↑

Properties

Label 34.0.57522964810...3927.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,647^{33}$
Root discriminant $534.85$
Ramified prime $647$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![838494949219188113, -2209418358067041986, 3704109518621918181, -4423021983728876739, 4077130063516677797, -3110717370563621198, 2038485109871035744, -1190006468461018744, 635676505716441933, -312040697057410846, 140122432813337407, -57294960622104681, 21493455110505520, -7445900237552923, 2363802786557210, -690103240194851, 188462810655747, -47727872078308, 10932996529292, -2279317033173, 431715298286, -70345305325, 9993914592, -1349319386, 146907285, -12505057, 1389328, 97935, -45372, 12379, -1997, -130, 10, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 + 10*x^32 - 130*x^31 - 1997*x^30 + 12379*x^29 - 45372*x^28 + 97935*x^27 + 1389328*x^26 - 12505057*x^25 + 146907285*x^24 - 1349319386*x^23 + 9993914592*x^22 - 70345305325*x^21 + 431715298286*x^20 - 2279317033173*x^19 + 10932996529292*x^18 - 47727872078308*x^17 + 188462810655747*x^16 - 690103240194851*x^15 + 2363802786557210*x^14 - 7445900237552923*x^13 + 21493455110505520*x^12 - 57294960622104681*x^11 + 140122432813337407*x^10 - 312040697057410846*x^9 + 635676505716441933*x^8 - 1190006468461018744*x^7 + 2038485109871035744*x^6 - 3110717370563621198*x^5 + 4077130063516677797*x^4 - 4423021983728876739*x^3 + 3704109518621918181*x^2 - 2209418358067041986*x + 838494949219188113)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 + 10*x^32 - 130*x^31 - 1997*x^30 + 12379*x^29 - 45372*x^28 + 97935*x^27 + 1389328*x^26 - 12505057*x^25 + 146907285*x^24 - 1349319386*x^23 + 9993914592*x^22 - 70345305325*x^21 + 431715298286*x^20 - 2279317033173*x^19 + 10932996529292*x^18 - 47727872078308*x^17 + 188462810655747*x^16 - 690103240194851*x^15 + 2363802786557210*x^14 - 7445900237552923*x^13 + 21493455110505520*x^12 - 57294960622104681*x^11 + 140122432813337407*x^10 - 312040697057410846*x^9 + 635676505716441933*x^8 - 1190006468461018744*x^7 + 2038485109871035744*x^6 - 3110717370563621198*x^5 + 4077130063516677797*x^4 - 4423021983728876739*x^3 + 3704109518621918181*x^2 - 2209418358067041986*x + 838494949219188113, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} + 10 x^{32} - 130 x^{31} - 1997 x^{30} + 12379 x^{29} - 45372 x^{28} + 97935 x^{27} + 1389328 x^{26} - 12505057 x^{25} + 146907285 x^{24} - 1349319386 x^{23} + 9993914592 x^{22} - 70345305325 x^{21} + 431715298286 x^{20} - 2279317033173 x^{19} + 10932996529292 x^{18} - 47727872078308 x^{17} + 188462810655747 x^{16} - 690103240194851 x^{15} + 2363802786557210 x^{14} - 7445900237552923 x^{13} + 21493455110505520 x^{12} - 57294960622104681 x^{11} + 140122432813337407 x^{10} - 312040697057410846 x^{9} + 635676505716441933 x^{8} - 1190006468461018744 x^{7} + 2038485109871035744 x^{6} - 3110717370563621198 x^{5} + 4077130063516677797 x^{4} - 4423021983728876739 x^{3} + 3704109518621918181 x^{2} - 2209418358067041986 x + 838494949219188113 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-575229648101389006919300163769417896145328311449157095051164382770647236384644661065404673927=-\,647^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $534.85$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $647$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(647\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{647}(1,·)$, $\chi_{647}(555,·)$, $\chi_{647}(646,·)$, $\chi_{647}(275,·)$, $\chi_{647}(293,·)$, $\chi_{647}(40,·)$, $\chi_{647}(92,·)$, $\chi_{647}(426,·)$, $\chi_{647}(43,·)$, $\chi_{647}(300,·)$, $\chi_{647}(429,·)$, $\chi_{647}(306,·)$, $\chi_{647}(179,·)$, $\chi_{647}(53,·)$, $\chi_{647}(316,·)$, $\chi_{647}(202,·)$, $\chi_{647}(309,·)$, $\chi_{647}(67,·)$, $\chi_{647}(580,·)$, $\chi_{647}(74,·)$, $\chi_{647}(331,·)$, $\chi_{647}(338,·)$, $\chi_{647}(468,·)$, $\chi_{647}(341,·)$, $\chi_{647}(218,·)$, $\chi_{647}(347,·)$, $\chi_{647}(604,·)$, $\chi_{647}(221,·)$, $\chi_{647}(607,·)$, $\chi_{647}(354,·)$, $\chi_{647}(594,·)$, $\chi_{647}(445,·)$