↑

Properties

Label 34.0.22174129004...4599.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,7^{17}\cdot 17^{65}$
Root discriminant $595.49$
Ramified primes $7, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![180432501763674680899, -28131128626601992902, 647162118703366697974, 337375555521292311583, 1366499090984377769078, 536037415138847881201, 529868582524957310387, 175037693275762698035, 100386676467340717877, 29720227273632188659, 13134519506567747601, 3201740314655146770, 1540634381619057214, 245699580624621645, 158742391356211320, 16136324290535972, 12803383885800517, 949250276533667, 761805763515298, 43968446657397, 33643817208479, 1421950953155, 1126101422227, 29199687305, 28954058606, 338094827, 562535168, 1579708, 7865662, -4573, 73593, -51, 408, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 + 408*x^32 - 51*x^31 + 73593*x^30 - 4573*x^29 + 7865662*x^28 + 1579708*x^27 + 562535168*x^26 + 338094827*x^25 + 28954058606*x^24 + 29199687305*x^23 + 1126101422227*x^22 + 1421950953155*x^21 + 33643817208479*x^20 + 43968446657397*x^19 + 761805763515298*x^18 + 949250276533667*x^17 + 12803383885800517*x^16 + 16136324290535972*x^15 + 158742391356211320*x^14 + 245699580624621645*x^13 + 1540634381619057214*x^12 + 3201740314655146770*x^11 + 13134519506567747601*x^10 + 29720227273632188659*x^9 + 100386676467340717877*x^8 + 175037693275762698035*x^7 + 529868582524957310387*x^6 + 536037415138847881201*x^5 + 1366499090984377769078*x^4 + 337375555521292311583*x^3 + 647162118703366697974*x^2 - 28131128626601992902*x + 180432501763674680899)
 
gp: K = bnfinit(x^34 + 408*x^32 - 51*x^31 + 73593*x^30 - 4573*x^29 + 7865662*x^28 + 1579708*x^27 + 562535168*x^26 + 338094827*x^25 + 28954058606*x^24 + 29199687305*x^23 + 1126101422227*x^22 + 1421950953155*x^21 + 33643817208479*x^20 + 43968446657397*x^19 + 761805763515298*x^18 + 949250276533667*x^17 + 12803383885800517*x^16 + 16136324290535972*x^15 + 158742391356211320*x^14 + 245699580624621645*x^13 + 1540634381619057214*x^12 + 3201740314655146770*x^11 + 13134519506567747601*x^10 + 29720227273632188659*x^9 + 100386676467340717877*x^8 + 175037693275762698035*x^7 + 529868582524957310387*x^6 + 536037415138847881201*x^5 + 1366499090984377769078*x^4 + 337375555521292311583*x^3 + 647162118703366697974*x^2 - 28131128626601992902*x + 180432501763674680899, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} + 408 x^{32} - 51 x^{31} + 73593 x^{30} - 4573 x^{29} + 7865662 x^{28} + 1579708 x^{27} + 562535168 x^{26} + 338094827 x^{25} + 28954058606 x^{24} + 29199687305 x^{23} + 1126101422227 x^{22} + 1421950953155 x^{21} + 33643817208479 x^{20} + 43968446657397 x^{19} + 761805763515298 x^{18} + 949250276533667 x^{17} + 12803383885800517 x^{16} + 16136324290535972 x^{15} + 158742391356211320 x^{14} + 245699580624621645 x^{13} + 1540634381619057214 x^{12} + 3201740314655146770 x^{11} + 13134519506567747601 x^{10} + 29720227273632188659 x^{9} + 100386676467340717877 x^{8} + 175037693275762698035 x^{7} + 529868582524957310387 x^{6} + 536037415138847881201 x^{5} + 1366499090984377769078 x^{4} + 337375555521292311583 x^{3} + 647162118703366697974 x^{2} - 28131128626601992902 x + 180432501763674680899 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-22174129004227289326995741388688005964543714419818045090819557318849498621766074172642788004599=-\,7^{17}\cdot 17^{65}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $595.49$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2023=7\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2023}(1,·)$, $\chi_{2023}(1667,·)$, $\chi_{2023}(1665,·)$, $\chi_{2023}(1546,·)$, $\chi_{2023}(1548,·)$, $\chi_{2023}(1427,·)$, $\chi_{2023}(1429,·)$, $\chi_{2023}(239,·)$, $\chi_{2023}(1308,·)$, $\chi_{2023}(1310,·)$, $\chi_{2023}(1189,·)$, $\chi_{2023}(1191,·)$, $\chi_{2023}(1070,·)$, $\chi_{2023}(1072,·)$, $\chi_{2023}(951,·)$, $\chi_{2023}(953,·)$, $\chi_{2023}(832,·)$, $\chi_{2023}(834,·)$, $\chi_{2023}(713,·)$, $\chi_{2023}(715,·)$, $\chi_{2023}(120,·)$, $\chi_{2023}(594,·)$, $\chi_{2023}(596,·)$, $\chi_{2023}(475,·)$, $\chi_{2023}(477,·)$, $\chi_{2023}(356,·)$, $\chi_{2023}(358,·)$, $\chi_{2023}(2022,·)$, $\chi_{2023}(237,·)$, $\chi_{2023}(1903,·)$, $\chi_{2023}(1905,·)$, $\chi_{2023}(118,·)$, $\chi_{2023}(1784,·)$, $\chi_{2023}(1786,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{179} a^{31} - \frac{41}{179} a^{30} - \frac{67}{179} a^{29} - \frac{40}{179} a^{27} - \frac{89}{179} a^{26} + \frac{75}{179} a^{25} - \frac{47}{179} a^{24} - \frac{83}{179} a^{23} - \frac{2}{179} a^{22} - \frac{84}{179} a^{21} + \frac{43}{179} a^{20} - \frac{70}{179} a^{19} - \frac{56}{179} a^{18} + \frac{73}{179} a^{17} + \frac{49}{179} a^{16} - \frac{42}{179} a^{15} + \frac{58}{179} a^{14} - \frac{5}{179} a^{13} + \frac{9}{179} a^{12} - \frac{55}{179} a^{11} + \frac{58}{179} a^{10} - \frac{39}{179} a^{9} + \frac{3}{179} a^{8} - \frac{48}{179} a^{7} + \frac{80}{179} a^{6} + \frac{49}{179} a^{5} - \frac{59}{179} a^{4} + \frac{89}{179} a^{3} - \frac{5}{179} a^{2} + \frac{58}{179} a + \frac{3}{179}$, $\frac{1}{23449} a^{32} + \frac{11}{23449} a^{31} + \frac{2276}{23449} a^{30} + \frac{9225}{23449} a^{29} + \frac{4435}{23449} a^{28} + \frac{2485}{23449} a^{27} + \frac{459}{23449} a^{26} + \frac{9044}{23449} a^{25} - \frac{1811}{23449} a^{24} + \frac{8928}{23449} a^{23} - \frac{7527}{23449} a^{22} - \frac{5757}{23449} a^{21} + \frac{555}{23449} a^{20} - \frac{2801}{23449} a^{19} + \frac{11660}{23449} a^{18} - \frac{54}{179} a^{17} - \frac{25}{131} a^{16} + \frac{3423}{23449} a^{15} - \frac{8982}{23449} a^{14} - \frac{7590}{23449} a^{13} + \frac{9542}{23449} a^{12} - \frac{9783}{23449} a^{11} - \frac{1856}{23449} a^{10} - \frac{5963}{23449} a^{9} - \frac{4188}{23449} a^{8} + \frac{9756}{23449} a^{7} + \frac{10832}{23449} a^{6} - \frac{10578}{23449} a^{5} - \frac{6380}{23449} a^{4} + \frac{4981}{23449} a^{3} - \frac{9510}{23449} a^{2} + \frac{6599}{23449} a + \frac{6600}{23449}$, $\frac{1}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{33} + \frac{12988115221208811182540227436540057420284053915227403072742796853211484231684494740284039996807334519084029030049194153624730434216953824278049059164406401334768367292609819747075945771299101209697682042008084443934138715037333097421075053444258578457403808332248404052825483101123892625413842659524681507555039487370154836294406091178561590688880548760939312313936352119712921}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{32} + \frac{2765483733043000390707688432066315916519662179146891853459268622467454922200975144276635873483527522413286473241089907730426088035244379417808745088108772330983929523437129454632021654583156428803567139803768868957132422049091383746929954921945930814508703533256205192201231279611060588678141579430376982202570412074005124123176876617991238956681284851269972237641997743064537256}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{31} + \frac{436111819364848233333868645853191356530075967809723980715530966973257911385157354856461305902525789274118411044368719062971587648516460956565493091745687731642482770314888132755134023568158400927550829745534457045484354706428577978454031302037287466856441411065467023320649534640458562743898269918579485782817726613823664376149344655200612384490577340749968369653622584182146838885}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{30} - \frac{281980998004367562634599611051039354639578762423798529134978858709205512405979790331206221675682550914519587128112044478166467889672243937584486667880341309506836851040827175209478823655145204753286481333195984027721522383950487861883304219836004486831934275901892642918977767084139276973118144044422958021578670235866494302226834835909275169928444433961672816000391608773045837586}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{29} + \frac{482947133654968038063547807519483542075253956761921661431556250493194167695354497445330645118610979973164532142652972298171754029822524374251105823046860792453724751938628081327438212996449326102840099997723233450972563085442528634714423755582290732898118561360901690570571523051270285092230980410328102314127559826145405092303987495471358126770812375356851904646136879286518425397}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{28} + \frac{56155568939715777413730899731751262352436017539558872096517268378392629861439186535811456773392931526509740265886102727894295142727301200419161383272595361310684062419109909859886563276238597657322414892880609939971482412440243704451101803268372119926595884469566369995298329062729005693