↑

Properties

Label 34.0.50059827125...6163.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,3^{17}\cdot 307^{32}$
Root discriminant $379.66$
Ramified primes $3, 307$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![43587835729, 45955575686, 695714289613, -1350588105586, 7783428665296, -8855244885709, 22758675695505, -12707451180085, 37780236257968, -14264584876420, 39553497292653, -7887447015730, 27659213624475, -5226860707641, 12300658420128, -2495385948664, 4009492154022, -902954148158, 889393644521, -206346009464, 143647432046, -30122894680, 13936766486, -2034788701, 783173348, -84434832, 31210462, -2188798, 780033, -35854, 14083, -338, 145, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 + 145*x^32 - 338*x^31 + 14083*x^30 - 35854*x^29 + 780033*x^28 - 2188798*x^27 + 31210462*x^26 - 84434832*x^25 + 783173348*x^24 - 2034788701*x^23 + 13936766486*x^22 - 30122894680*x^21 + 143647432046*x^20 - 206346009464*x^19 + 889393644521*x^18 - 902954148158*x^17 + 4009492154022*x^16 - 2495385948664*x^15 + 12300658420128*x^14 - 5226860707641*x^13 + 27659213624475*x^12 - 7887447015730*x^11 + 39553497292653*x^10 - 14264584876420*x^9 + 37780236257968*x^8 - 12707451180085*x^7 + 22758675695505*x^6 - 8855244885709*x^5 + 7783428665296*x^4 - 1350588105586*x^3 + 695714289613*x^2 + 45955575686*x + 43587835729)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 + 145*x^32 - 338*x^31 + 14083*x^30 - 35854*x^29 + 780033*x^28 - 2188798*x^27 + 31210462*x^26 - 84434832*x^25 + 783173348*x^24 - 2034788701*x^23 + 13936766486*x^22 - 30122894680*x^21 + 143647432046*x^20 - 206346009464*x^19 + 889393644521*x^18 - 902954148158*x^17 + 4009492154022*x^16 - 2495385948664*x^15 + 12300658420128*x^14 - 5226860707641*x^13 + 27659213624475*x^12 - 7887447015730*x^11 + 39553497292653*x^10 - 14264584876420*x^9 + 37780236257968*x^8 - 12707451180085*x^7 + 22758675695505*x^6 - 8855244885709*x^5 + 7783428665296*x^4 - 1350588105586*x^3 + 695714289613*x^2 + 45955575686*x + 43587835729, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} + 145 x^{32} - 338 x^{31} + 14083 x^{30} - 35854 x^{29} + 780033 x^{28} - 2188798 x^{27} + 31210462 x^{26} - 84434832 x^{25} + 783173348 x^{24} - 2034788701 x^{23} + 13936766486 x^{22} - 30122894680 x^{21} + 143647432046 x^{20} - 206346009464 x^{19} + 889393644521 x^{18} - 902954148158 x^{17} + 4009492154022 x^{16} - 2495385948664 x^{15} + 12300658420128 x^{14} - 5226860707641 x^{13} + 27659213624475 x^{12} - 7887447015730 x^{11} + 39553497292653 x^{10} - 14264584876420 x^{9} + 37780236257968 x^{8} - 12707451180085 x^{7} + 22758675695505 x^{6} - 8855244885709 x^{5} + 7783428665296 x^{4} - 1350588105586 x^{3} + 695714289613 x^{2} + 45955575686 x + 43587835729 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-5005982712592872831499577538128121876774381142842174901168515133694835324753596340836163=-\,3^{17}\cdot 307^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $379.66$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 307$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(921=3\cdot 307\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{921}(1,·)$, $\chi_{921}(115,·)$, $\chi_{921}(388,·)$, $\chi_{921}(523,·)$, $\chi_{921}(269,·)$, $\chi_{921}(272,·)$, $\chi_{921}(913,·)$, $\chi_{921}(280,·)$, $\chi_{921}(409,·)$, $\chi_{921}(412,·)$, $\chi_{921}(542,·)$, $\chi_{921}(421,·)$, $\chi_{921}(422,·)$, $\chi_{921}(299,·)$, $\chi_{921}(304,·)$, $\chi_{921}(371,·)$, $\chi_{921}(308,·)$, $\chi_{921}(695,·)$, $\chi_{921}(316,·)$, $\chi_{921}(830,·)$, $\chi_{921}(64,·)$, $\chi_{921}(587,·)$, $\chi_{921}(580,·)$, $\chi_{921}(331,·)$, $\chi_{921}(716,·)$, $\chi_{921}(719,·)$, $\chi_{921}(728,·)$, $\chi_{921}(611,·)$, $\chi_{921}(235,·)$, $\chi_{921}(623,·)$, $\chi_{921}(883,·)$, $\chi_{921}(886,·)$, $\chi_{921}(887,·)$, $\chi_{921}(638,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $\frac{1}{17} a^{23} + \frac{8}{17} a^{21} + \frac{5}{17} a^{20} - \frac{3}{17} a^{19} - \frac{3}{17} a^{18} + \frac{3}{17} a^{16} - \frac{8}{17} a^{15} + \frac{4}{17} a^{14} - \frac{1}{17} a^{13} - \frac{5}{17} a^{12} - \frac{6}{17} a^{10} - \frac{1}{17} a^{9} - \frac{2}{17} a^{8} + \frac{3}{17} a^{7} + \frac{7}{17} a^{6} - \frac{2}{17} a^{5} - \frac{1}{17} a^{4} + \frac{1}{17} a^{3} + \frac{8}{17} a^{2} - \frac{2}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{24} + \frac{8}{17} a^{22} + \frac{5}{17} a^{21} - \frac{3}{17} a^{20} - \frac{3}{17} a^{19} + \frac{3}{17} a^{17} - \frac{8}{17} a^{16} + \frac{4}{17} a^{15} - \frac{1}{17} a^{14} - \frac{5}{17} a^{13} - \frac{6}{17} a^{11} - \frac{1}{17} a^{10} - \frac{2}{17} a^{9} + \frac{3}{17} a^{8} + \frac{7}{17} a^{7} - \frac{2}{17} a^{6} - \frac{1}{17} a^{5} + \frac{1}{17} a^{4} + \frac{8}{17} a^{3} - \frac{2}{17} a^{2}$, $\frac{1}{17} a^{25} + \frac{5}{17} a^{22} + \frac{1}{17} a^{21} + \frac{8}{17} a^{20} + \frac{7}{17} a^{19} - \frac{7}{17} a^{18} - \frac{8}{17} a^{17} - \frac{3}{17} a^{16} - \frac{5}{17} a^{15} - \frac{3}{17} a^{14} + \frac{8}{17} a^{13} - \frac{1}{17} a^{11} - \frac{5}{17} a^{10} - \frac{6}{17} a^{9} + \frac{6}{17} a^{8} + \frac{8}{17} a^{7} - \frac{6}{17} a^{6} - \frac{1}{17} a^{4} + \frac{7}{17} a^{3} + \frac{4}{17} a^{2} - \frac{1}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{26} + \frac{1}{17} a^{22} + \frac{2}{17} a^{21} - \frac{1}{17} a^{20} + \frac{8}{17} a^{19} + \frac{7}{17} a^{18} - \frac{3}{17} a^{17} - \frac{3}{17} a^{16} + \frac{3}{17} a^{15} + \frac{5}{17} a^{14} + \frac{5}{17} a^{13} + \frac{7}{17} a^{12} - \frac{5}{17} a^{11} + \frac{7}{17} a^{10} - \frac{6}{17} a^{9} + \frac{1}{17} a^{8} - \frac{4}{17} a^{7} - \frac{1}{17} a^{6} - \frac{8}{17} a^{5} - \frac{5}{17} a^{4} - \frac{1}{17} a^{3} - \frac{7}{17} a^{2} - \frac{7}{17} a$, $\frac{1}{17} a^{27} + \frac{2}{17} a^{22} + \frac{8}{17} a^{21} + \frac{3}{17} a^{20} - \frac{7}{17} a^{19} - \frac{3}{17} a^{17} - \frac{4}{17} a^{15} + \frac{1}{17} a^{14} + \frac{8}{17} a^{13} + \frac{7}{17} a^{11} + \frac{2}{17} a^{9} - \frac{2}{17} a^{8} - \frac{4}{17} a^{7} + \frac{2}{17} a^{6} - \frac{3}{17} a^{5} - \frac{8}{17} a^{3} + \frac{2}{17} a^{2} + \frac{2}{17} a$, $\frac{1}{901} a^{28} + \frac{25}{901} a^{27} + \frac{11}{901} a^{26} - \frac{6}{901} a^{25} + \frac{20}{901} a^{24} - \frac{16}{901} a^{23} + \frac{29}{901} a^{22} + \frac{447}{901} a^{21} - \frac{260}{901} a^{20} + \frac{256}{901} a^{19} - \frac{20}{53} a^{18} - \frac{14}{53} a^{17} - \frac{352}{901} a^{16} - \frac{441}{901} a^{15} - \frac{190}{901} a^{14} + \frac{227}{901} a^{13} - \frac{421}{901} a^{12} + \frac{57}{901} a^{11} + \frac{418}{901} a^{10} - \frac{310}{901} a^{9} + \frac{19}{53} a^{8} + \frac{304}{901} a^{7} + \frac{127}{901} a^{6} - \frac{283}{901} a^{5} + \frac{389}{901} a^{4} + \frac{44}{901} a^{3} + \frac{5}{901} a^{2} - \frac{104}{901} a + \frac{6}{53}$, $\frac{1}{901} a^{29} + \frac{22}{901} a^{27} - \frac{16}{901} a^{26} + \frac{11}{901} a^{25} + \frac{14}{901} a^{24} + \frac{5}{901} a^{23} + \frac{199}{901} a^{22} - \frac{411}{901} a^{21} - \frac{11}{53} a^{20} + \frac{309}{901} a^{19} - \frac{112}{901} a^{18} + \frac{351}{901} a^{17} - \frac{174}{901} a^{16} + \frac{76}{901} a^{15} - \frac{217}{901} a^{14} + \frac{423}{901} a^{13} + \frac{141}{901} a^{12} + \frac{211}{901} a^{10} - \frac{36}{901} a^{9} - \frac{86}{901} a^{8} - \frac{7}{53} a^{6} + \frac{150}{901} a^{5} + \frac{18}{901} a^{4} - \frac{141}{901} a^{3} + \frac{407}{901} a^{2} + \frac{423}{901} a + \frac{9}{53}$, $\frac{1}{901} a^{30} + \frac{1}{53} a^{27} - \frac{19}{901} a^{26} - \frac{13}{901} a^{25} - \frac{11}{901} a^{24} + \frac{21}{901} a^{23} + \frac{223}{901} a^{22} - \frac{4}{901} a^{21} - \frac{331}{901} a^{20} + \frac{86}{901} a^{19} + \frac{305}{901} a^{18} - \frac{185}{901} a^{17} - \frac{24}{901} a^{16} + \frac{104}{901} a^{15} - \frac{326}{901} a^{14} - \frac{189}{901} a^{13} - \frac{7}{53} a^{12} - \frac{407}{901} a^{11} + \frac{308}{901} a^{10} + \frac{56}{901} a^{9} - \frac{375}{901} a^{8} + \frac{30}{901} a^{7} + \frac{112}{901} a^{6} - \frac{169}{901} a^{5} + \frac{364}{901} a^{4} - \frac{84}{901} a^{3} - \frac{19}{53} a^{2} - \frac{262}{901} a - \frac{26}{53}$, $\frac{1}{3001231} a^{31} + \frac{195}{3001231} a^{30} - \frac{39}{3001231} a^{29} + \frac{1051}{3001231} a^{28} - \frac{73207}{3001231} a^{27} - \frac{4917}{3001231} a^{26} - \frac{4674}{3001231} a^{25} - \frac{45749}{3001231} a^{24} - \frac{42684}{3001231} a^{23} - \frac{1466047}{3001231} a^{22} + \frac{1085291}{3001231} a^{21} + \frac{820119}{3001231} a^{20} + \frac{738619}{3001231} a^{19} - \frac{765220}{3001231} a^{18} + \frac{1163369}{3001231} a^{17} + \frac{506170}{3001231} a^{16} - \frac{1401007}{3001231} a^{15} - \frac{1168497}{3001231} a^{14} - \frac{80944}{3001231} a^{13} - \frac{811840}{3001231} a^{12} - \frac{741555}{3001231} a^{11} + \frac{681206}{3001231} a^{10} - \frac{44721}{176543} a^{9} - \frac{458785}{3001231} a^{8} + \frac{124834}{3001231} a^{7} + \frac{656572}{3001231} a^{6} - \frac{368852}{3001231} a^{5} + \frac{847289}{3001231} a^{4} + \frac{1109291}{3001231} a^{3} + \frac{984778}{3001231} a^{2} + \frac{547408}{3001231} a + \frac{50921}{176543}$, $\frac{1}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{32} + \frac{125927496302097391997583509312052419696}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{31} + \frac{169751598611487040308224128165723795334603}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{30} - \frac{495227976041377706032101014736556101438780}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{29} - \frac{200863977006902337130048949113058848368854}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{28} + \frac{17528088165898217332195172712712909266468292}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{27} + \frac{7436285357519446616357894997941206390524257}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{26} + \frac{11242892415247546805071931344734191789662830}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{25} + \frac{22085727052848556003435825207686901288591692}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{24} + \frac{8109628332932816167695689825720432207116205}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{23} - \frac{13784471436469276034629504872536913504967520}{55735084494137189189710857524569472025383893} a^{22} - \frac{208072615258282724121793135105562202691919948}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{21} + \frac{329539317220218461751150047092807027836584330}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{20} - \frac{3220152749152632537616323009198124634396680}{55735084494137189189710857524569472025383893} a^{19} + \frac{439930691363336407556929906273746584325607731}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{18} + \frac{305221664380098167368606203069569969054134248}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{17} + \frac{413238878301501165377881716862717661678683549}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{16} + \frac{375715682419903091268740821395121236693187185}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{15} + \frac{161972494995780347934916905107512260385460361}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{14} + \frac{321330967501094509961938062248513868529849039}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{13} - \frac{65950654639018940473286511533116325696208539}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{12} + \frac{385172064784013374753110958287074135291986578}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{11} + \frac{24293148962138836854140534699530268627453325}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{10} + \frac{2286479070854017499603215856880464376940467}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{9} - \frac{1786214465076987432043978140184387512653238}{17877291252836456909907256187126057064745777} a^{8} - \frac{61417852137855547885357330623910562610651574}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{7} + \frac{211368924468690090802467677271758497792403761}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{6} - \frac{206982080378029213408187490899813704745228278}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{5} - \frac{420307258477957283634847056744799765612288139}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{4} - \frac{1530687727953783625968219917026107074686242}{6816521125182246159892694805163172837636879} a^{3} + \frac{273968263422407130285171002726645259681571117}{947496436400332216225084577917681024431526181} a^{2} + \frac{19080300169858667350413324022652865864199347}{55735084494137189189710857524569472025383893} a + \frac{887117674988043084710210924512093242591185}{3278534382008069952335932795562910119140229}$, $\frac{1}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{33} - \frac{1547288818102404782919890175223711490380549541616148515721645574520647230358700516483573398244423897307442911539274537851891212524408156562457267245716217370381}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{32} - \frac{489741697505264843708398676569156425144073785865067718519563376309856401390605356747108463909020675989263598453275935195178345196998807940662164547226130742222636477475849869574019800243922365708897}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{31} + \frac{1300291337002915920639007172262723163565739653755154878123233019554575442989045569532074556704405120652911435709881602088930890190405655521493557358243636575620376582858610975690241688004614282294972175}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