↑

Properties

Label 35.35.1264093042...9761.2
Degree $35$
Signature $[35, 0]$
Discriminant $11^{28}\cdot 71^{34}$
Root discriminant $428.04$
Ramified primes $11, 71$
Class number $5$ (GRH)
Class group $[5]$ (GRH)
Galois group $C_{35}$ (as 35T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![570788981531, 1694951868683, -15190639870341, -27752306968552, 158731707572343, 127806137756499, -820763459240694, -31527404480477, 2069849763180324, -924309789556182, -2309930700089253, 1617541808283635, 1277269182336892, -1135196506881278, -407573882251178, 433154733639634, 83452569029724, -101072209771211, -11690419597357, 15303293963931, 1156997268458, -1551807041244, -81468720613, 106965005797, 4032403792, -5023426089, -136621962, 159164901, 3042088, -3317891, -41818, 43270, 317, -318, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531)
 
gp: K = bnfinit(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{35} - x^{34} - 318 x^{33} + 317 x^{32} + 43270 x^{31} - 41818 x^{30} - 3317891 x^{29} + 3042088 x^{28} + 159164901 x^{27} - 136621962 x^{26} - 5023426089 x^{25} + 4032403792 x^{24} + 106965005797 x^{23} - 81468720613 x^{22} - 1551807041244 x^{21} + 1156997268458 x^{20} + 15303293963931 x^{19} - 11690419597357 x^{18} - 101072209771211 x^{17} + 83452569029724 x^{16} + 433154733639634 x^{15} - 407573882251178 x^{14} - 1135196506881278 x^{13} + 1277269182336892 x^{12} + 1617541808283635 x^{11} - 2309930700089253 x^{10} - 924309789556182 x^{9} + 2069849763180324 x^{8} - 31527404480477 x^{7} - 820763459240694 x^{6} + 127806137756499 x^{5} + 158731707572343 x^{4} - 27752306968552 x^{3} - 15190639870341 x^{2} + 1694951868683 x + 570788981531 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $35$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[35, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(126409304214415502952719093782014439397796172025041680505851154261799578037610144929882069761=11^{28}\cdot 71^{34}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $428.04$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $11, 71$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(781=11\cdot 71\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{781}(1,·)$, $\chi_{781}(642,·)$, $\chi_{781}(515,·)$, $\chi_{781}(774,·)$, $\chi_{781}(647,·)$, $\chi_{781}(267,·)$, $\chi_{781}(526,·)$, $\chi_{781}(529,·)$, $\chi_{781}(643,·)$, $\chi_{781}(148,·)$, $\chi_{781}(663,·)$, $\chi_{781}(664,·)$, $\chi_{781}(412,·)$, $\chi_{781}(157,·)$, $\chi_{781}(36,·)$, $\chi_{781}(38,·)$, $\chi_{781}(300,·)$, $\chi_{781}(45,·)$, $\chi_{781}(49,·)$, $\chi_{781}(243,·)$, $\chi_{781}(438,·)$, $\chi_{781}(185,·)$, $\chi_{781}(58,·)$, $\chi_{781}(192,·)$, $\chi_{781}(577,·)$, $\chi_{781}(202,·)$, $\chi_{781}(587,·)$, $\chi_{781}(463,·)$, $\chi_{781}(466,·)$, $\chi_{781}(474,·)$, $\chi_{781}(223,·)$, $\chi_{781}(240,·)$, $\chi_{781}(499,·)$, $\chi_{781}(375,·)$, $\chi_{781}(218,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{17} a^{15} - \frac{1}{17} a^{14} - \frac{3}{17} a^{13} + \frac{7}{17} a^{12} + \frac{5}{17} a^{11} + \frac{1}{17} a^{10} - \frac{4}{17} a^{9} - \frac{1}{17} a^{7} + \frac{1}{17} a^{6} + \frac{3}{17} a^{5} - \frac{7}{17} a^{4} - \frac{5}{17} a^{3} - \frac{1}{17} a^{2} + \frac{4}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{16} - \frac{4}{17} a^{14} + \frac{4}{17} a^{13} - \frac{5}{17} a^{12} + \frac{6}{17} a^{11} - \frac{3}{17} a^{10} - \frac{4}{17} a^{9} - \frac{1}{17} a^{8} + \frac{4}{17} a^{6} - \frac{4}{17} a^{5} + \frac{5}{17} a^{4} - \frac{6}{17} a^{3} + \frac{3}{17} a^{2} + \frac{4}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{17} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{18} - \frac{1}{17} a^{2}$, $\frac{1}{17} a^{19} - \frac{1}{17} a^{3}$, $\frac{1}{17} a^{20} - \frac{1}{17} a^{4}$, $\frac{1}{17} a^{21} - \frac{1}{17} a^{5}$, $\frac{1}{17} a^{22} - \frac{1}{17} a^{6}$, $\frac{1}{289} a^{23} + \frac{4}{289} a^{22} + \frac{7}{289} a^{21} - \frac{5}{289} a^{20} - \frac{5}{289} a^{19} - \frac{2}{289} a^{18} + \frac{6}{289} a^{17} + \frac{1}{289} a^{16} - \frac{8}{289} a^{15} - \frac{132}{289} a^{14} + \frac{11}{289} a^{13} - \frac{95}{289} a^{12} - \frac{7}{17} a^{11} + \frac{74}{289} a^{10} - \frac{74}{289} a^{9} - \frac{18}{289} a^{8} + \frac{126}{289} a^{7} + \frac{43}{289} a^{6} + \frac{118}{289} a^{5} + \frac{66}{289} a^{4} + \frac{5}{289} a^{3} + \frac{47}{289} a^{2} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{24} + \frac{8}{289} a^{22} + \frac{1}{289} a^{21} - \frac{2}{289} a^{20} + \frac{1}{289} a^{19} - \frac{3}{289} a^{18} - \frac{6}{289} a^{17} + \frac{5}{289} a^{16} + \frac{2}{289} a^{15} + \frac{80}{289} a^{14} - \frac{88}{289} a^{13} + \frac{23}{289} a^{12} + \frac{6}{289} a^{11} - \frac{30}{289} a^{10} + \frac{91}{289} a^{9} - \frac{108}{289} a^{8} + \frac{15}{289} a^{7} + \frac{99}{289} a^{6} + \frac{87}{289} a^{5} - \frac{4}{289} a^{4} + \frac{10}{289} a^{3} + \frac{50}{289} a^{2} - \frac{3}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{25} + \frac{3}{289} a^{22} - \frac{7}{289} a^{21} + \frac{7}{289} a^{20} + \frac{3}{289} a^{19} - \frac{7}{289} a^{18} + \frac{8}{289} a^{17} - \frac{6}{289} a^{16} + \frac{8}{289} a^{15} - \frac{52}{289} a^{14} + \frac{54}{289} a^{13} + \frac{103}{289} a^{12} - \frac{47}{289} a^{11} - \frac{59}{289} a^{10} - \frac{128}{289} a^{9} - \frac{130}{289} a^{8} + \frac{94}{289} a^{7} - \frac{138}{289} a^{6} + \frac{38}{289} a^{5} - \frac{110}{289} a^{4} - \frac{143}{289} a^{3} + \frac{15}{289} a^{2} + \frac{7}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{26} - \frac{2}{289} a^{22} + \frac{3}{289} a^{21} + \frac{1}{289} a^{20} + \frac{8}{289} a^{19} - \frac{3}{289} a^{18} - \frac{7}{289} a^{17} + \frac{5}{289} a^{16} + \frac{6}{289} a^{15} + \frac{127}{289} a^{14} - \frac{32}{289} a^{13} - \frac{6}{17} a^{12} - \frac{110}{289} a^{11} - \frac{27}{289} a^{10} - \frac{44}{289} a^{9} - \frac{141}{289} a^{8} + \frac{28}{289} a^{7} - \frac{74}{289} a^{6} - \frac{90}{289} a^{5} + \frac{16}{289} a^{4} + \frac{7}{17} a^{3} - \frac{39}{289} a^{2} - \frac{7}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{27} - \frac{6}{289} a^{22} - \frac{2}{289} a^{21} - \frac{2}{289} a^{20} + \frac{4}{289} a^{19} + \frac{6}{289} a^{18} + \frac{8}{289} a^{16} - \frac{8}{289} a^{15} + \frac{112}{289} a^{14} - \frac{12}{289} a^{13} + \frac{23}{289} a^{12} + \frac{7}{289} a^{11} - \frac{15}{289} a^{10} - \frac{6}{17} a^{9} - \frac{8}{289} a^{8} + \frac{8}{289} a^{7} - \frac{106}{289} a^{6} - \frac{88}{289} a^{5} - \frac{72}{289} a^{4} - \frac{29}{289} a^{3} + \frac{77}{289} a^{2} + \frac{5}{17} a$, $\frac{1}{289} a^{28} + \frac{5}{289} a^{22} + \frac{6}{289} a^{21} + \frac{8}{289} a^{20} - \frac{7}{289} a^{19} + \frac{5}{289} a^{18} - \frac{7}{289} a^{17} - \frac{2}{289} a^{16} - \frac{4}{289} a^{15} + \frac{131}{289} a^{14} + \frac{4}{289} a^{13} + \frac{117}{289} a^{12} + \frac{87}{289} a^{11} - \frac{15}{289} a^{10} + \frac{109}{289} a^{9} - \frac{100}{289} a^{8} + \frac{140}{289} a^{7} + \frac{7}{17} a^{6} - \frac{112}{289} a^{5} - \frac{58}{289} a^{4} + \frac{141}{289} a^{3} + \frac{129}{289} a^{2} - \frac{2}{17} a$, $\frac{1}{4913} a^{29} + \frac{5}{4913} a^{28} + \frac{6}{4913} a^{27} - \frac{4}{4913} a^{26} + \frac{1}{4913} a^{25} - \frac{4}{4913} a^{24} + \frac{5}{4913} a^{23} + \frac{42}{4913} a^{22} + \frac{88}{4913} a^{21} - \frac{70}{4913} a^{20} - \frac{90}{4913} a^{19} + \frac{71}{4913} a^{18} + \frac{23}{4913} a^{17} - \frac{97}{4913} a^{16} + \frac{5}{4913} a^{15} - \frac{331}{4913} a^{14} + \frac{2095}{4913} a^{13} - \frac{896}{4913} a^{12} - \frac{427}{4913} a^{11} - \frac{1978}{4913} a^{10} + \frac{571}{4913} a^{9} - \frac{902}{4913} a^{8} + \frac{534}{4913} a^{7} + \frac{138}{289} a^{6} - \frac{943}{4913} a^{5} - \frac{1980}{4913} a^{4} + \frac{1021}{4913} a^{3} - \frac{1489}{4913} a^{2} + \frac{22}{289} a + \frac{4}{17}$, $\frac{1}{4913} a^{30} - \frac{2}{4913} a^{28} + \frac{4}{4913} a^{26} + \frac{8}{4913} a^{25} + \frac{8}{4913} a^{24} - \frac{71}{4913} a^{22} + \frac{5}{289} a^{21} - \frac{29}{4913} a^{20} - \frac{57}{4913} a^{19} - \frac{26}{4913} a^{18} - \frac{76}{4913} a^{17} - \frac{139}{4913} a^{16} + \frac{18}{4913} a^{15} - \frac{466}{4913} a^{14} + \frac{1753}{4913} a^{13} - \frac{1183}{4913} a^{12} - \frac{625}{4913} a^{11} + \frac{890}{4913} a^{10} - \frac{128}{289} a^{9} + \frac{1066}{4913} a^{8} + \frac{475}{4913} a^{7} - \frac{127}{4913} a^{6} - \frac{291}{4913} a^{5} - \frac{2067}{4913} a^{4} + \frac{1090}{4913} a^{3} - \frac{239}{4913} a^{2} + \frac{111}{289} a - \frac{3}{17}$, $\frac{1}{13948007} a^{31} + \frac{60}{820471} a^{30} - \frac{1361}{13948007} a^{29} - \frac{3939}{13948007} a^{28} + \frac{6776}{13948007} a^{27} + \frac{7654}{13948007} a^{26} - \frac{12962}{13948007} a^{25} - \frac{140}{13948007} a^{24} - \frac{831}{13948007} a^{23} - \frac{19066}{13948007} a^{22} - \frac{122664}{13948007} a^{21} + \frac{69114}{13948007} a^{20} + \frac{188431}{13948007} a^{19} + \frac{251952}{13948007} a^{18} + \frac{326284}{13948007} a^{17} + \frac{128968}{13948007} a^{16} - \frac{247029}{13948007} a^{15} + \frac{5785332}{13948007} a^{14} - \frac{5113997}{13948007} a^{13} - \frac{4760263}{13948007} a^{12} - \frac{51013}{13948007} a^{11} - \frac{1745736}{13948007} a^{10} - \frac{2646623}{13948007} a^{9} - \frac{4366945}{13948007} a^{8} - \frac{3694798}{13948007} a^{7} + \frac{298671}{13948007} a^{6} - \frac{4612560}{13948007} a^{5} - \frac{3115069}{13948007} a^{4} + \frac{13028}{48263} a^{3} + \frac{223200}{13948007} a^{2} + \frac{165925}{820471} a - \frac{58}{289}$, $\frac{1}{13948007} a^{32} + \frac{152}{13948007} a^{30} - \frac{1151}{13948007} a^{29} - \frac{15341}{13948007} a^{28} - \frac{13613}{13948007} a^{27} + \frac{7081}{13948007} a^{26} - \frac{2962}{13948007} a^{25} + \frac{22731}{13948007} a^{24} - \frac{17468}{13948007} a^{23} - \frac{338258}{13948007} a^{22} + \frac{227809}{13948007} a^{21} - \frac{212939}{13948007} a^{20} + \frac{90809}{13948007} a^{19} + \frac{74531}{13948007} a^{18} - \frac{49277}{13948007} a^{17} - \frac{50594}{13948007} a^{16} + \frac{178120}{13948007} a^{15} - \frac{1776455}{13948007} a^{14} + \frac{1349809}{13948007} a^{13} - \frac{1211790}{13948007} a^{12} + \frac{82648}{13948007} a^{11} + \frac{6837167}{13948007} a^{10} + \frac{3509903}{13948007} a^{9} - \frac{3276683}{13948007} a^{8} - \frac{3992945}{13948007} a^{7} - \frac{3207102}{13948007} a^{6} - \frac{1896611}{13948007} a^{5} - \frac{163882}{820471} a^{4} + \frac{4289600}{13948007} a^{3} - \frac{88686}{820471} a^{2} + \frac{7553}{48263} a + \frac{2}{17}$, $\frac{1}{3166197589} a^{33} - \frac{23}{3166197589} a^{32} - \frac{89}{3166197589} a^{31} - \frac{264662}{3166197589} a^{30} - \frac{10278}{186246917} a^{29} - \frac{287116}{3166197589} a^{28} + \frac{526836}{3166197589} a^{27} - \frac{832254}{3166197589} a^{26} + \frac{2828595}{3166197589} a^{25} - \frac{1798286}{3166197589} a^{24} - \frac{1533310}{3166197589} a^{23} + \frac{28949611}{3166197589} a^{22} + \frac{84875434}{3166197589} a^{21} + \frac{78575225}{3166197589} a^{20} - \frac{19240355}{3166197589} a^{19} + \frac{90736908}{3166197589} a^{18} - \frac{37084561}{3166197589} a^{17} - \frac{61513594}{3166197589} a^{16} - \frac{544386}{18959267} a^{15} - \frac{156908713}{3166197589} a^{14} - \frac{40875682}{3166197589} a^{13} + \frac{2323843}{3166197589} a^{12} - \frac{767037676}{3166197589} a^{11} - \frac{600013416}{3166197589} a^{10} + \frac{1130889670}{3166197589} a^{9} + \frac{324092277}{3166197589} a^{8} + \frac{1254888640}{3166197589} a^{7} + \frac{744553885}{3166197589} a^{6} - \frac{726233875}{3166197589} a^{5} - \frac{1282845407}{3166197589} a^{4} - \frac{192984076}{3166197589} a^{3} - \frac{1332110263}{3166197589} a^{2} + \frac{76563718}{186246917} a - \frac{16486}{65603}$, $\frac{1}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{34} + \frac{430185014019107157328825786020590921012890222444258513427124120766504364391901294389574541518928334235489802431126770791455417417749811104366650142018239179454798053769970848690253079714323844462669478}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{33} - \frac{68105280700014966104680112169353618834829835089508699189955274357673225581920695513842754495632303525398365163977415759821732418648074104560566877506560371732321729076163295981095492178865889027772358744}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{32} - \frac{81685521749441491652087185366048757651100374602324558654155934930181508489147797496185700786093696556265530879197646678105561705857173122258565949511051863084411758274043956380527743260361428736980856016}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{31} + \frac{216729113446802576931347984554773873126484305568913189234041657052687045695533494912674681731574715532851259211629352224576947447892329285645459469765964735309218195831545533331469977083051514019307686787127}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{30} + \frac{735299768320741452220906771262747281132514517093809310778311916218332379364911746394990653457110821526096593995300223101323394143152413665077063459229814252726674991918686122982662352680426471907640346870}{306559588994729127379470580947195581251101678027275394905013101104496899845468381011697328589556294366047955154722797987661228306317832507581228613524312717127823563900944860989363854188668260511034251802748461} a^{29} - \frac{8452134308238328826209305791851506205709952726786295228083795291703364251638809181102702179232299735121934104029311551666894115835556772031340402473787088071729131547673623481663995766694582972390964332806035}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{28} + \frac{3997887732560715984846133865894124541497934366352944293875209160717082041914719972635168686471039771755044483296545933996560766167250900128671302934796164917980999500657677509203139592230834729165802553126928}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{27} + \frac{1014521722469208167747415429643336356109119799032938026229466844552201198432610945984131706338979019262696269572068523690662403346042314392316447875054341952522044351290249829232903065241898612212707015175}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{26} + \frac{2873226255629976964150291767316535495513445932052174101673111104786344735702998846949587020762727172727709604657733078643157235311805193730765492603604135191992076120847580196007983311027992584192076843717098}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{25} - \frac{7940524901044644975434369528496261519152124215298383719884060088842820418003343683025952041835208104652954988202378156602327301072473101352715100356131445165778737858171034413549005760032386090449305167998241}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{24} - \frac{7864883711488558461256534925054199863961969069972236608101119803538909882059926186895079655511365082507732861423280755016507419824412840556100373661002891607007465591968235534918354281463016184002474764042707}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{23} - \frac{27746889333439475208702024831393828884747038873030705450225972195256293562495122644767148274478016889005640252976285769005980380579399944866047723107165438103613718278742835238852520060030458387562218198714653}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{22} + \frac{120878235288608183040088288840880497379644097784077712978813244193422803345438991831809464747512537768639170666709