↑

Properties

Label 34.34.7272269474...3125.1
Degree $34$
Signature $[34, 0]$
Discriminant $5^{17}\cdot 17^{65}$
Root discriminant $503.28$
Ramified primes $5, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![16384373748781, -1388340198590100, 3362699640888427, 31930030283249471, -32611627768781242, -119812909615426669, 109086297987768986, 171385263325296829, -154694023157711314, -118287562120602247, 110711936067187149, 43707305535798663, -44120993035671275, -9427988729732043, 10648350276645306, 1256524155213430, -1650258719846504, -107041680619892, 170680150505284, 5935056640671, -12068845595008, -214852777832, 590788354567, 5002677805, -20054112118, -71788790, 467266301, 574940, -7282817, -1955, 72114, 0, -408, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - 408*x^32 + 72114*x^30 - 1955*x^29 - 7282817*x^28 + 574940*x^27 + 467266301*x^26 - 71788790*x^25 - 20054112118*x^24 + 5002677805*x^23 + 590788354567*x^22 - 214852777832*x^21 - 12068845595008*x^20 + 5935056640671*x^19 + 170680150505284*x^18 - 107041680619892*x^17 - 1650258719846504*x^16 + 1256524155213430*x^15 + 10648350276645306*x^14 - 9427988729732043*x^13 - 44120993035671275*x^12 + 43707305535798663*x^11 + 110711936067187149*x^10 - 118287562120602247*x^9 - 154694023157711314*x^8 + 171385263325296829*x^7 + 109086297987768986*x^6 - 119812909615426669*x^5 - 32611627768781242*x^4 + 31930030283249471*x^3 + 3362699640888427*x^2 - 1388340198590100*x + 16384373748781)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - 408*x^32 + 72114*x^30 - 1955*x^29 - 7282817*x^28 + 574940*x^27 + 467266301*x^26 - 71788790*x^25 - 20054112118*x^24 + 5002677805*x^23 + 590788354567*x^22 - 214852777832*x^21 - 12068845595008*x^20 + 5935056640671*x^19 + 170680150505284*x^18 - 107041680619892*x^17 - 1650258719846504*x^16 + 1256524155213430*x^15 + 10648350276645306*x^14 - 9427988729732043*x^13 - 44120993035671275*x^12 + 43707305535798663*x^11 + 110711936067187149*x^10 - 118287562120602247*x^9 - 154694023157711314*x^8 + 171385263325296829*x^7 + 109086297987768986*x^6 - 119812909615426669*x^5 - 32611627768781242*x^4 + 31930030283249471*x^3 + 3362699640888427*x^2 - 1388340198590100*x + 16384373748781, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - 408 x^{32} + 72114 x^{30} - 1955 x^{29} - 7282817 x^{28} + 574940 x^{27} + 467266301 x^{26} - 71788790 x^{25} - 20054112118 x^{24} + 5002677805 x^{23} + 590788354567 x^{22} - 214852777832 x^{21} - 12068845595008 x^{20} + 5935056640671 x^{19} + 170680150505284 x^{18} - 107041680619892 x^{17} - 1650258719846504 x^{16} + 1256524155213430 x^{15} + 10648350276645306 x^{14} - 9427988729732043 x^{13} - 44120993035671275 x^{12} + 43707305535798663 x^{11} + 110711936067187149 x^{10} - 118287562120602247 x^{9} - 154694023157711314 x^{8} + 171385263325296829 x^{7} + 109086297987768986 x^{6} - 119812909615426669 x^{5} - 32611627768781242 x^{4} + 31930030283249471 x^{3} + 3362699640888427 x^{2} - 1388340198590100 x + 16384373748781 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[34, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(72722694740461736529344586453131684291127144467163690928202519111238014801707044219970703125=5^{17}\cdot 17^{65}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $503.28$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1445=5\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1445}(256,·)$, $\chi_{1445}(1,·)$, $\chi_{1445}(1444,·)$, $\chi_{1445}(1189,·)$, $\chi_{1445}(934,·)$, $\chi_{1445}(679,·)$, $\chi_{1445}(424,·)$, $\chi_{1445}(169,·)$, $\chi_{1445}(426,·)$, $\chi_{1445}(171,·)$, $\chi_{1445}(1359,·)$, $\chi_{1445}(1104,·)$, $\chi_{1445}(1361,·)$, $\chi_{1445}(1106,·)$, $\chi_{1445}(339,·)$, $\chi_{1445}(84,·)$, $\chi_{1445}(341,·)$, $\chi_{1445}(86,·)$, $\chi_{1445}(849,·)$, $\chi_{1445}(764,·)$, $\chi_{1445}(1191,·)$, $\chi_{1445}(594,·)$, $\chi_{1445}(509,·)$, $\chi_{1445}(936,·)$, $\chi_{1445}(851,·)$, $\chi_{1445}(254,·)$, $\chi_{1445}(681,·)$, $\chi_{1445}(596,·)$, $\chi_{1445}(1274,·)$