518745729149171332814525859924611854773808137031227952703120522763781997837349492071453707724}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{27} + \frac{522382422113956784556525216017816932825089338813412147910009841168425595002582727882412511731592155889921155689621847180968008517052473364547397670503489052000781905014935912776824882136633039691124278941554177491137025796957439455568829308779638964859124577738028601697565958067062953855732585993269897672649412984241327567475831589791874430411529087132302608339275786136045549480}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{26} + \frac{420850581107652956749271889769438895406826388569428712328223414590503707967973903803591841033745822891299245615931793151290221213634758126936872442361799941478565409319369760569272826057777004372063144363547465830193693884620468821710623492153106457569243853284037920231186938325015286806899306933286609685686456253329227072296353102210740589452600453317565567390518122573001689552}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{25} + \frac{74549386464161044415106692993203736442639094718124613080849582397335922349498239910594549261794018156675751734627755332730618652661632539381142949813623197647511327227719366272210196815491260863197407358168808454141486516035284971138723373228971048221580158071157352409585474821546815271633922140514067744159719860115092211195412901116193841140163915478634246976453167788889844567}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{24} - \frac{10448161727488154867668341642072532932092313070840507183745199955660548402203954452979917211174473385421795805035939327315388292617253056948167347634425104060768600201807455829255118653440761768895831105387673568561765223858770695816228870495642860189984291374817070477779075612631430930051218963152486657294712157429876313808396390311472779300861119908284879370948855128459960523}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{23} + \frac{175432829086985199633532075281238862242799762136734321901010597775978402760886068849048559274795175318703426592675051901361891549919016030322312810462979130667649587311541889666580839162581274296559693373923865992356436948625541161112498806403190636774962101312817614908654552688817831737995592625396363653332120292184019218476232972786495516341627166321009881589596586997893951564}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{22} + \frac{420460795674968583234847301368421146564091745216029118178506627355327346917550240647538293760402917212336277554524635426077886434498428761386409047273995289754227990474948243198443999074388618923259418717466063821893643051592846156952110291545638823375859940686601614877196708606161671187582534130754461517246078406150969355561341971670369692117962042359206580744213874092504068630}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{21} + \frac{9559918773014112756408379747866862874764841111689014659430339476871406505790262323761352774205238106943032551448897468245427155673049631028066110237791639651903156269218834122161328556138195293687522955789929420988090119766490724766329622041432243405292449267258804766170092697544597234370316186660026584826940393343256900403923484632793808874859408830345870548222950204174921874}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{20} + \frac{162094003177870187059010534273651655276520923663975656394848498340430363578507402359328534163131938659970791682307584774944779919238901433623081939840375319042207024614633422121220021623798214812054486669932384322825789284566804141712226581288744345137168967509964927900309235632386318823574387594027437093596628496663429843641172884325776589392913401977240462110008328452991024923}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{19} + \frac{597378925014579272836964661891337762599017973369196621889530180952283814401358839306722103061791266024938383042718139768752718920855837617791763729260961016027002326959843700721819175316807460332577013967722971807746900732413616362231145311400714221013932167061898782902983077508109422811887427023948993035171508914445526311667720500847839464990443488428575503031227068017685564228}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{18} + \frac{22749090561718693537700272036569795410936677376494305242437485705148638209370