↑

Properties

Label 34.0.30699459641...9119.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,239^{33}$
Root discriminant $203.44$
Ramified prime $239$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![6509773279, -26756286152, 135111762246, -385089708296, 741690641245, -1018491107075, 944927162575, -548949290580, 133073039223, 91162329436, -112214550475, 51971752731, -5123668010, -9404522955, 5911889177, -1113857202, -234225726, 177764972, 111910643, 29388757, 34372976, 20335326, 5543384, 2474162, 985624, 189977, 65025, 8238, 3828, -638, 110, -20, 4, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 + 4*x^32 - 20*x^31 + 110*x^30 - 638*x^29 + 3828*x^28 + 8238*x^27 + 65025*x^26 + 189977*x^25 + 985624*x^24 + 2474162*x^23 + 5543384*x^22 + 20335326*x^21 + 34372976*x^20 + 29388757*x^19 + 111910643*x^18 + 177764972*x^17 - 234225726*x^16 - 1113857202*x^15 + 5911889177*x^14 - 9404522955*x^13 - 5123668010*x^12 + 51971752731*x^11 - 112214550475*x^10 + 91162329436*x^9 + 133073039223*x^8 - 548949290580*x^7 + 944927162575*x^6 - 1018491107075*x^5 + 741690641245*x^4 - 385089708296*x^3 + 135111762246*x^2 - 26756286152*x + 6509773279)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 + 4*x^32 - 20*x^31 + 110*x^30 - 638*x^29 + 3828*x^28 + 8238*x^27 + 65025*x^26 + 189977*x^25 + 985624*x^24 + 2474162*x^23 + 5543384*x^22 + 20335326*x^21 + 34372976*x^20 + 29388757*x^19 + 111910643*x^18 + 177764972*x^17 - 234225726*x^16 - 1113857202*x^15 + 5911889177*x^14 - 9404522955*x^13 - 5123668010*x^12 + 51971752731*x^11 - 112214550475*x^10 + 91162329436*x^9 + 133073039223*x^8 - 548949290580*x^7 + 944927162575*x^6 - 1018491107075*x^5 + 741690641245*x^4 - 385089708296*x^3 + 135111762246*x^2 - 26756286152*x + 6509773279, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} + 4 x^{32} - 20 x^{31} + 110 x^{30} - 638 x^{29} + 3828 x^{28} + 8238 x^{27} + 65025 x^{26} + 189977 x^{25} + 985624 x^{24} + 2474162 x^{23} + 5543384 x^{22} + 20335326 x^{21} + 34372976 x^{20} + 29388757 x^{19} + 111910643 x^{18} + 177764972 x^{17} - 234225726 x^{16} - 1113857202 x^{15} + 5911889177 x^{14} - 9404522955 x^{13} - 5123668010 x^{12} + 51971752731 x^{11} - 112214550475 x^{10} + 91162329436 x^{9} + 133073039223 x^{8} - 548949290580 x^{7} + 944927162575 x^{6} - 1018491107075 x^{5} + 741690641245 x^{4} - 385089708296 x^{3} + 135111762246 x^{2} - 26756286152 x + 6509773279 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-3069945964193465591015508469038690379924950373572894872223528706113141172539119=-\,239^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $203.44$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $239$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(239\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{239}(128,·)$, $\chi_{239}(1,·)$, $\chi_{239}(132,·)$, $\chi_{239}(6,·)$, $\chi_{239}(138,·)$, $\chi_{239}(22,·)$, $\chi_{239}(23,·)$, $\chi_{239}(28,·)$, $\chi_{239}(163,·)$, $\chi_{239}(36,·)$, $\chi_{239}(166,·)$, $\chi_{239}(40,·)$, $\chi_{239}(71,·)$, $\chi_{239}(172,·)$, $\chi_{239}(51,·)$, $\chi_{239}(52,·)$, $\chi_{239}(187,·)$, $\chi_{239}(188,·)$, $\chi_{239}(67,·)$, $\chi_{239}(199,·)$, $\chi_{239}(73,·)$, $\chi_{239}(75,·)$, $\chi_{239}(76,·)$, $\chi_{239}(211,·)$, $\chi_{239}(203,·)$, $\chi_{239}(216,·)$, $\chi_{239}(164,·)$, $\chi_{239}(101,·)$, $\chi_{239}(233,·)$, $\chi_{239}(107,·)$, $\chi_{239}(238,·)$, $\chi_{239}(111,·)$, $\chi_{239}(168,·)$, $\chi_{239}(217,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{283} a^{31} + \frac{9}{283} a^{30} + \frac{130}{283} a^{29} - \frac{8}{283} a^{28} + \frac{107}{283} a^{27} + \frac{4}{283} a^{26} - \frac{43}{283} a^{25} - \frac{109}{283} a^{24} - \frac{95}{283} a^{23} + \frac{2}{283} a^{22} - \frac{104}{283} a^{21} + \frac{94}{283} a^{20} - \frac{105}{283} a^{19} - \frac{23}{283} a^{18} - \frac{92}{283} a^{17} + \frac{32}{283} a^{16} + \frac{115}{283} a^{15} - \frac{13}{283} a^{14} + \frac{43}{283} a^{13} - \frac{102}{283} a^{12} - \frac{91}{283} a^{11} + \frac{133}{283} a^{9} + \frac{117}{283} a^{8} - \frac{42}{283} a^{7} + \frac{108}{283} a^{6} + \frac{132}{283} a^{5} + \frac{70}{283} a^{4} - \frac{38}{283} a^{3} + \frac{31}{283} a^{2} + \frac{75}{283} a + \frac{94}{283}$, $\frac{1}{35651491} a^{32} + \frac{59114}{35651491} a^{31} - \frac{951128}{35651491} a^{30} + \frac{4243494}{35651491} a^{29} + \frac{6545667}{35651491} a^{28} + \frac{5402225}{35651491} a^{27} + \frac{6288615}{35651491} a^{26} - \frac{10257053}{35651491} a^{25} - \frac{2050663}{35651491} a^{24} + \frac{17057855}{35651491} a^{23} - \frac{14250936}{35651491} a^{22} - \frac{6505670}{35651491} a^{21} - \frac{182060}{35651491} a^{20} - \frac{13701303}{35651491} a^{19} - \frac{3498138}{35651491} a^{18} + \frac{7477077}{35651491} a^{17} + \frac{13022714}{35651491} a^{16} + \frac{2032757}{35651491} a^{15} - \frac{5635639}{35651491} a^{14} - \frac{4347656}{35651491} a^{13} - \frac{10632079}{35651491} a^{12} + \frac{4955473}{35651491} a^{11} - \frac{12619969}{35651491} a^{10} + \frac{1318688}{35651491} a^{9} - \frac{6679228}{35651491} a^{8} + \frac{13069963}{35651491} a^{7} + \frac{13600821}{35651491} a^{6} - \frac{16689173}{35651491} a^{5} - \frac{2488001}{35651491} a^{4} + \frac{14354821}{35651491} a^{3} + \frac{1105303}{35651491} a^{2} - \frac{10448869}{35651491} a + \frac{11663010}{35651491}$, $\frac{1}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{33} + \frac{50959175332610404254958428251306780309901743939687928149863480214813542664651574444501479088801717477189551545426000640464748518561507327411980621186219297248286522774852314335089150223579165420480660}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{32} - \frac{443514134599039149179711444296595458878545345388751290063969296249954169454283197624648865458097853563319174963796755402565489538667485215548796428444449094972703916202165155800809833316336381893366416494}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{31} + \frac{1885730911190078299140516892500585507005030985114918398072293848147699672055870305631996302008279482219352649972475690062110898989715331850053462210451005183181632941158659480353747903985715563572281893590585}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{30} + \frac{743066620835486650495198375600856436850971083132897608696364282443788356121124773705728498327832751094692578266931540977211393987901365948917884463697803455701283635800723580749374906408485092558866011665304}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{29} - \frac{719539633551098363092322663614793354932295631042991919305828553625661671456068615492704389804201975916735369811948954749004996408667401486659349807625788642548688473143973384749941518513873401120541720956789}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{28} + \frac{1741435900561096042611921594013703334509444245023428200818406872407730478497383746031957428535649386133059639318095348708470634293209713643166007054860021471163346727666329930223339152824317611424905069001040}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{27} + \frac{527545028727491953833606504130109776107101688321819235706941584450144507177600894210799991471770032299950238891251687907004278568118058952121212614386044147174001384702306640506483317725649570156524853601819}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{26} + \frac{213033885428235580765030150086054713090589669193522288591149101268312982445826148611911006450558872694212322838193672985412334363263161229960313986931624007791795297486730505490764563184528623374307522194184}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{25} - \frac{437657171766846897892259102323849718770327452253170365952438798562473126452728707428662119214900906466865617560336292280620772993105365746775227398712657949978101877401391804963726579726041768320797876520428}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{24} - \frac{16935523008232132852690396959853439641495691246781209023158619449601330507298633649367781479422507958518895098173196481765363227077474684144008557304301028249540517137638301095506726506477055093219404962635}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{23} + \frac{541919944589078623544790526304585699427668171206557275668687724413584271339301138152343426261883666179262397606192308007690097079974437049659220576868164643272007008221833675388560626416039181696025548069052}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{22} - \frac{1648003546294887771597198800601368212616242988217817389084159973475890399339629739251597321015712302009804477372217128021893215182005126319212959906113523229901209674743019664445241968553540246936882723709225}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{21} - \frac{169104398164524240231169049856799255034524245668816643543039246467060592250495407985401853305298048268152279170131210116161263769027993820841215928288714646034270155280003978310856298640976822728452966635759}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{20} + \frac{1243500842856847372286246727293464479801393976422287518431938120247524278279819424181507335611969013657086893499373596855683528847022199478828122991921931775491647428255874177091656103600805365507598609347075}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{19} - \frac{58447870455043760619517670806915389774389315291247921509545401755019638314334690243571559667273622300360684165913801200728753243259382838328837697037718046545281561989283062261883342778725855524382015399021}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{18} - \frac{1826614127242213240568424735560133433366480160449645272212393374575371062549329374411209257555446174812483604609417161536267455117041263063509776703959957613879155704023835103895476577320285956714014090599701}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{17} - \frac{1728040115122551317948580535413710414034539710109724589607448282662701192080217067697054452684818613483237344252046936897949330527071795437531340432055634442