Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531)
gp: K = bnfinit(y^35 - y^34 - 318*y^33 + 317*y^32 + 43270*y^31 - 41818*y^30 - 3317891*y^29 + 3042088*y^28 + 159164901*y^27 - 136621962*y^26 - 5023426089*y^25 + 4032403792*y^24 + 106965005797*y^23 - 81468720613*y^22 - 1551807041244*y^21 + 1156997268458*y^20 + 15303293963931*y^19 - 11690419597357*y^18 - 101072209771211*y^17 + 83452569029724*y^16 + 433154733639634*y^15 - 407573882251178*y^14 - 1135196506881278*y^13 + 1277269182336892*y^12 + 1617541808283635*y^11 - 2309930700089253*y^10 - 924309789556182*y^9 + 2069849763180324*y^8 - 31527404480477*y^7 - 820763459240694*y^6 + 127806137756499*y^5 + 158731707572343*y^4 - 27752306968552*y^3 - 15190639870341*y^2 + 1694951868683*y + 570788981531, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531)
\( x^{35} - x^{34} - 318 x^{33} + 317 x^{32} + 43270 x^{31} - 41818 x^{30} - 3317891 x^{29} + \cdots + 570788981531 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $35$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[35, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(126\!\cdots\!761\)
\(\medspace = 11^{28}\cdot 71^{34}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(428.04\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $11^{4/5}71^{34/35}\approx 428.03511715789494$ | ||
| Ramified primes: |
\(11\), \(71\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $35$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(781=11\cdot 71\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{781}(1,·)$, $\chi_{781}(642,·)$, $\chi_{781}(515,·)$, $\chi_{781}(774,·)$, $\chi_{781}(647,·)$, $\chi_{781}(267,·)$, $\chi_{781}(526,·)$, $\chi_{781}(529,·)$, $\chi_{781}(643,·)$, $\chi_{781}(148,·)$, $\chi_{781}(663,·)$, $\chi_{781}(664,·)$, $\chi_{781}(412,·)$, $\chi_{781}(157,·)$, $\chi_{781}(36,·)$, $\chi_{781}(38,·)$, $\chi_{781}(300,·)$, $\chi_{781}(45,·)$, $\chi_{781}(49,·)$, $\chi_{781}(243,·)$, $\chi_{781}(438,·)$, $\chi_{781}(185,·)$, $\chi_{781}(58,·)$, $\chi_{781}(192,·)$, $\chi_{781}(577,·)$, $\chi_{781}(202,·)$, $\chi_{781}(587,·)$, $\chi_{781}(463,·)$, $\chi_{781}(466,·)$, $\chi_{781}(474,·)$, $\chi_{781}(223,·)$, $\chi_{781}(240,·)$, $\chi_{781}(499,·)$, $\chi_{781}(375,·)$, $\chi_{781}(218,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{17}a^{15}-\frac{1}{17}a^{14}-\frac{3}{17}a^{13}+\frac{7}{17}a^{12}+\frac{5}{17}a^{11}+\frac{1}{17}a^{10}-\frac{4}{17}a^{9}-\frac{1}{17}a^{7}+\frac{1}{17}a^{6}+\frac{3}{17}a^{5}-\frac{7}{17}a^{4}-\frac{5}{17}a^{3}-\frac{1}{17}a^{2}+\frac{4}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{16}-\frac{4}{17}a^{14}+\frac{4}{17}a^{13}-\frac{5}{17}a^{12}+\frac{6}{17}a^{11}-\frac{3}{17}a^{10}-\frac{4}{17}a^{9}-\frac{1}{17}a^{8}+\frac{4}{17}a^{6}-\frac{4}{17}a^{5}+\frac{5}{17}a^{4}-\frac{6}{17}a^{3}+\frac{3}{17}a^{2}+\frac{4}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{17}-\frac{1}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{18}-\frac{1}{17}a^{2}$, $\frac{1}{17}a^{19}-\frac{1}{17}a^{3}$, $\frac{1}{17}a^{20}-\frac{1}{17}a^{4}$, $\frac{1}{17}a^{21}-\frac{1}{17}a^{5}$, $\frac{1}{17}a^{22}-\frac{1}{17}a^{6}$, $\frac{1}{289}a^{23}+\frac{4}{289}a^{22}+\frac{7}{289}a^{21}-\frac{5}{289}a^{20}-\frac{5}{289}a^{19}-\frac{2}{289}a^{18}+\frac{6}{289}a^{17}+\frac{1}{289}a^{16}-\frac{8}{289}a^{15}-\frac{132}{289}a^{14}+\frac{11}{289}a^{13}-\frac{95}{289}a^{12}-\frac{7}{17}a^{11}+\frac{74}{289}a^{10}-\frac{74}{289}a^{9}-\frac{18}{289}a^{8}+\frac{126}{289}a^{7}+\frac{43}{289}a^{6}+\frac{118}{289}a^{5}+\frac{66}{289}a^{4}+\frac{5}{289}a^{3}+\frac{47}{289}a^{2}-\frac{1}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{24}+\frac{8}{289}a^{22}+\frac{1}{289}a^{21}-\frac{2}{289}a^{20}+\frac{1}{289}a^{19}-\frac{3}{289}a^{18}-\frac{6}{289}a^{17}+\frac{5}{289}a^{16}+\frac{2}{289}a^{15}+\frac{80}{289}a^{14}-\frac{88}{289}a^{13}+\frac{23}{289}a^{12}+\frac{6}{289}a^{11}-\frac{30}{289}a^{10}+\frac{91}{289}a^{9}-\frac{108}{289}a^{8}+\frac{15}{289}a^{7}+\frac{99}{289}a^{6}+\frac{87}{289}a^{5}-\frac{4}{289}a^{4}+\frac{10}{289}a^{3}+\frac{50}{289}a^{2}-\frac{3}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{25}+\frac{3}{289}a^{22}-\frac{7}{289}a^{21}+\frac{7}{289}a^{20}+\frac{3}{289}a^{19}-\frac{7}{289}a^{18}+\frac{8}{289}a^{17}-\frac{6}{289}a^{16}+\frac{8}{289}a^{15}-\frac{52}{289}a^{14}+\frac{54}{289}a^{13}+\frac{103}{289}a^{12}-\frac{47}{289}a^{11}-\frac{59}{289}a^{10}-\frac{128}{289}a^{9}-\frac{130}{289}a^{8}+\frac{94}{289}a^{7}-\frac{138}{289}a^{6}+\frac{38}{289}a^{5}-\frac{110}{289}a^{4}-\frac{143}{289}a^{3}+\frac{15}{289}a^{2}+\frac{7}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{26}-\frac{2}{289}a^{22}+\frac{3}{289}a^{21}+\frac{1}{289}a^{20}+\frac{8}{289}a^{19}-\frac{3}{289}a^{18}-\frac{7}{289}a^{17}+\frac{5}{289}a^{16}+\frac{6}{289}a^{15}+\frac{127}{289}a^{14}-\frac{32}{289}a^{13}-\frac{6}{17}a^{12}-\frac{110}{289}a^{11}-\frac{27}{289}a^{10}-\frac{44}{289}a^{9}-\frac{141}{289}a^{8}+\frac{28}{289}a^{7}-\frac{74}{289}a^{6}-\frac{90}{289}a^{5}+\frac{16}{289}a^{4}+\frac{7}{17}a^{3}-\frac{39}{289}a^{2}-\frac{7}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{27}-\frac{6}{289}a^{22}-\frac{2}{289}a^{21}-\frac{2}{289}a^{20}+\frac{4}{289}a^{19}+\frac{6}{289}a^{18}+\frac{8}{289}a^{16}-\frac{8}{289}a^{15}+\frac{112}{289}a^{14}-\frac{12}{289}a^{13}+\frac{23}{289}a^{12}+\frac{7}{289}a^{11}-\frac{15}{289}a^{10}-\frac{6}{17}a^{9}-\frac{8}{289}a^{8}+\frac{8}{289}a^{7}-\frac{106}{289}a^{6}-\frac{88}{289}a^{5}-\frac{72}{289}a^{4}-\frac{29}{289}a^{3}+\frac{77}{289}a^{2}+\frac{5}{17}a$, $\frac{1}{289}a^{28}+\frac{5}{289}a^{22}+\frac{6}{289}a^{21}+\frac{8}{289}a^{20}-\frac{7}{289}a^{19}+\frac{5}{289}a^{18}-\frac{7}{289}a^{17}-\frac{2}{289}a^{16}-\frac{4}{289}a^{15}+\frac{131}{289}a^{14}+\frac{4}{289}a^{13}+\frac{117}{289}a^{12}+\frac{87}{289}a^{11}-\frac{15}{289}a^{10}+\frac{109}{289}a^{9}-\frac{100}{289}a^{8}+\frac{140}{289}a^{7}+\frac{7}{17}a^{6}-\frac{112}{289}a^{5}-\frac{58}{289}a^{4}+\frac{141}{289}a^{3}+\frac{129}{289}a^{2}-\frac