} a^{18} + \frac{23}{425} a^{17} + \frac{117}{425} a^{16} + \frac{26}{425} a^{15} - \frac{152}{425} a^{14} + \frac{57}{425} a^{13} - \frac{1}{425} a^{12} + \frac{53}{425} a^{11} + \frac{24}{425} a^{10} + \frac{132}{425} a^{9} + \frac{8}{25} a^{8} + \frac{146}{425} a^{7} + \frac{22}{425} a^{6} + \frac{21}{425} a^{5} - \frac{63}{425} a^{4} - \frac{36}{85} a^{3} - \frac{33}{425} a^{2} + \frac{176}{425} a + \frac{1}{425}$, $\frac{1}{84575} a^{31} - \frac{7}{84575} a^{30} - \frac{4931}{84575} a^{29} + \frac{2721}{84575} a^{28} + \frac{382}{4975} a^{27} - \frac{5297}{84575} a^{26} + \frac{6753}{84575} a^{25} - \frac{2748}{84575} a^{24} - \frac{6168}{84575} a^{23} - \frac{752}{84575} a^{22} - \frac{2144}{84575} a^{21} + \frac{3878}{84575} a^{20} - \frac{6993}{84575} a^{19} - \frac{34214}{84575} a^{18} + \frac{22649}{84575} a^{17} - \frac{22626}{84575} a^{16} - \frac{36683}{84575} a^{15} - \frac{25626}{84575} a^{14} + \frac{142}{84575} a^{13} + \frac{984}{84575} a^{12} + \frac{27266}{84575} a^{11} + \frac{31678}{84575} a^{10} - \frac{21776}{84575} a^{9} + \frac{2909}{16915} a^{8} - \frac{23364}{84575} a^{7} + \frac{33089}{84575} a^{6} - \frac{22164}{84575} a^{5} + \frac{35353}{84575} a^{4} - \frac{25573}{84575} a^{3} + \frac{12029}{84575} a^{2} - \frac{7917}{16915} a + \frac{18364}{84575}$, $\frac{1}{84575} a^{32} - \frac{1}{16915} a^{30} - \frac{1946}{84575} a^{29} + \frac{2656}{84575} a^{28} + \frac{1356}{84575} a^{27} + \frac{6489}{84575} a^{26} - \frac{252}{84575} a^{25} + \frac{4446}{84575} a^{24} + \frac{1842}{84575} a^{23} - \frac{6413}{84575} a^{22} - \frac{236}{16915} a^{21} + \frac{249}{4975} a^{20} + \frac{4859}{16915} a^{19} + \frac{16976}{84575} a^{18} + \frac{4}{25} a^{17} + \frac{6359}{16915} a^{16} - \frac{17737}{84575} a^{15} - \frac{1023}{16915} a^{14} - \frac{2002}{84575} a^{13} - \frac{4651}{84575} a^{12} + \frac{2519}{16915} a^{11} - \frac{3786}{16915} a^{10} + \frac{11363}{84575} a^{9} + \frac{10791}{84575} a^{8} - \frac{29964}{84575} a^{7} - \frac{36306}{84575} a^{6} - \frac{6447}{16915} a^{5} + \frac{26878}{84575} a^{4} - \frac{30667}{84575} a^{3} - \frac{34982}{84575} a^{2} - \frac{8986}{84575} a - \frac{18712}{84575}$, $\frac{1}{84575} a^{33} + \frac{9}{84575} a^{30} + \frac{6856}{84575} a^{29} - \frac{959}{84575} a^{28} + \frac{3139}{84575} a^{27} - \frac{1862}{84575} a^{26} + \frac{3386}{84575} a^{25} + \frac{42}{84575} a^{24} - \frac{5413}{84575} a^{23} - \frac{317}{3383} a^{22} - \frac{2507}{84575} a^{21} + \frac{1374}{16915} a^{20} - \frac{35899}{84575} a^{19} + \frac{37482}{84575} a^{18} - \frac{5817}{16915} a^{17} + \frac{34303}{84575} a^{16} - \frac{294}{16915} a^{15} + \frac{7178}{84575} a^{14} - \frac{25831}{84575} a^{13} + \frac{621}{3383} a^{12} - \frac{363}{995} a^{11} + \frac{31448}{84575} a^{10} + \frac{12356}{84575} a^{9} - \frac{41814}{84575} a^{8} + \frac{2094}{84575} a^{7} - \frac{5198}{16915} a^{6} + \frac{25508}{84575} a^{5} - \frac{30017}{84575} a^{4} + \frac{37148}{84575} a^{3} - \frac{31426}{84575} a^{2} + \frac{1889}{4975} a - \frac{1536}{16915}$, $\frac{1}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{34} - \frac{2627072284914290800054473408395929739597190479290299822435577639183222923498448887589143455839714149355021383587223852608031241297537969421139473568121744372663831909935193062911237}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{33} - \frac{7073864015645456495841175452755043982503065633725499201320921494556831384630596935040321524132146896525424026411182756776971601370061620485277507758121512440855777298667988987450033}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{32} - \frac{59705327556938352937757070325146196165320464039370643335904615486120560557447312958581571497483807315259993233647740669470992385802157252903444179806459376307053746675301696023651993}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{31} - \frac{1715409351645415567779312100499768044827260588089791192633196701958972107154678341154367390175274525172459922043889204309583254408644922485206824456449643682950427187816722351440294561}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{30} - \frac{227798872674268175092884889556843836790891129924928336459002502812585116821455031831736372146734562341459194049821113314492420493498144881483573649190040154650255375597973081015306129528}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{29} + \frac{57055733112739608251466274831144237058115908397769384736034801582938734136788592625602626112725031979103820136287959198440801304526179218192958978898779987917064910696894846334931739243}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{28} + \frac{497646131151967621097855502564733501518785937133513048239951783427656165626955424348782795837818939082915483770363007868855747