Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859)
gp: K = bnfinit(y^35 - 2*y^34 - 121*y^33 + 124*y^32 + 6435*y^31 - 1020*y^30 - 195036*y^29 - 112597*y^28 + 3683986*y^27 + 4452851*y^26 - 44769607*y^25 - 80359740*y^24 + 347984933*y^23 + 850835561*y^22 - 1630509423*y^21 - 5621246939*y^20 + 3615565971*y^19 + 23234081997*y^18 + 3088781711*y^17 - 57619940147*y^16 - 39347873390*y^15 + 76695393961*y^14 + 92864249975*y^13 - 38675667681*y^12 - 94158719636*y^11 - 10380297650*y^10 + 42855721796*y^9 + 16263455858*y^8 - 7226936109*y^7 - 4634581071*y^6 - 47622511*y^5 + 349101928*y^4 + 70736582*y^3 + 5060011*y^2 + 136327*y + 859, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859)
\( x^{35} - 2 x^{34} - 121 x^{33} + 124 x^{32} + 6435 x^{31} - 1020 x^{30} - 195036 x^{29} - 112597 x^{28} + \cdots + 859 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $35$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[35, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(1455622807785591094953547155658149343464416905925495778881639129313848614446169\)
\(\medspace = 11^{28}\cdot 43^{30}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(171.09\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $11^{4/5}43^{6/7}\approx 171.09210405273816$ | ||
| Ramified primes: |
\(11\), \(43\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $35$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(473=11\cdot 43\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{473}(256,·)$, $\chi_{473}(1,·)$, $\chi_{473}(130,·)$, $\chi_{473}(4,·)$, $\chi_{473}(133,·)$, $\chi_{473}(262,·)$, $\chi_{473}(269,·)$, $\chi_{473}(16,·)$, $\chi_{473}(279,·)$, $\chi_{473}(408,·)$, $\chi_{473}(388,·)$, $\chi_{473}(422,·)$, $\chi_{473}(170,·)$, $\chi_{473}(302,·)$, $\chi_{473}(47,·)$, $\chi_{473}(434,·)$, $\chi_{473}(312,·)$, $\chi_{473}(441,·)$, $\chi_{473}(59,·)$, $\chi_{473}(188,·)$, $\chi_{473}(317,·)$, $\chi_{473}(64,·)$, $\chi_{473}(322,·)$, $\chi_{473}(78,·)$, $\chi_{473}(207,·)$, $\chi_{473}(465,·)$, $\chi_{473}(213,·)$, $\chi_{473}(342,·)$, $\chi_{473}(471,·)$, $\chi_{473}(345,·)$, $\chi_{473}(97,·)$, $\chi_{473}(355,·)$, $\chi_{473}(102,·)$, $\chi_{473}(236,·)$, $\chi_{473}(379,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{7}a^{25}-\frac{2}{7}a^{24}-\frac{1}{7}a^{22}+\frac{3}{7}a^{21}-\frac{2}{7}a^{20}+\frac{1}{7}a^{19}-\frac{2}{7}a^{18}+\frac{3}{7}a^{17}-\frac{1}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{15}+\frac{3}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{13}+\frac{3}{7}a^{12}+\frac{2}{7}a^{11}-\frac{2}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{6}+\frac{3}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}-\frac{1}{7}a^{2}+\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{26}+\frac{3}{7}a^{24}-\frac{1}{7}a^{23}+\frac{1}{7}a^{22}-\frac{3}{7}a^{21}-\frac{3}{7}a^{20}-\frac{1}{7}a^{18}-\frac{2}{7}a^{17}-\frac{3}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{15}+\frac{3}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}-\frac{3}{7}a^{11}-\frac{2}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a^{8}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{6}+\frac{3}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}+\frac{2}{7}a^{3}-\frac{1}{7}a-\frac{3}{7}$, $\frac{1}{7}a^{27}-\frac{2}{7}a^{24}+\frac{1}{7}a^{23}+\frac{2}{7}a^{21}-\frac{1}{7}a^{20}+\frac{3}{7}a^{19}-\frac{3}{7}a^{18}+\frac{2}{7}a^{17}-\frac{3}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{15}+\frac{2}{7}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}+\frac{2}{7}a^{12}-\frac{1}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{10}-\frac{2}{7}a^{9}-\frac{3}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{5}-\frac{1}{7}a^{3}+\frac{2}{7}a^{2}-\frac{2}{7}a+\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{28}-\frac{3}{7}a^{24}-\frac{2}{7}a^{21}-\frac{1}{7}a^{20}-\frac{1}{7}a^{19}-\frac{2}{7}a^{18}+\frac{3}{7}a^{17}-\frac{3}{7}a^{16}+\frac{2}{7}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}-\frac{2}{7}a^{12}+\frac{3}{7}a^{11}-\frac{2}{7}a^{10}+\frac{3}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{8}-\frac{3}{7}a^{7}+\frac{1}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}+\frac{3}{7}a^{2}-\frac{2}{7}a-\frac{3}{7}$, $\frac{1}{7}a^{29}+\frac{1}{7}a^{24}+\frac{2}{7}a^{22}+\frac{1}{7}a^{21}+\frac{1}{7}a^{19}-\frac{3}{7}a^{18}-\frac{1}{7}a^{17}-\frac{3}{7}a^{16}-\frac{1}{7}a^{15}-\frac{2}{7}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}-\frac{2}{7}a^{12}-\frac{3}{7}a^{11}+\frac{3}{7}a^{10}-\frac{3}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a^{8}+\frac{1}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{3}+\frac{2}{7}a^{2}+\frac{3}{7}a-\frac{1}{7}$, $\frac{1}{7}a^{30}+\frac{2}{7}a^{24}+\frac{2}{7}a^{23}+\frac{2}{7}a^{22}-\frac{3}{7}a^{21}+\frac{3}{7}a^{20}+\frac{3}{7}a^{19}+\frac{1}{7}a^{18}+\frac{1}{7}a^{17}-\frac{1}{7}a^{15}+\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{12}+\frac{1}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{1}{7}a^{9}-\frac{2}{7}a^{8}-\frac{1}{7}a^{7}+\frac{3}{7}a^{6}+\frac{1}{7}a^{4}-\frac{3}{7}a^{3}-\frac{3}{7}a^{2}-\frac{3}{7}a-\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{31}-\frac{1}{7}a^{24}+\frac{2}{7}a^{23}-\frac{1}{7}a^{22}-\frac{3}{7}a^{21}-\frac{1}{7}a^{19}-\frac{2}{7}a^{18}+\frac{1}{7}a^{17}+\frac{1}{7}a^{16}+\frac{2}{7}a^{15}+\frac{2}{7}a^{14}+\frac{2}{7}a^{12}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{3}{7}a^{6}+\frac{1}{7}a^{5}-\frac{2}{7}a^{4}+\frac{1}{7}a^{3}-\frac{1}{7}a^{2}+\frac{1}{7}a+\frac{3}{7}$, $\frac{1}{7}a^{32}-\frac{1}{7}a^{23}+\frac{3}{7}a^{22}+\frac{3}{7}a^{21}-\frac{3}{7}a^{20}-\frac{1}{7}a^{19}-\frac{1}{7}a^{18}-\frac{3}{7}a^{17}+\frac{1}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{15}+\frac{3}{7}a^{14}-\frac{1}{7}a^{13}+\frac{3}{7}a^{12}+\frac{3}{7}a^{11}+\frac{2}{7}a^{10}-\frac{2}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{3}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}-\frac{3}{7}a^{3}-\frac{2}{7}a+\frac{2}{7}$, $\frac{1}{7}a^{33}-\frac{1}{7}a^{24}+\frac{3}{7}a^{23}+\frac{3}{7}a^{22}-\frac{3}{7}a^{21}-\frac{1}{7}a^{20}-\frac{1}{7}a^{19}-\frac{3}{7}a^{18}+\frac{1}{7}a^{17}+\frac{1}{7}a^{16}+\frac{3}{7}a^{15}-\frac{1}{7}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}+\frac{3}{7}a^{12}+\frac{2}{7}a^{11}-\frac{2}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{2}{7}a^{6}-\frac{3}{7}a^{5}-\frac{3}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{2}+\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{16\!\cdots\!19}a^{34}+\frac{77\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{80\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{32}-\frac{54\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!19}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!19}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!19}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!17}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!19}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!19}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!19}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!17}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!90}{75\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{58\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!17}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!06}{23\!