↑

Properties

Label 34.34.2478955837...8125.1
Degree $34$
Signature $[34, 0]$
Discriminant $5^{17}\cdot 137^{33}$
Root discriminant $265.07$
Ramified primes $5, 137$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![518048239, 16756629819, 39475574655, -1106141043978, -2924432830149, 5925825855405, 14626784219284, -11680260203210, -29973563468600, 10681449516208, 32625070228154, -4877474865368, -21446845043233, 894485837938, 9166278196658, 144933466171, -2662361309487, -118674424070, 539145206811, 30024370149, -77053618834, -4297036281, 7782228252, 383495751, -550705966, -21757841, 26787449, 774992, -866723, -16677, 17646, 198, -203, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 - 203*x^32 + 198*x^31 + 17646*x^30 - 16677*x^29 - 866723*x^28 + 774992*x^27 + 26787449*x^26 - 21757841*x^25 - 550705966*x^24 + 383495751*x^23 + 7782228252*x^22 - 4297036281*x^21 - 77053618834*x^20 + 30024370149*x^19 + 539145206811*x^18 - 118674424070*x^17 - 2662361309487*x^16 + 144933466171*x^15 + 9166278196658*x^14 + 894485837938*x^13 - 21446845043233*x^12 - 4877474865368*x^11 + 32625070228154*x^10 + 10681449516208*x^9 - 29973563468600*x^8 - 11680260203210*x^7 + 14626784219284*x^6 + 5925825855405*x^5 - 2924432830149*x^4 - 1106141043978*x^3 + 39475574655*x^2 + 16756629819*x + 518048239)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 - 203*x^32 + 198*x^31 + 17646*x^30 - 16677*x^29 - 866723*x^28 + 774992*x^27 + 26787449*x^26 - 21757841*x^25 - 550705966*x^24 + 383495751*x^23 + 7782228252*x^22 - 4297036281*x^21 - 77053618834*x^20 + 30024370149*x^19 + 539145206811*x^18 - 118674424070*x^17 - 2662361309487*x^16 + 144933466171*x^15 + 9166278196658*x^14 + 894485837938*x^13 - 21446845043233*x^12 - 4877474865368*x^11 + 32625070228154*x^10 + 10681449516208*x^9 - 29973563468600*x^8 - 11680260203210*x^7 + 14626784219284*x^6 + 5925825855405*x^5 - 2924432830149*x^4 - 1106141043978*x^3 + 39475574655*x^2 + 16756629819*x + 518048239, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} - 203 x^{32} + 198 x^{31} + 17646 x^{30} - 16677 x^{29} - 866723 x^{28} + 774992 x^{27} + 26787449 x^{26} - 21757841 x^{25} - 550705966 x^{24} + 383495751 x^{23} + 7782228252 x^{22} - 4297036281 x^{21} - 77053618834 x^{20} + 30024370149 x^{19} + 539145206811 x^{18} - 118674424070 x^{17} - 2662361309487 x^{16} + 144933466171 x^{15} + 9166278196658 x^{14} + 894485837938 x^{13} - 21446845043233 x^{12} - 4877474865368 x^{11} + 32625070228154 x^{10} + 10681449516208 x^{9} - 29973563468600 x^{8} - 11680260203210 x^{7} + 14626784219284 x^{6} + 5925825855405 x^{5} - 2924432830149 x^{4} - 1106141043978 x^{3} + 39475574655 x^{2} + 16756629819 x + 518048239 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[34, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(24789558373629456699914418010959774330391868014303642018155017472360456085205078125=5^{17}\cdot 137^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $265.07$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 137$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(685=5\cdot 137\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{685}(256,·)$, $\chi_{685}(1,·)$, $\chi_{685}(514,·)$, $\chi_{685}(4,·)$, $\chi_{685}(396,·)$, $\chi_{685}(14,·)$, $\chi_{685}(16,·)$, $\chi_{685}(346,·)$, $\chi_{685}(669,·)$, $\chi_{685}(159,·)$, $\chi_{685}(289,·)$, $\chi_{685}(681,·)$, $\chi_{685}(171,·)$, $\chi_{685}(684,·)$, $\chi_{685}(429,·)$, $\chi_{685}(49,·)$, $\chi_{685}(56,·)$, $\chi_{685}(671,·)$, $\chi_{685}(64,·)$, $\chi_{685}(196,·)$, $\chi_{685}(586,·)$, $\chi_{685}(461,·)$, $\chi_{685}(339,·)$, $\chi_{685}(526,·)$, $\chi_{685}(214,·)$, $\chi_{685}(471,·)$, $\chi_{685}(474,·)$, $\chi_{685}(224,·)$, $\chi_{685}(99,·)$, $\chi_{685}(489,·)$, $\chi_{685}(621,·)$, $\chi_{685}(211,·)$, $\chi_{685}(629,·)$, $\chi_{685}(636,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{311} a^{30} + \frac{126}{311} a^{29} - \frac{115}{311} a^{28} - \frac{46}{311} a^{27} + \frac{136}{311} a^{26} - \frac{84}{311} a^{25} - \frac{132}{311} a^{24} - \frac{121}{311} a^{23} - \frac{24}{311} a^{22} + \frac{124}{311} a^{21} + \frac{143}{311} a^{20} - \frac{144}{311} a^{19} + \frac{79}{311} a^{18} + \frac{108}{311} a^{17} + \frac{88}{311} a^{16} + \frac{148}{311} a^{15} + \frac{42}{311} a^{14} - \frac{18}{311} a^{13} + \frac{61}{311} a^{12} - \frac{31}{311} a^{11} + \frac{140}{311} a^{10} - \frac{41}{311} a^{9} + \frac{88}{311} a^{8} + \frac{139}{311} a^{7} - \frac{22}{311} a^{6} + \frac{100}{311} a^{5} - \frac{29}{311} a^{4} + \frac{109}{311} a^{3} - \frac{130}{311} a^{2} - \frac{13}{311} a + \frac{23}{311}$, $\frac{1}{39497} a^{31} + \frac{44}{39497} a^{30} - \frac{10758}{39497} a^{29} - \frac{879}{39497} a^{28} + \frac{9817}{39497} a^{27} + \frac{3070}{39497} a^{26} + \frac{1780}{39497} a^{25} + \frac{13191}{39497} a^{24} - \frac{4097}{39497} a^{23} + \frac{1159}{39497} a^{22} + \frac{7391}{39497} a^{21} + \frac{17675}{39497} a^{20} + \frac{380}{39497} a^{19} - \frac{4193}{39497} a^{18} + \frac{1806}{39497} a^{17} + \frac{16568}{39497} a^{16} - \frac{18625}{39497} a^{15} - \frac{9682}{39497} a^{14} - \frac{9037}{39497} a^{13} - \frac{19339}{39497} a^{12} - \frac{9447}{39497} a^{11} + \frac{10871}{39497} a^{10} + \frac{3139}{39497} a^{9} + \frac{15937}{39497} a^{8} + \frac{5063}{39497} a^{7} - \frac{17378}{39497} a^{6} + \frac{16651}{39497} a^{5} - \frac{5599}{39497} a^{4} + \frac{12080}{39497} a^{3} - \frac{17654}{39497} a^{2} + \frac{8864}{39497} a + \frac{18329}{39497}$, $\frac{1}{33927923} a^{32} - \frac{196}{33927923} a^{31} + \frac{13480}{33927923} a^{30} + \frac{13206115}{33927923} a^{29} + \frac{11188370}{33927923} a^{28} - \frac{4704161}{33927923} a^{27} + \frac{14977674}{33927923} a^{26} - \frac{6022837}{33927923} a^{25} - \frac{8592710}{33927923} a^{24} - \frac{10533064}{33927923} a^{23} + \frac{7543922}{33927923} a^{22} - \frac{9882768}{33927923} a^{21} - \frac{13247444}{33927923} a^{20} + \frac{3978005}{33927923} a^{19} - \frac{29506}{267149} a^{18} - \frac{4202615}{33927923} a^{17} + \frac{13523181}{33927923} a^{16} + \frac{10479356}{33927923} a^{15} - \frac{16051335}{33927923} a^{14} - \frac{7798115}{33927923} a^{13} - \frac{6595395}{33927923} a^{12} - \frac{2394814}{33927923} a^{11} + \frac{5149100}{33927923} a^{10} + \frac{14069126}{33927923} a^{9} - \frac{8696490}{33927923} a^{8} - \frac{5163910}{33927923} a^{7} - \frac{9059237}{33927923} a^{6} - \frac{6486086}{33927923} a^{5} + \frac{9786481}{33927923} a^{4} - \frac{3073572}{33927923} a^{3} + \frac{10307280}{33927923} a^{2} - \frac{8248973}{33927923} a + \frac{3866327}{33927923}$, $\frac{1}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{33} + \frac{23048944330699486914924980485191117402719339082684863455216708023498989315302084708643763352421338434375171656516079371464121353816394735743955463107885859165226877928336868196714502216635}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{32} + \frac{7421608298355257722778725766514064264911482416957059011849345432683996329544644983686323047153030573286321245192270246493250415910862082335458330213100666587119023591957579391208331982487595}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{31} - \frac{564246649509298068776732650725381565762368724683538342981891768921370191423068246382003958388527347469007302751726841401338664640970541296120411358633923563422338004702410542583139709806580801}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{30} + \frac{320020483691577794193712697590868867135715395957345191970971626114961934599090843115806287509381756695040846912392084031585196370806204868961032300787492014920075274671964146920539128916246801785}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{29} - \frac{590932573448022077269420551819867964400114604490984499760962615118248233246049661977679301490511156365046902191078616427322028291932272929734945839468100059432776508144143837344532484490144577658}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{28} + \frac{25152718214840509631244707995186389761577109179504291701000527520614610727067452072187324965147935239599031367965689999664221620123386029211116099