318743251195465652364988900561751164827665933561464035595633864830558719716545554040641393945185324285761585974835302350655364665859799900454171259074037561351392649692067057069824029441746004138033304450573514290123209506130013784050365757819261929540831940822272067473911522328943948593380839749651302}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{17} - \frac{127219774884488110397766941161473054186209395568681501506618619746440424743524095564736623571609337492293235092763563856985337525218372771720674962315278665373042451197609442199560611323108520248451938524487908137085461730645582860742269980643621905813079180071980598789175439402979163783141630848112821630194999216084760836683384128735563496591217713185451160027459274162074945176}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{16} - \frac{64141328735721004149685080181101057278210018469824544530337468363624580623807958141801999116501162764156412246138902801703247625406292832142820337949291412261705080416311088678133548597484787540243442993393577683022034729625922749350763295858985709383173768686346409793346201264093030259131969174206841213511212508244724308900944044164825512838166550529437342107723388640855975237}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{15} + \frac{165208738892690771093700208292291779050598622660784648306009797997326839361770388640621543687499668873053069701743928692098572577030329704516928696653686262300596310783801235329682063104734003262605443846258966064989514396243798321315892221264668788040997495573776396247477918491939669389416682317994756794717175460563965635230294669051525080891989204469766032898868188780080799509}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{14} - \frac{62194722768555253073594378608136624206934016372667105127352217274324771006454220711828596325382920671876835553974852545522057686653590920297657473702017758255899637346994930831466203282018246531489540900694368419740479563473507476826335091492546428071804326506699460967019845162241300081888223971175932927580080240259848998833968611484976912879711688275850678152803968559641478042}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{13} - \frac{103259682247785486822218650178991604397824720893233210967447283895086420801021903548120823591221525053433554093338713993302382842201566896450643519133813989128189076393896607794249719558323818825066438525679573737257736584752477797598168783539296651818324171538603279604264609272081530034175897791180011885704722840591505500412301390500134932152638160847563407340920008770837880874}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{12} + \frac{430361680987358066987149513135506730702495835715806005951714660410263981510826612630921166158945275246825046461468636870843122431962852084145566245598416226638207476664480463944837174383347403781386086707948329171394504443966735225605977499473077831436846201832508924708876074739863124267168157245248205968657641039901535883112720009338113459096894055198620002928378742496717015351}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{11} - \frac{90632923009753123441278017296496545383843369482996739524296882792245889250759884242823081060068287672425232542442163488771963868474327751879881532131086393099298190250901737270778619919579224621886660429519249987537154863102617515700547817003845127489679706143224306978510544670620028874491211974926901772373336497292410454143151733509286972511407976881769317993745015135611824400}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{10} - \frac{408461737070821043744715232692171768586103888406469270735816130699404048847184789110284484467469022917081034614188300158531793279180512012715318926946903127596087618428562731566578609049986100074813736529410907616258423186597845205414664098746910261318328687949192896491077696226605561186130535436607780554624928407426835191163083988268866727951132689632890675396539199873032582146}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{9} - \frac{487213813487161791717531925655976520845628368430798793417452350856590614374741036694341226590407744363805772621835870085405960195756851672890172326256573639760630744107749179080927198869345860371910074373479667365265359319308061024759688271993767730726290149870891997042920151597896312769331509429335514904694631367