{2}{17}a$, $\frac{1}{4913}a^{29}+\frac{5}{4913}a^{28}+\frac{6}{4913}a^{27}-\frac{4}{4913}a^{26}+\frac{1}{4913}a^{25}-\frac{4}{4913}a^{24}+\frac{5}{4913}a^{23}+\frac{42}{4913}a^{22}+\frac{88}{4913}a^{21}-\frac{70}{4913}a^{20}-\frac{90}{4913}a^{19}+\frac{71}{4913}a^{18}+\frac{23}{4913}a^{17}-\frac{97}{4913}a^{16}+\frac{5}{4913}a^{15}-\frac{331}{4913}a^{14}+\frac{2095}{4913}a^{13}-\frac{896}{4913}a^{12}-\frac{427}{4913}a^{11}-\frac{1978}{4913}a^{10}+\frac{571}{4913}a^{9}-\frac{902}{4913}a^{8}+\frac{534}{4913}a^{7}+\frac{138}{289}a^{6}-\frac{943}{4913}a^{5}-\frac{1980}{4913}a^{4}+\frac{1021}{4913}a^{3}-\frac{1489}{4913}a^{2}+\frac{22}{289}a+\frac{4}{17}$, $\frac{1}{4913}a^{30}-\frac{2}{4913}a^{28}+\frac{4}{4913}a^{26}+\frac{8}{4913}a^{25}+\frac{8}{4913}a^{24}-\frac{71}{4913}a^{22}+\frac{5}{289}a^{21}-\frac{29}{4913}a^{20}-\frac{57}{4913}a^{19}-\frac{26}{4913}a^{18}-\frac{76}{4913}a^{17}-\frac{139}{4913}a^{16}+\frac{18}{4913}a^{15}-\frac{466}{4913}a^{14}+\frac{1753}{4913}a^{13}-\frac{1183}{4913}a^{12}-\frac{625}{4913}a^{11}+\frac{890}{4913}a^{10}-\frac{128}{289}a^{9}+\frac{1066}{4913}a^{8}+\frac{475}{4913}a^{7}-\frac{127}{4913}a^{6}-\frac{291}{4913}a^{5}-\frac{2067}{4913}a^{4}+\frac{1090}{4913}a^{3}-\frac{239}{4913}a^{2}+\frac{111}{289}a-\frac{3}{17}$, $\frac{1}{13948007}a^{31}+\frac{60}{820471}a^{30}-\frac{1361}{13948007}a^{29}-\frac{3939}{13948007}a^{28}+\frac{6776}{13948007}a^{27}+\frac{7654}{13948007}a^{26}-\frac{12962}{13948007}a^{25}-\frac{140}{13948007}a^{24}-\frac{831}{13948007}a^{23}-\frac{19066}{13948007}a^{22}-\frac{122664}{13948007}a^{21}+\frac{69114}{13948007}a^{20}+\frac{188431}{13948007}a^{19}+\frac{251952}{13948007}a^{18}+\frac{326284}{13948007}a^{17}+\frac{128968}{13948007}a^{16}-\frac{247029}{13948007}a^{15}+\frac{5785332}{13948007}a^{14}-\frac{5113997}{13948007}a^{13}-\frac{4760263}{13948007}a^{12}-\frac{51013}{13948007}a^{11}-\frac{1745736}{13948007}a^{10}-\frac{2646623}{13948007}a^{9}-\frac{4366945}{13948007}a^{8}-\frac{3694798}{13948007}a^{7}+\frac{298671}{13948007}a^{6}-\frac{4612560}{13948007}a^{5}-\frac{3115069}{13948007}a^{4}+\frac{13028}{48263}a^{3}+\frac{223200}{13948007}a^{2}+\frac{165925}{820471}a-\frac{58}{289}$, $\frac{1}{13948007}a^{32}+\frac{152}{13948007}a^{30}-\frac{1151}{13948007}a^{29}-\frac{15341}{13948007}a^{28}-\frac{13613}{13948007}a^{27}+\frac{7081}{13948007}a^{26}-\frac{2962}{13948007}a^{25}+\frac{22731}{13948007}a^{24}-\frac{17468}{13948007}a^{23}-\frac{338258}{13948007}a^{22}+\frac{227809}{13948007}a^{21}-\frac{212939}{13948007}a^{20}+\frac{90809}{13948007}a^{19}+\frac{74531}{13948007}a^{18}-\frac{49277}{13948007}a^{17}-\frac{50594}{13948007}a^{16}+\frac{178120}{13948007}a^{15}-\frac{1776455}{13948007}a^{14}+\frac{1349809}{13948007}a^{13}-\frac{1211790}{13948007}a^{12}+\frac{82648}{13948007}a^{11}+\frac{6837167}{13948007}a^{10}+\frac{3509903}{13948007}a^{9}-\frac{3276683}{13948007}a^{8}-\frac{3992945}{13948007}a^{7}-\frac{3207102}{13948007}a^{6}-\frac{1896611}{13948007}a^{5}-\frac{163882}{820471}a^{4}+\frac{4289600}{13948007}a^{3}-\frac{88686}{820471}a^{2}+\frac{7553}{48263}a+\frac{2}{17}$, $\frac{1}{3166197589}a^{33}-\frac{23}{3166197589}a^{32}-\frac{89}{3166197589}a^{31}-\frac{264662}{3166197589}a^{30}-\frac{10278}{186246917}a^{29}-\frac{287116}{3166197589}a^{28}+\frac{526836}{3166197589}a^{27}-\frac{832254}{3166197589}a^{26}+\frac{2828595}{3166197589}a^{25}-\frac{1798286}{3166197589}a^{24}-\frac{1533310}{3166197589}a^{23}+\frac{28949611}{3166197589}a^{22}+\frac{84875434}{3166197589}a^{21}+\frac{78575225}{3166197589}a^{20}-\frac{19240355}{3166197589}a^{19}+\frac{90736908}{3166197589}a^{18}-\frac{37084561}{3166197589}a^{17}-\frac{61513594}{3166197589}a^{16}-\frac{544386}{18959267}a^{15}-\frac{156908713}{3166197589}a^{14}-\frac{40875682}{3166197589}a^{13}+\frac{2323843}{3166197589}a^{12}-\frac{767037676}{3166197589}a^{11}-\frac{600013416}{3166197589}a^{10}+\frac{1130889670}{3166197589}a^{9}+\frac{324092277}{3166197589}a^{8}+\frac{1254888640}{3166197589}a^{7}+\frac{744553885}{3166197589}a^{6}-\frac{726233875}{3166197589}a^{5}-\frac{1282845407}{3166197589}a^{4}-\frac{192984076}{3166197589}a^{3}-\frac{1332110263}{3166197589}a^{2}+\frac{76563718}{186246917}a-\frac{16486}{65603}$, $\frac{1}{52\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{43\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{68\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!37}a^{32}-\frac{81\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{21\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{73\!\cdots\!70}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{84\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!61}a^{19}-\frac{80\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{86\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{17\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!61}a+\frac{33\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!99}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $17$ |
Class group and class number
$C_{5}$, which has order $5$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $34$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{56\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!57}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{17\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!57}a^{32}+\frac{69\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{24\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!57}a^{30}-\frac{51\!\cdots\!50}{33\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{57\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{90\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{89\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!52}{33\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{86\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{45\!\cdots\!18}{33\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{67\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{69\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!28}{33\!