↑

Properties

Label 34.0.21444847655...0443.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,443^{33}$
Root discriminant $370.31$
Ramified prime $443$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1671463409012051, 3762221119531795, 9839698205881910, 8175176681269740, 11771294841043112, 5468198930081957, 5559254218909876, 1944923573610812, 1511392418077010, 515414672131744, 310511945988883, 100978696593681, 43461519593182, 9890502060428, 2943865310392, 299906957597, 150238727200, -24461535401, 12211101417, -654707784, 2624171063, 197252343, 213972300, 23717059, 4206325, -370006, -295928, -69724, -9383, -1362, 630, -63, 7, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 + 7*x^32 - 63*x^31 + 630*x^30 - 1362*x^29 - 9383*x^28 - 69724*x^27 - 295928*x^26 - 370006*x^25 + 4206325*x^24 + 23717059*x^23 + 213972300*x^22 + 197252343*x^21 + 2624171063*x^20 - 654707784*x^19 + 12211101417*x^18 - 24461535401*x^17 + 150238727200*x^16 + 299906957597*x^15 + 2943865310392*x^14 + 9890502060428*x^13 + 43461519593182*x^12 + 100978696593681*x^11 + 310511945988883*x^10 + 515414672131744*x^9 + 1511392418077010*x^8 + 1944923573610812*x^7 + 5559254218909876*x^6 + 5468198930081957*x^5 + 11771294841043112*x^4 + 8175176681269740*x^3 + 9839698205881910*x^2 + 3762221119531795*x + 1671463409012051)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 + 7*x^32 - 63*x^31 + 630*x^30 - 1362*x^29 - 9383*x^28 - 69724*x^27 - 295928*x^26 - 370006*x^25 + 4206325*x^24 + 23717059*x^23 + 213972300*x^22 + 197252343*x^21 + 2624171063*x^20 - 654707784*x^19 + 12211101417*x^18 - 24461535401*x^17 + 150238727200*x^16 + 299906957597*x^15 + 2943865310392*x^14 + 9890502060428*x^13 + 43461519593182*x^12 + 100978696593681*x^11 + 310511945988883*x^10 + 515414672131744*x^9 + 1511392418077010*x^8 + 1944923573610812*x^7 + 5559254218909876*x^6 + 5468198930081957*x^5 + 11771294841043112*x^4 + 8175176681269740*x^3 + 9839698205881910*x^2 + 3762221119531795*x + 1671463409012051, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} + 7 x^{32} - 63 x^{31} + 630 x^{30} - 1362 x^{29} - 9383 x^{28} - 69724 x^{27} - 295928 x^{26} - 370006 x^{25} + 4206325 x^{24} + 23717059 x^{23} + 213972300 x^{22} + 197252343 x^{21} + 2624171063 x^{20} - 654707784 x^{19} + 12211101417 x^{18} - 24461535401 x^{17} + 150238727200 x^{16} + 299906957597 x^{15} + 2943865310392 x^{14} + 9890502060428 x^{13} + 43461519593182 x^{12} + 100978696593681 x^{11} + 310511945988883 x^{10} + 515414672131744 x^{9} + 1511392418077010 x^{8} + 1944923573610812 x^{7} + 5559254218909876 x^{6} + 5468198930081957 x^{5} + 11771294841043112 x^{4} + 8175176681269740 x^{3} + 9839698205881910 x^{2} + 3762221119531795 x + 1671463409012051 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-2144484765596244965194282090448882614714112869791651458717487697221876329722328046480443=-\,443^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $370.31$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $443$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(443\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{443}(384,·)$, $\chi_{443}(1,·)$, $\chi_{443}(267,·)$, $\chi_{443}(13,·)$, $\chi_{443}(270,·)$, $\chi_{443}(15,·)$, $\chi_{443}(18,·)$, $\chi_{443}(67,·)$, $\chi_{443}(409,·)$, $\chi_{443}(248,·)$, $\chi_{443}(34,·)$, $\chi_{443}(169,·)$, $\chi_{443}(428,·)$, $\chi_{443}(173,·)$, $\chi_{443}(430,·)$, $\chi_{443}(176,·)$, $\chi_{443}(442,·)$, $\chi_{443}(59,·)$, $\chi_{443}(63,·)$, $\chi_{443}(320,·)$, $\chi_{443}(195,·)$, $\chi_{443}(324,·)$, $\chi_{443}(73,·)$, $\chi_{443}(119,·)$, $\chi_{443}(209,·)$, $\chi_{443}(218,·)$, $\chi_{443}(225,·)$, $\chi_{443}(234,·)$, $\chi_{443}(274,·)$, $\chi_{443}(370,·)$, $\chi_{443}(425,·)$, $\chi_{443}(376,·)$, $\chi_{443}(123,·)$, $\chi_{443}(380,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{347} a^{28} - \frac{38}{347} a^{27} - \frac{135}{347} a^{26} + \frac{51}{347} a^{25} + \frac{128}{347} a^{24} - \frac{27}{347} a^{23} - \frac{91}{347} a^{22} - \frac{24}{347} a^{21} - \frac{169}{347} a^{20} - \frac{148}{347} a^{19} - \frac{78}{347} a^{18} - \frac{36}{347} a^{17} + \frac{72}{347} a^{16} - \frac{107}{347} a^{15} - \frac{116}{347} a^{14} - \frac{80}{347} a^{13} + \frac{125}{347} a^{12} - \frac{51}{347} a^{11} - \frac{111}{347} a^{10} - \frac{25}{347} a^{9} + \frac{125}{347} a^{8} - \frac{74}{347} a^{7} + \frac{121}{347} a^{6} + \frac{13}{347} a^{5} - \frac{56}{347} a^{4} + \frac{49}{347} a^{3} - \frac{103}{347} a^{2} - \frac{59}{347} a + \frac{123}{347}$, $\frac{1}{347} a^{29} + \frac{156}{347} a^{27} + \frac{126}{347} a^{26} - \frac{16}{347} a^{25} - \frac{21}{347} a^{24} - \frac{76}{347} a^{23} - \frac{12}{347} a^{22} - \frac{40}{347} a^{21} + \frac{23}{347} a^{20} - \frac{150}{347} a^{19} + \frac{123}{347} a^{18} + \frac{92}{347} a^{17} - \frac{147}{347} a^{16} - \frac{18}{347} a^{15} + \frac{23}{347} a^{14} - \frac{139}{347} a^{13} - \frac{159}{347} a^{12} + \frac{33}{347} a^{11} - \frac{79}{347} a^{10} - \frac{131}{347} a^{9} + \frac{165}{347} a^{8} + \frac{85}{347} a^{7} + \frac{100}{347} a^{6} + \frac{91}{347} a^{5} + \frac{3}{347} a^{4} + \frac{24}{347} a^{3} - \frac{156}{347} a^{2} - \frac{37}{347} a + \frac{163}{347}$, $\frac{1}{347} a^{30} + \frac{155}{347} a^{27} - \frac{123}{347} a^{26} + \frac{4}{347} a^{25} + \frac{82}{347} a^{24} + \frac{36}{347} a^{23} - \frac{71}{347} a^{22} - \frac{50}{347} a^{21} - \frac{158}{347} a^{20} - \frac{38}{347} a^{19} + \frac{115}{347} a^{18} - \frac{83}{347} a^{17} - \frac{146}{347} a^{16} + \frac{59}{347} a^{15} - \frac{87}{347} a^{14} - \frac{171}{347} a^{13} - \frac{35}{347} a^{12} - \frac{104}{347} a^{11} - \frac{165}{347} a^{10} - \frac{99}{347} a^{9} + \frac{17}{347} a^{8} - \frac{154}{347} a^{7} - \frac{47}{347} a^{6} + \frac{57}{347} a^{5} + \frac{85}{347} a^{4} - \frac{166}{347} a^{3} + \frac{69}{347} a^{2} - \frac{2}{347} a - \frac{103}{347}$, $\frac{1}{347} a^{31} - \frac{132}{347} a^{27} + \frac{109}{347} a^{26} + \frac{158}{347} a^{25} - \frac{25}{347} a^{24} - \frac{50}{347} a^{23} - \frac{172}{347} a^{22} + \frac{92}{347} a^{21} + \frac{132}{347} a^{20} + \frac{153}{347} a^{19} - \frac{138}{347} a^{18} - \frac{118}{347} a^{17} + \frac{3}{347} a^{16} - \frac{158}{347} a^{15} + \frac{112}{347} a^{14} - \frac{127}{347} a^{13} - \frac{47}{347} a^{12} + \frac{106}{347} a^{11} + \frac{103}{347} a^{10} + \frac{75}{347} a^{9} - \frac{97}{347} a^{8} - \frac{28}{347} a^{7} + \frac{40}{347} a^{6} + \frac{152}{347} a^{5} - \frac{161}{347} a^{4} + \frac{108}{347} a^{3} + \frac{1}{347} a^{2} + \frac{20}{347} a + \frac{20}{347}$, $\frac{1}{66317599} a^{32} - \frac{46790}{66317599} a^{31} - \frac{50267}{66317599} a^{30} - \frac{34497}{66317599} a^{29} + \frac{67198}{66317599} a^{28} - \frac{14373857}{66317599} a^{27} - \frac{7940831}{66317599} a^{26} - \frac{29230611}{66317599} a^{25} - \frac{11274940}{66317599} a^{24} + \frac{22236164}{66317599} a^{23} + \frac{13164838}{66317599} a^{22} + \frac{26950732}{66317599} a^{21} + \frac{24927133}{66317599} a^{20} - \frac{29535694}{66317599} a^{19} + \frac{28742688}{66317599} a^{18} - \frac{20480495}{66317599} a^{17} + \frac{8830913}{66317599} a^{16} - \frac{12793470}{66317599} a^{15} - \frac{12819292}{66317599} a^{14} - \frac{15740615}{66317599} a^{13} + \frac{6965442}{66317599} a^{12} - \frac{28751291}{66317599} a^{11} - \frac{25392189}{66317599} a^{10} + \frac{5497664}{66317599} a^{9} - \frac{19238462}{66317599} a^{8} - \frac{5349164}{66317599} a^{7} + \frac{18210894}{66317599} a^{6} + \frac{18785261}{66317599} a^{5} - \frac{23271427}{66317599} a^{4} + \frac{14194345}{66317599} a^{3} - \frac{13553842}{66317599} a^{2} - \frac{31163978}{66317599} a + \frac{10670435}{66317599}$, $\frac{1}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{33} - \frac{399994686666648122490811183489340163013054345549769408724991060203533413023225889224592071542373328366322547364528988087886086309696353568719373863572529501631066169022956957159662379686147618208142273535728503093573179378047453426781282168560242874800508930960077260919}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{32} + \frac{66150006585927315323985652480138812465172023570622391527999669651703935298732977054769855267631940099444191084428083589123424977228956098215639855930049468785009033054337258660153241416156031515073052741027614930414604637769719521636927554787323370479593745819289481071997645}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{31} - \frac{15688725351495806864197150742426692215362772640008437735041571840974419971671372389178268195132842597489981050481372163246094583959894177700620145904426286735263383766463889925690286832233417908587326896654038512004566954930700433478258613321347042784951111610847512507324979}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{30} + \frac{39033328140937765020526718902823966175127926528274132199541253924345451273704443784389444687986093077629926625118083396375426542830814730905307579126814885098695532307719908998674800068470602054876339634665268505716779162340810244970317944899947310584930784307874813041528101}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{29} - \frac{22781018128057809946629071173897509379014879748083754464751500023102582373036693055799426664431542522864781152546769698031353965790105775539453298027964314664556514092835046205942653951388595758369824731837148390351632675415771599786484620409845366919389266073042229826017947}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{28} + \frac{21894471450513670106963271357729994577798047720090496145669326392377479039979498873480980036975588806046135509224457353002576942506074460138883384532903383414992085692143991311606576548789872941144042273222911404343765484671296909075308868943889441023018845274059671653102572179}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{27} + \frac{13526409973218736008997997295157645509362990359014928555130641864327296831918606522585635267583819358239640604182745646483912664031969776037294423053318077308961957470760187683113314922133498482878148632988042392822607900381331998893338772419285214926216723446503099874721290929}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{26} + \frac{21747603240018737718748137384369308675217188571836703495077857923413456838323110890897187123177062448160826945783816812964616075677740220683922275622442326663530712900785659919619343068061841901362964574710980432594194550438513673818935936155495879269610505383402525082278946757}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{25} + \frac{22927614792793216420668903385485294094203181140939034610149797412589465421960345381652578353505559997872460378306329007059119107204217605781345099753659373010799918360710254917419967565713315331733906291155279091319445359108562752707287348065059905076195109374259597760733011211}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{24} + \frac{8948624036458214588909115609151733908971510130740322997817580757926380946683336444996616869510483428863578708573346134601304202256259578481684151622139070011849592621530867360672427969660406053760701355233844536777103090637574904997464727447132909209830104161728233929473271231}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{23} + \frac{27993307785773920166933620113295889895997294369418187401768035984621168077842847791817299888525669742939351288391066317182405474910811740355397168531639890414737368100185900820830260423335486347919945265918800765628450557517628225553039691765440599470519862278523550538796948904}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{22} + \frac{14581419715866683195789407432023161380314650234846949917680060467207187468055840180485152491361351292196955377567288740817638194320662361555233772801788981338940838437343304430561185