↑

Properties

Label 34.0.57985708694...0768.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,2^{51}\cdot 103^{32}$
Root discriminant $221.81$
Ramified primes $2, 103$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![9996989102627, -30048725762634, 52788551080225, -64028012238058, 59435965022544, -44600386439202, 28859092910167, -17089504218842, 9603288610042, -4992602000266, 2296652995535, -950200124908, 414770387758, -212177167682, 101151821425, -31354306670, 2532293842, 1155920694, 796740847, -965894776, 220541133, 102823876, -63777189, 1493820, 7764997, -1908862, -323461, 200870, -7987, -10224, 1508, 242, -61, -2, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - 2*x^33 - 61*x^32 + 242*x^31 + 1508*x^30 - 10224*x^29 - 7987*x^28 + 200870*x^27 - 323461*x^26 - 1908862*x^25 + 7764997*x^24 + 1493820*x^23 - 63777189*x^22 + 102823876*x^21 + 220541133*x^20 - 965894776*x^19 + 796740847*x^18 + 1155920694*x^17 + 2532293842*x^16 - 31354306670*x^15 + 101151821425*x^14 - 212177167682*x^13 + 414770387758*x^12 - 950200124908*x^11 + 2296652995535*x^10 - 4992602000266*x^9 + 9603288610042*x^8 - 17089504218842*x^7 + 28859092910167*x^6 - 44600386439202*x^5 + 59435965022544*x^4 - 64028012238058*x^3 + 52788551080225*x^2 - 30048725762634*x + 9996989102627)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - 2*x^33 - 61*x^32 + 242*x^31 + 1508*x^30 - 10224*x^29 - 7987*x^28 + 200870*x^27 - 323461*x^26 - 1908862*x^25 + 7764997*x^24 + 1493820*x^23 - 63777189*x^22 + 102823876*x^21 + 220541133*x^20 - 965894776*x^19 + 796740847*x^18 + 1155920694*x^17 + 2532293842*x^16 - 31354306670*x^15 + 101151821425*x^14 - 212177167682*x^13 + 414770387758*x^12 - 950200124908*x^11 + 2296652995535*x^10 - 4992602000266*x^9 + 9603288610042*x^8 - 17089504218842*x^7 + 28859092910167*x^6 - 44600386439202*x^5 + 59435965022544*x^4 - 64028012238058*x^3 + 52788551080225*x^2 - 30048725762634*x + 9996989102627, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - 2 x^{33} - 61 x^{32} + 242 x^{31} + 1508 x^{30} - 10224 x^{29} - 7987 x^{28} + 200870 x^{27} - 323461 x^{26} - 1908862 x^{25} + 7764997 x^{24} + 1493820 x^{23} - 63777189 x^{22} + 102823876 x^{21} + 220541133 x^{20} - 965894776 x^{19} + 796740847 x^{18} + 1155920694 x^{17} + 2532293842 x^{16} - 31354306670 x^{15} + 101151821425 x^{14} - 212177167682 x^{13} + 414770387758 x^{12} - 950200124908 x^{11} + 2296652995535 x^{10} - 4992602000266 x^{9} + 9603288610042 x^{8} - 17089504218842 x^{7} + 28859092910167 x^{6} - 44600386439202 x^{5} + 59435965022544 x^{4} - 64028012238058 x^{3} + 52788551080225 x^{2} - 30048725762634 x + 9996989102627 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-57985708694758271640759625280476063462734635205978786696385026880737970925600768=-\,2^{51}\cdot 103^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $221.81$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 103$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(824=2^{3}\cdot 103\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{824}(1,·)$, $\chi_{824}(473,·)$, $\chi_{824}(619,·)$, $\chi_{824}(179,·)$, $\chi_{824}(641,·)$, $\chi_{824}(9,·)$, $\chi_{824}(523,·)$, $\chi_{824}(529,·)$, $\chi_{824}(787,·)$, $\chi_{824}(793,·)$, $\chi_{824}(409,·)$, $\chi_{824}(545,·)$, $\chi_{824}(169,·)$, $\chi_{824}(299,·)$, $\chi_{824}(385,·)$, $\chi_{824}(435,·)$, $\chi_{824}(137,·)$, $\chi_{824}(697,·)$, $\chi_{824}(699,·)$, $\chi_{824}(323,·)$, $\chi_{824}(587,·)$, $\chi_{824}(81,·)$, $\chi_{824}(339,·)$, $\chi_{824}(203,·)$, $\chi_{824}(267,·)$, $\chi_{824}(729,·)$, $\chi_{824}(219,·)$, $\chi_{824}(785,·)$, $\chi_{824}(491,·)$, $\chi_{824}(579,·)$, $\chi_{824}(627,·)$, $\chi_{824}(755,·)$, $\chi_{824}(425,·)$, $\chi_{824}(505,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{7003} a^{30} + \frac{222}{7003} a^{29} + \frac{2252}{7003} a^{28} - \frac{2269}{7003} a^{27} + \frac{2900}{7003} a^{26} + \frac{1080}{7003} a^{25} - \frac{960}{7003} a^{24} - \frac{175}{7003} a^{23} - \frac{1641}{7003} a^{22} - \frac{994}{7003} a^{21} - \frac{2270}{7003} a^{20} + \frac{1835}{7003} a^{19} + \frac{73}{149} a^{18} + \frac{340}{7003} a^{17} - \frac{3328}{7003} a^{16} - \frac{1987}{7003} a^{15} + \frac{1967}{7003} a^{14} - \frac{98}{7003} a^{13} - \frac{2259}{7003} a^{12} - \frac{2677}{7003} a^{11} - \frac{1190}{7003} a^{10} + \frac{53}{149} a^{9} + \frac{1663}{7003} a^{8} - \frac{919}{7003} a^{7} - \frac{2013}{7003} a^{6} - \frac{974}{7003} a^{5} - \frac{2101}{7003} a^{4} + \frac{476}{7003} a^{3} - \frac{2754}{7003} a^{2} + \frac{3299}{7003} a - \frac{2286}{7003}$, $\frac{1}{7003} a^{31} + \frac{1989}{7003} a^{29} + \frac{2003}{7003} a^{28} + \frac{2402}{7003} a^{27} + \frac{1556}{7003} a^{26} - \frac{2618}{7003} a^{25} + \frac{2855}{7003} a^{24} + \frac{2194}{7003} a^{23} - \frac{848}{7003} a^{22} + \frac{1305}{7003} a^{21} + \frac{1559}{7003} a^{20} + \frac{15}{47} a^{19} + \frac{1985}{7003} a^{18} - \frac{1775}{7003} a^{17} + \frac{1514}{7003} a^{16} + \frac{1892}{7003} a^{15} - \frac{2586}{7003} a^{14} - \frac{1512}{7003} a^{13} + \frac{1608}{7003} a^{12} - \frac{2151}{7003} a^{11} + \frac{557}{7003} a^{10} + \frac{1898}{7003} a^{9} + \frac{1054}{7003} a^{8} - \frac{1082}{7003} a^{7} - \frac{2280}{7003} a^{6} - \frac{2966}{7003} a^{5} - \frac{49}{149} a^{4} - \frac{3381}{7003} a^{3} - \frac{1577}{7003} a^{2} + \frac{651}{7003} a + \frac{3276}{7003}$, $\frac{1}{99752558263349} a^{32} - \frac{3482444919}{99752558263349} a^{31} - \frac{5990158983}{99752558263349} a^{30} - \frac{43141445876473}{99752558263349} a^{29} - \frac{20499344031892}{99752558263349} a^{28} - \frac{1503246707773}{99752558263349} a^{27} - \frac{19034804760692}{99752558263349} a^{26} - \frac{48661772590621}{99752558263349} a^{25} + \frac{3251145665953}{99752558263349} a^{24} - \frac{41850556150285}{99752558263349} a^{23} + \frac{1509892126352}{99752558263349} a^{22} + \frac{15734523556814}{99752558263349} a^{21} - \frac{32248182754691}{99752558263349} a^{20} - \frac{48583731404609}{99752558263349} a^{19} - \frac{12689292729475}{99752558263349} a^{18} - \frac{41238228030546}{99752558263349} a^{17} + \frac{18390509699213}{99752558263349} a^{16} + \frac{23578927031467}{99752558263349} a^{15} - \frac{30989719729912}{99752558263349} a^{14} - \frac{33415233930869}{99752558263349} a^{13} + \frac{48088950597979}{99752558263349} a^{12} + \frac{38044755187123}{99752558263349} a^{11} - \frac{15289912660019}{99752558263349} a^{10} - \frac{45299571166733}{99752558263349} a^{9} - \frac{29012696948913}{99752558263349} a^{8} - \frac{1055139766368}{99752558263349} a^{7} - \frac{40699316305020}{99752558263349} a^{6} - \frac{10640094098497}{99752558263349} a^{5} - \frac{40798681827858}{99752558263349} a^{4} + \frac{23078214169402}{99752558263349} a^{3} - \frac{5136164647326}{99752558263349} a^{2} - \frac{11402785864687}{99752558263349} a + \frac{23156346331297}{99752558263349}$, $\frac{1}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{33} - \frac{28085968714706139584462459821216349574715285367493112620208048551843864183290654218821480371799391991720427281483744129455814328680049520607086383782506476576666015}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{32} + \frac{129585505818545126778603325858013073002416249302003950688012269465238461849317708282515834364671825859065837784347105262061396588008158700234490820492476845434779199733803676}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{31} + \frac{126357507207710940039683527610200064609222110643757136633289895285991162210021538601424621394645711337527800459272104496748936525581544983019976083954852073513016040139573760}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{30} - \frac{1880192723314837768697621554975273335010063484421574633047990840600960534753774469919027513507815181359094532859860094640069153202138490432607792864704603304901442609533536557268}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