{30} - \frac{310286029110233731334766367286097619170648597595192988226788558845930037282607260311202230412489577121757340598446426806365860809783024250219667077955134346829666700114048602606717282407251817356495818}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{29} + \frac{1871802190353755370230014600136576966528968420051701037095424259566536521826702980324545336646192814980654289403978677559545897504925418045860627800140490515335487043579288226570408002289565749702875326}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{28} + \frac{118629322654711137343447424197126312237046997009553653275033796876522446618797182977824264357991738874402863120500694779344086404851316008134826792183262819366018805081058515546382611994737347690603749341}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{27} - \frac{87671794041171782394275639058972985524011539888023939462834946406763313037664523640898527492617144186734015646144858736572517074934026711580987376994588248697571890054527644440300444257740633479880207411}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{26} - \frac{89219275566028163375340659548577918644375553725790298766344936124175754012586184364752052060815265406806405769842602984078600369805397099831822110679417922478036079281960201949342579421973743285370983929}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{25} + \frac{100013870508207191451528069945813859605230284906131094544719096847932306447866124240657353113414546617396452780122098863142755207346214777739877021764053864259234450481232907128061503930672071457232136441}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{24} - \frac{44341951611895804150945498288569874171000397948820177102512183207548748777624391160076495344970644579692919157785110697890140702140196769727566744305332604826806998963039836987087217538960262353155734732}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{23} - \frac{767442320059606840858450687976688530785036444288392767042807554186796140360239638228225612628656651486863005215150478487783228430557687521675532640550381966244461805957788317146631412944097753100901246820}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{22} + \frac{35075821513460080747870447568328153716969502438250052553878822910111663354008724255418747059401793682123774875019300147818933415262398987869104712142772257343678683691003440614282134094843995379407915621}{90059347140365966067517076197067837848849276963916964601155163016071406397667290046063458947926332074922230137261051470481938236369959241755040252744150374931159082427309021261879664265359086982456298947} a^{21} + \frac{240191049946656225358551594475252622446719194634006143926815579106959147040093039465562445568166080408526509658489898080378411997445496321353107892870259216246985134389772731376067061378414717960951545709}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{20} - \frac{2115426786145646161001419396082316023448775549112606758585507963667085633434044858044209417761720390445129599277713584384607308934669582808768415014578091892131796027448305873790986127970020727300733023938}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{19} + \frac{699891863288375721625270322443182644346529977037319018280373141624776591825867161022383785142062787626813113828543197603890696940004307630142707261608413162066789861188372632011672873765211676498235995286}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{18} + \frac{861173601002147690101933951446659570262690289342016067093747271011960501778637721235414594463082597257770604131231102814121922638306564888203921075360900051108858158015463617420584160457157690534297780435}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{17} + \frac{269253051398443221410904049878201037689739250614078326386924962890892204951049431048136721493325442834289679981400714357574965677863196532583575706657540993772984600881369336451779540533171706803776720648}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{16} - \frac{363287769112398123497697015405445935613049580338874372154065435309880903594065375769956337460302365354381112220484161986471954081898995220355913655750566558792400001595611450333910726222037361809492075198}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{15} - \frac{1726471802558815387420959322149788848132680798976606381274747993980977686704408298299375212014115186259600230710617982787549286375754066108905308597329559543686586454349986238577939272965535430517932932657}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