, $\chi_{647}(372,·)$, $\chi_{647}(573,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{257} a^{29} - \frac{79}{257} a^{28} + \frac{76}{257} a^{27} + \frac{86}{257} a^{26} + \frac{58}{257} a^{25} - \frac{31}{257} a^{24} + \frac{50}{257} a^{23} - \frac{4}{257} a^{22} + \frac{54}{257} a^{21} + \frac{5}{257} a^{20} + \frac{78}{257} a^{19} + \frac{25}{257} a^{18} + \frac{54}{257} a^{17} + \frac{107}{257} a^{16} + \frac{68}{257} a^{15} - \frac{124}{257} a^{14} + \frac{38}{257} a^{13} + \frac{37}{257} a^{12} - \frac{33}{257} a^{11} - \frac{88}{257} a^{10} - \frac{2}{257} a^{9} - \frac{82}{257} a^{8} - \frac{63}{257} a^{7} - \frac{128}{257} a^{6} + \frac{38}{257} a^{5} - \frac{92}{257} a^{4} + \frac{14}{257} a^{3} + \frac{8}{257} a^{2} + \frac{80}{257} a + \frac{61}{257}$, $\frac{1}{257} a^{30} + \frac{3}{257} a^{28} - \frac{78}{257} a^{27} - \frac{87}{257} a^{26} - \frac{75}{257} a^{25} - \frac{86}{257} a^{24} + \frac{91}{257} a^{23} - \frac{5}{257} a^{22} - \frac{98}{257} a^{21} - \frac{41}{257} a^{20} + \frac{19}{257} a^{19} - \frac{27}{257} a^{18} + \frac{4}{257} a^{17} + \frac{40}{257} a^{16} + \frac{108}{257} a^{15} + \frac{8}{257} a^{14} - \frac{45}{257} a^{13} + \frac{63}{257} a^{12} - \frac{125}{257} a^{11} - \frac{15}{257} a^{10} + \frac{17}{257} a^{9} - \frac{116}{257} a^{8} + \frac{35}{257} a^{7} - \frac{51}{257} a^{6} + \frac{83}{257} a^{5} - \frac{58}{257} a^{4} + \frac{86}{257} a^{3} - \frac{59}{257} a^{2} - \frac{44}{257} a - \frac{64}{257}$, $\frac{1}{257} a^{31} - \frac{98}{257} a^{28} - \frac{58}{257} a^{27} - \frac{76}{257} a^{26} - \frac{3}{257} a^{25} - \frac{73}{257} a^{24} + \frac{102}{257} a^{23} - \frac{86}{257} a^{22} + \frac{54}{257} a^{21} + \frac{4}{257} a^{20} - \frac{4}{257} a^{19} - \frac{71}{257} a^{18} - \frac{122}{257} a^{17} + \frac{44}{257} a^{16} + \frac{61}{257} a^{15} + \frac{70}{257} a^{14} - \frac{51}{257} a^{13} + \frac{21}{257} a^{12} + \frac{84}{257} a^{11} + \frac{24}{257} a^{10} - \frac{110}{257} a^{9} + \frac{24}{257} a^{8} - \frac{119}{257} a^{7} - \frac{47}{257} a^{6} + \frac{85}{257} a^{5} + \frac{105}{257} a^{4} - \frac{101}{257} a^{3} - \frac{68}{257} a^{2} - \frac{47}{257} a + \frac{74}{257}$, $\frac{1}{257} a^{32} - \frac{90}{257} a^{28} - \frac{81}{257} a^{27} - \frac{56}{257} a^{26} - \frac{43}{257} a^{25} - \frac{109}{257} a^{24} - \frac{69}{257} a^{23} - \frac{81}{257} a^{22} - \frac{101}{257} a^{21} - \frac{28}{257} a^{20} + \frac{120}{257} a^{19} + \frac{15}{257} a^{18} - \frac{61}{257} a^{17} + \frac{10}{257} a^{16} + \frac{52}{257} a^{15} - \frac{124}{257} a^{14} - \frac{110}{257} a^{13} + \frac{112}{257} a^{12} - \frac{126}{257} a^{11} + \frac{4}{257} a^{10} + \frac{85}{257} a^{9} + \frac{69}{257} a^{8} - \frac{53}{257} a^{7} - \frac{123}{257} a^{6} - \frac{26}{257} a^{5} - \frac{122}{257} a^{4} + \frac{19}{257} a^{3} - \frac{34}{257} a^{2} - \frac{53}{257} a + \frac{67}{257}$, $\frac{1}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{33} - \frac{21680102098225149535502606990348517937733874974476522520087969744199479215514490184539865038678535043904722797002523267531728878139308392332238501898446243922995766149371219285608485769448359372758668844734013704907318395545093861437542512658807499705070000842249430978841250336351276730916046008218279109611550764385}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{32} - \frac{31402313226765411176614927473669211803881382330438752982467146328062976422033000402826258248181899358592242660546645395605746830632651293626033775086408264251597848721503484798061964786332568242174684146983761212107915594134179101680468019119139256408429523172746658342697031679169290997102287477135167486667374644313}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{31} + \frac{15150885122354801950943284013857792616549746500032142786507428420128806112759323994906669168459841180422454109214763587166505881031194865106730175302023253511583273721498419426433815126042472512956144262133727808134056072625565438371061061030883962654647315566078357048365934578611933584795722930337