Properties

Label 35.35.426...641.1
Degree $35$
Signature $[35, 0]$
Discriminant $4.266\times 10^{85}$
Root discriminant $279.62$
Ramified primes $29, 31$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{35}$ (as 35T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 147*x^33 + 384*x^32 + 8999*x^31 - 28384*x^30 - 300934*x^29 + 1116603*x^28 + 6027458*x^27 - 26518095*x^26 - 73782007*x^25 + 404019590*x^24 + 521840181*x^23 - 4069268247*x^22 - 1503940067*x^21 + 27441438677*x^20 - 6471979421*x^19 - 124171354119*x^18 + 81524582969*x^17 + 375114725905*x^16 - 364687984188*x^15 - 747339096335*x^14 + 926308497451*x^13 + 961292881275*x^12 - 1451786049968*x^11 - 771321612374*x^10 + 1427632011474*x^9 + 365928432486*x^8 - 868346663001*x^7 - 97103750919*x^6 + 312022190475*x^5 + 17703737306*x^4 - 59996070990*x^3 - 4579250401*x^2 + 4824514261*x + 750695467)
 
gp: K = bnfinit(x^35 - 2*x^34 - 147*x^33 + 384*x^32 + 8999*x^31 - 28384*x^30 - 300934*x^29 + 1116603*x^28 + 6027458*x^27 - 26518095*x^26 - 73782007*x^25 + 404019590*x^24 + 521840181*x^23 - 4069268247*x^22 - 1503940067*x^21 + 27441438677*x^20 - 6471979421*x^19 - 124171354119*x^18 + 81524582969*x^17 + 375114725905*x^16 - 364687984188*x^15 - 747339096335*x^14 + 926308497451*x^13 + 961292881275*x^12 - 1451786049968*x^11 - 771321612374*x^10 + 1427632011474*x^9 + 365928432486*x^8 - 868346663001*x^7 - 97103750919*x^6 + 312022190475*x^5 + 17703737306*x^4 - 59996070990*x^3 - 4579250401*x^2 + 4824514261*x + 750695467, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![750695467, 4824514261, -4579250401, -59996070990, 17703737306, 312022190475, -97103750919, -868346663001, 365928432486, 1427632011474, -771321612374, -1451786049968, 961292881275, 926308497451, -747339096335, -364687984188, 375114725905, 81524582969, -124171354119, -6471979421, 27441438677, -1503940067, -4069268247, 521840181, 404019590, -73782007, -26518095, 6027458, 1116603, -300934, -28384, 8999, 384, -147, -2, 1]);
 

\( x^{35} - 2 x^{34} - 147 x^{33} + 384 x^{32} + 8999 x^{31} - 28384 x^{30} - 300934 x^{29} + 1116603 x^{28} + 6027458 x^{27} - 26518095 x^{26} - 73782007 x^{25} + 404019590 x^{24} + 521840181 x^{23} - 4069268247 x^{22} - 1503940067 x^{21} + 27441438677 x^{20} - 6471979421 x^{19} - 124171354119 x^{18} + 81524582969 x^{17} + 375114725905 x^{16} - 364687984188 x^{15} - 747339096335 x^{14} + 926308497451 x^{13} + 961292881275 x^{12} - 1451786049968 x^{11} - 771321612374 x^{10} + 1427632011474 x^{9} + 365928432486 x^{8} - 868346663001 x^{7} - 97103750919 x^{6} + 312022190475 x^{5} + 17703737306 x^{4} - 59996070990 x^{3} - 4579250401 x^{2} + 4824514261 x + 750695467 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $35$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[35, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(426\!\cdots\!641\)\(\medspace = 29^{30}\cdot 31^{28}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $279.62$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $29, 31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $35$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(899=29\cdot 31\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{899}(256,·)$, $\chi_{899}(1,·)$, $\chi_{899}(132,·)$, $\chi_{899}(777,·)$, $\chi_{899}(779,·)$, $\chi_{899}(140,·)$, $\chi_{899}(16,·)$, $\chi_{899}(529,·)$, $\chi_{899}(407,·)$, $\chi_{899}(281,·)$, $\chi_{899}(807,·)$, $\chi_{899}(808,·)$, $\chi_{899}(683,·)$, $\chi_{899}(605,·)$, $\chi_{899}(690,·)$, $\chi_{899}(436,·)$, $\chi_{899}(314,·)$, $\chi_{899}(574,·)$, $\chi_{899}(373,·)$, $\chi_{899}(194,·)$, $\chi_{899}(326,·)$, $\chi_{899}(78,·)$, $\chi_{899}(721,·)$, $\chi_{899}(342,·)$, $\chi_{899}(343,·)$, $\chi_{899}(219,·)$, $\chi_{899}(349,·)$, $\chi_{899}(94,·)$, $\chi_{899}(442,·)$, $\chi_{899}(745,·)$, $\chi_{899}(748,·)$, $\chi_{899}(500,·)$, $\chi_{899}(190,·)$, $\chi_{899}(233,·)$, $\chi_{899}(252,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{5} a^{28} - \frac{2}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{26} - \frac{1}{5} a^{25} + \frac{2}{5} a^{24} + \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{29} + \frac{2}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{23} + \frac{2}