↑

Properties

Label 34.0.33254660680...5283.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,3^{17}\cdot 103^{32}$
Root discriminant $135.83$
Ramified primes $3, 103$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![8048569, -73089631, 448908855, -1618857168, 4518648355, -9172737675, 16052201854, -23064375767, 31372407145, -36487346558, 39648896356, -36915149197, 32221074210, -24702818067, 18043531688, -11714663796, 7274499825, -4017190895, 2135502310, -1006591547, 459461291, -182710441, 70989641, -23451724, 7867204, -2158868, 642029, -140505, 37764, -6093, 1646, -162, 49, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 + 49*x^32 - 162*x^31 + 1646*x^30 - 6093*x^29 + 37764*x^28 - 140505*x^27 + 642029*x^26 - 2158868*x^25 + 7867204*x^24 - 23451724*x^23 + 70989641*x^22 - 182710441*x^21 + 459461291*x^20 - 1006591547*x^19 + 2135502310*x^18 - 4017190895*x^17 + 7274499825*x^16 - 11714663796*x^15 + 18043531688*x^14 - 24702818067*x^13 + 32221074210*x^12 - 36915149197*x^11 + 39648896356*x^10 - 36487346558*x^9 + 31372407145*x^8 - 23064375767*x^7 + 16052201854*x^6 - 9172737675*x^5 + 4518648355*x^4 - 1618857168*x^3 + 448908855*x^2 - 73089631*x + 8048569)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 + 49*x^32 - 162*x^31 + 1646*x^30 - 6093*x^29 + 37764*x^28 - 140505*x^27 + 642029*x^26 - 2158868*x^25 + 7867204*x^24 - 23451724*x^23 + 70989641*x^22 - 182710441*x^21 + 459461291*x^20 - 1006591547*x^19 + 2135502310*x^18 - 4017190895*x^17 + 7274499825*x^16 - 11714663796*x^15 + 18043531688*x^14 - 24702818067*x^13 + 32221074210*x^12 - 36915149197*x^11 + 39648896356*x^10 - 36487346558*x^9 + 31372407145*x^8 - 23064375767*x^7 + 16052201854*x^6 - 9172737675*x^5 + 4518648355*x^4 - 1618857168*x^3 + 448908855*x^2 - 73089631*x + 8048569, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} + 49 x^{32} - 162 x^{31} + 1646 x^{30} - 6093 x^{29} + 37764 x^{28} - 140505 x^{27} + 642029 x^{26} - 2158868 x^{25} + 7867204 x^{24} - 23451724 x^{23} + 70989641 x^{22} - 182710441 x^{21} + 459461291 x^{20} - 1006591547 x^{19} + 2135502310 x^{18} - 4017190895 x^{17} + 7274499825 x^{16} - 11714663796 x^{15} + 18043531688 x^{14} - 24702818067 x^{13} + 32221074210 x^{12} - 36915149197 x^{11} + 39648896356 x^{10} - 36487346558 x^{9} + 31372407145 x^{8} - 23064375767 x^{7} + 16052201854 x^{6} - 9172737675 x^{5} + 4518648355 x^{4} - 1618857168 x^{3} + 448908855 x^{2} - 73089631 x + 8048569 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-3325466068076643664357827857598159738994734276327509143073421552355865283=-\,3^{17}\cdot 103^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $135.83$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 103$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(309=3\cdot 103\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{309}(1,·)$, $\chi_{309}(133,·)$, $\chi_{309}(8,·)$, $\chi_{309}(137,·)$, $\chi_{309}(13,·)$, $\chi_{309}(14,·)$, $\chi_{309}(272,·)$, $\chi_{309}(278,·)$, $\chi_{309}(23,·)$, $\chi_{309}(287,·)$, $\chi_{309}(34,·)$, $\chi_{309}(164,·)$, $\chi_{309}(167,·)$, $\chi_{309}(169,·)$, $\chi_{309}(299,·)$, $\chi_{309}(175,·)$, $\chi_{309}(179,·)$, $\chi_{309}(182,·)$, $\chi_{309}(184,·)$, $\chi_{309}(61,·)$, $\chi_{309}(64,·)$, $\chi_{309}(196,·)$, $\chi_{309}(203,·)$, $\chi_{309}(76,·)$, $\chi_{309}(79,·)$, $\chi_{309}(214,·)$, $\chi_{309}(215,·)$, $\chi_{309}(220,·)$, $\chi_{309}(100,·)$, $\chi_{309}(229,·)$, $\chi_{309}(104,·)$, $\chi_{309}(236,·)$, $\chi_{309}(112,·)$, $\chi_{309}(116,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{7003} a^{30} + \frac{111}{7003} a^{29} - \frac{137}{7003} a^{28} - \frac{2783}{7003} a^{27} + \frac{2962}{7003} a^{26} + \frac{1757}{7003} a^{25} + \frac{2457}{7003} a^{24} + \frac{933}{7003} a^{23} + \frac{319}{7003} a^{22} + \frac{116}{7003} a^{21} + \frac{243}{7003} a^{20} - \frac{193}{7003} a^{19} + \frac{2672}{7003} a^{18} - \frac{869}{7003} a^{17} + \frac{2126}{7003} a^{16} + \frac{1386}{7003} a^{15} - \frac{2142}{7003} a^{14} + \frac{2030}{7003} a^{13} + \frac{1723}{7003} a^{12} - \frac{2245}{7003} a^{11} + \frac{1361}{7003} a^{10} + \frac{337}{7003} a^{9} - \frac{3438}{7003} a^{8} - \frac{314}{7003} a^{7} + \frac{696}{7003} a^{6} + \frac{767}{7003} a^{5} - \frac{2172}{7003} a^{4} - \frac{1539}{7003} a^{3} + \frac{1712}{7003} a^{2} + \frac{2792}{7003} a + \frac{2975}{7003}$, $\frac{1}{7003} a^{31} + \frac{1548}{7003} a^{29} - \frac{1582}{7003} a^{28} - \frac{3260}{7003} a^{27} + \frac{2116}{7003} a^{26} - \frac{3489}{7003} a^{25} + \frac{1323}{7003} a^{24} + \frac{1801}{7003} a^{23} - \frac{278}{7003} a^{22} + \frac{1373}{7003} a^{21} + \frac{18}{149} a^{20} + \frac{3086}{7003} a^{19} - \frac{3335}{7003} a^{18} + \frac{543}{7003} a^{17} - \frac{3501}{7003} a^{16} - \frac{1922}{7003} a^{15} + \frac{1690}{7003} a^{14} + \frac{489}{7003} a^{13} + \frac{2586}{7003} a^{12} - \frac{1552}{7003} a^{11} + \frac{3332}{7003} a^{10} + \frac{1173}{7003} a^{9} + \frac{3142}{7003} a^{8} + \frac{535}{7003} a^{7} + \frac{544}{7003} a^{6} - \frac{3273}{7003} a^{5} + \frac{1451}{7003} a^{4} - \frac{2534}{7003} a^{3} + \frac{1841}{7003} a^{2} + \frac{1195}{7003} a - \frac{1084}{7003}$, $\frac{1}{61746833565013031} a^{32} + \frac{2740278978268}{61746833565013031} a^{31} + \frac{61711665784}{1313762416276873} a^{30} + \frac{10261581282135256}{61746833565013031} a^{29} - \frac{14494493415228580}{61746833565013031} a^{28} + \frac{13250704426529301}{61746833565013031} a^{27} + \frac{25868922367423874}{61746833565013031} a^{26} - \frac{24833706983473411}{61746833565013031} a^{25} - \frac{22282340976560837}{61746833565013031} a^{24} + \frac{2337066778182627}{61746833565013031} a^{23} - \frac{1373524756648271}{61746833565013031} a^{22} + \frac{631575503794464}{61746833565013031} a^{21} + \frac{5305219554703361}{61746833565013031} a^{20} - \frac{9818954998447806}{61746833565013031} a^{19} - \frac{17003545721381663}{61746833565013031} a^{18} + \frac{13662652891655582}{61746833565013031} a^{17} + \frac{9792417486525553}{61746833565013031} a^{16} - \frac{16978184948718631}{61746833565013031} a^{15} - \frac{25862016985440340}{61746833565013031} a^{14} + \frac{1581578944755958}{61746833565013031} a^{13} - \frac{9229705316434983}{61746833565013031} a^{12} - \frac{2274136425358372}{61746833565013031} a^{11} + \frac{938157148985112}{61746833565013031} a^{10} + \frac{6249953097295242}{61746833565013031} a^{9} - \frac{24406101217329588}{61746833565013031} a^{8} + \frac{28486741229765544}{61746833565013031} a^{7} - \frac{20575817541252019}{61746833565013031} a^{6} + \frac{29252642128093463}{61746833565013031} a^{5} - \frac{5783891392766555}{61746833565013031} a^{4} + \frac{24131781170554481}{61746833565013031} a^{3} + \frac{13080894850131698}{61746833565013031} a^{2} - \frac{10842204571255815}{61746833565013031} a - \frac{1179966123984862}{61746833565013031}$, $\frac{1}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{33} - \frac{104903421515764381950446624006919554101590956333068891157800023071209606449560748020748443952528368948493919301373537}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{32} + \frac{377512611604347993837770072131676920258554409326332971589810843304379544836797025397082165190734711871274183476011367809193360574}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{31} + \frac{1323641520412204656743646075148137710867019798472240481955738148081670311774615448778365343696535523453681347517395353655396965775}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{30} + \frac{2219454720429939629199912540712151060559417747808480731694129602513521506348670484932708180588559523522276220769925053412663480693522}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{29} - \frac{17154714515038279970881736301629411815261065676805860999927893019686139809119377653910128561940145282034158066865090792974182177380285}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{28} - \frac{4328532921310730799841794431422081761795830076257623657462267334274922157114501645828375184569248445332216838916688389896635425949834}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{27} - \frac{4935865878234462499760043452628824122454897371083883877460567995671005405909592601491928017477969144267508328803032689374380864780949}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{26} - \frac{10442961305782807618087043587381546304717009131453565397153644931307328158203640296575826543493843967306032783577254250388596805667793}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{25} + \frac{10406468200558360495739088390537878986974499088669985714765272607035301716298587240608524889384788248886718635494990154014433473218611}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{24} + \frac{15085340828054553434126662960842251030371936628114348040716720991765326659622456853346213234712200415876246286299285791211919440074339}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{23} + \frac{3937859435029791806294555557028060528170018979332957888458555471898505260073614715283370202311537951883310660575119029849118831172583}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{22} + \frac{5110359502883391257887208315588263844745821749575405490044114032214534520211053984240864347921722221924751466709389483947872468721310}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{21} - \frac{4402041054297195363242165683620808542682072726355937560516582373006932793314642402481293076316949627873286645017675461633913626489872}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{20} + \frac{2975222865769321203827926292748221796560583812527679143205137791868825164794489507012147018248379947441529842139185112712914708333652}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{19} - \frac{7469362741409330710708311903465724458343833044548453871254927343504647357885006212322488092048847620495377667556126489263787624134460}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{18} - \frac{1864727614874664003128303154267212937662129925559470694414879475636635256921404194899086272558372705843766609134490172503593019170382}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{17} - \frac{14435869804655724146013050983960812322198034371368708013695309226476533605667504141229808757322445149519301336395079099990600590805336}