, $\chi_{1445}(1019,·)$, $\chi_{1445}(1276,·)$, $\chi_{1445}(1021,·)$, $\chi_{1445}(766,·)$, $\chi_{1445}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{44929} a^{29} - \frac{2537}{44929} a^{28} - \frac{13023}{44929} a^{27} + \frac{2015}{44929} a^{26} - \frac{7894}{44929} a^{25} + \frac{69}{179} a^{24} - \frac{10261}{44929} a^{23} - \frac{4972}{44929} a^{22} - \frac{2855}{44929} a^{21} + \frac{16087}{44929} a^{20} + \frac{12860}{44929} a^{19} - \frac{384}{44929} a^{18} + \frac{8979}{44929} a^{17} - \frac{15895}{44929} a^{16} - \frac{21385}{44929} a^{15} + \frac{4794}{44929} a^{14} + \frac{6848}{44929} a^{13} + \frac{10775}{44929} a^{12} + \frac{16857}{44929} a^{11} - \frac{11517}{44929} a^{10} - \frac{18547}{44929} a^{9} - \frac{10161}{44929} a^{8} + \frac{4490}{44929} a^{7} - \frac{20782}{44929} a^{6} + \frac{21160}{44929} a^{5} + \frac{20033}{44929} a^{4} + \frac{14220}{44929} a^{3} - \frac{15693}{44929} a^{2} + \frac{3392}{44929} a + \frac{52}{251}$, $\frac{1}{44929} a^{30} + \frac{20384}{44929} a^{28} - \frac{14521}{44929} a^{27} - \frac{17745}{44929} a^{26} - \frac{16354}{44929} a^{25} - \frac{12520}{44929} a^{24} + \frac{21691}{44929} a^{23} + \frac{8230}{44929} a^{22} + \frac{6521}{44929} a^{21} - \frac{14882}{44929} a^{20} + \frac{6982}{44929} a^{19} - \frac{21720}{44929} a^{18} - \frac{15175}{44929} a^{17} - \frac{758}{44929} a^{16} - \frac{19648}{44929} a^{15} - \frac{6533}{44929} a^{14} - \frac{3372}{44929} a^{13} - \frac{8729}{44929} a^{12} - \frac{17716}{44929} a^{11} + \frac{11603}{44929} a^{10} + \frac{21692}{44929} a^{9} + \frac{15279}{44929} a^{8} + \frac{3311}{44929} a^{7} - \frac{1057}{44929} a^{6} + \frac{12798}{44929} a^{5} - \frac{21687}{44929} a^{4} - \frac{17540}{44929} a^{3} - \frac{2655}{44929} a^{2} - \frac{11556}{44929} a - \frac{102}{251}$, $\frac{1}{44929} a^{31} - \frac{13592}{44929} a^{28} + \frac{2555}{44929} a^{27} + \frac{19921}{44929} a^{26} + \frac{8027}{44929} a^{25} - \frac{1652}{44929} a^{24} - \frac{20970}{44929} a^{23} - \frac{4055}{44929} a^{22} - \frac{1617}{44929} a^{21} - \frac{18584}{44929} a^{20} + \frac{755}{44929} a^{19} - \frac{5365}{44929} a^{18} + \frac{12052}{44929} a^{17} + \frac{1013}{44929} a^{16} + \frac{4149}{44929} a^{15} - \frac{3693}{44929} a^{14} - \frac{3958}{44929} a^{13} + \frac{2565}{44929} a^{12} + \frac{15507}{44929} a^{11} - \frac{14734}{44929} a^{10} - \frac{208}{44929} a^{9} + \frac{2445}{44929} a^{8} - \frac{4844}{44929} a^{7} - \frac{2455}{44929} a^{6} + \frac{16202}{44929} a^{5} - \frac{10531}{44929} a^{4} + \frac{18773}{44929} a^{3} - \frac{19924}{44929} a^{2} - \frac{15055}{44929} a + \frac{5}{251}$, $\frac{1}{40750603} a^{32} + \frac{8}{40750603} a^{31} - \frac{48}{40750603} a^{30} + \frac{170}{40750603} a^{29} + \frac{3269139}{40750603} a^{28} - \frac{18807491}{40750603} a^{27} + \frac{8711251}{40750603} a^{26} + \frac{3184958}{40750603} a^{25} + \frac{6762709}{40750603} a^{24} + \frac{2785663}{40750603} a^{23} - \frac{14849103}{40750603} a^{22} - \frac{6342649}{40750603} a^{21} - \frac{17650644}{40750603} a^{20} + \frac{5959588}{40750603} a^{19} - \frac{4812064}{40750603} a^{18} - \frac{6797853}{40750603} a^{17} + \frac{7923523}{40750603} a^{16} + \frac{8055965}{40750603} a^{15} + \frac{5421244}{40750603} a^{14} - \frac{9725560}{40750603} a^{13} - \frac{14756062}{40750603} a^{12} + \frac{13826991}{40750603} a^{11} - \frac{7446745}{40750603} a^{10} + \frac{3315513}{40750603} a^{9} + \frac{10227366}{40750603} a^{8} + \frac{15224517}{40750603} a^{7} + \frac{10486956}{40750603} a^{6} + \frac{16282369}{40750603} a^{5} - \frac{8809219}{40750603} a^{4} - \frac{10544728}{40750603} a^{3} - \frac{7902945}{40750603} a^{2} + \frac{9285629}{40750603} a - \frac{97449}{227657}$, $\frac{1}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{33} + \frac{2679677724884980080545321688713389104551858683158645706090913762333009119212902244011725952124391985382243627587655245848588091534524142359314090920002823194783846916016091034911011812915147382101266220723153210903802645509780798131686324399632249921452739296831407}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{32} + \frac{1702348168954397916969538124813946907062127606949531708658649177000706567362106759305677527381146550314878557103242691770055361440674647534018115423424793514242783548389440418220114810355116956367597963586451748063137785087269870771211559891025330150521099265397180639}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{31} - \frac{15843571467941555389369549495293409359961100118887771970665792816684711622261609839498654776925146042846416880642040941839395718119739467103047339013303680992559418326837956137572785003316292491594374944018343271743311722272320667313382194398142639622960008683438703544}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{30} - \frac{3564459747652678198614259673164672901085857001644564897794183636440274536230243312708201044611520941570424030738602755601900630733321755976039991685803270299871544698485186554012340535457281015735674045609729855396981038390697029201525501720247583246490359261974242610}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{29} + \frac{333668501343505874563480380190688692703691181456831666308995980436419544813794853419251668335785432269018364486354816059832541429946893142319772219474268628076276590303842406215646108209982859171913327172962340828859077390567489686363172028847826956670067471822124489802635}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{28} - \frac{479331352003159620436551244164521902735395001697588792729754782976592276662611542870625905984133227444642764978078210359455119801005804207151324809063589763112263696529896896934836191331024856956563999691068183781350361875517677700959378977375937166146796511433823943477081}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{27} - \frac{516552246264115122723714572353690824746309578409889708982277865237591888418647212296781579792082517966350632912451047651542336878599739347041142769855338840823069635731284766840920749391844642425051093028696913275392914162011354584347316610283838010633524235241429320564429}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{26} - \frac{44992651795938286301201145709967380500462030508989164591813658155853390473575401375914748964849248635891478746883093672234346876439466544645698891120364676698160417364462213219346943299082216226155672412587228694510670382712319125063272609501711918712186556927603083614337}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{25} - \frac{700981992929758484125818218713632680935533105036284428582108664167483739175830692059661741380214028893310654456950717276738885256333550098712134558622322114772079495122522625521074677569278185252922494047785895132801458070203179779249719231594696777984443275418558466410824}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{24} - \frac{60538683063676522924410101178603702902134735191362819141920149312944417475950712916369960899394699984888452199471995727977565727087047682870035083901289612630578634188927842632275155093287923463646783285879165648465457149040442789202778434436744966413033616926255744426227}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{23} - \frac{606457647700250496528199230779273817180076640404835172135694588966199571630709423627989996644703770781209294386731751581858760938465014185172305069805645563216801390723881606846764774658904168040616081907029666965721692297824282526497503926624575262681878342012781653593578}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{22} - \frac{393256148972741284936692993944751010831506735077342436912624304901030903082718380151063659999336444824128182552403504059671343973192875072757193249939798620003663744472301840528345865559447646816870095916648193927531245518907692881776146340188087971082723250706412285474665}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{21} + \frac{572535474489011252240839246333545029060363702701821722315933587945939545328511381027761918060673404139202753814545187236304187970888106