↑

Properties

Label 35.35.1264093042...9761.3
Degree $35$
Signature $[35, 0]$
Discriminant $11^{28}\cdot 71^{34}$
Root discriminant $428.04$
Ramified primes $11, 71$
Class number $5$ (GRH)
Class group $[5]$ (GRH)
Galois group $C_{35}$ (as 35T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![26825251953125, -1526617836093750, 22106764555181250, -69199250340085625, 48451033704977875, 88155825611539800, -128875911473035575, -25418996200662981, 110658425051062629, -16526681995068582, -51293588370254988, 16180433463310790, 14883656073565122, -6371608271240383, -2901002331604206, 1519547919984606, 395369814537955, -244180261677833, -38620988612168, 27657159444349, 2747314382206, -2252399370560, -143747356164, 132537042001, 5553139657, -5594925182, -157145080, 166192339, 3156114, -3353817, -41818, 43270, 317, -318, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3353817*x^29 + 3156114*x^28 + 166192339*x^27 - 157145080*x^26 - 5594925182*x^25 + 5553139657*x^24 + 132537042001*x^23 - 143747356164*x^22 - 2252399370560*x^21 + 2747314382206*x^20 + 27657159444349*x^19 - 38620988612168*x^18 - 244180261677833*x^17 + 395369814537955*x^16 + 1519547919984606*x^15 - 2901002331604206*x^14 - 6371608271240383*x^13 + 14883656073565122*x^12 + 16180433463310790*x^11 - 51293588370254988*x^10 - 16526681995068582*x^9 + 110658425051062629*x^8 - 25418996200662981*x^7 - 128875911473035575*x^6 + 88155825611539800*x^5 + 48451033704977875*x^4 - 69199250340085625*x^3 + 22106764555181250*x^2 - 1526617836093750*x + 26825251953125)
 
gp: K = bnfinit(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3353817*x^29 + 3156114*x^28 + 166192339*x^27 - 157145080*x^26 - 5594925182*x^25 + 5553139657*x^24 + 132537042001*x^23 - 143747356164*x^22 - 2252399370560*x^21 + 2747314382206*x^20 + 27657159444349*x^19 - 38620988612168*x^18 - 244180261677833*x^17 + 395369814537955*x^16 + 1519547919984606*x^15 - 2901002331604206*x^14 - 6371608271240383*x^13 + 14883656073565122*x^12 + 16180433463310790*x^11 - 51293588370254988*x^10 - 16526681995068582*x^9 + 110658425051062629*x^8 - 25418996200662981*x^7 - 128875911473035575*x^6 + 88155825611539800*x^5 + 48451033704977875*x^4 - 69199250340085625*x^3 + 22106764555181250*x^2 - 1526617836093750*x + 26825251953125, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{35} - x^{34} - 318 x^{33} + 317 x^{32} + 43270 x^{31} - 41818 x^{30} - 3353817 x^{29} + 3156114 x^{28} + 166192339 x^{27} - 157145080 x^{26} - 5594925182 x^{25} + 5553139657 x^{24} + 132537042001 x^{23} - 143747356164 x^{22} - 2252399370560 x^{21} + 2747314382206 x^{20} + 27657159444349 x^{19} - 38620988612168 x^{18} - 244180261677833 x^{17} + 395369814537955 x^{16} + 1519547919984606 x^{15} - 2901002331604206 x^{14} - 6371608271240383 x^{13} + 14883656073565122 x^{12} + 16180433463310790 x^{11} - 51293588370254988 x^{10} - 16526681995068582 x^{9} + 110658425051062629 x^{8} - 25418996200662981 x^{7} - 128875911473035575 x^{6} + 88155825611539800 x^{5} + 48451033704977875 x^{4} - 69199250340085625 x^{3} + 22106764555181250 x^{2} - 1526617836093750 x + 26825251953125 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $35$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[35, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(126409304214415502952719093782014439397796172025041680505851154261799578037610144929882069761=11^{28}\cdot 71^{34}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $428.04$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $11, 71$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(781=11\cdot 