\cdots\!17}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!17}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{73\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!19}a^{7}+\frac{58\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!17}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a-\frac{10\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!63}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $34$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{22\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{46\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{27\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{29\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{28\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{44\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{83\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{98\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{79\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{87\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!12}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!97}{75\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{84\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!17}a+\frac{49\!\cdots\!10}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{74\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{89\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{95\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{47\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{94\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{78\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{27\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{33\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{62\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!64}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!02}{75\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{30\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!96}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{43\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!17}a+\frac{19\!\cdots\!16}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{35\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{72\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{42\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{46\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{48\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{68\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{35\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!17}a+\frac{60\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{35\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{72\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{42\!\cdots\!44}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{46\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!02}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{48\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{68\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{35\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!34}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!63}{75\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!82}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!58}{23\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!88}{23\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{75\!\cdots\!95}{23\!\cdots\!17}a+\frac{63\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{37\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{76\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{64\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{48\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{23\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{51\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{72\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{37\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!36}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!30}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{32\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a+\frac{52\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{18\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{32\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{87\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{69\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{90\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{84\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!01}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{85\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!28}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a+\frac{41\!\cdots\!58}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{31\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{63\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{37\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{40\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{61\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{32\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!38}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!19}a+\frac{63\!\cdots\!03}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{35\!\cdots\!78}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{72\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{42\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{45\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!50}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{46\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{68\!\cdots\!62}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{36\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!94}{23\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!17}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!10}{75\!\cdots\!31}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!17}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!30}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!22}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!08}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!17}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!38}{23\!\cdots\!17}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!40}{23\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!92}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!17}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!17}a+\frac{64\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{21\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{44\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{25\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{28\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{13\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{41\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{78\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{96\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{75\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{86\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{88\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{74\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{96\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!26}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!42}{23\!\cdots\!17}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{69\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!19}a+\frac{33\!\cdots\!53}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{24\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{14\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{77\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{16\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{23\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{44\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{94\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{66\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!22}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{69\!\cdots\!42}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{70\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a+\frac{27\!