637671007275432203}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{30} + \frac{1284572826133608939976057372896891166676647976725850531683417763027405918504323332573398978840533488714399631742668239629147267350602486729665928058080996898540046636290534066860763786431112487002575279640536310022421842683587052848037137637241871196296086826445980580281886081127651158682407233012890498970457000226}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{29} + \frac{2916434876818743820754808910475983785578421210376052015440783532395879093615088596864300770297755180017645689056242077355603136721452532560809225279011282873059821406958978136309750845023029681219103039948707190692330046911674395150426689305965272063647969732777441316289501800043047045037049119744558066645165413439532}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{28} + \frac{3416105758820286433648108582611556545297049009868592377849396616104915039678453433714662899243524892907217198312247554952479354235549903001262065082092865490707608952677932111366815225665625252252284975124909399971573956875476296106124366401723176116740431005587303758166970909768049208583483755883460803994143002703703}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{27} - \frac{8619104210162531152624178156739117294551168845069265166912772291775258499670944994863059763149771048082395131418502948108419406082635520071092752652455849070629303894545694009595947117050032096366758346448390816769820091644240876015534334076666129511401604463694506135536455382222215383404985030344766769918841453013656}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{26} + \frac{8824005974415150609459362205883182927546699804232041325347782409528613458439423930146236413646895276746514949079618645572509478564172465697984511335369266891621592015485271025533115661538688180902780374833526887169474461785154594795728318774927243218922142612315056195549860381964242879032828875977051430834435814610773}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{25} - \frac{4133649906696853749351165204273605915289501764506642378136595017970523394191323621094910053465441930890652309704515405390418837106785752859529350701952090885927395897271507236247271628489590268997807402792435752574721030756804890549719453990094312486531044389505500589759401413608893161175918483751742634074978576677365}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{24} + \frac{2892925774825771247940291797050537663838007470867087378710856414138270383261026823717202307530262699267283358747710486502853680349149156283693056552871239064128918507013598275849539355784849067820947235704261341814987835271069498952993023229536823992649879263029471646704855489642485955238831749319228859604880077074380}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{23} - \frac{8317257611574243464577476286703577288194465491487802811868248164270271693497467626412526330907746066656018799638833516771352178742142085016744941096543901402751817857113527739371592824698484114830405575354862162728233709657010218009251204432126578868551614515108757633166162792006485301503518274545454177840814755609234}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{22} - \frac{4212007994800935653812309376059139272725991457960907046556535396044666803674655187636480027703616001067605833058062431138209390990155976732978987636220511737414323537747964236434209218136346392557990567670777474693495133822024023254418213022065855310488817863924005360452272603164030257600978688289205458083746626114208}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{21} + \frac{5816889883749875141480985062295811770067980329043325834192614949312389457920197229476331923209051604859807855595960026837604503181205188786242549410907909072515356549684888102986328933920967571622555428859539207274754953821919866148217382273350281350267794275960699731178605256274864318592442364159987260915813471990161}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{20} + \frac{144589494869819142721127242938695009692112133644506111206320992712557799475153344208038337480