978254638888046153487711304165808133288664951243}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{27} - \frac{134591987099282449048543812319933954542196003484106274592079936868713789410802628222799214510609184912161943805307091380539220142043401621335683881528326574694554905720000540943429886257848260580}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{26} - \frac{20324148059753642508955841050114515967520139101564037623089696772085877417273807329778516213825947550997780799823176180046505358664572671365258100029238553999602370316267624650129863340520391612}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{25} + \frac{600992336051738224643687061800779118076209657489491745946071405074932934599315695976160198885077304628370413554674284517849672199067724887442333944341929060274715312962836414325692565635832561026}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{24} + \frac{787501714941757661378034725777574762738976293060434557322305284219439880331249518591760010145371513307093707805645396708073838966608184501769990852990019044845192874181299168606350165173188858863}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{23} + \frac{75047476367551248743000361312473006634947923522308687340947074741797320643474560295563040105096006838147637071710403528322347133978434964575580546648834282351035828496356368371651106607712593167}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{22} - \frac{106780455804207184017419779363336597406113207147749119194565502041316954720320270401223304864576248310615060560689705986390292380883867879447841010989744533310273279903895200737882969320361349792}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{21} - \frac{491838726646557347564922131917101637218211629946193357303276878365001101196592452135519979652020796623348241755987413180594705329558571191724072782726831184937231525801104781020997448312969095669}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{20} + \frac{662729020107734178282859575734659911661458199630694040821662067664474802883485946527794533503561836823872173339480077451098000153884503770110762421342203843910781508324850821587925795771581441325}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{19} - \frac{712904067359912862373157820664611035882550473398067488037449078771453422935903658628183375239655554498480802671336193314877689963776918596234784565242048752917637712866877425559971105029054875075}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{18} + \frac{399142474860328028912955810214676500325512307995359886643210666327214849517783689474670929943257057395465498227404096823752373409710973742275677641193278631868181735915237261413205292771589601308}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{17} + \frac{664120617057847003692948699684780058763818792070457020088458381988818594213915384253122734802035120068354476002111751408293284912501498170336162226050160504342156884819234727027518763786851276639}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{16} - \frac{531152515022177903372573468123691637096024639656161150025771968433931417471225790906159910143156785555134947465518629072378566979907244992157058364906429858979151547315338439236796776153549451328}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{15} - \frac{516101347357968596232977143196048889907277767064876618118512030687628148186174271651152020757675684913639565077219434569725561996552999753855559703924345581172427573866094501163923278060444237900}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{14} - \frac{395786030350236620877522393927225089935640578229755778210056874894203014603064891961040553785581263681638444680586877170834769598378825993018405083800535214218580546440749448093066477012762286636}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{13} + \frac{210277883144636610537749147279724038415756092901005521181665222831503027210612803901719817558851125575663902237985877109060898549021343084809684996877922260298345316388805478368182641618356929}{42750827843852708370843294417633254191489131694707294522329188