↑

Properties

Label 35.35.168...681.1
Degree $35$
Signature $[35, 0]$
Discriminant $1.681\times 10^{89}$
Root discriminant $354.24$
Ramified prime $421$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{35}$ (as 35T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - x^34 - 204*x^33 + 437*x^32 + 17534*x^31 - 54290*x^30 - 824862*x^29 + 3275941*x^28 + 23317913*x^27 - 115242097*x^26 - 407103864*x^25 + 2577740505*x^24 + 4218284220*x^23 - 38412158946*x^22 - 19912715245*x^21 + 391393011501*x^20 - 73963916883*x^19 - 2766871309456*x^18 + 1816877075105*x^17 + 13678303310453*x^16 - 13286645514747*x^15 - 47446655533795*x^14 + 55834172665771*x^13 + 115251505419203*x^12 - 148585020568878*x^11 - 193921735357495*x^10 + 253198008831294*x^9 + 219700193289987*x^8 - 266521489745621*x^7 - 156623228737724*x^6 + 157601287591422*x^5 + 59099363823325*x^4 - 42232493776557*x^3 - 6358323449919*x^2 + 3052649440546*x - 157964821171)
 
gp: K = bnfinit(x^35 - x^34 - 204*x^33 + 437*x^32 + 17534*x^31 - 54290*x^30 - 824862*x^29 + 3275941*x^28 + 23317913*x^27 - 115242097*x^26 - 407103864*x^25 + 2577740505*x^24 + 4218284220*x^23 - 38412158946*x^22 - 19912715245*x^21 + 391393011501*x^20 - 73963916883*x^19 - 2766871309456*x^18 + 1816877075105*x^17 + 13678303310453*x^16 - 13286645514747*x^15 - 47446655533795*x^14 + 55834172665771*x^13 + 115251505419203*x^12 - 148585020568878*x^11 - 193921735357495*x^10 + 253198008831294*x^9 + 219700193289987*x^8 - 266521489745621*x^7 - 156623228737724*x^6 + 157601287591422*x^5 + 59099363823325*x^4 - 42232493776557*x^3 - 6358323449919*x^2 + 3052649440546*x - 157964821171, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-157964821171, 3052649440546, -6358323449919, -42232493776557, 59099363823325, 157601287591422, -156623228737724, -266521489745621, 219700193289987, 253198008831294, -193921735357495, -148585020568878, 115251505419203, 55834172665771, -47446655533795, -13286645514747, 13678303310453, 1816877075105, -2766871309456, -73963916883, 391393011501, -19912715245, -38412158946, 4218284220, 2577740505, -407103864, -115242097, 23317913, 3275941, -824862, -54290, 17534, 437, -204, -1, 1]);
 

\( x^{35} - x^{34} - 204 x^{33} + 437 x^{32} + 17534 x^{31} - 54290 x^{30} - 824862 x^{29} + 3275941 x^{28} + 23317913 x^{27} - 115242097 x^{26} - 407103864 x^{25} + 2577740505 x^{24} + 4218284220 x^{23} - 38412158946 x^{22} - 19912715245 x^{21} + 391393011501 x^{20} - 73963916883 x^{19} - 2766871309456 x^{18} + 1816877075105 x^{17} + 13678303310453 x^{16} - 13286645514747 x^{15} - 47446655533795 x^{14} + 55834172665771 x^{13} + 115251505419203 x^{12} - 148585020568878 x^{11} - 193921735357495 x^{10} + 253198008831294 x^{9} + 219700193289987 x^{8} - 266521489745621 x^{7} - 156623228737724 x^{6} + 157601287591422 x^{5} + 59099363823325 x^{4} - 42232493776557 x^{3} - 6358323449919 x^{2} + 3052649440546 x - 157964821171 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $35$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[35, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(168\!\cdots\!681\)\(\medspace = 421^{34}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $354.24$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $421$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $35$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(421\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{421}(1,·)$, $\chi_{421}(385,·)$, $\chi_{421}(139,·)$, $\chi_{421}(279,·)$, $\chi_{421}(152,·)$, $\chi_{421}(27,·)$, $\chi_{421}(414,·)$, $\chi_{421}(33,·)$, $\chi_{421}(290,·)$, $\chi_{421}(291,·)$, $\chi_{421}(296,·)$, $\chi_{421}(48,·)$, $\chi_{421}(49,·)$, $\chi_{421}(307,·)$, $\chi_{421}(308,·)$, $\chi_{421}(315,·)$, $\chi_{421}(60,·)$, $\chi_{421}(317,·)$, $\chi_{421}(190,·)$, $\chi_{421}(321,·)$, $\chi_{421}(68,·)$, $\chi_{421}(199,·)$, $\chi_{421}(75,·)$, $\chi_{421}(78,·)$, $\chi_{421}(85,·)$, $\chi_{421}(354,·)$, $\chi_{421}(357,·)$, $\chi_{421}(232,·)$, $\chi_{421}(366,·)$, $\chi_{421}(370,·)$, $\chi_{421}(247,·)$, $\chi_{421}(376,·)$, $\chi_{421}(377,·)$, $\chi_{421}(252,·)$, $\chi_{421}(341,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