062592118316311947564362796149888778548528928430153336970325240458285721061521293324136992600282157739687236629561045117675660472572685707624320736651256845115606623429079969532242201476491671119824297915159245692041591756173}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{19} - \frac{2735612114275037354178592948487064266349328564979941929143200032666849780562047198198021254740308967432272511869474904295694523922281812903828607460657502499721219147005370822834341676679938074949123670315111707059672338172161828424898573305646976369005390592595647952905251744958677901685753249039948617447450843835139}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{18} - \frac{3104119766340801614155433045118810256870146772840092954585144704075196299344457515425528125742209536290620675366306485133808913022577736080791229489082851690888025808096633614824724911979791718537757187264400701356654600930301362612941869044210462378459263383424329941042656442550663409926053833956112343971368623382638}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{17} + \frac{2156924589045318033874379219692956544535893807056555123410100877428399707537834900837243417204171687477045518782806162816280737982845323995684085062276260826036943153553321331950128221116820777667835260791839073924267103809772996102764452935331312668406161837881261380262998958776734238604577158666545844707525855995125}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{16} + \frac{4912201701133912085561054019340392149399028183462872246889200090971512467810192498284618939539101488700968851113708866403285198675670221126764704262148719803107346933775274807907216371098463644127327303336142394544165297495631208932330831938181753954393710222871663688775421221801351319716946773867030808693044855950094}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{15} + \frac{7991691519597531092710028043392553694883960201195957826528317080150079153619391311358085096113631606415089686829115967542552161264229131830113402656128797820073967252882058138864119273053362651026568516463155731911063220028690934390046862496903939649990265182533543248541670441797110980932265357671350732222664829791127}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{14} + \frac{254236477506149466821971840226375542487583091054776707259561510625976288629512578480593895942350711333933869553385297716498676807494145579614831896891676984816883746406155611777777737794912288991343148272234470249910022989501872342551510558152339960923394779213423952744285464593409645886120412152686107521307789812830}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{13} + \frac{256531834236349475613882361921369223981256217212867420383097129669030011825866674303479056621123990712787406963372418810700980764621872202158505757409441046807247009313954767839561068833157384548787069604934291759623677904065084488623917110287597525531481239932213029360445598008183951572146350722243772175290707812142}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{12} + \frac{2298709442396171847603217278135813519855996844778722475334907731118248007901389879308550137889495418265028406331853681566397114799332818566867882764452066801218743258251671871419932915395120329694066719485515601191231145385213363358554238600197164842685176651123537256059047323538716963993538781976488134440279184843686}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{11} - \frac{6005306806028978353168199457807694772176332030989194289165167690367481743576627088857494301535869782584894064095600849865900354436790202101758552948985689489172288751000743791285225620959763344201785361827479318286734776309024286266205784171815344140842904770666793680459371097608943470610146734571635260375630973860913}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{10} + \frac{4855562487275544421284063238021108224089766525242740879507818548924724146961435969149140834599392077187818226221393569274913590132212817221215110892866558295460592395714986738468908077597756579495518676489916223602121407872016720288704861089779189190948592419331354470