↑

Properties

Label 34.0.16588005113...3123.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,3^{17}\cdot 239^{32}$
Root discriminant $299.95$
Ramified primes $3, 239$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![383161, -33952150, 2427600285, -45608024898, 614192316575, -3288855796351, 11839074142664, -28406076432710, 51217094741951, -70667318804226, 78274778167868, -70083975176599, 52222230307895, -32432207817668, 17311580529250, -7943571189405, 3287407536554, -1210187645280, 424306958357, -131171380381, 40351130575, -10266599417, 2930517090, -596487649, 171639850, -23519523, 8105371, -578829, 314431, -1626, 8615, 18, 113, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 - x^33 + 113*x^32 + 18*x^31 + 8615*x^30 - 1626*x^29 + 314431*x^28 - 578829*x^27 + 8105371*x^26 - 23519523*x^25 + 171639850*x^24 - 596487649*x^23 + 2930517090*x^22 - 10266599417*x^21 + 40351130575*x^20 - 131171380381*x^19 + 424306958357*x^18 - 1210187645280*x^17 + 3287407536554*x^16 - 7943571189405*x^15 + 17311580529250*x^14 - 32432207817668*x^13 + 52222230307895*x^12 - 70083975176599*x^11 + 78274778167868*x^10 - 70667318804226*x^9 + 51217094741951*x^8 - 28406076432710*x^7 + 11839074142664*x^6 - 3288855796351*x^5 + 614192316575*x^4 - 45608024898*x^3 + 2427600285*x^2 - 33952150*x + 383161)
 