{29} - \frac{29121899777831640033380419824394874352242689728616954233080276301586067283160440538883909130264359764087913633617907727427914682454014712566684748432643720041553039137759062360}{61132331132075974401581637179917847103715545119504894074839610518041235498952177114765057559264589110680563207958448504053645115708332791042911744164487681752235412230768449729} a^{28} - \frac{152622350870042692303994931458310104681549525066232569357705530517822708267750985561344391833253508132433108905499396546992895811343547046514301390933986539485094932997419250}{193802496567645110336929019995909770605396089846941047173427701429534980624337752980850927155966463350880934425229975044765811111500884805646677657032099246406022902603925510843} a^{27} - \frac{4074701308952223917397622962850148667991426562550327841514981228807433518766746195662324279195242922989972148520842073114791196016828043913703748655052940525410540935874024560671}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{26} - \frac{3265243532718262853420054221024841921085647763724095742468646355343976976267246078264236601996714280978280576444229082239668649751228018926161648166842256845108531522768074524260}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{25} + \frac{1464768447283240587225103175836168657594522513828815302518867503201919897584438224401522207439770112915912317822479399096088652415673318798920668724334089408041085879100746391413}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{24} + \frac{1588534822725836285593578921499604710225489087022166022332703798916352001150620268046139416143257375388283684306623698113910670706910222913235431726710814281973401882602249938657}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{23} - \frac{2044113750229623106596356555852041281169783458230095054250947058231277071829084510291828058241679237122813399870433880042348087559354138935119507182966923149519378206665826801577}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{22} - \frac{673762851024054653684216194479552779380328125174305160728917295259909064484242843026623521789721823875803509456960568659246281792112329991260567030321126336362071176527714787012}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{21} + \frac{3587399499571055635101201648959601490207361214915309319718179075651333819091231465258735847335441124112283886090090147938532033668299714579722441156557113153999566736561836510834}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{20} + \frac{2709452441928998041771233300904016154060827994362215185855837911485918169967136517050211095982497973326952925114597223766893353722534073564231811290764368953487089504509563291568}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{19} - \frac{192323306143739618065498407238230514612786243218025934090595604935237716688807834435915851220706026842122969251273632834723472913896373527094124147958734080879632831239736635455}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{18} + \frac{1503402911686835457508200899403404776538012666944929516169093123484803006765701850303793597439554236571209425617315827540888533292309980973737150964412431170404914167936916954920}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{17} - \frac{3363760524094751198698741051182039386978120121003587768908655222341806654148455901678107530041596971596101319301967560990848257939553434160225103474354508123000907313947908555060}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{16} + \frac{1872451539326322102200934681671108836975203693007868412768820865787136937146668695872339025522138917254281618231453314099845691839222427029374221110475869438247956099534671461731}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{15} - \frac{203071334701490110669747024238571788476203864360277310752236207585924091390723320660995426368287632228499345995938862247121324408557372732538543960084796823491221641488089007389}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