843146339866260050840318020193314918743035416471582}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{16} + \frac{1849470384809868682290507961008190217170189344484815824393035590189595596517565888841197795412714620418167394939747752615936151738913190648102688359979456086760981226151040378117692562319839081030001177283694}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{15} + \frac{1086359765208186074957620959832589323226162260668010650831005786984603833472459908623197571136815764826389952051715258945544082680340279635079644503612257399354373134169558456798099570275530858213569815300793}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{14} + \frac{1849687829688173710002061906810495097525243465827798313348189008367850820299740978292002250323169893943009817832349131797317474857838660373812582736869426382989847793649298415504628633402419969637670844588031}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{13} + \frac{942105381442438500556663565620166541127195343322663683626175849695508264385047977173423025405675705702802287847528822050304282552275660440989100762153146386711251714741088518631825516537597053727756442738873}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{12} + \frac{528740039107983153290355043734316400471942339675291252010488154230066918930937878608743689229624917225041026780667528895335273904888580117611558731880153299249875034682580915197770064744898494832335437367424}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{11} + \frac{1962020596073800660722613328833008335916357812847078461320302903060632738970567826188781547279671786152527209757227262781103750523282246068794398253497906742507590732314661219141001184167055661912769697713791}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{10} + \frac{703116015151545605233583302723247572071067232909217824186867686265071976162656634806890122085969888658546443581166351514004487301149535043443589328866425381705910108974715326794479052057834438318222079322138}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{9} - \frac{577034608422032401973016234630105479646208398382994287760703904570710288840902129687986718523649926086741816688205064114578722803117076110179530341828529178267481685950639136148733969776625923932735225715372}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{8} - \frac{61328165405603577596331410241299543728757460698169933927532309108906598819117314934553467553987724222342395952090744476906098462753055404679648596768030992526538560430166698848895730145692015801442915298259}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{7} - \frac{1545915061604571588555014436208647078093216041799689283921846750907212668969554858687803173278510894021853728338712277953641200058564273861686609696071203348814151756306919118744035969540550099433308956398506}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{6} - \frac{644420078530785388588129677290663950791606511680747934556693415414777065671981084367499545526260534465412906068404955419817484018960794641404056009795024855991010439972984791374700811191656746803811601952238}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{5} - \frac{1169848279294498370605805966177980486476307327048502383467087765792013697538209013239093853678022073533928420318521987051004943634483824958552783438365494245143678839277115396978936960685836435711944545416577}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{4} + \frac{384183311479362464265703395195504345222082280645342066130262359702065170169445055286443650630067054781567884855733632681040977040555824492089136289467140531748770495283016197015745310780553063319238618414392}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{3} + \frac{869727328997164543627707034490868952757643714547050806483212077039873642705040232335535492058042327019112449372962221346636893559303310064332345325704271662000723366454263772839559403639677695093662076122546}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a^{2} - \frac{199094658471795008245393134075993006578981414656741826171237888869725950636026359085432900282831753715810155885389033329779444191990096803159311272126447343183051760770472154369117364640088675453238745132892}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571} a - \frac{1357051494841336390169580496671965908345175426924895362233295604826770258530177485082048228891834013701837318780923897654950980886481350309295419640292882127908775725912272679287798042009934177052776877200186}{3962194445066656277233544168321352364149777408301578259342784725285098158071684004357673458365611794338575573679007877598912266580163504016269588039012415056567557738668534128525959893854713172020550644246571}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-239}) \), 17.17.113335617496346216833223278514633468161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $17^{2}$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $34$ $34$ $34$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
239Data not computed