695748088958981003887706442683456124856256492626935681844063569183590838370844875447515360953214}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{21} - \frac{140812357927266358254620529467190355107897548432902990931710223890347376358717418872320409182327523241486378663896551719469562471606419140464879602021896375940614824822698165573626795197693102524236504075957768}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{20} - \frac{4412167453283780535933149164396295883515109967370511102712119646100542167167896559452009694167404055768600537087938461988179184728027040562248653462812223498030610700314056791197739258497849907748616029899763}{306559588994729127379470580947195581251101678027275394905013101104496899845468381011697328589556294366047955154722797987661228306317832507581228613524312717127823563900944860989363854188668260511034251802748461} a^{19} - \frac{80433961163523532976182849415982637122052191117255234980052941548155796577844279604913092146364228852005546481617692755301731325465824421025804169872571039510709556067903539193130389772737224002679420137410002}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{18} + \frac{121977294643865903389209894157384952533357715581465916548479359348714175462551552360357049252052681082505889506339486038772124521729868623149514546466155420862776150273646513990850012360666619055903577378306323}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{17} - \frac{126893580024929801831620934686365764099840491372130351706341245461173732851699813114804809235356426731806008291452902089412306756387423128219109521862907244371371682963747258697431625407005051926125015127457580}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{16} - \frac{86143329467903359771444696303121763461011693120972548791874343889826719609493031233811851496102071381451489589249999019107747717358974022100098870282279001736092831499495480496363571149011475497216090144053851}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{15} + \frac{1865066835705316069418149168290130138146620288024754703836413644257070412121284343377466637970010667566775841472575266430595561401365728285682159521341656212166263614252342264857375476409748900282479219590201888}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{14} - \frac{41518547000571862248596572027726455658307345272223262478383560114838825335400919906452039342868810317679521715465758672873887463644981357740572401198847940543516218379410472773280967377523931402228071426933001}{306559588994729127379470580947195581251101678027275394905013101104496899845468381011697328589556294366047955154722797987661228306317832507581228613524312717127823563900944860989363854188668260511034251802748461} a^{13} - \frac{594673642240142815167990582162934456484564820287364780887078961557868595446538472273465937646212472644460565180499666337309791852375281575720174244876533841866230623320203263087713761963527637255947772672467386}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{12} - \frac{1145163418132504887004720542234493935050194434210440261718309239401931996193141057439930280608332491597596039408862495271293066977837327280901417085386971186653897110573751928518560245760501771707052209962663603}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{11} - \frac{509380527262168785409322050126627928310033441976541793251317505204946146885915013723976092799639406755770089490267918786822154574462685631341605412771539416777699187113611294794474676514299750626864949564201647}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{10} + \frac{1570415753104575056099688742885668479218289368862248729820910977639559372335370638699801110857975526191083396415504195268917923688453832817270315349663169778243964088063013722397753097038249568659167305570082411}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{9} - \frac{1570304231911592965682741241580028024796887