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{16} + \frac{4794967442086135889262294495533623257895321033904360913036527517152183538214941423398775716144175988149371869985760311643730504626887}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{15} - \frac{12976338882116691420097965919660888868817868903482858286366683173314107137862316124455525473629102287706477847525238906398299820074785}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{14} + \frac{15927866962288484845251118778255566014443763657101372763248516944998994196009095374387871704812687221574139474860333497640051245678550}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{13} + \frac{13380714418984148096150342971508900918648930063458808347430971261160157685472634979725861422137934312793128494284359269069451824329692}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{12} + \frac{3894559337366848993558584060803124959512349412217912227896017743784325821362995464526770088098224006681228963277110002455916529635557}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{11} - \frac{7615385232442618568635946429948632452333137928502790366321987922073655730735123520456228551227170226768885629845432890551479360137874}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{10} + \frac{5755172297293092917584748732640066760351647525613728959081458127248294786379425582107743360809418470366308686898120897740518535955428}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{9} + \frac{11323856666391469546123355128928500192855308928668425069720102749696556527183738995183670737574628418367027647311137564219216600230914}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{8} - \frac{7713412102154632950046477210795445294800148530327080678999293494979201831561466792777496719324272991702719739012381240098930330604703}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{7} + \frac{9541696638064815480739662215119626094426471646260990001601146722536363950568551622026579385835850618655369025994415914023888068391762}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{6} + \frac{47229054357584492643633290984724962332345861882772165395771719997792310848349408585991504792005502230041189207383515083392790126614}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{5} - \frac{11845523968635037294927071379172286618882584776507589395383067828549720027181363618643691749117352519508457689940191135445971623716434}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{4} + \frac{10204430072351114644608900547617182696861911407231654359007042335436661288501853910710322383239058599725556436684760574087864097520972}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{3} - \frac{6908719483251828276670532423415530091967166521836052264094364606331954300454092002767606415467870603368166644529217667639218709862328}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a^{2} + \frac{8072748625668907083403056450428000120969553910397712569163893579595632911867821696416715284930669177517483769865336529316401087934798}{34386656138288101249184741605415759694935377690870618532988335348881380174239729970982015484223732913870771877254821753901166358393631} a + \frac{3838028016495594105700926150367334368055469190279239936794813542815744292539614000831459143048061919570544093213090974591985592822}{12120781155547444923928354460844469402515113743697785876978616619274367350807095513211848954608294999601964003262186025344084017763}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{10093384700223231136421203329878504243716579091494248146892569416960280312212480048387996973873248687541575249011}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{33} + \frac{8030281439862351211852410023327459654814238686568262595648858718242558463557101072130192344730408021764565599937}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{32} - \frac{493109689425189012108674684531467096955070636114660005941265398632616598791355568496290397277445671799060807928020}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{31} + \frac{1534458069507709062151911142124541323528350398805983723265310909951152939952753192086757296472271739600656121940725}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{30} - \frac{16308786358331071385799345821323064694742256744072080153735452576789167433578747845616710208389788433920933091538970}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{29} + \frac{58191445580344532442656821966429961544248911670781659075284371605048961619796267723159141213918590482578460239860618}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{28} - \frac{369561166134978958369330792568040924950301861503909080271125559464169103726643959238770106416485237612884021303910548}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{27} + \frac{1343643603969952461696881617522732752585651973376609292495611292060885007410398282063860677389651092070881032216075751}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{26} - \frac{6212207052372720443373315727111166113915576094926493582540289827852285315006848924603936062525854772788496955972712905}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{25} + \frac{20544280478499146230