{14} - \frac{2186399682329360604664661825747897220195566399010760179935295532564234831980232620520147674734854062109939731961264275965265704513795102695717570322580527262734170040955631660935}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{13} - \frac{1313171123907118612522825904757769221527347379577273963191074451842750596412258941075272441382145634231949849583013065821157531968124590126548401466631539986900273757621300368539}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{12} + \frac{295072653360819705597263481106439491022524941007647655007214791426015868911268239028565468553446734564677960923221782163513563123720681156577552034018904863918627107534687652510}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{11} + \frac{249880709534714568743092641890227490258692802880751478851402613478234537849610347519363134526846070114258722123528044778638605661055299334525025793453831326590911040631570160789}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{10} - \frac{4387385461878756841029573403088730848482837883458219658422464561080073690976306199336946173074282927527375866175225075404380941912819848266598850246830980806191937554928226006300}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{9} - \frac{562056303766012795460402128726620918130299237596953890413277404784702936611408418958262642310398588063763370635496427290297849170993315859594384594664924825067780677760471290252}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{8} + \frac{629101800184467316207068433816183698125390268393919506567182081901379592500157555527460308868288211477158982125328969877869500530246417108930211433683003616111376748343819390239}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{7} + \frac{1249100515871859077714419879327187102001175659748079175968908633441013293318533139603093295292317025004185287753092792850381729532920468491908351332330493175954659416090185109028}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{6} + \frac{2157333677591951431746200259602404592928624820125810917309250436423337954803352921303547104515071803988317668057010409380832197170177339540645076903156591260514893282644017790623}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{5} - \frac{2402651266803651875552286899531967822769990538547947781245410702303494800210577546861065831361998047342087558434327390073889550157240701259106572499624501866479847430277640835338}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{4} + \frac{952930188095417923468255962363291747758110018166356441003597758127909428314426546632002247256151687606355818628059738146803855904333074125949679733312487553000198336242920162923}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{3} + \frac{4378975171438677234755155287138747805633906457009971898517884111598160922014526694635826414357616940245697020376210927674033418088538515457484090181242960414405791501571199128053}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a^{2} - \frac{928694743983256317713403565878267511561375882423514393731859739140949153754409261566164846280504777048827472195685807395531389165256307789233889276043757798018824443386009757590}{9108717338679320185835663939807759218453616222806229217151101967188144089343874390099993576330423777491403917985808827103993122240541585865393849880508664581083076422384499009621} a + \frac{5692050195786598987701158753708291221454318543174682959439337745999723461519564791923937325027067097699754282573344506132451389502332954183713485897350970852524797451959231796}{14762913028653679393574819999688426610135520620431489817100651486528596579163491718152339669903442102903409915698231486392209274295853461694317422820921660585223786746166124813}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-2}) \), 17.17.160470643909878751793805444097921.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{17}$ $34$ $17^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
103Data not computed