↑

Properties

Label 34.0.72408958104...4323.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,3^{17}\cdot 17^{64}$
Root discriminant $358.67$
Ramified primes $3, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![332929, 47671740, 7181650459, -50026715218, 441250799035, -154923201024, 2880512410483, -2644518551634, 11471982661109, -9123757374182, 25631507963418, -26403476547539, 36174836665605, -24224719511033, 18747819330311, -7921573863771, 4863935519768, -1545154538343, 877535554789, -191002947177, 101589842564, -16313476862, 8602363579, -961882525, 496120996, -39357210, 21152726, -1088595, 604809, -18105, 12342, -170, 136, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 + 136*x^32 - 170*x^31 + 12342*x^30 - 18105*x^29 + 604809*x^28 - 1088595*x^27 + 21152726*x^26 - 39357210*x^25 + 496120996*x^24 - 961882525*x^23 + 8602363579*x^22 - 16313476862*x^21 + 101589842564*x^20 - 191002947177*x^19 + 877535554789*x^18 - 1545154538343*x^17 + 4863935519768*x^16 - 7921573863771*x^15 + 18747819330311*x^14 - 24224719511033*x^13 + 36174836665605*x^12 - 26403476547539*x^11 + 25631507963418*x^10 - 9123757374182*x^9 + 11471982661109*x^8 - 2644518551634*x^7 + 2880512410483*x^6 - 154923201024*x^5 + 441250799035*x^4 - 50026715218*x^3 + 7181650459*x^2 + 47671740*x + 332929)
 
gp: K = bnfinit(x^34 + 136*x^32 - 170*x^31 + 12342*x^30 - 18105*x^29 + 604809*x^28 - 1088595*x^27 + 21152726*x^26 - 39357210*x^25 + 496120996*x^24 - 961882525*x^23 + 8602363579*x^22 - 16313476862*x^21 + 101589842564*x^20 - 191002947177*x^19 + 877535554789*x^18 - 1545154538343*x^17 + 4863935519768*x^16 - 7921573863771*x^15 + 18747819330311*x^14 - 24224719511033*x^13 + 36174836665605*x^12 - 26403476547539*x^11 + 25631507963418*x^10 - 9123757374182*x^9 + 11471982661109*x^8 - 2644518551634*x^7 + 2880512410483*x^6 - 154923201024*x^5 + 441250799035*x^4 - 50026715218*x^3 + 7181650459*x^2 + 47671740*x + 332929, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} + 136 x^{32} - 170 x^{31} + 12342 x^{30} - 18105 x^{29} + 604809 x^{28} - 1088595 x^{27} + 21152726 x^{26} - 39357210 x^{25} + 496120996 x^{24} - 961882525 x^{23} + 8602363579 x^{22} - 16313476862 x^{21} + 101589842564 x^{20} - 191002947177 x^{19} + 877535554789 x^{18} - 1545154538343 x^{17} + 4863935519768 x^{16} - 7921573863771 x^{15} + 18747819330311 x^{14} - 24224719511033 x^{13} + 36174836665605 x^{12} - 26403476547539 x^{11} + 25631507963418 x^{10} - 9123757374182 x^{9} + 11471982661109 x^{8} - 2644518551634 x^{7} + 2880512410483 x^{6} - 154923201024 x^{5} + 441250799035 x^{4} - 50026715218 x^{3} + 7181650459 x^{2} + 47671740 x + 332929 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-724089581044288049925911862060455001712669791140081303100934572107049696377057356624323=-\,3^{17}\cdot 17^{64}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $358.67$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(867=3\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{867}(256,·)$, $\chi_{867}(1,·)$, $\chi_{867}(647,·)$, $\chi_{867}(392,·)$, $\chi_{867}(137,·)$, $\chi_{867}(664,·)$, $\chi_{867}(409,·)$, $\chi_{867}(154,·)$, $\chi_{867}(800,·)$, $\chi_{867}(545,·)$, $\chi_{867}(290,·)$, $\chi_{867}(35,·)$, $\chi_{867}(817,·)$, $\chi_{867}(562,·)$, $\chi_{867}(307,·)$, $\chi_{867}(52,·)$, $\chi_{867}(698,·)$, $\chi_{867}(443,·)$, $\chi_{867}(188,·)$, $\chi_{867}(715,·)$, $\chi_{867}(460,·)$, $\chi_{867}(205,·)$, $\chi_{867}(851,·)$, $\chi_{867}(596,·)$, $\chi_{867}(341,·)$, $\chi_{867}(86,·)$, $\chi_{867}(613,·)$, $\chi_{867}(358,·)$, $\chi_{867}(103,·)$, $\chi_{867}(749,·)$, $\chi_{867}(494,·)$, $\chi_{867}(239,·)$, $\chi_{867}(766,·)$, $\chi_{867}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{131} a^{30} + \frac{18}{131} a^{29} + \frac{21}{131} a^{28} + \frac{61}{131} a^{27} - \frac{21}{131} a^{26} + \frac{63}{131} a^{25} - \frac{5}{131} a^{24} - \frac{9}{131} a^{23} + \frac{33}{131} a^{22} - \frac{17}{131} a^{21} + \frac{31}{131} a^{20} - \frac{43}{131} a^{19} - \frac{14}{131} a^{18} - \frac{23}{131} a^{17} + \frac{6}{131} a^{16} + \frac{58}{131} a^{15} - \frac{39}{131} a^{14} - \frac{48}{131} a^{13} - \frac{34}{131} a^{12} - \frac{44}{131} a^{11} + \frac{58}{131} a^{10} + \frac{64}{131} a^{9} - \frac{48}{131} a^{8} + \frac{45}{131} a^{7} + \frac{47}{131} a^{6} - \frac{38}{131} a^{5} + \frac{4}{131} a^{4} - \frac{1}{131} a^{3} - \frac{13}{131} a^{2} + \frac{62}{131} a + \frac{34}{131}$, $\frac{1}{75587} a^{31} + \frac{136}{75587} a^{30} - \frac{30474}{75587} a^{29} + \frac{21665}{75587} a^{28} - \frac{34874}{75587} a^{27} + \frac{30204}{75587} a^{26} + \frac{9918}{75587} a^{25} - \frac{17367}{75587} a^{24} + \frac{35127}{75587} a^{23} - \frac{27432}{75587} a^{22} - \frac{7477}{75587} a^{21} - \frac{37519}{75587} a^{20} - \frac{4695}{75587} a^{19} - \frac{18836}{75587} a^{18} + \frac{29256}{75587} a^{17} + \frac{17272}{75587} a^{16} + \frac{9949}{75587} a^{15} - \frac{18274}{75587} a^{14} + \frac{18406}{75587} a^{13} - \frac{26326}{75587} a^{12} + \frac{3381}{75587} a^{11} + \frac{15816}{75587} a^{10} + \frac{35014}{75587} a^{9} - \frac{14789}{75587} a^{8} + \frac{16492}{75587} a^{7} + \frac{9438}{75587} a^{6} + \frac{9668}{75587} a^{5} + \frac{19597}{75587} a^{4} + \frac{2}{577} a^{3} - \frac{7367}{75587} a^{2} - \frac{1820}{75587} a - \frac{38}{131}$, $\frac{1}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{32} + \frac{6174058074807975389663144027530413147904313786}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{31} - \frac{1174319844103119384010373039325118728682718056151}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{30} - \frac{104025448739082945228307827922066709526488426549151}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{29} + \frac{42649292964990451935009740562549970781796022783785}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{28} - \frac{97110901437292168307867505449216420909889284698393}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{27} - \frac{1074906871622634234631576556541691085079082314154940}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{26} - \frac{854678788124593664733832588117612310506293752421657}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{25} - \frac{277108837316645604813703870147036992898804750964320}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{24} - \frac{1041825824979925297373701926382486808364819400117794}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{23} - \frac{1017577593656273575348149167024550876957348470649613}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{22} + \frac{943498124466386891460953137798522766690536144675865}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{21} + \frac{277955910473633591431219412617062287970047680473266}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{20} + \frac{685092242087560936275960523957603554014219493658667}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{19} + \frac{214247083751089830023116195086181484411864315838267}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{18} + \frac{586786282253536247613346986529814417880773614930828}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{17} - \frac{196373862595601217313460669622636179316347828647508}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{16} - \frac{530855068542783099044603304176068474011991905933959}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{15} - \frac{1002854982325806291480237913850349072474794782758729}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{14} + \frac{1050609077040578687042407345910662453323163660714786}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{13} - \frac{995340030055297805598356926890243433200451827479209}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{12} - \frac{756095911732500050845295368911198058306528596890063}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{11} - \frac{2613953438572087180083678637146034096263314363367}{12714985540212359959775399931738683475854549451449} a^{10} - \frac{765871739325673517261160202057494077903897878701974}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{9} - \frac{18910269692113908982287469749178724631223294420034}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{8} - \frac{169208453434767807984037420589275152734339165806954}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{7} - \frac{970051901834673316399224158292768269542948561071482}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{6} - \frac{870843211308954538416046024608705749004088165264852}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{5} - \frac{618593987368279091562393093861885733262607987830999}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{4} - \frac{408136065931417603937341903163947727216043835261644}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{3} + \frac{907527682260726998573242026710565375054388592020690}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a^{2} + \frac{718368552768964908562437181540812244672995061872668}{2275982411698012432799796587781224342177964351809371} a + \frac{1265081473869010643192758471379462380190667126410}{3944510245577144597573304311579244960447078599323}$, $\frac{1}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{33} + \frac{126497445328255043723989134801437769393000685053613100112329309374117083394734504968430811146538966508695604813818197657412736370776009911864891629701045}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{32} + \frac{5137198274805619681636109138273439029944393036283402701873118735416081124972668695608675622532824543305489778023738642815339003883117835819318027491958777194329293545267527691900480556952119778593831}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{31} - \frac{2890559791108101124781120555849409025105541148725565958485007846875248316722643982193799104126737859003058134892765002127828198665756833818531926673044361778834963344350313176424734444658243011271752118}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{30} + \frac{104490856952004286928484331828092205055789115634611539998897066943740618464435899696995823821039581518851960642470961605678702319598193034587824390314854958528826953522329835801854456718472918072946409825}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{29} + \frac{298083010841754762187023854050942102118778457764868749361168055160313698769860319369147747843905462655553021108855353412884742959273996695844273115434220854845297431004828233844708507252739878234390845907}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{28} + \frac{100110139539834311933356586923901111551504659372886364900905380204371921720579625