722675094160460938237812318936832866902752909035380885139742}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{27} - \frac{330556347335946892548282566453790202127137113432890394702776070494440186716100772107391883394827849282980180978870351305239681956196488125211775337554208906677686242291072366678306115392}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{26} + \frac{562132986504153277979867825395634662988806226415616876477579585081237967245974089752657048230707354164594754375285864908153368739097496072181395401346305784776316992139297714634508956702}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{25} - \frac{44111534449377564546017074781445505331799313875218178686689870241959520935947497270783746126673127663729588335643887998051981045600360543084970196343022858169606979143486222077800591988}{594923599719278401123611278028991457868565134633894449528377202126222538062644554857185678619547683283906833491668474540664010797349564961145212910227796752608669509900921744062802980575} a^{24} - \frac{253518029255667493930537331273775205279865227212173550151304363534251870820739898516957535567556239801451208871759715466785933273328749376852195155551679690565190172914942713938511983332}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{23} - \frac{435923327594749093212141727463588308576944730019711091690970711728472566191308407480895733008054303653800094212263181914484824177632595514064949798322630546646660588601646315387809069748}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{22} + \frac{455284876139835247230926616173321840004349003012435244236952174041504195871654998573270273104106450506534160877044174158402707338871105392261980774873093829516484723097835663396478432884}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{21} + \frac{20400061523008739304585013364342878806997868367330739700973984966386815604234616745017909107581247368437247472430128470985605358253765346053494470563115261853536046108774401520099368167}{2022740239045546563820278345298570956753121457755241128396482487229156629412991486514431307306462123165283233871672813438257636710988520867893723894774508958869476333663133929813530133955} a^{20} - \frac{129174507188519108893644706404160380094946299301734240060393732588260170842240477741617962470323258501207663806012516820352029137114267522932980298247125966847780051582575535668529036704}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{19} - \frac{91591283612900327604737652282742738543028007506559068459027681437416384717552257974651616527887455115529060410619827545765062179766161490486923443548171587229027363796416095185133317380}{404548047809109312764055669059714191350624291551048225679296497445831325882598297302886261461292424633056646774334562687651527342197704173578744778954901791773895266732626785962706026791} a^{18} - \frac{598764128153133245378521538938610479954202517200091620576987734694231868693418307697126442463258892016749425750191468848787284157981557925677030745797619469748690323749105374897497619098}{2022740239045546563820278345298570956753121457755241128396482487229156629412991486514431307306462123165283233871672813438257636710988520867893723894774508958869476333663133929813530133955} a^{17} - \frac{767699242843286189853452836217546852408060092868835028317316397308796733694529977379155786672563240824356120338604916414894855647167454291300317869297311177320455759676106870290831128849}{2022740239045546563820278345298570956753121457755241128396482487229156629412991486514431307306462123165283233871672813438257636710988520867893723894774508958869476333663133929813530133955} a^{16} + \frac{575618806523524314054906084570656876647727679093813043073084224634892077228181298797005538933903666045301121389109104118723821529819148940873736251658668803629372002136955655011714719442}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{15} + \frac{2524102145558309439021669217227521275813655605642054347656865208404060582463565970619123803700440056330384634338268204032330561198133877512220364291397137937471704456405866893049171684351}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{14} + \frac{735971039404188552843354868179831148112253708274355467607231519911469233362913556682172238287158692362358248423584602123712060857640168429393835634087684984697165062044216169275969052328}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{13} + \frac{2720978432842797956529436615731060189852169295388196058438245294722986255631622772785487673030265055411940231409905804040643935800060928963611906202651546381146268092518761551233755686953}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{12} + \frac{829649335296318742116276175407399160033044111899520032790043517924435939890718165221970564141441573093471306912533676758399363453