\cdots\!21}a-\frac{95\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{45\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!57}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{14\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!57}a^{32}+\frac{51\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{19\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!57}a^{30}-\frac{37\!\cdots\!54}{33\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{72\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{48\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{81\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!87}{57\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{72\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{79\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!21}a-\frac{83\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{14\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!21}a^{34}-\frac{51\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{46\!\cdots\!70}{33\!\cdots\!21}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!21}a^{31}+\frac{62\!\cdots\!83}{33\!\cdots\!21}a^{30}-\frac{20\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{48\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!21}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!71}{33\!\cdots\!21}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{28\!\cdots\!28}{19\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{73\!\cdots\!25}{33\!\cdots\!21}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!21}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!81}{33\!\cdots\!21}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!21}a^{21}-\frac{99\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!23}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!34}{33\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!07}{33\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!80}{33\!\cdots\!21}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!37}{33\!\cdots\!21}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!24}{33\!\cdots\!21}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!09}{33\!\cdots\!21}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!21}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!00}{33\!\cdots\!21}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!21}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!21}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!05}{19\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!21}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!44}{33\!\cdots\!21}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!21}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!98}{33\!\cdots\!21}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!21}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!43}{19\!\cdots\!13}a-\frac{27\!\cdots\!00}{69\!\cdots\!67}$, $\frac{62\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!57}a^{34}-\frac{23\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!57}a^{32}+\frac{74\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{27\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!57}a^{30}-\frac{54\!\cdots\!83}{33\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{20\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{60\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{99\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{91\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{68\!\cdots\!72}{33\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!48}{33\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{75\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!32}{57\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{68\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{85\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!14}{57\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!05}{33\!\cdots\!21}a-\frac{11\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{97\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!57}a^{34}-\frac{39\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{31\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!57}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{42\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!57}a^{30}-\frac{90\!\cdots\!04}{33\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!87}{57\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{15\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!57}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{98\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!13}{33\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!94}{57\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!14}{33\!\cdots\!21}a-\frac{17\!\cdots\!90}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{11\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!57}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!57}a^{33}-\frac{35\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!57}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!57}a^{31}+\frac{48\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!57}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!65}{33\!\cdots\!21}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!57}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!57}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!71}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!57}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!57}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!57}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!57}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!57}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!57}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!21}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!57}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!57}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!57}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!57}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!78}{33\!