028008627301054633698347036746700428232373857950878246528470932020626633509628782631034493984634734883395001133337740203531}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{27} - \frac{357578237234026705980468868160042018936138207340103559163766538399807071699021455009884002009991753037642915899096180239091163173913381490142611329187629788688040047775688134455229803712390952723809693786}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{26} - \frac{315750757718635536295379746968222181856470886381722832760098649379590914172744632642143286370326112935240270800161990981380244673261880863150743506485529594024352733511860283813784492744869224938659017233}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{25} + \frac{133525893447019083624951538220867518207455777833542574770382881589330441125248216524744794925889343688329295566965901720449121218605888630106171241963012703836221670345395160899621374225284482015961568175}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{24} + \frac{184902599334175516087836312416200359738690830778564228241844751034056189418900171847055968918328265395778571822779726664838360470905247209366549708546656153652274812132086993304201789292447268584187921675}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{23} - \frac{3922648753171516997103738571301778593400813279945182422344600491309245541839425517417345219596459674827664043982066888097253640217903404031229682472719583228741458690641433595341373432524549304336782664}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{22} - \frac{268606838480864478514380067949194312357145860670238546460523552687644963570155898721675560250909259108853427886578850074634680633559692468389856169818681706816801143794742468834934408135489128666183673815}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{21} + \frac{157440335016601631968318150667429591293672418859598445868520009486870939514121766376487201950930749482231420613469909310585896156046584842175272703139100341863999935583276115234988286219490347713445553523}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{20} - \frac{218472488306452094707474152195888660565631762242185878886384081718116874989364439107716287402252526203486069620397730390422130067747572067470447854555834619031097782671530978178170113278981518718929146754}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{19} - \frac{133258309924537253980461272852638506808660683024947638232962446915163270598274115861582602177383361931664315568444993925946001763711949915539713331455066047933376321044355037666780813395493064495968009436}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{18} - \frac{165969553019081331537408549286530335424906919018805182305225057537339373483948914583776644111942007727726430951161104716402786801737123262980909337762114804218890191445585791442649868135017540342465053137}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{17} + \frac{323387352053669532652500906001529545503306134521365170509295180777664315673220362139176370904010113691592927327897790865971941343302529798971311321903458409392541791306948415320320881276218844861057117033}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{16} - \frac{29026535731996341614865982758702896519894586576346139608071383111851067165398582982822747294408757723193349186700464237392567367390517712581658750141619109884584566978045425839182754887663643010144672620}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{15} + \frac{142783568845888440468493264440502426904643546238549154959048651169672345446871781306879580269839397252921949634584003482809149451644590176353648509618440776747162946715204813076570239491884095817857718846}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{14} - \frac{35743222155797080844127595324408169536872638280588489269275664479283148747956184456268677778674498716932403284795244113607563268889359819520512270291915714904553115187208703145798462262787609687515759472}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{13} - \frac{59141849056503910833879714448698843505431121747542846680377343732905142335950049378889433564172045038755035409204422832040683167420240730729105126506220127029871691583902592470347175515669296019558026087}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{12} - \frac{83461280962182822573264621401777157527017921662799350495265493479690318118954742744496869230399749775774335652454154974728109291210169214586272799240301347971654409648389378439105304447840246334971772943}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{11} + \frac{92384472055223112972967799521340547047279839205788721821666797298193763801517390155120499724503839966269857901414253649135199690471654338149885519112291038171744785923776600920580853722157061788378687809}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{10} - \frac{267891222958890569165688214797146367029752685543679814074718335052751840693718376532465179478332042457254145314061000929105074691149467537065111975077605066757591843498910139655370096963851336589361689481}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{9} + \frac{270631324151804947548448027604773345207479417483416567042879012872757740075348489224467609517314702683815647344130115166963123645497943718233750976935520828582820484597606006697414827103604196294099587858}