{14} - \frac{3403646210391952811222096949548020248911958356385980983071392024641572999244779839550841478421824873680807417789588232089090783171703889937183964556860113149246771678469525352485297675265518839962628267}{7786534092070793151025130568425114854794472559686132339088456182466206425899455746233871654551542577440258070595164319633838053062981794148478194772332740410034961449669458608286496257853232642855112307} a^{13} - \frac{591978957748841804165883032137539611581139991401396183297857457651453632648748683674991300915913471666603149495157108471651490828908948519875536312406235386055862097495093806360602837363908599786012990679}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{12} + \frac{762800888691195918227354305887972548010478886004868006837183630076102724854468738625236814964734170034683572000863705477349094863748392438398335447068174092206981019922276418589268911220605930681566518125}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{11} - \frac{16850968571368478875496966493943689134076221972939623046310337606866884399791029247954988424338081708430175502039364784320690146427320398030510966999965377620336873898023736946248313772855155319731835710}{34339175528340979867470539844925146805676343015018698732814558560084780856664506276556570677986299280366030196221839769320451269982790214482137650326906258067276484666527900193378577022043392878202761469} a^{10} + \frac{640719917598147030937333008553101080335756686171855152664603986928575008327553038919094396983588707301402202920916849280712550568363303635734335689379017518003297788349993271973551982889162469380501077090}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{9} + \frac{493419145956675028578742053598014342320720592392991548280628083379657669807700480976081640104806050324688564838347052207648285542125373250520098841700347298957326958811816761268135445518423670924617579577}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{8} + \frac{701568683758418572331742779848695803329751238312944047829626921176632379691492616441271615254179422135940170635742471646473951282355003352389614120893002274543360609900254132720468719281865262374400594095}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{7} + \frac{449659348240342476044908265579140969272468546657287366519192350772001224907846311962048924609945820728781320647402413965073864552656572618120330939440008418322979309213599631067911154165788418940579423028}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{6} - \frac{1001390329928185943779964054036039761625592313702782610403851440510048610701738225539387086947590070368981311669400415826889977682121240427120242417542183205255327496283491497864661068948588274046394920394}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{5} - \frac{1898062772396249836216747356002532884757390113665601277142183297386524450347170798108295539265771641911413433231287056645619800806508901234537168667677413395419692544257925980095750846249731665065831971009}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{4} + \frac{918006782022844471538832148491492260488397844550091251082233929814737485373668350503343600870040773217264532609928134027719017658049244978541094808930734894166139315097884922310047830125535599983906576861}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{3} - \frac{295812477976653948245883040485237852510343998447034735629100287778164902360147990420458889873120155572424721279585392287220330868436636969167740607041619102057009297257964926797916633274812576884913877985}{4773145398439396201578405038444595405989011679087599123861223639851784539076366372441363324240095599970878197274835727935542726527607839813017133395439969871351431368647378126879622206064031610070183844191} a^{2} - \frac{103724986102257093216859430044718048749372603407426755631376619734295720024066733996561282215331322077061671251501447843543108337199734505447129283302220943072816174195886254184077057263737398734554019481}{280773258731729188328141472849682082705235981122799948462424919991281443475080374849491960249417388233581070427931513407973101560447519989001007846790586463020672433449845772169389541533178330004128461423} a + \frac{309140426756709786150192996606793800594026326910748197118285633209535333326886214801089377300295076826182774885362869489578910884771992389948685338882808102935498728026365980361372080913133449342086}{1344847654347601451923063713194854235405413341138151944239187841530826879757254749562892273810895779868381432954451464519430308704730501870421587851107097347986954661911253500957430854611275811052599}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{78587432156856041452184794870331054685693640506392082767519332388581997425763338150702866899275003844269818088495417096700249660604209900916543059604046283}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{33} + \frac{152649699240318474429310684128725825593532678850543772505883644267325933729305546072710704109113459112419010473460159304278180206775394364610639230966951277}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{32} - \frac{11468015936710449064618605394462915708138993954149429876406297116752423459237610092863059322824047488707800104725500014042646909310340619872541146956743616997}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{31} + \frac{37292847210709261536498442977593789915951151346226244946692389976095127473755493390017486717536560314163141648500633258553297452295898673777628204519013720727}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{30} - \frac{1131591027990185884528986656731626247473021764378266652160452692690888982062137067343284083096165845519123751226407829593182183950826110500004734989976693829478}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{29} + \frac{3859189600223840438233087065495107389906639464652598632384671284051925647231173804787407606296237730885189167875431056665195534993154251845927478355799617621500}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{28} - \frac{63935893375018635752543372535081214839838643497556569347691191076505295999879892668499149457651911452989202113066012384166674465094761315247087519777932702736226}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{27} + \frac{229632572676305601082451916195742984129478997910136927855938924385839471858620626341150458522162719276383460979388724843441437107942288464385231361703683017431147}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{26} - \frac{2613580944504099879323752624016300365991517024356804335902691897494255331194067573524924825759324157151752074109357032998578096523691715288040263704079988828570334}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{25} + \frac{8938407654032713209395153332472871128497343764124049451068295704678715102219823551197395816008449634190935146252797346680141621702578455865319013244800610647179178}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{24} - \frac{67743548724501906040813891594562956097709694484761109534777196936892478343637196068118752590668442953488149413296801847240289937320058355943009886971160906006454726}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{23} + \frac{12798175317091343130319288487238111305143494418403816912408569634720819607989864567966222254390661025204131673371352330066478744689046339620119003765740637219060893}{2332472390273204737009399449801449938683515120568610124994982888786740028830094966751468810066869260244689008705440791038001491911186984366134480733794547540867674899} a^{22} - \frac{1244252966004686944815417547499967220815024570971119728925034335430007378680499619169647306687589488080271118056902403490468511855918226690847732656225068722664038947}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{21} + \frac{3390883239754382330412189497124831774911671255503013560331226689732902659115854154817309589276064429770394979372672810154817474842763401628375258425650952031524952457}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{20} - \frac{13484881759997916433269724627775329569367621002828599241198395291918368121828580992197103090531703906224700463886299268349911594601893740280054104696794468145152452657}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{19} + \frac{26708540797157554298279631941156365774348090532219923748048825446911717294164010411012500273545186883567529546028102085519223669101430119224014967015772049663972938954}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{18} - \frac{84731102477660874841199102846985560724853844074651508811043979160532678498675139051506836632799997849177723346323511671356907921489407519565997743112249813706961789938}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{17} + \frac{135435838020865157598391864489560462345532187454972799769797266595673685926316755900729669386494555622303033476463439207280878011708452665506316329679757867720383469880}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{16} - \frac{378919434837999085473544980902491326174789685764419717667666160261048752550158951957613387750026431901029540040353056234225784294699