71\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{781}(768,·)$, $\chi_{781}(1,·)$, $\chi_{781}(522,·)$, $\chi_{781}(529,·)$, $\chi_{781}(146,·)$, $\chi_{781}(147,·)$, $\chi_{781}(152,·)$, $\chi_{781}(324,·)$, $\chi_{781}(169,·)$, $\chi_{781}(45,·)$, $\chi_{781}(432,·)$, $\chi_{781}(696,·)$, $\chi_{781}(60,·)$, $\chi_{781}(445,·)$, $\chi_{781}(576,·)$, $\chi_{781}(322,·)$, $\chi_{781}(196,·)$, $\chi_{781}(455,·)$, $\chi_{781}(333,·)$, $\chi_{781}(463,·)$, $\chi_{781}(80,·)$, $\chi_{781}(86,·)$, $\chi_{781}(474,·)$, $\chi_{781}(476,·)$, $\chi_{781}(357,·)$, $\chi_{781}(592,·)$, $\chi_{781}(229,·)$, $\chi_{781}(444,·)$, $\chi_{781}(746,·)$, $\chi_{781}(367,·)$, $\chi_{781}(114,·)$, $\chi_{781}(243,·)$, $\chi_{781}(500,·)$, $\chi_{781}(375,·)$, $\chi_{781}(632,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{2}$, $\frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{3}$, $\frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{4}$, $\frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{25} a^{10} - \frac{2}{25} a^{6} + \frac{1}{25} a^{2}$, $\frac{1}{25} a^{11} - \frac{2}{25} a^{7} + \frac{1}{25} a^{3}$, $\frac{1}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{8} + \frac{1}{25} a^{4}$, $\frac{1}{25} a^{13} - \frac{2}{25} a^{9} + \frac{1}{25} a^{5}$, $\frac{1}{125} a^{14} + \frac{2}{125} a^{13} - \frac{1}{125} a^{12} - \frac{2}{125} a^{11} - \frac{2}{125} a^{10} + \frac{1}{125} a^{9} + \frac{12}{125} a^{8} - \frac{1}{125} a^{7} - \frac{9}{125} a^{6} - \frac{3}{125} a^{5} - \frac{11}{125} a^{4} + \frac{3}{125} a^{3} + \frac{2}{25} a^{2}$, $\frac{1}{125} a^{15} + \frac{2}{125} a^{11} - \frac{7}{125} a^{7} + \frac{4}{125} a^{3}$, $\frac{1}{125} a^{16} + \frac{2}{125} a^{12} - \frac{7}{125} a^{8} + \frac{4}{125} a^{4}$, $\frac{1}{125} a^{17} + \frac{2}{125} a^{13} - \frac{7}{125} a^{9} + \frac{4}{125} a^{5}$, $\frac{1}{625} a^{18} - \frac{1}{625} a^{17} + \frac{2}{625} a^{16} + \frac{2}{625} a^{15} + \frac{1}{625} a^{14} + \frac{11}{625} a^{13} + \frac{2}{125} a^{12} + \frac{1}{625} a^{11} + \frac{1}{125} a^{10} + \frac{26}{625} a^{9} + \frac{39}{625} a^{8} - \frac{53}{625} a^{7} + \frac{43}{625} a^{6} - \frac{36}{625} a^{5} - \frac{176}{625} a^{4} - \frac{8}{25} a^{3} + \frac{3}{25} a^{2} + \frac{2}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{19} + \frac{1}{625} a^{17} - \frac{1}{625} a^{16} - \frac{2}{625} a^{15} + \frac{2}{625} a^{14} + \frac{1}{625} a^{13} + \frac{11}{625} a^{12} - \frac{9}{625} a^{11} + \frac{1}{625} a^{10} + \frac{11}{125} a^{9} + \frac{26}{625} a^{8} - \frac{8}{125} a^{7} - \frac{53}{625} a^{6} - \frac{57}{625} a^{5} + \frac{214}{625} a^{4} - \frac{3}{25} a^{3} - \frac{8}{25} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{625} a^{20} + \frac{1}{625} a^{16} - \frac{9}{625} a^{12} + \frac{11}{625} a^{8} - \frac{4}{625} a^{4}$, $\frac{1}{625} a^{21} + \frac{1}{625} a^{17} - \frac{9}{625} a^{13} + \frac{11}{625} a^{9} - \frac{4}{625} a^{5}$, $\frac{1}{3125} a^{22} - \frac{1}{3125} a^{21} + \frac{2}{3125} a^{20} + \frac{2}{3125} a^{19} - \frac{8}{3125} a^{17} + \frac{3}{3125} a^{16} + \frac{9}{3125} a^{15} - \frac{11}{3125} a^{14} - \frac{1}{625} a^{13} + \frac{9}{3125} a^{12} - \frac{29}{3125} a^{11} - \frac{57}{3125} a^{10} + \frac{213}{3125} a^{9} + \frac{38}{625} a^{8} - \frac{277}{3125} a^{7} - \frac{83}{3125} a^{6} - \frac{74}{3125} a^{5} + \frac{1046}{3125} a^{4} - \frac{66}{625} a^{3} - \frac{44}{125} a^{2} + \frac{4}{25} a$, $\frac{1}{15625} a^{23} - \frac{1}{15625} a^{22} + \frac{2}{15625} a^{21} + \frac{7}{15625} a^{20} + \frac{1}{3125} a^{19} - \frac{3}{15625} a^{18} + \frac{28}{15625} a^{17} - \frac{56}{15