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{20} - \frac{2}{5} a^{19} + \frac{2}{5} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} + \frac{2}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{85} a^{30} + \frac{1}{85} a^{29} - \frac{6}{85} a^{28} - \frac{16}{85} a^{27} + \frac{23}{85} a^{26} - \frac{39}{85} a^{25} + \frac{1}{85} a^{24} + \frac{9}{85} a^{23} + \frac{21}{85} a^{22} + \frac{31}{85} a^{21} - \frac{16}{85} a^{20} + \frac{22}{85} a^{19} + \frac{21}{85} a^{18} + \frac{18}{85} a^{17} - \frac{26}{85} a^{16} - \frac{27}{85} a^{15} - \frac{36}{85} a^{14} + \frac{3}{17} a^{13} - \frac{37}{85} a^{12} - \frac{5}{17} a^{11} + \frac{3}{17} a^{10} + \frac{8}{17} a^{9} + \frac{39}{85} a^{8} + \frac{4}{85} a^{7} - \frac{2}{17} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{11}{85} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{38}{85}$, $\frac{1}{85} a^{31} - \frac{7}{85} a^{29} + \frac{7}{85} a^{28} + \frac{1}{17} a^{27} + \frac{6}{85} a^{26} + \frac{23}{85} a^{25} + \frac{42}{85} a^{24} + \frac{29}{85} a^{23} + \frac{27}{85} a^{22} + \frac{38}{85} a^{21} + \frac{38}{85} a^{20} + \frac{16}{85} a^{19} + \frac{14}{85} a^{18} + \frac{7}{85} a^{17} + \frac{16}{85} a^{16} + \frac{5}{17} a^{15} + \frac{33}{85} a^{13} - \frac{39}{85} a^{12} + \frac{23}{85} a^{11} + \frac{8}{85} a^{10} - \frac{18}{85} a^{9} + \frac{33}{85} a^{8} - \frac{31}{85} a^{7} - \frac{7}{85} a^{6} - \frac{11}{85} a^{5} + \frac{28}{85} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{6}{17} a + \frac{13}{85}$, $\frac{1}{85} a^{32} - \frac{3}{85} a^{29} - \frac{3}{85} a^{28} - \frac{4}{85} a^{27} + \frac{31}{85} a^{26} - \frac{2}{17} a^{25} + \frac{19}{85} a^{24} - \frac{12}{85} a^{23} + \frac{3}{17} a^{22} - \frac{28}{85} a^{20} - \frac{19}{85} a^{19} + \frac{18}{85} a^{18} + \frac{8}{17} a^{17} - \frac{21}{85} a^{16} + \frac{32}{85} a^{15} + \frac{36}{85} a^{14} + \frac{32}{85} a^{13} + \frac{36}{85} a^{12} + \frac{4}{17} a^{11} + \frac{19}{85} a^{10} - \frac{2}{17} a^{9} + \frac{4}{85} a^{8} - \frac{6}{17} a^{7} - \frac{13}{85} a^{6} - \frac{6}{85} a^{5} + \frac{8}{85} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{21}{85} a^{2} - \frac{38}{85} a + \frac{11}{85}$, $\frac{1}{29495} a^{33} - \frac{14}{5899} a^{32} - \frac{7}{1735} a^{31} + \frac{3}{29495} a^{30} - \frac{994}{29495} a^{29} - \frac{16}{347} a^{28} + \frac{6709}{29495} a^{27} - \frac{1974}{29495} a^{26} + \frac{80}{5899} a^{25} - \frac{13253}{29495} a^{24} - \frac{6554}{29495} a^{23} - \frac{14014}{29495} a^{22} + \frac{5071}{29495} a^{21} - \frac{6672}{29495} a^{20} + \frac{10269}{29495} a^{19} - \frac{11872}{29495} a^{18} - \frac{1812}{29495} a^{17} + \frac{1398}{5899} a^{16} + \frac{523}{5899} a^{15} + \frac{2277}{29495} a^{14} - \frac{176}{29495} a^{13} + \frac{88}{5899} a^{12} - \frac{8756}{29495} a^{11} + \frac{2045}{5899} a^{10} + \frac{11518}{29495} a^{9} - \frac{9511}{29495} a^{8} + \frac{11002}{29495} a^{7} + \frac{1116}{29495} a^{6} + \frac{5987}{29495} a^{5} - \frac{5522}{29495} a^{4} - \frac{1162}{5899} a^{3} - \frac{12728}{29495} a^{2} - \frac{12306}{29495} a + \frac{2139}{5899}$, $\frac{1}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{34} - \frac{2414309669125247846810079949075329333812386679359870614207874802076111308113306936003759776504109602990422348394837691216070528279749893242491412332746736010884}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{33} + \frac{2854074112441801675711550797319710415887673498810276493263807460740977793977808602114102666064890207430095135079545248469266210199056850860691956350351324226069661}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{32} + \frac{434832655279861616584081755898122313732859099926853288503176740182065436038002431050449314074934425397149147560737272806956855565099052598799530056113895025242631}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{31} + \frac{886275795684934915270158533821369780889194974902529713515460780781768010949436036905326949724630985994571976267412525062615085353942964503752791712647232080363328}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{30} - \frac{3163911591639093946855263196641893657886897951385182106008242051695876706585712737341378112634399977426