114626751266239533035038329677055077638214766007744446986389311010190719263859549633691028699423969115119281638854689420684935284573301588}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{20} + \frac{579193623216487240972333347933591744216351438733957288025806235539622816761770899568520260958401349694258771273192983822861450492410859732190170436684584692882306192466545504242533499004562996542060342996132859416289538488110021419931814470742396840210579778475277364989938}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{19} - \frac{234651325372624477027853895115194529871581831144455571354881525925489835189773352833224820109940842242493023011825684265786663173184513944420979793924448723648524006942301804364028482964530882566242931942190239911622548588317406553344739865545325047688543638451934474628163}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{18} - \frac{156672386893683086652633699996342731260831621088756230208760928705427296520762044060545583257274492649515918270799785093599893574965975857410886762697817384288344115555158975597429715576018448853561698811237965762329541596731437842935525562868099145901430925309984822704799}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{17} + \frac{741913711982306894845296175584347791264430686199433819151230970454183129230827321946258293724885200054219148364016031568668729588508563818651794204204633275046750316308697090096401250305175459924501973283307891283557304002040676451775640415289219153888008373958153700267746}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{16} - \frac{698542956184201426550577238736428304572154012662866372864273559047338551020285605096902584345180543309931507349705086464657554799829452915975423455090273917166195037171121676833830062122565869745807888516373269205496299308690660487523962013755187766345668659367480662626985}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{15} + \frac{1011354587731684556210649417145402505993882691055797547995284982125384456211969918231527981881830613030606096111937262927233213987012659750265214979230825971087180984834033448413372999939337459397701980900675882439247617884602128371756153984305212123721730055714240479189}{6757641639168113970070035009696247670412506507554724106352219553981595137179584213447972721067449463258458013882719836786138562579823762649602652329674914874377797228627010630152726290639413178089301097832751049079826164282081394425750117041056545008054054519000416527341} a^{14} + \frac{3661723828961829653787823075303064986339414882609252901325084699508595629688353360606942359304605959396400326657946610978694225212369587210997225464965112261555843513003095446728249180441909488151245129993535605935652581759474092360455761749067146758411974756150255922340}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{13} + \frac{387561309723383839782377156751399291518374385393222261598954364600484677763932527710110079916132632859977581093341894057505397531759871093721273537911554796677063388138458800465238880375831070161699248563617509578011865714585627469649851090590280213049867287771964062860428}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{12} - \frac{262222967105097229083751624505338492335595890971559848250219269030250143196603755562383225939930170628083081843193661566937111293429070382693518258101192974890157116039363154911181290519158486156960665546062105712998381854417154373495146614236728753875610865868131027850412}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{11} - \frac{119113737090864358011884515254508128380604259138276186182819929366020347380782199469356611693996224831272121968281456313912767562247865641839742106893465171816465301005271239393979525461422511378678072624071697961893459288296673674296307494731632451148626662610403119166841}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{10} - \frac{486354058689909287455981803277835956687648696907080409438354108347692855308583948079989908187079661305442678018689950099280432780877458550468167084516997391210294758