625} a^{16} - \frac{61}{15625} a^{15} - \frac{8}{3125} a^{14} + \frac{144}{15625} a^{13} + \frac{306}{15625} a^{12} + \frac{278}{15625} a^{11} + \frac{93}{15625} a^{10} + \frac{24}{3125} a^{9} + \frac{528}{15625} a^{8} - \frac{273}{15625} a^{7} + \frac{1451}{15625} a^{6} - \frac{919}{15625} a^{5} - \frac{157}{3125} a^{4} + \frac{2}{625} a^{3} - \frac{12}{125} a^{2} + \frac{1}{25} a$, $\frac{1}{15625} a^{24} + \frac{1}{15625} a^{22} + \frac{9}{15625} a^{21} + \frac{12}{15625} a^{20} + \frac{2}{15625} a^{19} - \frac{3}{15625} a^{17} - \frac{42}{15625} a^{16} - \frac{26}{15625} a^{15} - \frac{46}{15625} a^{14} - \frac{3}{625} a^{13} + \frac{84}{15625} a^{12} + \frac{221}{15625} a^{11} - \frac{287}{15625} a^{10} - \frac{127}{15625} a^{9} + \frac{256}{3125} a^{8} - \frac{122}{15625} a^{7} - \frac{1293}{15625} a^{6} - \frac{429}{15625} a^{5} + \frac{358}{3125} a^{4} + \frac{247}{625} a^{3} - \frac{12}{125} a^{2} - \frac{9}{25} a$, $\frac{1}{15625} a^{25} - \frac{1}{3125} a^{21} + \frac{2}{3125} a^{17} - \frac{2}{3125} a^{13} + \frac{1}{3125} a^{9} - \frac{626}{15625} a^{5} + \frac{1}{25} a$, $\frac{1}{78125} a^{26} - \frac{1}{78125} a^{25} + \frac{1}{78125} a^{24} - \frac{2}{78125} a^{23} - \frac{12}{78125} a^{22} + \frac{9}{15625} a^{21} + \frac{53}{78125} a^{20} - \frac{53}{78125} a^{19} + \frac{41}{78125} a^{18} - \frac{14}{78125} a^{17} + \frac{38}{15625} a^{16} - \frac{144}{78125} a^{15} - \frac{141}{78125} a^{14} - \frac{153}{78125} a^{13} + \frac{1432}{78125} a^{12} - \frac{84}{15625} a^{11} - \frac{1173}{78125} a^{10} + \frac{4923}{78125} a^{9} + \frac{849}{78125} a^{8} - \frac{3256}{78125} a^{7} - \frac{1841}{78125} a^{6} - \frac{67}{3125} a^{5} - \frac{226}{3125} a^{4} - \frac{269}{625} a^{3} + \frac{2}{25} a^{2} + \frac{11}{25} a$, $\frac{1}{78125} a^{27} - \frac{1}{78125} a^{24} + \frac{1}{78125} a^{23} - \frac{7}{78125} a^{22} + \frac{28}{78125} a^{21} + \frac{11}{15625} a^{20} + \frac{13}{78125} a^{19} - \frac{18}{78125} a^{18} + \frac{46}{78125} a^{17} - \frac{244}{78125} a^{16} - \frac{7}{3125} a^{15} + \frac{6}{78125} a^{14} - \frac{1561}{78125} a^{13} - \frac{248}{78125} a^{12} + \frac{1427}{78125} a^{11} - \frac{186}{15625} a^{10} + \frac{2747}{78125} a^{9} + \frac{763}{78125} a^{8} - \frac{5392}{78125} a^{7} - \frac{4051}{78125} a^{6} + \frac{373}{15625} a^{5} + \frac{237}{3125} a^{4} - \frac{117}{625} a^{3} - \frac{2}{125} a^{2} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{390625} a^{28} - \frac{1}{390625} a^{27} + \frac{9}{390625} a^{25} + \frac{2}{390625} a^{24} + \frac{7}{390625} a^{23} + \frac{4}{78125} a^{22} + \frac{257}{390625} a^{21} + \frac{188}{390625} a^{20} + \frac{44}{390625} a^{19} - \frac{106}{390625} a^{18} - \frac{4}{78125} a^{17} + \frac{354}{390625} a^{16} - \frac{359}{390625} a^{15} + \frac{1458}{390625} a^{14} - \frac{3377}{390625} a^{13} + \frac{528}{78125} a^{12} - \frac{1437}{390625} a^{11} + \frac{6322}{390625} a^{10} - \frac{5009}{390625} a^{9} - \frac{2472}{78125} a^{8} - \frac{26129}{390625} a^{7} - \frac{30194}{390625} a^{6} - \frac{3997}{78125} a^{5} + \frac{3117}{15625} a^{4} - \frac{52}{3125} a^{3} - \frac{74}{625} a^{2} + \frac{4}{25} a$, $\frac{1}{1953125} a^{29} - \frac{1}{1953125} a^{28} + \frac{1}{390625} a^{27} + \frac{9}{1953125} a^{26} - \frac{23}{1953125} a^{25} + \frac{52}{1953125} a^{24} + \frac{2}{78125} a^{23} - \frac{128}{1953125} a^{22} + \frac{1328}{1953125} a^{21} - \frac{1531}{1953125} a^{20} + \frac{1309}{1953125} a^{19} + \frac{213}{390625} a^{18} + \frac{1384}{1953125} a^{17} - \frac{4329}{1953125} a^{16} + \frac{5633}{1953125} a^{15} + \frac{5603}{1