{29} a^{21} - \frac{5}{29} a^{20} - \frac{10}{29} a^{19} + \frac{10}{29} a^{18} - \frac{11}{29} a^{17} - \frac{4}{29} a^{16} - \frac{9}{29} a^{15} - \frac{9}{29} a^{14} + \frac{9}{29} a^{13} - \frac{3}{29} a^{12} + \frac{12}{29} a^{11} + \frac{7}{29} a^{10} + \frac{2}{29} a^{9} + \frac{13}{29} a^{8} - \frac{14}{29} a^{7} - \frac{11}{29} a^{6} + \frac{3}{29} a^{5} + \frac{6}{29} a^{4} + \frac{14}{29} a^{3} + \frac{10}{29} a^{2} - \frac{11}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{22} - \frac{6}{29} a^{20} - \frac{11}{29} a^{19} + \frac{10}{29} a^{18} - \frac{1}{29} a^{17} + \frac{4}{29} a^{15} - \frac{7}{29} a^{14} + \frac{13}{29} a^{13} - \frac{3}{29} a^{12} + \frac{9}{29} a^{11} + \frac{8}{29} a^{10} - \frac{6}{29} a^{9} - \frac{7}{29} a^{8} + \frac{6}{29} a^{7} + \frac{6}{29} a^{6} - \frac{8}{29} a^{5} - \frac{14}{29} a^{4} - \frac{7}{29} a^{3} + \frac{10}{29} a^{2} + \frac{3}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{23} - \frac{12}{29} a^{20} + \frac{8}{29} a^{19} + \frac{1}{29} a^{18} - \frac{8}{29} a^{17} + \frac{9}{29} a^{16} - \frac{3}{29} a^{15} - \frac{12}{29} a^{14} - \frac{7}{29} a^{13} - \frac{9}{29} a^{12} - \frac{7}{29} a^{11} + \frac{7}{29} a^{10} + \frac{5}{29} a^{9} - \frac{3}{29} a^{8} + \frac{9}{29} a^{7} + \frac{13}{29} a^{6} + \frac{4}{29} a^{5} + \frac{7}{29} a^{3} + \frac{5}{29} a^{2} - \frac{8}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{24} + \frac{6}{29} a^{20} - \frac{3}{29} a^{19} - \frac{4}{29} a^{18} - \frac{7}{29} a^{17} + \frac{7}{29} a^{16} - \frac{4}{29} a^{15} + \frac{1}{29} a^{14} + \frac{12}{29} a^{13} - \frac{14}{29} a^{12} + \frac{6}{29} a^{11} + \frac{2}{29} a^{10} - \frac{8}{29} a^{9} - \frac{9}{29} a^{8} - \frac{10}{29} a^{7} - \frac{12}{29} a^{6} + \frac{7}{29} a^{5} - \frac{8}{29} a^{4} - \frac{1}{29} a^{3} - \frac{4}{29} a^{2} + \frac{13}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{25} - \frac{2}{29} a^{20} - \frac{2}{29} a^{19} - \frac{9}{29} a^{18} - \frac{14}{29} a^{17} - \frac{9}{29} a^{16} - \frac{3}{29} a^{15} + \frac{8}{29} a^{14} - \frac{10}{29} a^{13} - \frac{5}{29} a^{12} - \frac{12}{29} a^{11} + \frac{8}{29} a^{10} + \frac{8}{29} a^{9} - \frac{1}{29} a^{8} + \frac{14}{29} a^{7} - \frac{14}{29} a^{6} + \frac{3}{29} a^{5} - \frac{8}{29} a^{4} - \frac{1}{29} a^{3} + \frac{11}{29} a^{2} + \frac{8}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{26} - \frac{12}{29} a^{20} + \frac{6}{29} a^{18} - \frac{2}{29} a^{17} - \frac{11}{29} a^{16} - \frac{10}{29} a^{15} + \frac{1}{29} a^{14} + \frac{13}{29} a^{13} + \frac{11}{29} a^{12} + \frac{3}{29} a^{11} - \frac{7}{29} a^{10} + \frac{3}{29} a^{9} + \frac{11}{29} a^{8} - \frac{13}{29} a^{7} + \frac{10}{29} a^{6} - \frac{2}{29} a^{5} + \frac{11}{29} a^{4} + \frac{10}{29} a^{3} - \frac{1}{29} a^{2} + \frac{7}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{27} - \frac{2}{29} a^{20} + \frac{2}{29} a^{19} + \frac{2}{29} a^{18} + \frac{2}{29} a^{17} + \frac{9}{29} a^{15} - \frac{8}{29} a^{14} + \frac{3}{29} a^{13} - \frac{4}{29} a^{12} - \frac{8}{29} a^{11} + \frac{6}{29} a^{9} - \frac{2}{29} a^{8} - \frac{13}{29} a^{7} + \frac{11}{29} a^{6} - \frac{11}{29} a^{5} - \frac{5}{29} a^{4} - \frac{7}{29} a^{3} + \frac{11}{29} a^{2} + \frac{13}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{28} - \frac{8}{29} a^{20} + \frac{11}{29} a^{19} - \frac{7}{29} a^{18} + \frac{7}{29} a^{17} + \frac{1}{29} a^{16} + \frac{3}{29} a^{15} + \frac{14}{29} a^{14} + \frac{14}{29} a^{13} - \frac{14}{29} a^{12} - \frac{5}{29} a^{11} - \frac{9}{29} a^{10} + \frac{2}{29} a^{9} + \frac{13}{29} a^{8} + \frac{12}{29} a^{7} - \frac{4}{29} a^{6} + \frac{1}{29} a^{5} + \frac{5}{29} a^{4} + \frac{10}{29} a^{3} + \frac{4}{29} a^{2} + \frac{7}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{29} - \frac{1}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{30} - \frac{1}{29} a^{2}$, $\frac{1}{6757} a^{31} + \frac{2}{233} a^{30} + \frac{12}{6757} a^{29} - \frac{31}{6757} a^{28} + \frac{21}{6757} a^{27} + \frac{59}{6757} a^{26} + \frac{18}{6757} a^{25} + \frac{26}{6757} a^{24} - \frac{65}{6757} a^{23} + \frac{9}{6757} a^{22} + \frac{26}{6757} a^{21} - \frac{1787}{6757} a^{20} - \frac{2713}{6757} a^{19} + \frac{487}{6757} a^{18} - \frac{3141}{6757} a^{17} + \frac{623}{6757} a^{16} + \frac{2651}{6757} a^{15} - \frac{934}{6757} a^{14} - \frac{116}{233} a^{13} + \frac{2127}{6757} a^{12} + \frac{2083}{6757} a^{11} - \frac{1183}{6757} a^{10} - \frac{1832}{6757} a^{9} + \frac{219}{6757} a^{8} + \frac{1571}{6757} a^{7} - \frac{32}{233} a^{6} - \frac{3095}{6757} a^{5} - \frac{2079}{6757} a^{4} + \frac{2834}{6757} a^{3} - \frac{3226}{6757} a^{2} + \frac{1316}{6757} a - \frac{73}{233}$, $\frac{1}{78577153} a^{32} + \frac{5723}{78577153} a^{31} - \frac{1225761}{78577153} a^{30} + \frac{726174}{78577153} a^{29} + \frac{1054646}{78577153} a^{28} + \frac{327559}{78577153} a^{27} + \frac{1316581}{78577153} a^{26} - \frac{1068596}{78577153} a^{25} + \frac{357158}{78577153} a^{24} + \frac{437731}{78577153} a^{23} + \frac{826435}{78577153} a^{22} + \frac{703072}{78577153} a^{21} + \frac{7230102}{78577153} a^{20} - \frac{29372890}{78577153} a^{19} + \frac{25435235}{78577153} a^{18} + \frac{26719877}{78577153} a^{17} - \frac{8583588}{78577153} a^{16} + \frac{15369510}{78577153} a^{15} - \frac{24198463}{78577153} a^{14} - \frac{11545809}{78577153} a^{13} - \frac{23999154}{78577153} a^{12} + \frac{2794028}{78577153} a^{11} - \frac{7422798}{78577153} a^{10} - \frac{25683831}{78577153} a^{9} - \frac{2673126}{78577153} a^{8} + \frac{22476396}{78577153} a^{7} - \frac{20118858}{78577153} a^{6} + \frac{35643501}{78577153} a^{5} + \frac{37274828}{78577153} a^{4} - \frac{27953695}{78577153} a^{3} + \frac{1636342}{78577153} a^{2} + \frac{7961662}{78577153} a - \frac{502318}{2709557}$, $\frac{1}{78577153} a^{33} + \frac{1448}{78577153} a^{31} - \frac{1007788}{78577153} a^{30} + \frac{237431}{78577153} a^{29} - \frac{588465}{78577153} a^{28} - \frac{34482}{78577153} a^{27} - \frac{839480}{78577153} a^{26} - \frac{259081}{78577153} a^{25} - \frac{408719}{78577153} a^{24} - \frac{1084425}{78577153} a^{23} - \frac{1167967}{78577153} a^{22} - \frac{724674}{78577153} a^{21} - \frac{17030740}{78577153} a^{20} + \frac{19835328}{78577153} a^{19} - \frac{26825250}{78577153} a^{18} - \frac{130398}{337241} a^{17} - \frac{4259142}{78577153} a^{16} - \frac{30090800}{78577153} a^{15} + \frac{9545618}{78577153} a^{14} - \frac{9473737}{78577153} a^{13} + \frac{30208318}{78577153} a^{12} + \frac{22418842}{78577153} a^{11} - \frac{19305411}{78577153} a^{10} + \frac{25764780}{78577153} a^{9} + \frac{15651901}{78577153} a^{8} - \frac{17524007}{78577153} a^{7} + \frac{6589452}{78577153} a^{6} - \frac{12126945}{78577153} a^{5} + \frac{30517527}{78577153} a^{4} - \frac{14509954}{78577153} a^{3} + \frac{30349405}{78577153} a^{2} - \frac{13469099}{78577153} a + \frac{1344675}{2709557}$, $\frac{1}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{34} + \frac{8082761000164370466397719322944430871563102322569760436350390103824167053872154697111700118012434211535135179682797881457705168733186198973361800726447829213149199432636545}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{33} + \frac{40094056286655164927921435886130990131807613320943945055737087533276580157400224808985793736865559247449009501213586291344590389473914627428663552949157674393156915237371439}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{32} + \frac{2542536568786714984659645424909999406608275855457807377992423492816218845057972435233623967503533219978702062379286914421615776427584617519084335796556419812010240275676459550174}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{31} - \frac{673370276281840662811827944332218398483532711203245442699007475871036161397240195209679015237461173841941261392199459043437539079106676539427665045995982236639421764175571407555860}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{30} - \frac{442195919678105330503603501852555038569289033079470198100730388569855166630016382100434316186860646633390551896459207289448980205105986633670816277289768416680259870552305539420663}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{29} - \frac{572765857989757797454395580360118718690548865762296773080363192161867652