793965464495334638379021773157716057260064465165269}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{9} - \frac{7880865812934371629181838060180832698075052161974526833360252526488591460785235978290183951318779394671400543261986537283350409627127757487397920401583998503343709105852339894644739111026927939931091845951388355850654118803575058685228258926582106748802636930173534598737727743941376298116885336003520740843243544873739}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{8} + \frac{3103306845823724620869854695350278705282187153506425178907580540169455908447222894861613775936166188950212452940766528381094533255708876473462972821557851629249057120928018800200656261111175983447174981182077716457848176265127888505184244611230264587431586023392417646235516761906144616855752160805942773021638365500727}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{7} + \frac{4775559032047427586370507925444639006188397968457451134479683109621971871630872651947481721548673612838869844682018654325615574907410291480156314280913664652790337451877286848071157775269374561324603017936920555094919374889378793275500636224611199714280321816224645802769297029825608453534854534865435687987888847400961}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{6} + \frac{7865406223137651136670194834778046092939420968772550542579405798504400028725731953281188905726797741583237192866162686451872724708383705125364540489536013771472346480764644499231066600083420595171103850370124244213577323465794584039960511958917316780355944744041744643298781771394985016413503454394077000104537926778090}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{5} + \frac{4609279179860104463969084476474609767517759806834570074493368763054166074137027662696629785313950806096225521160165888994546320533081625988784182370878858974183816232851780787935361852547329931989839617039587276796167799035228338948343964041503242796803485608140792807571756458416872840737662542849103503879278387149979}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{4} - \frac{1949752360201153984201092901987610754081462773203030415476904303409763008331890245237022573914153838210809798075293126551060990491083651296274430250501071280712313963668804180365277307868332115309016282594503963913475478113188688339207112677631830846542078087731349570906162197573700002728422617952025058924390394645145}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{3} + \frac{1742777449781790827932780750516246077605202752106018866479377590055075057646851454983359350480723277519112172596234591887989378311979270914482773650228168223883933712937919099905529342129867532465864915966128366469203856600479866106398084560026952797140296904509302634173330650904094733064042719210765243267809050113453}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a^{2} - \frac{3267126484957108549012162823004913623303051438705462151866703970756808859414337172883031816464171739032510260261207539039721077895723016846865927709439898499520860003334918965156234922793978676765973466521822491717506161473509309018277760352978528492480327728622638257715708338901499065996901633753849921897378812504966}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507} a - \frac{7073524028722791558521770926231968929428277630367017840441858700097090416361236301238750316045739507655628737912844689636409210798795318170676786114359498879200108064059364627425112159941882189052846603128347340714504956529624772765149898555515294765398250166570610731784745714586131876688623496347969571462612886002961}{17658063850414506588305401650561636268169150388360686866744142250509279907131585660033296755612401369072194979942640671396733805722505334350857783677016633144804245964125424081948906396049630528312652217147326742783886415922536184433171033380582524118934343972419532192589002034729310860997017874690597075223097766141507}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-647}) \), 17.17.942906198449660107953222334097149309547713921.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
647Data not computed