786314488006993958029608423251538488303590746496901477702585}{101169566425255584423229655322856162048589471325247697550018453151615006001044262176578464560186707536474723600262755099601404166726226606158286980020778475299173881} a^{29} - \frac{11559436223338659244249734041575336640353936817517580643726663029783269222515711759487088202158938589292094686840860676183378870097999552322290422229354862606179802}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{28} - \frac{47488409082271193715289524391067765401228653977696624367279116517192681800901552851995791344444378179171411710471593040292559171748578966486286347792340092745913297}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{27} + \frac{73504928399755308800165302738876619984401879520785356595059781798450398523890241821594798945508807868241567877765355682178583671322454480417677757087290532037730224}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{26} + \frac{46021847738848614725787914139091357026629280064101994100127241587726680090504540473782307537120043839425987055103721690237663996404726337823925148416768590395691868}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{25} - \frac{29364897966470560708943941052131342607503173533357595791038523644780057031079895288018840304789187966236889070407460665579946750623758350207511339127552155623355891}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{24} - \frac{227861297027717051513677898773920667610653695713343786068246229512167586436310779542205567196770166784442405557062257362990440805669051698943186289068499991395026228}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{23} - \frac{210493560007436207955934221401531400470023636992569861691493409165658294660385769145715069276360391869868435282905103098476250412370702618662484792816729692272254028}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{22} + \frac{196319006826028383278065614863036638434380426701386215496460309797477137340045810723395627836468518437042194791547564873315776688189129070790572995255511849069593564}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{21} - \frac{51589156939300034372384941036422833574443233080611611721263085096765946000849388931070882885430242070523187686874929206288743705631993029881054082209296251890927512}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{20} - \frac{34727671074738514352584398760930809795518501943015787036043020177356831483550809771429989973008977958364644570484593337989777160014041487019208152289814854553265722}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{19} - \frac{43912158822016498758568672193981976480733642478601415773336188931297487819082461929438071696869690650180208633629527805608198842652848577894244092115231258409220108}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{18} + \frac{236986911171187590657928629342591436170162859667560313690151214320500572860547510731535026372610388289814748859287891139133667314196185649799474915750927953614536219}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{17} + \frac{71048389016562088537649238156495477526066357724323227516609055627158354281832572870936759898711108532496334981446231723645672404196661437696617121532215843202852708}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{16} + \frac{229155544302103846291197737047181454828973262031384653363255013921195095941243047983075089111086896396939990158386703377192228534568507937922766934008682802080903276}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{15} - \frac{101048628369013917602682064370783495688043929941592230986508556466853098761160067280282500827894379732419746094004448957174527619644864741917710966824086897007471664}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{14} + \frac{26368936926624649215894995183521186599315251692527287739503219050835385923210336078186970925178241282605768354282264855459259171180045656804666170156050077509133933}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{13} - \frac{150354540034448341993663691285300958307647596804634998982812302302889694928404186180796921104347888175318517281613406152930237917291290865652055232013305154877025122}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{12} - \frac{100504162846305