953125} a^{14} + \frac{5612}{390625} a^{13} - \frac{34827}{1953125} a^{12} - \frac{32668}{1953125} a^{11} - \frac{29684}{1953125} a^{10} + \frac{1896}{78125} a^{9} + \frac{29261}{1953125} a^{8} - \frac{41829}{1953125} a^{7} + \frac{21502}{390625} a^{6} - \frac{2876}{78125} a^{5} - \frac{3059}{15625} a^{4} - \frac{152}{3125} a^{3} - \frac{26}{625} a^{2} + \frac{7}{25} a$, $\frac{1}{1953125} a^{30} - \frac{1}{1953125} a^{28} - \frac{6}{1953125} a^{27} + \frac{11}{1953125} a^{26} - \frac{41}{1953125} a^{25} + \frac{17}{1953125} a^{24} + \frac{62}{1953125} a^{23} - \frac{1}{78125} a^{22} - \frac{1063}{1953125} a^{21} + \frac{913}{1953125} a^{20} + \frac{254}{1953125} a^{19} + \frac{579}{1953125} a^{18} - \frac{894}{390625} a^{17} - \frac{3366}{1953125} a^{16} + \frac{5556}{1953125} a^{15} + \frac{6573}{1953125} a^{14} - \frac{3057}{1953125} a^{13} - \frac{4414}{390625} a^{12} + \frac{18033}{1953125} a^{11} + \frac{12281}{1953125} a^{10} + \frac{81356}{1953125} a^{9} + \frac{20257}{1953125} a^{8} + \frac{51101}{1953125} a^{7} - \frac{38259}{390625} a^{6} - \frac{3409}{78125} a^{5} + \frac{334}{15625} a^{4} - \frac{9}{125} a^{3} + \frac{43}{625} a^{2} + \frac{1}{25} a$, $\frac{1}{9765625} a^{31} - \frac{1}{9765625} a^{30} - \frac{1}{9765625} a^{29} + \frac{12}{9765625} a^{27} - \frac{2}{9765625} a^{26} - \frac{72}{9765625} a^{25} - \frac{29}{1953125} a^{24} + \frac{98}{9765625} a^{23} - \frac{1413}{9765625} a^{22} + \frac{6886}{9765625} a^{21} - \frac{3319}{9765625} a^{20} - \frac{1271}{1953125} a^{19} - \frac{4279}{9765625} a^{18} - \frac{16946}{9765625} a^{17} - \frac{28308}{9765625} a^{16} + \frac{32647}{9765625} a^{15} - \frac{5453}{1953125} a^{14} - \frac{134423}{9765625} a^{13} - \frac{154597}{9765625} a^{12} - \frac{153437}{9765625} a^{11} + \frac{34657}{1953125} a^{10} - \frac{80119}{9765625} a^{9} - \frac{273381}{9765625} a^{8} + \frac{925159}{9765625} a^{7} - \frac{19988}{390625} a^{6} + \frac{33487}{390625} a^{5} - \frac{8147}{78125} a^{4} - \frac{6382}{15625} a^{3} - \frac{37}{3125} a^{2} - \frac{42}{125} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{9765625} a^{32} - \frac{2}{9765625} a^{30} - \frac{1}{9765625} a^{29} + \frac{12}{9765625} a^{28} + \frac{2}{1953125} a^{27} + \frac{51}{9765625} a^{26} + \frac{283}{9765625} a^{25} + \frac{78}{9765625} a^{24} + \frac{62}{1953125} a^{23} - \frac{1027}{9765625} a^{22} - \frac{2683}{9765625} a^{21} + \frac{3826}{9765625} a^{20} + \frac{1491}{9765625} a^{19} - \frac{244}{390625} a^{18} + \frac{21121}{9765625} a^{17} + \frac{7464}{9765625} a^{16} + \frac{1132}{9765625} a^{15} - \frac{16813}{9765625} a^{14} - \frac{33879}{1953125} a^{13} - \frac{36534}{9765625} a^{12} + \frac{63598}{9765625} a^{11} + \frac{80291}{9765625} a^{10} + \frac{1094}{15625} a^{9} - \frac{798972}{9765625} a^{8} + \frac{403459}{9765625} a^{7} - \frac{17131}{390625} a^{6} + \frac{37802}{390625} a^{5} + \frac{28618}{78125} a^{4} - \frac{4742}{15625} a^{3} - \frac{137}{3125} a^{2} + \frac{13}{125} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{4206736181640625} a^{33} - \frac{66661356}{4206736181640625} a^{32} - \frac{102263227}{4206736181640625} a^{31} - \frac{75499414}{4206736181640625} a^{30} + \frac{537927468}{4206736181640625} a^{29} + \frac{2013972213}{4206736181640625} a^{28} + \frac{2394987516}{4206736181640625} a^{27} + \frac{18473188602}{4206736181640625} a^{26} - \frac{19822655899}{841347236328125} a^{25} - \frac{36208139408}{4206736181640625} a^{24} - \frac{44031380887}{4206736181640625} a^{23} - \frac{438520532646}{4206736181640625} a^{22} + \frac{133100090049}{4206736181640625} a^