\cdots\!21}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!57}a^{12}+\frac{83\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!57}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!57}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!57}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!57}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!57}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!57}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!57}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!57}a^{4}+\frac{65\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!57}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!57}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!38}{33\!\cdots\!21}a-\frac{75\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!39}$, $\frac{39\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{12\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{45\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{33\!\cdots\!42}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{36\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{62\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!76}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!11}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{63\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!70}{30\!\cdots\!61}a-\frac{74\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{21\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{75\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{66\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{23\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{91\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{69\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!22}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{33\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{87\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{36\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!43}{30\!\cdots\!61}a-\frac{38\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{29\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{34\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{92\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{61\!\cdots\!93}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{97\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{31\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!45}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{71\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{88\!\cdots\!34}{30\!\cdots\!61}a-\frac{86\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{10\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{32\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{44\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{83\!\cdots\!60}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{91\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{73\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{51\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!47}{30\!\cdots\!61}a-\frac{18\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{25\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{94\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{79\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{29\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!18}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{83\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{40\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{93\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{39\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!17}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!65}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{58\!\cdots\!19}{30\!\cdots\!61}a-\frac{44\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{28\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{92\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{33\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{24\!\cdots\!64}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{96\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{26\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{50\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!61}a-\frac{53\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{59\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{18\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{65\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{25\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{47\!\cdots\!85}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{52\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{94\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{63\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{70\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{51\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{91\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{42\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{93\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{78\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{98\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!61}a-\frac{10\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{47\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{64\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{64\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!42}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{49\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{41\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!66}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!64}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{22\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!65}{30\!