↑

Properties

Label 34.0.96327617921...4064.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,2^{34}\cdot 17^{64}$
Root discriminant $414.16$
Ramified primes $2, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![332929, 0, 7537236518, 0, 511519022437, 0, 5414299847797, 0, 23245158484294, 0, 48360544237899, 0, 51523401408890, 0, 30524985074066, 0, 10717253155706, 0, 2331878110489, 0, 325582777207, 0, 29876496592, 0, 1821763027, 0, 73534996, 0, 1920473, 0, 30804, 0, 272, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 + 272*x^32 + 30804*x^30 + 1920473*x^28 + 73534996*x^26 + 1821763027*x^24 + 29876496592*x^22 + 325582777207*x^20 + 2331878110489*x^18 + 10717253155706*x^16 + 30524985074066*x^14 + 51523401408890*x^12 + 48360544237899*x^10 + 23245158484294*x^8 + 5414299847797*x^6 + 511519022437*x^4 + 7537236518*x^2 + 332929)
 
gp: K = bnfinit(x^34 + 272*x^32 + 30804*x^30 + 1920473*x^28 + 73534996*x^26 + 1821763027*x^24 + 29876496592*x^22 + 325582777207*x^20 + 2331878110489*x^18 + 10717253155706*x^16 + 30524985074066*x^14 + 51523401408890*x^12 + 48360544237899*x^10 + 23245158484294*x^8 + 5414299847797*x^6 + 511519022437*x^4 + 7537236518*x^2 + 332929, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} + 272 x^{32} + 30804 x^{30} + 1920473 x^{28} + 73534996 x^{26} + 1821763027 x^{24} + 29876496592 x^{22} + 325582777207 x^{20} + 2331878110489 x^{18} + 10717253155706 x^{16} + 30524985074066 x^{14} + 51523401408890 x^{12} + 48360544237899 x^{10} + 23245158484294 x^{8} + 5414299847797 x^{6} + 511519022437 x^{4} + 7537236518 x^{2} + 332929 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-96327617921918178221144313424108575958218071686770280802559537554108004555831047895384064=-\,2^{34}\cdot 17^{64}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $414.16$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1156=2^{2}\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1156}(1,·)$, $\chi_{1156}(647,·)$, $\chi_{1156}(137,·)$, $\chi_{1156}(783,·)$, $\chi_{1156}(273,·)$, $\chi_{1156}(919,·)$, $\chi_{1156}(409,·)$, $\chi_{1156}(1055,·)$, $\chi_{1156}(545,·)$, $\chi_{1156}(35,·)$, $\chi_{1156}(681,·)$, $\chi_{1156}(171,·)$, $\chi_{1156}(817,·)$, $\chi_{1156}(307,·)$, $\chi_{1156}(953,·)$, $\chi_{1156}(443,·)$, $\chi_{1156}(1089,·)$, $\chi_{1156}(579,·)$, $\chi_{1156}(69,·)$, $\chi_{1156}(715,·)$, $\chi_{1156}(205,·)$, $\chi_{1156}(851,·)$, $\chi_{1156}(341,·)$, $\chi_{1156}(987,·)$, $\chi_{1156}(477,·)$, $\chi_{1156}(1123,·)$, $\chi_{1156}(613,·)$, $\chi_{1156}(103,·)$, $\chi_{1156}(749,·)$, $\chi_{1156}(239,·)$, $\chi_{1156}(885,·)$, $\chi_{1156}(375,·)$, $\chi_{1156}(1021,·)$, $\chi_{1156}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{131} a^{28} - \frac{35}{131} a^{26} - \frac{29}{131} a^{24} + \frac{49}{131} a^{22} + \frac{34}{131} a^{20} + \frac{41}{131} a^{18} - \frac{23}{131} a^{16} - \frac{26}{131} a^{14} + \frac{43}{131} a^{12} + \frac{26}{131} a^{10} - \frac{51}{131} a^{8} + \frac{51}{131} a^{6} + \frac{64}{131} a^{4} + \frac{65}{131} a^{2} + \frac{11}{131}$, $\frac{1}{131} a^{29} - \frac{35}{131} a^{27} - \frac{29}{131} a^{25} + \frac{49}{131} a^{23} + \frac{34}{131} a^{21} + \frac{41}{131} a^{19} - \frac{23}{131} a^{17} - \frac{26}{131} a^{15} + \frac{43}{131} a^{13} + \frac{26}{131} a^{11} - \frac{51}{131} a^{9} + \frac{51}{131} a^{7} + \frac{64}{131} a^{5} + \frac{65}{131} a^{3} + \frac{11}{131} a$, $\frac{1}{247459} a^{30} - \frac{530}{247459} a^{28} + \frac{107293}{247459} a^{26} - \frac{96029}{247459} a^{24} - \frac{110419}{247459} a^{22} - \frac{93293}{247459} a^{20} - \frac{21497}{247459} a^{18} - \frac{3051}{247459} a^{16} + \frac{72387}{247459} a^{14} - \frac{19818}{247459} a^{12} - \frac{96630}{247459} a^{10} + \frac{91189}{247459} a^{8} - \frac{117536}{247459} a^{6} + \frac{28514}{247459} a^{4} - \frac{108144}{247459} a^{2} + \frac{13812}{247459}$, $\frac{1}{247459} a^{31} - \frac{530}{247459} a^{29} + \frac{107293}{247459} a^{27} - \frac{96029}{247459} a^{25} - \frac{110419}{247459} a^{23} - \frac{93293}{247459} a^{21} - \frac{21497}{247459} a^{19} - \frac{3051}{247459} a^{17} + \frac{72387}{247459} a^{15} - \frac{19818}{247459} a^{13} - \frac{96630}{247459} a^{11} + \frac{91189}{247459} a^{9} - \frac{117536}{247459} a^{7} + \frac{28514}{247459} a^{5} - \frac{108144}{247459} a^{3} + \frac{13812}{247459} a$, $\frac{1}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{32} + \frac{95572018537404267024430345030081359257063562115927328912615399908924424221954798041530425169330529073}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{30} - \frac{129678620873332486452456062281065700352181017801482327952200713025429515469633984403044906368880316882116}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{28} + \frac{938690685060919030545275944950486622922874267869448093327726769389017079447625447206734562960990207831055}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{26} + \frac{13516855495461088219991520483277182021237247524858977576963704259984002993803678177088646344871010755528626}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{24} - \frac{10893005301620627908410609042422300633944488953523168061689541155977388073500902595228236147730941973319097}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{22} + \frac{172569351566254240194974876507444180934609968854715308928880924344164333362939219991306016865265265051562}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{20} + \frac{20986150799700777997394528482583600867002635345400897552882825013018062369362166309650388299748555877307328}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{18} - \frac{11281478358390227167535509847403657514800794261316492666657984378906269552424283818290553628339794334491353}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{16} + \frac{6355721680827984450918146614156606214089466308166150402706649965192549802656946145808379994039841626053418}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{14} - \frac{8850846328658903454365624111127887242979604117755465678496880504666421911475637051104792333265141843046659}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{12} - \frac{16854977370650875100467233881034559769510936447100905489096539858615011162377912644876937667023507531703014}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{10} - \frac{21150747819500264639683673463714