431639491188809474245628472430322908}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{15} + \frac{485027616463993057452255528567186945948810757262863947201863410010146627612769027390097979448453784416658949359298474451061402326563992375448104146944791026984117135953}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{14} - \frac{1855525313253087085093946572360214394532169167770858559188887319751320368948232387295049748390553050919724612885045041897356592310463326634222615801333971632903035729}{64685204950480392380358549178833032557291610195214310154836393326875335220410464004526867489619539027993006766708798446404609074209100708359357540741447484820147591} a^{13} + \frac{1288462397980241125988986518341486016363263771721045237503634359138159546004759213583801201161346328923339864973356002587924564764383273000149962065700975762350051020041}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{12} - \frac{2516676425783658753307093450321722288298131461777584848587846383788877551384629170452082074044059788253389417939887627553328647114885430963043826511274080841277909691690}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{11} + \frac{2574451681850768442143997914498553255007572574653880118492198471008040368891972910394837515742388359346674783538721620794641531292422287191283657475143412599402664124773}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{10} - \frac{3589501133634426641921569531215385019666229702702481943341357503610696911935988051744388992897859439490927970166493323903586055182442792272433166209366565081726227715804}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{9} + \frac{3854529580126220437551250958262075264864117025511085447824871899029328032781678990838059910781680830757898704491728836507073183878486489832753050803155275720193293506974}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{8} - \frac{226727960551300166791385800449631437752437576018030479339350133331121177002975980019938080090208396134539385623066557751188987761151381988624613855143702121813461015850}{2332472390273204737009399449801449938683515120568610124994982888786740028830094966751468810066869260244689008705440791038001491911186984366134480733794547540867674899} a^{7} + \frac{3541727452700252102506411981457683209625455884229276306443342265612277905819182589061265585233742308211726242321340805514666870321556581687863305317524351422247964923018}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{6} - \frac{2503121675087028602384027073403785778202088826673307374034088062399074907686751017280688299739396274221810664152429415844412286004094548967084044116962566124333664972619}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{5} + \frac{2146223640821615569152938580678604602414510000199057995054415281618967082638849576102065483938618124113820485690612543583858591447727790834857313947739327440233886425963}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{4} - \frac{1104555425697947658959888794834851737644130394104771849473789887214042882422114969815005819546957127362258006087395349429247295105924168080018887028043000655814361576835}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{3} + \frac{590395853761274033708670000676168118139440753074301520426266800767785526157384529367550191086781705674570227270447229613524883076993567761098946425224148476327006986891}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a^{2} - \frac{71480691382918161073814634560816792931890806324204075992289641987329420671869011932331910271728560453400677228576629193781828297405769584342314152522656296252024374931}{39652030634644480529159790646624648957619757049666372124914709109374580490111614434774969771136777424159713147992493447646025362490178734224286172474507308194750473283} a + \frac{198795767271228518092487462489348661378757120064588068548910846880168168519211152421303075327659226790583683883521734963837296111539778859694222862667822661956036}{189925282165394083300170951046449795512052367117385402246965466068458596924525280250099243552387367498142578674818075974106464612913197977862916760344804783068779} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 17.17.6226070121392010397563990173530787496001.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ R $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/17.2.0.1}{2} }^{17}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ ${\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }^{17}$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
307Data not computed