\cdots\!61}a-\frac{22\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{27\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{89\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{93\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{44\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{82\!\cdots\!97}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{72\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!67}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{92\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{72\!\cdots\!36}{30\!\cdots\!61}a-\frac{99\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{79\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{27\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{25\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{87\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{34\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{64\!\cdots\!62}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{70\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{85\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!92}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{55\!\cdots\!34}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{55\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!84}{30\!\cdots\!61}a-\frac{14\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{21\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{13\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{69\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{41\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{95\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{72\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{37\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{35\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{84\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!14}{18\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{92\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{94\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!85}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{64\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{80\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!84}{30\!\cdots\!61}a-\frac{15\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{14\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{49\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{45\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{15\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{62\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{47\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{22\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!57}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{88\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{58\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{98\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{32\!\cdots\!28}{30\!\cdots\!61}a-\frac{25\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{20\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{61\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{66\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{90\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!56}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{69\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{33\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{49\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{98\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{90\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!39}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{91\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{75\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!61}a-\frac{27\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{40\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{12\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{46\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{33\!\cdots\!62}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{37\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{64\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!00}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{75\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!38}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{49\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{78\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{65\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{97\!\cdots\!22}{30\!\cdots\!61}a-\frac{75\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{23\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{84\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{75\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{10\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!45}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{78\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{79\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!27}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!58}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!76}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{97\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!93}{30\!\cdots\!61}a-\frac{43\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{10\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{40\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{34\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{46\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!19}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{70\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{99\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!18}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{41\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!61}a-\frac{46\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{11\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{18\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{35\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{57\!