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{8} - \frac{360460894593875987904388871232384395095510070422275592592106163451493564825158314693990159181379537033105071465910250008876015406490907429722110908242572423967302457249840604571321690836722087663326362550}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{7} + \frac{308436781185792041882942302622925077079827969171178183313949279559968975700907089323596365562499327232849169295968026128390847000557107188338864482922692817472680624009549394277994767682058935887285227092}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{6} + \frac{371291605324300892705816056756041903882130856721892545756919163417035349156009197262591667122738184403709902026134490084194489314691870965272657912018088078717451240277713240690127925898401736124497405124}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{5} - \frac{283919429675336264291140571102330037799307525828126076850333714062037880202405229106316793970619698036170877650018261300966894752289893500569192934599803270546547425525140156752238728044842918148219762045}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{4} + \frac{144630817933104787025921503037870849992361449936627915520864170878176462308509228267129019364347552116533816384996298277930286654171348789700905937364103537641152982633985393452407998447226166467881672430}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{3} + \frac{231174135290929374182356154388250113959526403231008478719005645766451243018179627500824185045880841878292337794459322064432764467932779280563585481010683394412384990074625423027986907476087449024120841529}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a^{2} - \frac{157151421333496624122392564545295380997611028457693738661518503087528778529159036119726184451730971386375279844054444764434438247056160249480376501813633303439147977711287177422104525159534390995599363125}{823242684176269464475027234029129511980561755829513679983962084241204420003050966413467995639646436086764815659365783543870835878303426404143727307041146741846942245005770330916650855382691374698578161711} a - \frac{83174983403727171180243796738987423180949239319392551363177325864636730236107759702621451654889956115533228704738552788655384772650799486460981265567592849142373164895208853006153785216088908285102270}{1426763750738768569280809764348578010364925053430699618689708984820111646452428018047604845129369906562850633725070682051769212960664517164893808157783616536996433700183310798815686057855617633793029743}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{4194749553949546214541114403599839992609193919169845044319065382444403358833306161575532310104112602126689693312171198772361983233096418347718897378}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{33} - \frac{24834924132745067150623679025357627732274003299251304386775040609372129550007601133822548326293442624479904307900102914306755903802709622452685231}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{32} + \frac{570481693148155791461811526038612673150472931245623625271212304650338846657316739118758331242403585991757629170603257969227271409035082192860307818926}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{31} - \frac{716484987755045171206217974894839805448283400617955148459270362238375069288103273055015655896353371873141698264282406362968635521477531581559792305937}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{30} + \frac{51775243629191601722339370809288737090592032841646668703568391048224736510881727949781545082485727180253032687446098396235988421750994878806816793493435}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{29} - \frac{76251733427231851537823444660641269051265373302666757746513083593433520256833491176315550121510350142465503478356410315416714510899251981343350989983713}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{28} + \frac{2537419539466759077885520455575784112006950863908154925023770711137206164344048564762438256179419339215715652590960240579112896693654834627116752312874670}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{27} - \frac{4581327112031863489087631672323682915521533007143705938547989530210721650818650363236049229252616776701783986857065635988029830526271584657906970750799798}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{26} + \frac{88754857462139886595632856454187934856008168614190292190673347807712664671346661308757080303841590656891235114359906385765753456287871166622606777375639162}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{25} - \frac{165614355693025932233228716892943682640190593313612558276132058156271998112337814469043430881371963395727156693549445969003693656876809012801124182817441562}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{24} + \frac{2081991065799191187750891150343100560171211929222252207854569405396443593406265347282314487518632884492362295472489919784285833464428286367704100711901652605}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{23} - \frac{4047010838578841529444015287951790815185076460258896531177865088457302869858348371006655320523989194994017520805587369816569137001665817172747816782579659954}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{22} + \frac{36106546835023301768450029632319087192041648534557441374115810572735382283309691910994704