735746483311387674878713335019820464244474145966008037981279707163193299916221389048977637231733}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{21} + \frac{21623360269760512513153469498029666168789371996263794276929332990386683875273091264980757862547084519020334002587489592976354223374367890662554986781542247353717599881082097583400027122797726689503896770586062061485039269049589979882896493999141314568895250412791528159401915974}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{20} + \frac{15675437912754080361670351254130741483490380519273233622442920464748887899801862755235861166466859892533753985643388072786251631994538725512863342757029824759217586535721868341682633558631275964496853393864431327811099370872484191393152303598821831485106127177207431661768207786}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{19} + \frac{6431894351421969711795532833930070340227765662880628400118546492249463830569868452771611831749343276683324057140924355259211954438159164078522400987226270492226570647525983388128563838864214935058519589656355734059063519084976150412921297956577958942330981492420559158873312298}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{18} + \frac{2501308751673592675012219359267400650516753064122018278763071241083304069461925046584436001004704458866644986649405056402756446884693789458298096137220956505263760795597829945391992870831589828223114105512024182426073838348245646450224142245586936977522132115986380107878418169}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{17} + \frac{15823207127515992742780153343784497280763017325087118047159193538834565552567438806018154943429916515906332011720955631792880220410202643272541921151049885145111597378930996627445516139218377299186826537748451212907943932860207096724998626169214412000728835975828981945950495718}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{16} - \frac{14157501111512274680901297736121957654168799602456056944539250081253567565845998423893281626034112864889990487603121237033511736037276079057835252482876873835341483425850584578035251082470931467326734253645373767847810184564798481436798528093000136978746422337354296109240486988}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{15} - \frac{8251272475921477740348818432253417906950304339725695313801056250156326552818024603285070852140216188223439749622944123659358447847811181301607813303715116024444876465441369640128415996164017235807478937515711966701283921446832250022429993824738199097373605341469091010561333433}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{14} - \frac{2539276170433210114731529927154901214773076865740559093632127908957396524536314824677978722443211854210343479017576758269689314509684451671105941730418079561587239692406781087377534395773227020225285463219143844699737327228821686794707929498662742304455398627139063898979816228}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{13} + \frac{544171284696696361186235495524532510099815392469989070568520838932901528322668944745599039890505670435995734253963338991346027577325086797246316138662539799957009179237094060862122369209673529216028522273914767292949453937034989948852912432008119332123761971389639200955353756}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{12} + \frac{17246582314162795049383507390614825944264099974672370633372399937700075461290526240060724791004932581534322280440846049925693785308370367045541676295493400466300986234616251253978671068711649757125537318841834351350556974260723246936604330756702665613974146162473621659648341948}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{11} + \frac{13990559473689457519528289943415379795280622173932613014022662171459907955405042864229252309207900186655543250663991705877879768241385252133594072550583359215238092364505640617419100043962694843149145554667413192323349724138742513849751267807273863778140173363201627971557797119}