\cdots\!82}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{28\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{83\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{34\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{36\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{18\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{38\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{78\!\cdots\!90}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{29\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{99\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!98}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!17}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{96\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a+\frac{51\!\cdots\!38}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{96\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{81\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{43\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!68}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!04}{23\!\cdots\!17}a^{27}+\frac{24\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{39\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{69\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a-\frac{75\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{26\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{54\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{31\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{49\!\cdots\!14}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{16\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{37\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{73\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{26\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{97\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!31}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{92\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!37}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a+\frac{45\!\cdots\!79}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{18\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{54\!\cdots\!98}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{22\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{96\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!17}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{96\!\cdots\!49}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{80\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{89\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{78\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{94\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a+\frac{37\!\cdots\!15}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{21\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{47\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{26\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{31\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{44\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{81\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{85\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{99\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{78\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!19}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!08}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!42}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{76\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{63\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{82\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a+\frac{31\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{55\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{67\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{87\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{35\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{38\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!17}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!02}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!17}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!19}a+\frac{63\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{15\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{18\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!56}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{43\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!17}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{57\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{66\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{86\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!88}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!52}{23\!\cdots\!17}a^{9}+\frac{66\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!85}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!19}a+\frac{33\!\cdots\!87}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{31\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{38\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{40\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{42\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{61\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{32\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!20}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!00}{23\!\cdots\!17}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!90}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!43}{16\!\cdots\!19}a+\frac{59\!\cdots\!99}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{44\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{91\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{54\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{57\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{28\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{81\!\cdots\!24}{23\!\cdots\!17}a^{29}-\frac{87\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{47\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!46}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!86}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!70}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!77}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!19}a+\frac{87\!\cdots\!37}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{63\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{19\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!17}a^{33}-\frac{77\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!86}{23\!\cdots\!17}a^{31}+\frac{40\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{52\!\cdots\!80}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!86}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!36}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!91}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!48}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!18}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!17}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a+\frac{61\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{16\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{33\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!17}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!52}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{60\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{70\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{74\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!80}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!51}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{95\!\cdots\!70}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!66}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!12}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{72\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!96}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!74}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!48}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{85\!