↑

Properties

Label 34.34.4277805572...3125.1
Degree $34$
Signature $[34, 0]$
Discriminant $5^{17}\cdot 17^{64}$
Root discriminant $463.05$
Ramified primes $5, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-91743049, 5245819744, 357415707307, 4827352981581, 14557860451922, -50827220284253, -139549348301553, 127917211044737, 346755094707706, -168953845471865, -397891177590339, 141090294038224, 255575361105997, -77601081092085, -100749536908265, 28465094374839, 25561964499996, -7031231700617, -4267757982893, 1177730496466, 470763096977, -133964029017, -33854343711, 10283938299, 1527244198, -524195408, -39188332, 17212551, 389113, -344743, 4947, 3774, -153, -17, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - 17*x^33 - 153*x^32 + 3774*x^31 + 4947*x^30 - 344743*x^29 + 389113*x^28 + 17212551*x^27 - 39188332*x^26 - 524195408*x^25 + 1527244198*x^24 + 10283938299*x^23 - 33854343711*x^22 - 133964029017*x^21 + 470763096977*x^20 + 1177730496466*x^19 - 4267757982893*x^18 - 7031231700617*x^17 + 25561964499996*x^16 + 28465094374839*x^15 - 100749536908265*x^14 - 77601081092085*x^13 + 255575361105997*x^12 + 141090294038224*x^11 - 397891177590339*x^10 - 168953845471865*x^9 + 346755094707706*x^8 + 127917211044737*x^7 - 139549348301553*x^6 - 50827220284253*x^5 + 14557860451922*x^4 + 4827352981581*x^3 + 357415707307*x^2 + 5245819744*x - 91743049)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - 17*x^33 - 153*x^32 + 3774*x^31 + 4947*x^30 - 344743*x^29 + 389113*x^28 + 17212551*x^27 - 39188332*x^26 - 524195408*x^25 + 1527244198*x^24 + 10283938299*x^23 - 33854343711*x^22 - 133964029017*x^21 + 470763096977*x^20 + 1177730496466*x^19 - 4267757982893*x^18 - 7031231700617*x^17 + 25561964499996*x^16 + 28465094374839*x^15 - 100749536908265*x^14 - 77601081092085*x^13 + 255575361105997*x^12 + 141090294038224*x^11 - 397891177590339*x^10 - 168953845471865*x^9 + 346755094707706*x^8 + 127917211044737*x^7 - 139549348301553*x^6 - 50827220284253*x^5 + 14557860451922*x^4 + 4827352981581*x^3 + 357415707307*x^2 + 5245819744*x - 91743049, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - 17 x^{33} - 153 x^{32} + 3774 x^{31} + 4947 x^{30} - 344743 x^{29} + 389113 x^{28} + 17212551 x^{27} - 39188332 x^{26} - 524195408 x^{25} + 1527244198 x^{24} + 10283938299 x^{23} - 33854343711 x^{22} - 133964029017 x^{21} + 470763096977 x^{20} + 1177730496466 x^{19} - 4267757982893 x^{18} - 7031231700617 x^{17} + 25561964499996 x^{16} + 28465094374839 x^{15} - 100749536908265 x^{14} - 77601081092085 x^{13} + 255575361105997 x^{12} + 141090294038224 x^{11} - 397891177590339 x^{10} - 168953845471865 x^{9} + 346755094707706 x^{8} + 127917211044737 x^{7} - 139549348301553 x^{6} - 50827220284253 x^{5} + 14557860451922 x^{4} + 4827352981581 x^{3} + 357415707307 x^{2} + 5245819744 x - 91743049 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[34, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(4277805572968337442902622732537157899478067321597864172247207006543412635394532012939453125=5^{17}\cdot 17^{64}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $463.05$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1445=5\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1445}(256,·)$, $\chi_{1445}(1,·)$, $\chi_{1445}(1429,·)$, $\chi_{1445}(1174,·)$, $\chi_{1445}(919,·)$, $\chi_{1445}(664,·)$, $\chi_{1445}(409,·)$, $\chi_{1445}(154,·)$, $\chi_{1445}(1191,·)$, $\chi_{1445}(936,·)$, $\chi_{1445}(681,·)$, $\chi_{1445}(426,·)$, $\chi_{1445}(171,·)$, $\chi_{1445}(1344,·)$, $\chi_{1445}(1089,·)$, $\chi_{1445}(834,·)$, $\chi_{1445}(579,·)$, $\chi_{1445}(324,·)$, $\chi_{1445}(69,·)$, $\chi_{1445}(1361,·)$, $\chi_{1445}(1106,·)$, $\chi_{1445}(851,·)$, $\chi_{1445}(596,·)$, $\chi_{1445}(341,·)$, $\chi_{1445}(86,·)$, $\chi_{1445}(1259,·)$, $\chi_{1445}(1004,·)$, $\chi_{1445}(749,·)$, $\chi_{1445}(494,·)$, $\chi_{1445}(239,·)$, $\chi_{1445}(1276,·)$, $\chi_{1445}(1021,·)$, $\chi_{1445}(766,·)$, $\chi_{1445}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{131} a^{29} - \frac{19}{131} a^{28} + \frac{17}{131} a^{27} + \frac{49}{131} a^{26} - \frac{31}{131} a^{25} + \frac{50}{131} a^{24} - \frac{27}{131} a^{23} + \frac{1}{131} a^{22} + \frac{42}{131} a^{21} - \frac{14}{131} a^{20} + \frac{47}{131} a^{19} - \frac{26}{131} a^{18} - \frac{62}{131} a^{17} + \frac{9}{131} a^{16} - \frac{50}{131} a^{15} + \frac{10}{131} a^{14} + \frac{50}{131} a^{13} - \frac{12}{131} a^{12} - \frac{5}{131} a^{11} + \frac{14}{131} a^{10} - \frac{22}{131} a^{9} + \frac{38}{131} a^{8} + \frac{51}{131} a^{7} - \frac{46}{131} a^{6} - \frac{37}{131} a^{5} - \frac{53}{131} a^{4} + \frac{35}{131} a^{3} - \frac{58}{131} a^{2} - \frac{61}{131} a + \frac{4}{131}$, $\frac{1}{131} a^{30} + \frac{49}{131} a^{28} - \frac{21}{131} a^{27} - \frac{17}{131} a^{26} - \frac{15}{131} a^{25} + \frac{6}{131} a^{24} + \frac{12}{131} a^{23} + \frac{61}{131} a^{22} - \frac{2}{131} a^{21} + \frac{43}{131} a^{20} - \frac{50}{131} a^{19} - \frac{32}{131} a^{18} + \frac{10}{131} a^{17} - \frac{10}{131} a^{16} - \frac{23}{131} a^{15} - \frac{22}{131} a^{14} + \frac{21}{131} a^{13} + \frac{29}{131} a^{12} + \frac{50}{131} a^{11} - \frac{18}{131} a^{10} + \frac{13}{131} a^{9} - \frac{13}{131} a^{8} + \frac{6}{131} a^{7} + \frac{6}{131} a^{6} + \frac{30}{131} a^{5} - \frac{55}{131} a^{4} - \frac{48}{131} a^{3} + \frac{16}{131} a^{2} + \frac{24}{131} a - \frac{55}{131}$, $\frac{1}{131} a^{31} - \frac{7}{131} a^{28} - \frac{64}{131} a^{27} - \frac{58}{131} a^{26} - \frac{47}{131} a^{25} + \frac{51}{131} a^{24} - \frac{57}{131} a^{23} - \frac{51}{131} a^{22} - \frac{50}{131} a^{21} - \frac{19}{131} a^{20} + \frac{23}{131} a^{19} - \frac{26}{131} a^{18} + \frac{15}{131} a^{17} + \frac{60}{131} a^{16} - \frac{61}{131} a^{15} + \frac{55}{131} a^{14} - \frac{63}{131} a^{13} - \frac{17}{131} a^{12} - \frac{35}{131} a^{11} - \frac{18}{131} a^{10} + \frac{17}{131} a^{9} - \frac{22}{131} a^{8} - \frac{4}{131} a^{7} + \frac{57}{131} a^{6} + \frac{55}{131} a^{5} + \frac{60}{131} a^{4} + \frac{4}{131} a^{3} - \frac{16}{131} a^{2} + \frac{52}{131} a - \frac{65}{131}$, $\frac{1}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{32} - \frac{12348116149615950779326288055060826295808627588}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{31} + \frac{9044732620506720804028870994577524341602994014}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{30} - \frac{5454531806672496882285470156528997972760768500}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{29} - \frac{749845446063471960507725503686503905186208448116}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{28} + \frac{1959000221495592856442192722026056989572354812413}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{27} + \frac{1639574060806911180057898810725666906149085842671}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{26} - \frac{527412965115947530958001408945940338979619416641}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{25} + \frac{934094303607193974512835340740700083093815893464}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{24} - \frac{915832139334097229978164499924342220438572807816}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{23} - \frac{320972366794287921648551667564532355477023347618}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{22} + \frac{1201602640678524028039221007121411405945480392622}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{21} - \frac{1804590392125886265104859339172838148274235899921}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{20} - \frac{557887672027220237876345962057249929797890848239}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{19} + \frac{1016178908500527506633720289273675911020504619582}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{18} - \frac{1305865177940354674146532040789139389425725134652}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{17} + \frac{1813899772610049067247000640705648146747501618259}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{16} - \frac{1090180041666548766966878162907545383845454175514}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{15} - \frac{1617508841710872918441203749550201612547778899451}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{14} + \frac{9773604202336230458385098088899547836400034754}{22036370087023154176387174925023714862832841337} a^{13} - \frac{1873084161188566426309541922904223199487596466476}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{12} + \frac{547325021445702571829180977428038669782290679804}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{11} - \frac{44767442512257148034835066841166253184617462072}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{10} - \frac{511645425734028157194020833458620749084443157137}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{9} - \frac{800110141967940248542836529578652565489281701209}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{8} + \frac{43886364217560298266545631554347567119133718757}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{7} - \frac{1336191460258934268267965173189422278408136764920}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{6} - \frac{1857132122824334456672378131292986809141360489953}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{5} + \frac{1328842157373056925906709200607606858855529486654}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{4} + \frac{766152916976441780625047782301734475301866089735}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{3} - \frac{1722878308569271317422540968531377758575097410908}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a^{2} + \frac{914004997173090385522346735932501128114381198184}{3944510245577144597573304311579244960447078599323} a + \frac{3373087925251498275389528989100863851701162061}{22036370087023154176387174925023714862832841337}$, $\frac{1}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{33} - \frac{7000537673522807257678245172479190026965520722602045104783407948928741503397447621578041392938620004616842075448127551569127403769289946553542}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{32} + \frac{1578022717319647517654762285404310521202875781783102133336909334157782000402665292079582694930062212759712874691676556028842747068266282037830715421706152606664116508579382134946631404342777}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{31} - \frac{4071377348857144317846459346316585326974247189467329558674823231055081257814308569827259878934199666818523411141395276341917720767268090150282653560203963958334830524687650646158082531888503}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{30} + \frac{289747077156766723678899738385560401786034741786730260724806506904756586052612597336407351311580062016654142915711952749850318853531293402961258246253614388384240834943202611394407736824954}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{29} + \frac{459689958250588784082108077967503110542597143933400787041370396132893481631381670268912433445597057853413615622326989892147259363739181191388692461593386054423496772843899190800678724569215193}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{28} + \frac{86997267376959212892552388631700271207462289583893546234545574083816982639834169516793975930153232999881683738993974324654981345767862208907324045572679878161664939926461133482090862116847013}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{27} - \frac{527462408986780253389189104233051322599119513368261800450975912555869762932711876954658307128512195789578522311041742679005065306378653874700531542120214224602163518342394829585019164776236985}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{26} + \frac{229339413604863852621613623191390969850463600744995015461155131339034865047921097704484876268886978826217027189966414808911613560285387204956888384753769194152570148996879815441257646200766422}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{25} + \frac{246906315086768848701739142293914829173787633694589188532404978951687286648187984334230224429705445923923785832518297308575874362728332751723217970433242153920486553851999239542258566373769129}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{24} - \frac{416453804868935343386024105273679546729189350601555426256159501619240561990537545512064284962441670788602098033700599995099484361241170639748753690322089756935984155276273115356721304207630372}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{23} - \frac{23811672106934551944886069850630901569426400395149378461252535738745360382040462759628176680341739322256012162615826988589283652933895667181006790505565258780776097958784276714051551535032289}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{22} - \frac{241896746481650909821527468831047848719709096496359373568589175352373768115254498360808444493421773287584277224074279750880970562223652316183787952413200733307993216919254793574054931997571162}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{21} - \frac{223127848113761808415239234403048388834680732608337327402719861304506092753056317680940246219629590545979271043886768624082735867044992973131722426091819562867677435594285318395886689393910856}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{20} - \frac{207103292514878654177422661118481315456379756578511112976752171502863238160477727767841880331571499141692856344324825786178909995090598195473397113020974720678341496125714855714040893301443256}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{19} - \frac{100399775611950203941020604326990028736094687736304011349958825143642705058036401025912179515652635839166633311836469716832826468908018862750644475401294526716212681632055808344572538350128495}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{18} + \frac{141843418770852032471328985675453855029584415324007002579619917311769838155882208743577766849308157923735274302165238678590060035528732375789862127926017693898527486744277174582960886606553909}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{17} + \frac{489794594581822153533052376703624780408362098954672394012304388963376719672760324496666630861606248462540927645372204197168442901825517010159314009050378971926493441161269179829608545749090004}