067521786258059634387895027268446983459747516289676017742470587041029066885514339423096840293844637237328231}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{28} + \frac{662140613896344486409772363622434395453286414830604335787967633518261290770772001189051958016010333452968791517634128512807865610494263918308339168086519799259740450597159170440687}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{27} + \frac{68104251619547885913117298057384476958015491839638636302074794283270178027236309454516297776895958153546877482776816416594371380912436353404679299844726711001285405726388039047156}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{26} + \frac{123709934350120694033207577033954532038294759104872397905832932878557270345942018426052072082497901021805074761646832721405729966515392608464053668407218025088109858203553240847551}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{25} - \frac{618651619485913443337306461765952788410432314840944418250752301275069425726484802927876866231640417457820207317578530087882475499802051301837485847541049270629467030667037130453068}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{24} + \frac{255385074407553567250191761506564046795395439983849825336320863809329904402632776026686140482868057335285776083807767484115593518151277824112445367467238835969953472008641233333097}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{23} + \frac{559461757527138967126106396952009925610816295255732315427726115603633464625980618564435030716860728614515738425614495294205718065935104822771182735568541759489183215757015261911569}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{22} + \frac{308410449297147795854934667713017993081281456588138316213023836137734761442032550787282732454262076356821669648481460502437529840693856308827947218689770472565105240977557912472436}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{21} - \frac{15014846830395496319795261595881933943428414567181747270315727959765815032739255596866811481081266295030132959494264275210429615148040101007647795128677844978267760772947416387612613}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{20} + \frac{10151508114399873940665414208052306079127750084747992044826793425062793530758745609022002158317243581348835636308156186108647905430191840395688008791857462998264993549574051093917098}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{19} + \frac{8473245282433031749460806146851815905177981234141569076137049406002220591011079487910703984026392383496695695027983951783132641391971414832802461987846024204828712220584609996003}{49437247069341802189751585871804908704797698279342432800587256879676485133990317312477730918629391111977458630851717100264882605991543550254799873643865997633457832047847232847041} a^{18} - \frac{20058021891929740307834375136680714095097928431986590629034249706296652604705442304769517150340906653023940029946171525622455233121630125709172697556734299792301815484876435456968278}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{17} + \frac{498063239948408867147889501757763051096978255870705359241002994548934575233917702639397638277128498552677810905996780116169912449799215431287942135835029298216657496397277974566387}{1433680165010912263502795990282342352439133250100930551217030449510618068885719202061854196640252342247346300294699795907681595573754762957389196335672113931370277129387569752564189} a^{16} - \frac{2196412317057091537581280495967603267241812292550029534060110755115181284043541205568733965428139854393403380144177238350149821815648972578388769962412385445701040862653361786726167}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{15} - \frac{12144789576496470641154892128776316322145371208265907810026684029524602002678257128049111381576166770558003950343319116971283672111511907925089768002892926464746634748785526018786754}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{14} - \frac{19454465539180638088361115360161950266397868915248920837720661708913454331466084107047282295054506997990290789357583617987560852664709370671130081285706550326222433545670439661829290}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