792383304645742127776890754258670553876488453976246565951139249764}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{8} - \frac{520760175902290475503598923221544164108656921748208175167123044664475752283386372982360137831488023240340911085265604076031313073464811871246462540674338835604473699857684665898302936211501473455645519955402400590129656509637675013990414854293539383129760256953181277642952464277848185784095484078766156477638974009598304540012678952747130056001230547588551369587175694850713120225}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{7} + \frac{164838439436030873521833999707889802246363504390562383664529997999476077792377533237334799247935400168175694965194358630208075855273073192130809573260240983127791389220177613161284488788368355974139449780080556604707448985213151678304484862453803230994376129053419658490373973006049234944480276288252783703433682321028259612767437247895457462821488337060584523151900137341615366004}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{6} + \frac{292846516472998704002854025765874372758411806982805895697300034897566129107790651286587699730091920866329228050423371345826930547665571100541790819307347687566670071288448731471145499194913213916873411220445741271808885365161566560386496535066867999130176648636032335087096321690043102397693853824880344331083058208051970694184903893594048393332457508235504221819623557448572211832}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{5} - \frac{356091273423683915402820064808148100915248670757241434429306463329112813960339867686313976288882299722447930057780469670521443110792154997277424145120832588395226799422331767711120364966479240346544661370821098803970417334108563413875128986783259503406229370778875360965583465381548527849311156326194785086493535239029761713758656344629952419706007046971537489581002320502872182223}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{4} - \frac{426119227443935422410059999550456623334830609626992793532966127621957496408604584870238698962010584201935491735726903691169459850224013607466085174826515722372458808367517346944314128602003845009594014443300426170036096768074158359195957818096399431077779082090666603714799137818238409953955089793322542770472150129838993080585642572583103811761703034839375339764983242073517698693}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{3} + \frac{339095691953421130161787662484111174027209275954871270368343984096063920664416306317141297283599252834794696164249804918735737875445733219442360346112468214732634110607002559444626050490162361078284196123373862976507536344798699909665688979242521481225976917856404471202957426479117704978228921635625415023753689514020218638090624391906407304861953621706267136098240886060969742152}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a^{2} + \frac{387941569470258572860573975636329864769483223959596434250960321586022055165785597341489564338610240146214922003538914637294926768565803345836585284689825797376348979088674970668442867267951042217170219903384151930259794721669188769992883057604009007740870614244989042118353162651381151483105582722017039302758523673884122306465421177929768591606843559913788552809829818424280586400}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291} a + \frac{438863799547053714638485292844807524698885904639482211308102622002788896002876950306846913598395237938664509552507642397518878468920764498977144678008702717873046383208519095067775695877116133314083072069868103180144244565450158520080025007568262386207934476237657400416351817873667976238717557391367262429032445005647012125534300499712319008305991806152733958001631607912221868542}{1266324430240842046164548269393184272587210290034192001220913836168641019949425456922224635390552159818815644683860597055628076288910579147194276293140304749312364742705678887661569474751183269844280160418140329990011083791889654510781960529762187349683203204133807160260007945712056332946214762745923749853043464172893452418180643067146912865790937678721939225698881558984887840291}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-119}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $17^{2}$ $17^{2}$ $17^{2}$ R $34$ $34$ R $34$ $34$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
17Data not computed