434230331121555098596029011519697208191887004264683713477}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{11} + \frac{126640633378187320882682363699280649636228972690560553211344163657475873077419723683488631731154601382020931345666216837820052979521828795330684033307321042786442750186311876455216567507}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{10} + \frac{100311679414313556077402209298516132011289222439760700577500053413088310776001203787832782090502270982843063720338718870180191604807954143223780844741985586745752261155947630505602282128}{594923599719278401123611278028991457868565134633894449528377202126222538062644554857185678619547683283906833491668474540664010797349564961145212910227796752608669509900921744062802980575} a^{9} - \frac{1534311023247470265504981278418872324566464215380540598567818680454942562893724411304922806702539192150816607544086125730266737686233720603986655810292614990230155094236115711252594385929}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{8} - \frac{3943519825334596101495469082762013953355277611289144780043892889482047847517709409645691242363161998695871505018175052105393523199429259555978201840300966677842330303932040168613772354671}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{7} + \frac{2809587065829752348740140037256127331668075041050830013297295002143371572639042372514943137072486327406529437024831303851033721079334026806545701014770729521505300944426933807192464674427}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{6} - \frac{107930014841208674433950476011829253481732096153397425731868956337876181931300697197088668940349031423339591047310172284381001393972600269976511633597726867388706530641393639898569379039}{594923599719278401123611278028991457868565134633894449528377202126222538062644554857185678619547683283906833491668474540664010797349564961145212910227796752608669509900921744062802980575} a^{5} + \frac{2458718109201808901352121963477395996416674125609062673191661848500171695135845885927105488419090676323173280604973913055310172768488258710716010682435345880510309435240180920992098837516}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{4} + \frac{481637411507560459369570976075172477879090437502069661923341305795137678965350118088097420163942496420584619499470160363570066322522346746880679955921693536002813532571704522394464606208}{2022740239045546563820278345298570956753121457755241128396482487229156629412991486514431307306462123165283233871672813438257636710988520867893723894774508958869476333663133929813530133955} a^{3} + \frac{2350984031414703248998079784508519462359562183080507245538203412300068927713324951342425301397172493330589892698558413828899721577493592864062034102285828363064853649295650305087747989932}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a^{2} - \frac{986811146595454185801202153965807604204735872633752193099515841632871509407277465818732894441641841089474376214854561388901076169961358017056939358130868870945018695628710182443413597156}{10113701195227732819101391726492854783765607288776205641982412436145783147064957432572156536532310615826416169358364067191288183554942604339468619473872544794347381668315669649067650669775} a - \frac{49285292947552567531670957616512377706379383513760240153846003648039315666797265618483983235828849646642460940175316896077728503661973191489111396314168549633482668405688800918806649189}{2022740239045546563820278345298570956753121457755241128396482487229156629412991486514431307306462123165283233871672813438257636710988520867893723894774508958869476333663133929813530133955}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $34$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 14144996650663707000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{35}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 14144996650663707000000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{4974456597909264757129569420535951139863442014128922856612718940624179015847481515681}}\approx 0.108955680759882$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{35}$ (as 35T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 35
The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$
Character table for $C_{35}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{11})^+\), 7.7.128100283921.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/5.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ R $35$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/23.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ $35$ $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/43.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ $35$ $35$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
11Data not computed
71Data not computed