671016461615354268907781120120938768663154075657140081035424644490993}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{21} - \frac{68640520093428893576815848068597557321774935058762367197688121392994966271220874836950733860766361144325586263925267643503144373886227163189961207463918459026}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{20} + \frac{426512667853582890232802616080914163675517353850230038774647446512388336585681725095226870136108143564984384744977783696608121369714363759478848018272061139753}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{19} - \frac{803663563127549524528763059173887598811056077169199145884805642584689524940517244606015832213877712423368988986855717582218972105581146255592193793693834125492}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{18} + \frac{3685355872329736627504469920522877274555722080976509989482829630081946070103770659152142974997180258389747591724711454344897033302927480588473588359763359137890}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{17} - \frac{6502523781180895641960311708228876248416617742090381643264488816808005645769882520905957264928101110035787594015597308212008071225996592645038311879524978896133}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{16} + \frac{20437660723665375850463008622974343034150665436984607373406205618568427831281116853460790751759256320980101975365130560348754795772928898668802999199142855459240}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{15} - \frac{33343306618627055068919725744831296821446055395949368635030223093325603889513820253914717376073096799291150074171049348785228193586817137601755575519990115426607}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{14} + \frac{78818674505685249636804954580369975196887062596362323148902371419907657321550215885184170103816459081223163107030190086223866278484840421005660371465307272386860}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{13} - \frac{102049000653040889787857855658825767757309108799951982436985253630524996410356233726839828212047804917525776111791438313839881386320916613074087622675613032092058}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{12} + \frac{152267456485737347152534066051094206541205848548345338223929138207945207960711655417740113917338475910917620012892218465797418011506424740451023960802519816162612}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{11} - \frac{111553499147664405530751787311575687159853437504727451055015792689554249802433597191483595427506316300362022557803983700241134105536473995932500429362149933229197}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{10} + \frac{108023979916709227476392439340649019750807000431400341149371952857600907123223568484456027334842372052176706461122015228165616860839692357747257726392103800237651}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{9} - \frac{38802266010485733967827139646969435901307673132326454192672831690915067396971464570343385121090339564156359395643777502256537357871097411364951830645570009861856}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{8} + \frac{48247743669113248033857959279662418282061968015739457616427852158616342678118218667344124257859059534616187464942028661658909567056659218020450546430137575504687}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{7} - \frac{11346014249891376338382091183535972786686536453283106856192654380556937823105818517965389973108157015187917350496830971970554073200739462355619154247957321920051}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{6} + \frac{12105105577572405675510497999756760916592360384667585438855458043112630789104795969774012567012826199909960524853954269500953824614743681793165769750859735287458}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{5} - \frac{712735427090211452260788133432959052411522332188178869849133000007652128283527177696509885735510946147252258219248501491706726913949600772794432464431045078434}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{4} + \frac{1844416942632023324561667594931626703321066732172704305216699853161985235049650923284748719887640717628739376270056441988633102916783598518332785885142405621295}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{3} - \frac{221403129030423474063455215600628745147799124223422917673452373443877474036903972379896561213480588138300209307910217119483207162301257473766764869053320396426}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a^{2} + \frac{29881877381499993424178436525291918301850467118920306113323529863602448024579157734853708771776703660570496264748035139567398893774011820976183719869884444444}{208705931262149875279528405094197891922964822298375568410652849995748051542891276304860217638897460841105123066086696202816538199911225228906921120724316157} a + \frac{343766117604569288949299095908877929875188783299012415464830638190013984730727093062054256419632478037814483532220338753274200267090392102948919042059673}{361708719691767548144763267061001545793699865335139633294025736561088477544005678171334865925298892272279242748850426694656045407125173706944404022052541} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ R $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ R $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
17Data not computed