{21} - \frac{230522089668}{841347236328125} a^{20} + \frac{1341176025579}{4206736181640625} a^{19} - \frac{2097303138654}{4206736181640625} a^{18} - \frac{3964240137512}{4206736181640625} a^{17} + \frac{8242316388723}{4206736181640625} a^{16} + \frac{327495495379}{841347236328125} a^{15} + \frac{9926665014358}{4206736181640625} a^{14} + \frac{33833974371461}{4206736181640625} a^{13} + \frac{9804928978027}{4206736181640625} a^{12} - \frac{74998503567322}{4206736181640625} a^{11} - \frac{69191558629821}{4206736181640625} a^{10} - \frac{155777574195172}{4206736181640625} a^{9} - \frac{416487109384484}{4206736181640625} a^{8} + \frac{17677333748321}{4206736181640625} a^{7} - \frac{9800466939597}{168269447265625} a^{6} + \frac{5402180270553}{168269447265625} a^{5} - \frac{8731895835368}{33653889453125} a^{4} + \frac{2960416400617}{6730777890625} a^{3} - \frac{337321774753}{1346155578125} a^{2} - \frac{10935397618}{53846223125} a + \frac{791332911}{2153848925}$, $\frac{1}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{34} + \frac{2465409679843878644200492837797878188316991553879611915439814658964033505090973509848990461077063394032484501193289916543132802567388871867883}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{33} + \frac{29269390996405585336183921864269006286015636554464256218017802684582727499325250825712121986783334232354326412845704386698371919129221262727466938373629}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{32} - \frac{7518999165046554966554145946640378713126109265727633933444718483363001211240451847044488663537075359341600865314177154067318818785425849076033523169822}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{31} - \frac{136464066143680402717069071420668574475847680686115999838025100316696231888805694049006731545868103742781268412771594438915508808858970628611305829737878}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{30} + \frac{27665901229683242711974650027626095914121415302649734198861948944738485989956251513550949286479598074676954437263183605011818607434825563336146256829326}{118264130635357122313053125356126941505767671257181528020690609551834766971428747852772585094978325536482300997987370480998287847879794072572758080723681640625} a^{29} - \frac{512272580499028209989630392830255727836230545741954537097206409177950995598136595515366624657360479204917571108922037404452574562744325840309920770638472}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{28} + \frac{2154078971621018839798708673744567197591646031086065455767252902375306700670975257509880180000097814436740519187306273285167182938622584635953256502488266}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{27} + \frac{2284922807383846826621172554228528672206202606053976076732790084745305474616525638722781054832470867102562138859997424949211669440304810243405521567094608}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{26} + \frac{1021739986499555868800495866751452411872651718720742646984379038241932926101549554895349384128066618920146690550926616934446083963229415666674228333188342}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{25} + \frac{17387709815514164758864044841542134871355593506568912158427987279791651229076763537502913255597705733044935371069634904068574483605505638061118813096604746}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{24} - \frac{18090448720246129834858748727690938736770047923040243562213409915563871320760830256942071457974689910102119801338971348260649738867237513522781500136826654}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{23} - \frac{14317418912423120428216