\cdots\!64}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!19}a+\frac{41\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{63\!\cdots\!72}{23\!\cdots\!17}a^{34}-\frac{97\!\cdots\!91}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{53\!\cdots\!04}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{65\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{28\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{86\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{33\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!17}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{29\!\cdots\!18}{23\!\cdots\!17}a^{18}+\frac{99\!\cdots\!45}{16\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!06}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!65}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!78}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!17}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!90}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!17}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!10}{23\!\cdots\!17}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!19}a+\frac{95\!\cdots\!52}{27\!\cdots\!63}$, $\frac{17\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{35\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!30}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!71}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{24\!\cdots\!32}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{64\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!01}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!40}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!24}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!17}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!11}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!11}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{63\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!17}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!16}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{90\!\cdots\!55}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!15}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!06}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!62}{16\!\cdots\!19}a+\frac{30\!\cdots\!10}{18\!\cdots\!41}$, $\frac{89\!\cdots\!14}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{18\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!17}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!56}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{57\!\cdots\!92}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!49}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{91\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!70}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!76}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{49\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!32}{23\!\cdots\!17}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!96}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!75}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!54}{23\!\cdots\!17}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!17}a^{13}+\frac{79\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{82\!\cdots\!50}{16\!\cdots\!19}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{38\!\cdots\!20}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{71\!\cdots\!60}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!84}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!83}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!08}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!26}{23\!\cdots\!17}a+\frac{15\!\cdots\!51}{18\!\cdots\!41}$, 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$\frac{14\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!02}{16\!\cdots\!19}a^{33}-\frac{17\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!19}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!00}{16\!\cdots\!19}a^{31}+\frac{94\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!19}a^{30}-\frac{33\!\cdots\!94}{16\!\cdots\!19}a^{29}-\frac{28\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!19}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!54}{16\!\cdots\!19}a^{27}+\frac{54\!\cdots\!28}{16\!\cdots\!19}a^{26}+\frac{55\!\cdots\!99}{16\!\cdots\!19}a^{25}-\frac{95\!\cdots\!76}{23\!\cdots\!17}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!16}{23\!\cdots\!17}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!19}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!07}{16\!\cdots\!19}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!19}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!29}{16\!\cdots\!19}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!44}{53\!\cdots\!17}a^{16}-\frac{84\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!19}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!05}{16\!\cdots\!19}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!66}{16\!\cdots\!19}a^{12}-\frac{78\!\cdots\!13}{16\!\cdots\!19}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!34}{16\!\cdots\!19}a^{10}+\frac{79\!\cdots\!44}{16\!\cdots\!19}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!46}{16\!\cdots\!19}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!10}{16\!\cdots\!19}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!19}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!19}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!19}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!27}{16\!\cdots\!19}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!19}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!19}a+\frac{14\!\cdots\!88}{18\!\cdots\!41}$, 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|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{35}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 8063096359873239000000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{1455622807785591094953547155658149343464416905925495778881639129313848614446169}}\cr\approx \mathstrut & 0.114814642169343 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^35 - 2*x^34 - 121*x^33 + 124*x^32 + 6435*x^31 - 1020*x^30 - 195036*x^29 - 112597*x^28 + 3683986*x^27 + 4452851*x^26 - 44769607*x^25 - 80359740*x^24 + 347984933*x^23 + 850835561*x^22 - 1630509423*x^21 - 5621246939*x^20 + 3615565971*x^19 + 23234081997*x^18 + 3088781711*x^17 - 57619940147*x^16 - 39347873390*x^15 + 76695393961*x^14 + 92864249975*x^13 - 38675667681*x^12 - 94158719636*x^11 - 10380297650*x^10 + 42855721796*x^9 + 16263455858*x^8 - 7226936109*x^7 - 4634581071*x^6 - 47622511*x^5 + 349101928*x^4 + 70736582*x^3 + 5060011*x^2 + 136327*x + 859);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 35 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$ |
| Character table for $C_{35}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{11})^+\), 7.7.6321363049.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $35$ | $35$ | $35$ | ${\href{/padicField/7.5.0.1}{5} }^{7}$ | R | $35$ | $35$ | $35$ | ${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{5}$ | $35$ | $35$ | ${\href{/padicField/37.5.0.1}{5} }^{7}$ | $35$ | R | $35$ | $35$ | $35$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(11\)
| Deg $35$ | $5$ | $7$ | $28$ | |||
|
\(43\)
| 43.7.6.1 | $x^{7} + 43$ | $7$ | $1$ | $6$ | $C_7$ | $[\ ]_{7}$ |
| 43.7.6.1 | $x^{7} + 43$ | $7$ | $1$ | $6$ | $C_7$ | $[\ ]_{7}$ | |
| 43.7.6.1 | $x^{7} + 43$ | $7$ | $1$ | $6$ | $C_7$ | $[\ ]_{7}$ | |
| 43.7.6.1 | $x^{7} + 43$ | $7$ | $1$ | $6$ | $C_7$ | $[\ ]_{7}$ | |
| 43.7.6.1 | $x^{7} + 43$ | $7$ | $1$ | $6$ | $C_7$ | $[\ ]_{7}$ |