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{10} - \frac{23061585227473408623205298000169843228517142953535735140810384570676081319214501096099044223095676562073775234877849220102900188092982671018450528129169572772258756498228366844517418364396491686057272673148877279879836933813259149054196100078575831413013864660111468412703347272}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{9} + \frac{22197040392621305906537237703526572330285198455846026468804495550676324159120066589057774166271825895107117365499443541155373448409407244334903366253359184418734740075601307810955023091199733824413485703652953563492022410486296949133175498244504287129663400177339938328096171677}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{8} + \frac{21926421787027373119929145066565984482012156882029961619667151803049289782345328953077741648199155166617936770207604889567918097402885086957409899712468068543189679485705894415435598454807214260431169527255718712958617859474099148689755246902916101099486718343740840282111713699}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{7} - \frac{26427360951762251642302161580180446549476170756285642724036608721131554839463541936072938711390297916217951946394259531625016403039006897173163722044336109956895430351866889075630364352555496243873643589514764564583416484375830419099594129824165461183363502754877096658627703819}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{6} + \frac{30110568359237193221219079636016261685833506209091768938655600244461323630229213607592601098078185931180671608550786073190201637119958391625692814427374557668317700454156903060074248123080433157413948930613181083459061591485650865869067449711197564458930306250482785889788259819}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{5} + \frac{14312837696830560105548245593581971323687364439842876853752129999667207734410064364562020650167488470472957227076565769288516252781234151842494563630592252497719593919208845623111568113079614818023443918363694825130646923252246755720916662535733817766488567757473397844832881585}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{4} + \frac{8161985407100127092268867729312905889547092393033454335864237137025263990805203529389084900728049124644423137248263864752978243266469321000780078802176667249768352761272705641732505096303740828336911621041414781479363232187752771311766906286403616691186310625945982468101253260}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{3} + \frac{619862489929212690143652706834695669113507374036146389360259985051430824779008128499281273382687254025418329107856705488706141044423443156380237292765018090854751616579451173996737362833376108618595132824646839961462205727932774651060714042989718029686793917988007573662278918}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a^{2} + \frac{17217836947990266810585754988261522910863821201026409699355733657611371175432690693791833361469857263133383895944781100998612900120092709617480341446539314300740458352095987868082006706545585033668241544380332795352762015631442507575759232799416839657328825544597896614262012920}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847} a - \frac{8529675469658642798675891826564826087235449191778862423122369284758597309301377754030774649717626274565353934709400985475307885537238986454788958188190995674870617697237940128967509469415308554757330418415479871037741049401768068735438634499942758417223572291235113502588681609}{60558427063434716275203091447350807971085349478979335362461558674404006029160977635266951531756525976007089582283703242767939065064222550750657383445169014364324788587851826785384050771526218385503171546682098163307685223482787361884917124118650036299400079854734681704122980847}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-443}) \), 17.17.2200187128095499475530336818113367454680001.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
443Data not computed