012099385166054185319860820434733652565428080833425681362629191756336966976013443719108143276183814831095420795249970323226566265001} a^{12} + \frac{499376020390247868521259395434395118536227782183514726893595553732823953538253392323089935289295538588091221791004735487155034316585047365950203969196324865831658471523956770767877976800245780773}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{11} - \frac{623514579139871185639877994247385608138637841128748502217331802620746634741912039581648763096934146424961149146491465162070415399659850431017372390230417973539602323801363365797192402100740341766}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{10} - \frac{679381579182130391919453110584401159924617711928494548863274732913659890867693736548184289437590278375056840861705292984385467043831979073315618100719789458890238474895705100394999241370616774901}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{9} - \frac{69010110731347844148997745713174189624114481941746043454307152059166429781514917491178847209413744307759899157998524860736909556065751103217667715736101619616366990595428795285268561352537325011}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{8} - \frac{286993523271582711897654109449158189624371351910109681357331887073845446813486264822599204539904971060702104656131050337098891986523053493570895719693328410950104844214144056685427035012257992489}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{7} - \frac{536333369279776863312598018145140435760262911750464527395571889173904407104054170064086170719608415644352132932864423947721952391135642002339873292822527382569447857405831259959254323411270361886}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{6} - \frac{225112791187802781383209187152031301672793519774322351467238013562758376506809717885765900439479654191962706034900591110837312263139392533476375250214934190718675553274565915586452611467348538812}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{5} + \frac{197179238575267354929722229456370373515486691239933750694647390652730183365140226618357308274364417890840056708517148234287309250497804314522621061485877992298954521517207917748948126405917517053}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{4} + \frac{534970182928255174662447967835591518418972777806025691081998693909225230686650022995217476809385681304681626676431996208768012650675800814846291031956856916209308933063920290386829506812318965626}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{3} - \frac{483382040429589535507977493792551684956637866848585351083890625529691594504389676844194199751236038864730035750555600359973358190149210459405970317546708374733305707769507044440480476316856399587}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a^{2} + \frac{460257610940857788788004408511896697511791686158985336419099251738163086960401402893417318980657887219144591804264420127824763814093316852584757433500754855125254368872569581068111277146624558319}{1581780630222550209721201893452430405085097872704169897326179956447677251144004856834850356085145144920838990836750210417280094984467778112497417607001301218801148750530569424248901959382951805037} a - \frac{772150288459319068678401232536053268750573124570689154404768834123113807519737783864435004993957673040148125705062640273156876788794242251456240763733986839965631585768293351117244166344589818}{6788758069624679011678978083486825772897415762678840761056566336685310090746801960664593802940537102664545025050430087627811566456943253701705654965670820681549994637470255039694858194776617189}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $33$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{685}) \), 17.17.15400296222263289476715621650663041.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ $17^{2}$ R $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ ${\href{/LocalNumberField/37.2.0.1}{2} }^{17}$ ${\href{/LocalNumberField/41.2.0.1}{2} }^{17}$ $17^{2}$ $17^{2}$ $17^{2}$ $17^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
137Data not computed