246557504002196935596200476158955252120297289238504857265319655527845678765}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{8} - \frac{23112431496459801660083721114542341260481218630258313872362297187938870529018803658071166594149611007381740}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{6} - \frac{13731879532186503146608386202480388659253606861657109520100042815169937258167768701045096171708867675259466}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{4} + \frac{21546343279815388391888559627875478469945221545289979458632534373122770585937263885112741939537513828342309}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329} a^{2} - \frac{25244999274526725497790404407051129637492811766580747513776863683688449342670436273773419467486894716050238}{51494784386328784785361383832361039111602298546216685321036389398694389657752612958156710583331577688065329}$, $\frac{1}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{33} - \frac{15303399304341658826727433210527473202341302601248649080741884195997406865703622202203344819483467505821}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{31} + \frac{15500485366055982486990736147468711065542614669988743330231030626814036018551987827291452722024583374995225}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{29} + \frac{6326497540848883764489033334270630493213048984154418597100767676026594510967243455610242047066018935071978518}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{27} + \frac{8433447135971616788736235147324274112930504062735712140572809722307529064301209199072009843583626910621323174}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{25} + \frac{10758031320593294433720630802307612295928109378188792821663351439250202046356675208199965705762269549460474619}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{23} - \frac{10822507692583656023249568735838248845382807067161990385240760729321193419157218910475043952076580280930417729}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{21} - \frac{3512842621347059697406550865547364629983949343014815307769001729753655588204265648462625822117981327431143642}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{19} + \frac{893816159600811024762370898425824948174985574539681532675399711119882211509886392736602356188995389363455838}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{17} + \frac{9099430391739107071048879215897030710652893639025082988498672035848350798875454305336055576025421944195406352}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{15} - \frac{12359205203017148701022007623333986394590352967426899984367281234161589214295863179448460230539011896244488872}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{13} - \frac{188478177517794560746612158814594376445504359593600554393767251854947387586575757564173666309245931122276092}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{11} - \frac{14268009533749059055374767177453341469743484405133982810325650231344861468938859381533911556355642845763996920}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{9} - \frac{5196028936859588477958052643485640286006953602680468453681031042442325429626535472293898722069952433168863032}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{7} + \frac{13001864905413511995869520791748806818982960157760018069944427863634726162917661018269605278020377593486781270}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{5} + \frac{8197208568298938357183927794511110970173005867201995923734878824330652798334173869205636062314350541687491403}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a^{3} - \frac{8806903567045530662018101877894719642660751323146098409046308418988903950167589756754271163110334104701762707}{29712490590911708821153518471272319567394526261167027430237996683046662832523257676856422006582320326013694833} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{20144504150213336083385695372765433315807849114660932102}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{33} + \frac{5479621847568730708509971450137682922036987205390870479296}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{31} + \frac{620617326958447095119810477553571926198000972809036379207808}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{29} + \frac{38696698194245105147905182844494538242146217615200004281494433}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{27} + \frac{1481930401496105791176200368103626836162747883626342800636353178}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{25} + \frac{36721561480337025644327797062803390475765192134768890461115249047}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{23} + \frac{602414990866959192211130633300375723702978964204102840217239440012}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{21} + \frac{6567939177027814626446457780821240304061726443521253421682668595778}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{19} + \frac{47073953365190567118826940983639878797376755929638265238452308683381}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{17} + \frac{216592499018552823568063552115361581559566290921855662622787829001779}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{15} + \frac{618024846519427134352717419659447704603238252439900100520711378984088}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{13} + \frac{1046328910714341297818328172605296273123305268772385632186146721773304}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{11} + \frac{987116701222160614465634795578808635986107634965630954839102238066854}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{9} + \frac{478309518854660179330831467539269226734049394002592782480329388080866}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{7} + \frac{112247671599325017377818478771486848953434399298446294301382369822115}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{5} + \frac{10619330586423239567244415263006868967911413852987111403331255845503}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a^{3} + \frac{148720002652185659057700955877159442806091806800295297380680805286}{986773014919605853623315608334779147329116288431367291126210601} a \) (order $4$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-1}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ R $34$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
17Data not computed