204641614414724444106754539072751170772631623233107976365265870255027512079642336074344494295132789192412377809762283460487116972181911210825370056853566264810511960348}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{8} + \frac{2361523758110630606809626740905453043533602157634674129492421658553216672099665208354489463049647830049252456123917874393351546751134810896139237333911145810188787275258038535162757687101501758867736553829884338}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{7} + \frac{1751725865690648435681070469787741016621152913801502709124850650942682188512032543407010803581549343575473705341469106994007114264831918090660065980707945152867372453333512212030709889168183761632044964128705878}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{6} - \frac{1055110233160897785844432771517046997608541214767226224753256063673080272291925944061038419503753474669014999057158789534257817534689875710314567264235029612117452249273707755912757296112090470492724150642326742}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{5} - \frac{2357645566795175541138734760210172464317363615706832143416924592649100896723970939060100178810621165416993533930871948258537573497215471429686223939209638433726785081334218310395927310836607978012649683191352078}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{4} + \frac{2388669050709378888235322991413789360261575765117045953109476468268331824462166953221797909815077446522075135636295083348596048721819760165122079721015886655718238816584798387188928618205592708174331411692256302}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{3} + \frac{397498846415786959613168869941456619516714581376807500383022191772872679782430884517394328335660872744573264961405890695677360104627544900087787769369359857790271676710559226688347228563421835396018163507484229}{5211513012910395165450999876102324881268728526463681713385222718776447297372962477198854586022457004222815237630287565790240881207403152628880886429913316191173000586316062636819185521207360428687582280646723837} a^{2} + \frac{145716618946969360142518077189587009189999174566026127385042594932997431959061149853780240183815006257135096879079897095009295663255214510036946470044102161544793317710853334271417933195161509359300074624655868}{306559588994729127379470580947195581251101678027275394905013101104496899845468381011697328589556294366047955154722797987661228306317832507581228613524312717127823563900944860989363854188668260511034251802748461} a + \frac{33921885918072776058379566048884822107156345784460491740421367641859623885956505777092889904842789322672244842712940567513367536467445374882501816658308236327107114547089079542490741299161133215981215822237}{107981538920299093828626481488973434748538808745077631174714019409826312027287207119301630359125147716114108895640295170010999755659680347862355975175876265279261558260283501581318722856170574325831015076699}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{5}$, which has order $5$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $34$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 157977180088699470000000000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{35}$ (as 35T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 35
The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$
Character table for $C_{35}$ is not computed

Intermediate fields

5.5.372052421521.3, 7.7.128100283921.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/5.5.0.1}{5} }^{7}$ $35$ R $35$ ${\href{/LocalNumberField/17.1.0.1}{1} }^{35}$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/23.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ ${\href{/LocalNumberField/31.7.0.1}{7} }^{5}$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$ $35$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
11Data not computed
71Data not computed