205226828841147994365023012386451500484693211469273444465203468131252728897769014341517776948379904513061167362382956376420802798477}{118264130635357122313053125356126941505767671257181528020690609551834766971428747852772585094978325536482300997987370480998287847879794072572758080723681640625} a^{22} + \frac{329431478925624468588605020305295696764562638090253515137226922990664310374361319608831492073798555631310800039905762815623164404005624765176424561709718846}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{21} - \frac{460522519843057541609345157672812551373187530671132463065801872412325470631972530762842238630235365053678277749561085697233775571765829995979954898023944671}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{20} - \frac{1335907901525314110910382625134228796226067781885677881374143052570758056516650735626989062120394588358214689606352730567375775060822682309764157621297508}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{19} - \frac{249956541937302433589136351003829664695127022610127308541489645776304987351251730606991261120964026269349683240519006090725721697689488276480380497134192398}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{18} - \frac{8032334989705670123034297602236361631606602965822592732905796101205798020331044579448095104587401348630634473760227015756087938717481769314009949728749219}{4730565225414284892522125014245077660230706850287261120827624382073390678857149914110903403799133021459292039919494819239931513915191762902910323228947265625} a^{17} + \frac{481805578114363916752411240667359964949916345427866902308650048910703848655939336715916174613422966033604239525577973198325911204653281487944748596007501867}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{16} + \frac{1330836555969651492975933645258792920579370150354552787201100611922228762092727832083841571720116779284451326179467054877463124240167016199225295888760535183}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{15} - \frac{1699567109850584101414553966589311326420232405424827498791778982765899977038475472933428660592401556609451661492965192537691105506304912545875107684229316847}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{14} + \frac{6387914915351328241193166193287101111604719211864319341865547070199833578889673948180796914907577395818773814091562171414516418937236424218249439193968410821}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{13} + \frac{1387529792513725833545951462454749845989977925412163067766947064753429786342135661700594612340579572544904638008312642723568570399680404859177849680876337756}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{12} - \frac{9776340361081299889028653456034909554905249438559553692206862229865219182075654066981557497661007006346250550441139857235271380589880045426384693420417128874}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{11} + \frac{5523699324247150661506575111017735926748545711844912227803035213367845460345149673149888801624551104304334260108881994290509985477618123076008207624580460399}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{10} + \frac{31841879500907438465502817632246054748835459231493220839917710826453880740216174726256626613067491986201041117677779510785756246416141102149054785812907431803}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{9} + \frac{2917196341110494438956432153307972988165860027067521008539162326066100508761011874002768051435641147583632449565047566072763485107124701130825672168769715204}{118264130635357122313053125356126941505767671257181528020690609551834766971428747852772585094978325536482300997