\cdots\!60}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{47\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{37\!\cdots\!48}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{55\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!30}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{99\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{92\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{95\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{42\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{80\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{29\!\cdots\!31}{30\!\cdots\!61}a-\frac{30\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{35\!\cdots\!54}{63\!\cdots\!31}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!96}{63\!\cdots\!31}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!80}{63\!\cdots\!31}a^{32}+\frac{40\!\cdots\!69}{63\!\cdots\!31}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!49}{63\!\cdots\!31}a^{30}-\frac{29\!\cdots\!57}{37\!\cdots\!43}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!11}{63\!\cdots\!31}a^{28}+\frac{32\!\cdots\!96}{63\!\cdots\!31}a^{27}+\frac{56\!\cdots\!56}{63\!\cdots\!31}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!40}{63\!\cdots\!31}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!32}{63\!\cdots\!31}a^{24}+\frac{29\!\cdots\!58}{63\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!25}{63\!\cdots\!31}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!60}{63\!\cdots\!31}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!14}{63\!\cdots\!31}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!78}{37\!\cdots\!43}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!71}{63\!\cdots\!31}a^{18}-\frac{66\!\cdots\!81}{63\!\cdots\!31}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!04}{63\!\cdots\!31}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!35}{63\!\cdots\!31}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!42}{63\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!79}{37\!\cdots\!43}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!66}{63\!\cdots\!31}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!19}{63\!\cdots\!31}a^{11}+\frac{68\!\cdots\!99}{63\!\cdots\!31}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!30}{63\!\cdots\!31}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!31}{63\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!63}{63\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!00}{63\!\cdots\!31}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!52}{63\!\cdots\!31}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!52}{63\!\cdots\!31}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!44}{63\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{61\!\cdots\!93}{63\!\cdots\!31}a^{2}-\frac{84\!\cdots\!63}{37\!\cdots\!43}a-\frac{65\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!37}$, $\frac{44\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{14\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{50\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{19\!\cdots\!51}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!87}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{40\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{71\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!28}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!35}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{47\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!06}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{53\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{86\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!63}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{77\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!20}{30\!\cdots\!61}a-\frac{82\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{39\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!61}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!19}{30\!\cdots\!61}a^{33}-\frac{12\!\cdots\!18}{30\!\cdots\!61}a^{32}+\frac{44\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!61}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!50}{30\!\cdots\!61}a^{30}-\frac{55\!\cdots\!98}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!24}{30\!\cdots\!61}a^{28}+\frac{35\!\cdots\!75}{30\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{63\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!34}{30\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!71}{30\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!88}{30\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!80}{30\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!60}{30\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!82}{30\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{60\!\cdots\!87}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{61\!\cdots\!21}{30\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{70\!\cdots\!39}{30\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!25}{30\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{48\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!33}a^{11}+\frac{77\!\cdots\!40}{30\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!88}{30\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!95}{30\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!06}{30\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!00}{30\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{96\!\cdots\!81}{18\!\cdots\!33}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!70}{30\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!24}{30\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{95\!\cdots\!22}{18\!\cdots\!33}a-\frac{74\!\cdots\!35}{63\!