089540764628954317081813270995094266175794658945087939893070106314190330315233271414755240372846628071060400}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{9} + \frac{543101312674747574703249247856712837666737163711188790573314046063402625854468709555044807922092293243269270384113795403341305086250773756120731747060054365119623279457168483794260890002809289952456879829099193766572359535325871490209638975692784829967931762439970026687062}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{8} + \frac{774220318147800578204946920815705202086388320790130092545059064596687857933964313968062284005812670604306397792946267121631243983428879776095755896847182875727534271636874489221482474024930323755703044492108115861038650609126892590467832078411991924735922884912208870490483}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{7} - \frac{537269379317197063944020204948632785907205290220108017557533490547458701548287714577119484437838566330624034043859457132495867553999290198151192280554241011604851282304119132291120910154760820599772687961728588895765273185677237638782704537961291831077802099065748220828355}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{6} - \frac{5164638724019733304859817675441423439262733111574189098996790364341802152429776357573144166265954146303261305185174795566173898975801083040445521363329661366766484265925105723347181286329265387464497419610561157523315699323374511272473378273980213359506475536635425166223}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{5} + \frac{242013277200955286330088823055222951536380641210351907122980390781858332689845534498071255952561064826978178210804588553864907691584495535162271138216648957060618186232763838356036284249734849837338854579505704564750020796838146898028963346196016677905769631739989742909540}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{4} + \frac{307773418369235910133881769097751693156204940425824316887569624208359821238633475212860463672535582747221202077725408153447364453272935146959731439990728483169724850717760510160782450519320463986396100377596228922230971323267479850539012040017094738144515493111677060712957}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{3} + \frac{382871098949515233473607974085165412421067155531685721317936554328203379296801595841094040882442564142786950788311437342965013592959674523570718791319106890439088913790212228401738302373216383468993998870947237708964086728224370981334545071429987707788094024919413810689367}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a^{2} + \frac{377327076398999424451456911400380648115081147138516680633950535466408005025691192509526839453636446080599508480104190615708486059539281141980061549063690440412197907137027025096773726829075233597594924622798844922646731211498590911125377788658619052325215026449701502738246}{1696168051431196606487578787433758165273539133396235750694407108049380379432075637575441152987929815277872961484562679033320779207535764425050265734748403633468827104385379668168334298950492707700414575556020513319036367234802430000863279377305192797021567684269104548362591} a - \frac{4238456402808188646982477124104869294670481239863800648948461021510967955024082942701313192593792301352064486132636644530330615631663613042438794793468427875017071282508491284215320563791582051971763362865546411144208863974289188465310723561014040311683900735023061679547}{9475799170006684952444574231473509303204129236850479054158698927650169717497629260197995268088993381440631069746160218063244576578412091760057350473454768902060486616678098704851029603075378255309578634391176052061655682875991229055102119426285993279450098794799466750629}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $33$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{85}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ $17^{2}$ R $17^{2}$ $34$ $34$ R $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $34$ $17^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
17Data not computed