220408196128111687584720726457879820931195141646066996522746770208038909698928132267864992717936026277177571402506887511299430074774501766079269492301}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{11} + \frac{122430937673242346201299180510538956642092739628715912008282591311285071035574411086307627089490147545109469032949307929591370304458833505411458630524021356267353023}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{10} - \frac{13229448781772972373531232911877123088072147108513096066217360241426407192698247915616462074764021482671948648830537312394825701842338724544095505076379098529302695}{101169566425255584423229655322856162048589471325247697550018453151615006001044262176578464560186707536474723600262755099601404166726226606158286980020778475299173881} a^{9} - \frac{92225668459044468031811879959954387710159443250992008844086106922467745704975676211656166841142680111438711045609498004048816980087141533824197980705120033534222753}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{8} + \frac{142521841895765883798554477148630516780028693528273072369772943699461940575313155412731971877512065011146279748529656288592077181729000098639554280179474104617660312}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{7} + \frac{33714145165165911875530086488999857352852501828532326133010401587469131709333552261695335456574100544039362769280890996194305058731601987057303110318399550157675584}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{6} - \frac{227233125952211432567633242358716466607047833243654851322639931202652689788393280537495102169890259857629916036553981626823746219001172290155734178456739783471441681}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{5} - \frac{12502599870201568950207481410680924554058474704763345432838663652640982109796388845483775714263576664500819523670489492689096431386698974228331558399601965734444253}{29755754830957524830361663330251812367232197448602263985299545044592648823836547698993666047113737510727859882430222088118060049037125472399496170594346610382109965} a^{4} + \frac{215207066052474904075277803460732981583931366524792361180342121267926833527394958385653560778718399513664198932900092721954597104195595213560117574664315721046889024}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{3} + \frac{88213444543351476823420026162203062841924152015253568434938519247757604605144112919772975988194748698374603431618621942367523586177789508617106836077024802577083676}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a^{2} + \frac{138737892184891729353147584122318586269711822407815847806680777057074577457431099230626701052169325695528013828692260653839941351065809713637020911343129985580568133}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405} a + \frac{4923243656310919537021874802104765571495713054508487327770867253917585481081804225867415253469262732052562120126898963308903649887127589535620708527077588269472229}{505847832126277922116148276614280810242947356626238487750092265758075030005221310882892322800933537682373618001313775498007020833631133030791434900103892376495869405}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $34$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 51550321315774970000000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{35}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 51550321315774970000000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{42664569157776260194145291158312909027607801510075223187489424993547224224125412187641}}\approx 0.135586842459087$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{35}$ (as 35T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 35
The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$
Character table for $C_{35}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.923521.1, 7.7.594823321.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/5.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ $35$ R R ${\href{/LocalNumberField/37.7.0.1}{7} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/41.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/59.5.0.1}{5} }^{7}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
29Data not computed
31Data not computed