\cdots\!47}$, $\frac{13\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{57\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{42\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{58\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!48}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{44\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!37}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{26\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!92}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!58}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!61}a-\frac{25\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{17\!\cdots\!68}{30\!\cdots\!61}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!02}{30\!\cdots\!61}a^{33}-\frac{55\!\cdots\!46}{30\!\cdots\!61}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!18}{30\!\cdots\!61}a^{31}+\frac{75\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!61}a^{30}-\frac{25\!\cdots\!11}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{57\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!61}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!76}{30\!\cdots\!61}a^{27}+\frac{27\!\cdots\!16}{30\!\cdots\!61}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!64}{30\!\cdots\!61}a^{25}-\frac{87\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!61}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!20}{30\!\cdots\!61}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!52}{30\!\cdots\!61}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!61}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!91}{30\!\cdots\!61}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!51}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!76}{30\!\cdots\!61}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!21}{30\!\cdots\!61}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!86}{30\!\cdots\!61}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!50}{30\!\cdots\!61}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!61}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!48}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!61}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!95}{30\!\cdots\!61}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!19}{30\!\cdots\!61}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!61}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!61}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!61}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!55}{30\!\cdots\!61}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!93}{30\!\cdots\!61}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!62}{30\!\cdots\!61}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!61}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!33}a-\frac{30\!\cdots\!93}{63\!\cdots\!47}$, $\frac{27\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{85\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{68\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{34\!\cdots\!02}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{89\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{38\!\cdots\!45}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!18}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!85}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!93}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!79}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!89}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!61}a-\frac{37\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{21\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{11\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{69\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{32}-\frac{36\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{94\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{30\!\cdots\!20}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{72\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!72}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{76\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!11}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!97}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{83\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!10}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!99}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{27\!\cdots\!86}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!96}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!16}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{37\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!61}a-\frac{11\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{34\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{72\!\cdots\!19}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{10\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{32}-\frac{23\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!62}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{33\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{55\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{70\!\cdots\!22}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{37\!\cdots\!94}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!82}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!88}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!09}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{55\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!20}{22\!\cdots\!31}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{46\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!14}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!98}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!31}{30\!\cdots\!61}a-\frac{15\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{88\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{50\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{28\!\cdots\!06}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{15\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{38\!