416865940138462015004476411103309129306745066704992676680154383590085526936923543753093094805305900}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{24} - \frac{75319613368093325551596480766390721627398727356076343794014179515496179514108448279885108505578168319488642773330136548}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{23} + \frac{221682762955598182769506256346408351061411778411876273047263294142335400672480186816126624154358672984355346762008340203}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{22} - \frac{672598838310174578751907655413208543711839521912101378480910277183028870653195012909606301322006465546245729605326051734}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{21} + \frac{1710787611734145245644058130636302997966442917720812805481235226815208746706077020900868848865688237720269407817118696526}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{20} - \frac{4300511173463311530300800684990629607865004152934200919006620796855123604747639279925755436575041894232798051432588720744}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{19} + \frac{9313554760967791279538940100762127843169197642880439249338242904743594635845103655736922912070033859161793942361087552243}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{18} - \frac{19734879055785322120541447925310944504803935532658600163044503295502822560967033551144315871659031446632104820137943626061}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{17} + \frac{36699378520259020162154655951981349829767038392316208401652763343739272385804533170675329913745075729788597252644369180412}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{16} - \frac{66329023205363481086097889877031751156424887418592657607666741674408052790572517844669086543685498535467787608685969754741}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{15} + \frac{105458750918821462940399327680187104344084196802835589611040276642704245150530109134010548404320962005786886602055270405080}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{14} - \frac{162014622792353986645097935716230632581278928154798617066382396694592461702947725928873766803274718875798385684731680963273}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{13} + \frac{218606334671211095942999797825238732798196596788437887661398688491577308893602236016482059087956291789944312189355064785239}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{12} - \frac{284360560162349369161996480034214882454101294579557098201710480241643137164667429752664252813876860951719284311311788655579}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{11} + \frac{319867682569932408077575715547072269820335127384624374739768265741651641975404167312671082367522596768143942928818740045167}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{10} - \frac{342182781966127956571827342015732095648723662545526408996079084632327885395136280963733141715789437892624900340952308175960}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{9} + \frac{307100848279672359393174136958426143572169746231502233183984071980199923969104889358217391139434741820564888991251107505643}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{8} - \frac{263893570495407101356984777289516140100257502513929163010768547137383564654706645361234141646147629358038476695861758752383}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{7} + \frac{188545473524912548263788432734020340055836074497256964942154837744881158223358801446023907020030918120664655700855615690336}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{6} - \frac{132461366563522853131626191900471861980851278123685315918415612434616314453250837411585563301525028306880663192224947736782}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{5} + \frac{72237730726434749249550036395431966540451056122386236484844719107731527328330220825598968293606770205157977715350771587268}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{4} - \frac{35668312453220422243199895636340795011213316529207115456177227901576160575949476690984014860049778372658293867254009924501}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{3} + \frac{11527164268737741401027239894727524098056912359995772696904942607013288619020789869862732167011622663395485958159883331711}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a^{2} - \frac{3604766282884167725584515044431604285573192075423670009767571282051609028257366856068335815021325523320088942728294151808}{344719541402703224315553393479283900424482766627232821683361733855383948401185085834874773985197412778557702945667110019} a + \frac{208214485819547193638735692088959558212081977832803567775274026401501043256816630189080405988556401025747011364903179}{121508474234297928909253927909511420664251944528457110216200822649060256750505846258327378916178150433048185740453687} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 17.17.160470643909878751793805444097921.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ R $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.2.0.1}{2} }^{17}$ $34$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
103Data not computed