987370480998287847879794072572758080723681640625} a^{8} - \frac{52495426273648012413757770514941886153883713125036714313311437828132428127701130889408247738396537739302859595318712748018036620465072998489043928849988486841}{591320653176785611565265626780634707528838356285907640103453047759173834857143739263862925474891627682411504989936852404991439239398970362863790403618408203125} a^{7} - \frac{329434911682869379803184574954230870425327633339599087480576546378785931575155736342343699602873094694473096625124868961962043898121359982495077476125066874}{4730565225414284892522125014245077660230706850287261120827624382073390678857149914110903403799133021459292039919494819239931513915191762902910323228947265625} a^{6} + \frac{2248931942861349225060973394968436019473819773218199646038794605963975814023403417146593828399926554052099148694534870400368125124936903003104889868537078397}{23652826127071424462610625071225388301153534251436305604138121910366953394285749570554517018995665107296460199597474096199657569575958814514551616144736328125} a^{5} + \frac{1177861997062727555434421049737548256803321764906050732668044791542732970034507572918330198293318554074367708292050528774488861873285780679504803036082319663}{4730565225414284892522125014245077660230706850287261120827624382073390678857149914110903403799133021459292039919494819239931513915191762902910323228947265625} a^{4} + \frac{395815013385362094729722607017996152875286285726014491690074207535566696717810696475360364604631443345042271466519033213472384813579936512583631391965962428}{946113045082856978504425002849015532046141370057452224165524876414678135771429982822180680759826604291858407983898963847986302783038352580582064645789453125} a^{3} - \frac{13364929792356112220853315177298314192367901467820704431201038743843552668435907239561224872874986067238232712580673350394690044251277553654724107853870437}{189222609016571395700885000569803106409228274011490444833104975282935627154285996564436136151965320858371681596779792769597260556607670516116412929157890625} a^{2} + \frac{2855758908668604934713473333772955270659718671408836863311935744611811877472494742758583636601199289452486408297616042510303602473205196666664016209035228}{7568904360662855828035400022792124256369130960459617793324199011317425086171439862577445446078612834334867263871191710783890422264306820644656517166315625} a + \frac{91241860082313651277166672019803783428234608645424941777891939486257192788301291148176091499956736735061966247116384273467990696524373942603980125474019}{302756174426514233121416000911684970254765238418384711732967960452697003446857594503097817843144513373394690554847668431355616890572272825786260686652625}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{5}$, which has order $5$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $34$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 36127925528854230000000000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{35}$ (as 35T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 35
The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$
Character table for $C_{35}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.372052421521.1, 7.7.128100283921.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $35$ ${\href{/LocalNumberField/3.7.0.1}{7} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/5.1.0.1}{1} }^{35}$ $35$ R $35$ ${\href{/LocalNumberField/17.5.0.1}{5} }^{7}$ ${\href{/LocalNumberField/19.7.0.1}{7} }^{5}$ ${\href{/LocalNumberField/23.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
11Data not computed
71Data not computed