\cdots\!02}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!08}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!80}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!15}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{95\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!68}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!05}{18\!\cdots\!33}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{43\!\cdots\!91}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!74}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!07}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!66}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!40}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!78}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!31}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{48\!\cdots\!42}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!06}{30\!\cdots\!61}a-\frac{86\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{93\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!37}a^{34}-\frac{34\!\cdots\!00}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{40\!\cdots\!17}{52\!\cdots\!37}a^{30}-\frac{79\!\cdots\!60}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{31\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{28}+\frac{88\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{14\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!38}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!50}{52\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!56}{52\!\cdots\!37}a^{20}+\frac{93\!\cdots\!74}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!37}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{96\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!49}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!19}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!97}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!52}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!90}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!24}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{60\!\cdots\!08}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!55}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!95}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!26}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!01}{30\!\cdots\!61}a-\frac{17\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!99}$, $\frac{26\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!37}a^{34}+\frac{13\!\cdots\!46}{52\!\cdots\!37}a^{33}-\frac{85\!\cdots\!36}{52\!\cdots\!37}a^{32}-\frac{45\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!33}{52\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{57\!\cdots\!12}{30\!\cdots\!61}a^{29}-\frac{89\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!81}{52\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!71}{52\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!43}{52\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!48}{52\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!10}{52\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!82}{52\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!27}{52\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!44}{52\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{71\!\cdots\!32}{30\!\cdots\!61}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!70}{52\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!20}{52\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!07}{52\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!83}{52\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!39}{30\!\cdots\!61}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!12}{52\!\cdots\!37}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{48\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{40\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!32}{52\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!04}{52\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!34}{52\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!62}{52\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!84}{52\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!03}{52\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!44}{30\!\cdots\!61}a-\frac{22\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!99}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 157977180088699470000000000000000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{35}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 157977180088699470000000000000000000 \cdot 5}{2\cdot\sqrt{126409304214415502952719093782014439397796172025041680505851154261799578037610144929882069761}}\cr\approx \mathstrut & 1.20696504827058 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^35 - x^34 - 318*x^33 + 317*x^32 + 43270*x^31 - 41818*x^30 - 3317891*x^29 + 3042088*x^28 + 159164901*x^27 - 136621962*x^26 - 5023426089*x^25 + 4032403792*x^24 + 106965005797*x^23 - 81468720613*x^22 - 1551807041244*x^21 + 1156997268458*x^20 + 15303293963931*x^19 - 11690419597357*x^18 - 101072209771211*x^17 + 83452569029724*x^16 + 433154733639634*x^15 - 407573882251178*x^14 - 1135196506881278*x^13 + 1277269182336892*x^12 + 1617541808283635*x^11 - 2309930700089253*x^10 - 924309789556182*x^9 + 2069849763180324*x^8 - 31527404480477*x^7 - 820763459240694*x^6 + 127806137756499*x^5 + 158731707572343*x^4 - 27752306968552*x^3 - 15190639870341*x^2 + 1694951868683*x + 570788981531);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 35 |
| The 35 conjugacy class representatives for $C_{35}$ |
| Character table for $C_{35}$ |
Intermediate fields
| 5.5.372052421521.3, 7.7.128100283921.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.7.0.1}{7} }^{5}$ | $35$ | ${\href{/padicField/5.5.0.1}{5} }^{7}$ | $35$ | R | $35$ | ${\href{/padicField/17.1.0.1}{1} }^{35}$ | $35$ | ${\href{/padicField/23.7.0.1}{7} }^{5}$ | $35$ | ${\href{/padicField/31.7.0.1}{7} }^{5}$ | $35$ | $35$ | $35$ | $35$ | $35$ | $35$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(11\)
| Deg $35$ | $5$ | $7$ | $28$ | |||
|
\(71\)
| Deg $35$ | $35$ | $1$ | $34$ |