{13} + \frac{12764068869738508420968994571307916181157054912794710230791576298533200655090421783302347822327404760573412104666820421971985729559824298169915599187994239972899229540570051819901311}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{12} + \frac{5635483459186281138250129344249592602699975300447949405146536144765340416287363046235561113201256222680573676542014024083705100339599281736195437057233033908505283665260046681140901}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{11} - \frac{15072834469579234602073522833183116711817456890249566521186970309932787621551110816554114352343201686522573796287326563044190188069056382397436511596436269678809648589113842343671281}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{10} - \frac{6947646387406147324454703127742927002716495505050975156751828161587393993281814000557461330874654650586039943777775323684778463164730526179721441731127769879042846103753520784019918}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{9} + \frac{14877208426711752661727280204640245006029518671254747980084441989346470721354035323688868244691857319711108999986570624759833613581296203366739595466138142111970198587323182987399419}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{8} - \frac{15463295578702540467079179206637742862686025206252539230943197743584892197733408127750233342884893617697547032071478401845935297381062611381477948522671021213142485183738423563377129}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{7} - \frac{1077120671512728338202195904821126977775869848291079092040196704003487787524090077035252327572973893757493066734166462607512708457010298831567658525827273762577508638766257532526553}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{6} + \frac{11753107067803079060243228042035843962107041394019312412899278280223251566346037477613029822131716052352661780598801562285731063687154561709941650157964647159338105410561737414524751}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{5} + \frac{12694642552897210902312731267441303805999063382371843797767141162308271493720130702618309443321203812710445080327652366372839320172235401372686913045932755986967241739763084605599108}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{4} - \frac{9332963106027345171950752740342529504551640654331471241651378574382397091336003797328954047638509613994026741099228652822250373667229810289695475587482718724794001672124966275138164}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{3} + \frac{20494948222054273569713141149559129351872331881214104367283977738623866715791736603043971160024025839491250258403210163901014682068793759795947922106186090949811132963719574660667244}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a^{2} - \frac{8314858146280625451710063096127518802563167953818709219659785851082890490235744002335981373390964486345481331451379243133230453823751033373682750420149432521603302119675963219048455}{41576724785316455641581083718187928220734864252926985985293883035807923997685856859793771702567317925173042708546294081322766271638888125764286693734491304009738036752239522824361481} a + \frac{674800330808686644942746751835151206652948185870174081622427382398787323085475485032703849791185569507104575120454290777313081515461232823746587805146325805621432238449680179135478}{1433680165010912263502795990282342352439133250100930551217030449510618068885719202061854196640252342247346300294699795907681595573754762957389196335672113931370277129387569752564189}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $34$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{35}$ (as 35T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 35
The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$
Character table for $C_{35}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.31414372081.1, 7.7.5567914722008521.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/13.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ $35$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/29.1.0.1}{1} }^{35}$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
421Data not computed