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{16} - \frac{75147890030614108050954490046284264401351771576503791722452436688229413772949543377878538297234984917197829225960046453643154982063065924374242230611547988028212990150307162460285237746309988}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{15} - \frac{26943078669797247760810915585623212009263225873801762787893922139755572870277231289506627146710752715733667826394120487885527676415135081696323841227859330329186147300620981178598023174869300}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{14} - \frac{355573990604526893726040376112800450155250946621922382916693347605540451862308375390551828402068129708650110037609519399766900379121177604539401223274187964204306240804284689171902069349739415}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{13} + \frac{439658084014213007169346847744874540751713386545488874988311269409505281977367762650615450990527920423606141456333582958233802693672414484017283239508492849261063800116813394639129827707677147}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{12} + \frac{363968009942994120916785420870920964289445778369588928602946216667234757190043473894254533881044122581685844473267147236393040646091461073804569110531834340030166803088451741077727605065603470}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{11} + \frac{286594765820185720971412201256843548326927069773466894274054549579855570997653573982068337659328314147804694145954346893839206378521186248863838789847777990816269534452021903466276595013768014}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{10} + \frac{373886376130900979997041704978250508811402445459558258907461612113843548889942281479299587372989783885501096912389720409957150743952314793397953587366280922742233591454648865928765611921305708}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{9} + \frac{349257275958509789142667464656703234116586221216884634128138971663231244207235070763131414456390431737094479909086819576768217322144353150929672253388791513415675938109236105842511597257309453}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{8} - \frac{142139132102986952593254903558592387818909309070662216260886135749654731619905201990271829634800496968160463789047369955670963847740577426837344345394577484408722510232931702812487084043449777}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{7} + \frac{38698667263052460279470633968521893084597933484874079979206674571079332105663265676024557923821688014472233262055795125476167598500706311451698103638454778365789418565807202991583968870320609}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{6} - \frac{86078851830569367977569294146987938396922146481774895858255810444304654306042050233161334231354766635923318842709011244399655991104205952506505083575806210954015323642631193680437034477910321}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{5} + \frac{449991400942038089105156717719166188890909603082955152370718210475424610461613449892853996110356892854407297376557543394907602097132840858581439600747196602163445552664213699665659028051312272}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{4} + \frac{468075521818535882514244455706801928524505077231463659153120924637267570896788539835898951795912193153187688898995506258829727207047696504803956779147476641784971416274092065495518114935935549}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{3} + \frac{144714047970921730316588972315027648301991505377430541391596686401551128760596629082552412498060708583985460734258691730723461271900696462118287974219739496213968442966207297973532270077956211}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a^{2} - \frac{270201947491864591780364190748932856037906209776010521667554107580554831290132615314567650028342881281477525500731094396560783029326176434779628696373604326727273867096854793951896898560810343}{1067004237052127883202074824652758362471016770715844344143963764388488938921003570810289878128381069732047044172327390623908709973680760236307808109314811757514366103467091656186385593726851247} a - \frac{629309206786255256293587247087396413459507915304652184960171920607099992468576411960934584763412317669316851492362700689466399671405966051915315734913695895657549700017823061206863147778034}{5960917525430882029061870528786359566877188663217007509184155108315580664363148440280949039823357931463949967443169780021836368568048939867641386085557607583879140242832914280370869238697493}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $33$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ $34$ R $34$ $17^{2}$ $34$ R $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $17^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
17Data not computed