gp: K = bnfinit(x^34 - x^33 + 113*x^32 + 18*x^31 + 8615*x^30 - 1626*x^29 + 314431*x^28 - 578829*x^27 + 8105371*x^26 - 23519523*x^25 + 171639850*x^24 - 596487649*x^23 + 2930517090*x^22 - 10266599417*x^21 + 40351130575*x^20 - 131171380381*x^19 + 424306958357*x^18 - 1210187645280*x^17 + 3287407536554*x^16 - 7943571189405*x^15 + 17311580529250*x^14 - 32432207817668*x^13 + 52222230307895*x^12 - 70083975176599*x^11 + 78274778167868*x^10 - 70667318804226*x^9 + 51217094741951*x^8 - 28406076432710*x^7 + 11839074142664*x^6 - 3288855796351*x^5 + 614192316575*x^4 - 45608024898*x^3 + 2427600285*x^2 - 33952150*x + 383161, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} - x^{33} + 113 x^{32} + 18 x^{31} + 8615 x^{30} - 1626 x^{29} + 314431 x^{28} - 578829 x^{27} + 8105371 x^{26} - 23519523 x^{25} + 171639850 x^{24} - 596487649 x^{23} + 2930517090 x^{22} - 10266599417 x^{21} + 40351130575 x^{20} - 131171380381 x^{19} + 424306958357 x^{18} - 1210187645280 x^{17} + 3287407536554 x^{16} - 7943571189405 x^{15} + 17311580529250 x^{14} - 32432207817668 x^{13} + 52222230307895 x^{12} - 70083975176599 x^{11} + 78274778167868 x^{10} - 70667318804226 x^{9} + 51217094741951 x^{8} - 28406076432710 x^{7} + 11839074142664 x^{6} - 3288855796351 x^{5} + 614192316575 x^{4} - 45608024898 x^{3} + 2427600285 x^{2} - 33952150 x + 383161 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-1658800511368771171375038072048271669330711376611357891969919119425230742525995613123=-\,3^{17}\cdot 239^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $299.95$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 239$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(717=3\cdot 239\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{717}(128,·)$, $\chi_{717}(1,·)$, $\chi_{717}(514,·)$, $\chi_{717}(644,·)$, $\chi_{717}(518,·)$, $\chi_{717}(641,·)$, $\chi_{717}(529,·)$, $\chi_{717}(275,·)$, $\chi_{717}(22,·)$, $\chi_{717}(665,·)$, $\chi_{717}(545,·)$, $\chi_{717}(290,·)$, $\chi_{717}(163,·)$, $\chi_{717}(166,·)$, $\chi_{717}(40,·)$, $\chi_{717}(553,·)$, $\chi_{717}(71,·)$, $\chi_{717}(689,·)$, $\chi_{717}(310,·)$, $\chi_{717}(314,·)$, $\chi_{717}(187,·)$, $\chi_{717}(67,·)$, $\chi_{717}(694,·)$, $\chi_{717}(455,·)$, $\chi_{717}(211,·)$, $\chi_{717}(340,·)$, $\chi_{717}(479,·)$, $\chi_{717}(610,·)$, $\chi_{717}(484,·)$, $\chi_{717}(101,·)$, $\chi_{717}(367,·)$, $\chi_{717}(371,·)$, $\chi_{717}(500,·)$, $\chi_{717}(245,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{229} a^{28} - \frac{39}{229} a^{27} + \frac{67}{229} a^{26} - \frac{72}{229} a^{25} + \frac{26}{229} a^{24} + \frac{42}{229} a^{23} + \frac{2}{229} a^{22} + \frac{12}{229} a^{21} - \frac{51}{229} a^{20} + \frac{49}{229} a^{19} + \frac{4}{229} a^{18} - \frac{113}{229} a^{17} + \frac{37}{229} a^{16} - \frac{10}{229} a^{15} + \frac{108}{229} a^{14} + \frac{55}{229} a^{13} - \frac{51}{229} a^{12} - \frac{94}{229} a^{11} - \frac{47}{229} a^{10} + \frac{107}{229} a^{9} - \frac{59}{229} a^{8} + \frac{89}{229} a^{7} + \frac{6}{229} a^{6} - \frac{66}{229} a^{5} + \frac{84}{229} a^{4} + \frac{7}{229} a^{3} + \frac{23}{229} a^{2} + \frac{105}{229} a + \frac{7}{229}$, $\frac{1}{229} a^{29} - \frac{80}{229} a^{27} + \frac{22}{229} a^{26} - \frac{34}{229} a^{25} - \frac{89}{229} a^{24} + \frac{37}{229} a^{23} + \frac{90}{229} a^{22} - \frac{41}{229} a^{21} - \frac{108}{229} a^{20} + \frac{83}{229} a^{19} + \frac{43}{229} a^{18} - \frac{19}{229} a^{17} + \frac{59}{229} a^{16} - \frac{53}{229} a^{15} - \frac{84}{229} a^{14} + \frac{33}{229} a^{13} - \frac{22}{229} a^{12} - \frac{49}{229} a^{11} + \frac{106}{229} a^{10} - \frac{8}{229} a^{9} + \frac{78}{229} a^{8} + \frac{42}{229} a^{7} - \frac{61}{229} a^{6} + \frac{29}{229} a^{5} + \frac{77}{229} a^{4} + \frac{67}{229} a^{3} + \frac{86}{229} a^{2} - \frac{20}{229} a + \frac{44}{229}$, $\frac{1}{1466503539881} a^{30} - \frac{2804897598}{1466503539881} a^{29} - \frac{2988338330}{1466503539881} a^{28} + \frac{75815834378}{1466503539881} a^{27} + \frac{632923306696}{1466503539881} a^{26} + \frac{204070138171}{1466503539881} a^{25} + \frac{604566774554}{1466503539881} a^{24} - \frac{479232421464}{1466503539881} a^{23} + \frac{12439038956}{1466503539881} a^{22} + \frac{613854043001}{1466503539881} a^{21} - \frac{437813088152}{1466503539881} a^{20} - \frac{416559745453}{1466503539881} a^{19} + \frac{350944783459}{1466503539881} a^{18} - \frac{460066844618}{1466503539881} a^{17} - \frac{245525424102}{1466503539881} a^{16} - \frac{407929113948}{1466503539881} a^{15} + \frac{644216246670}{1466503539881} a^{14} - \frac{438739490532}{1466503539881} a^{13} - \frac{559636999464}{1466503539881} a^{12} - \frac{431967283094}{1466503539881} a^{11} + \frac{216277348977}{1466503539881} a^{10} - \frac{704425399725}{1466503539881} a^{9} - \frac{684402487391}{1466503539881} a^{8} + \frac{545210229530}{1466503539881} a^{7} - \frac{564253802333}{1466503539881} a^{6} - \frac{491131588270}{1466503539881} a^{5} + \frac{401614628386}{1466503539881} a^{4} - \frac{292270852925}{1466503539881} a^{3} - \frac{678097390774}{1466503539881} a^{2} - \frac{524074618323}{1466503539881} a + \frac{1085085934}{2369149499}$, $\frac{1}{2438795386822103} a^{31} - \frac{1}{2438795386822103} a^{30} - \frac{2109757193655}{2438795386822103} a^{29} - \frac{1537283115413}{2438795386822103} a^{28} - \frac{659127248123944}{2438795386822103} a^{27} - \frac{1218039572014243}{2438795386822103} a^{26} + \frac{140341219180895}{2438795386822103} a^{25} - \frac{614699850643393}{2438795386822103} a^{24} + \frac{406736766566522}{2438795386822103} a^{23} + \frac{1016296151421202}{2438795386822103} a^{22} + \frac{969226071938843}{2438795386822103} a^{21} - \frac{992671516422703}{2438795386822103} a^{20} - \frac{15990539832327}{2438795386822103} a^{19} + \frac{515046923590391}{2438795386822103} a^{18} - \frac{983353906773740}{2438795386822103} a^{17} - \frac{1189665814759279}{2438795386822103} a^{16} + \frac{1122620166540875}{2438795386822103} a^{15} + \frac{868649620663526}{2438795386822103} a^{14} - \frac{800491334394746}{2438795386822103} a^{13} - \frac{248464989118696}{2438795386822103} a^{12} + \frac{820129723207205}{2438795386822103} a^{11} - \frac{821824890369102}{2438795386822103} a^{10} - \frac{610107279892455}{2438795386822103} a^{9} + \frac{12967577879518}{2438795386822103} a^{8} + \frac{252976363332840}{2438795386822103} a^{7} + \frac{24494916187585}{2438795386822103} a^{6} - \frac{265160956084077}{2438795386822103} a^{5} - \frac{512454012829771}{2438795386822103} a^{4} - \frac{923002957466341}{2438795386822103} a^{3} + \frac{307095507369567}{2438795386822103} a^{2} + \frac{719039030671047}{2438795386822103} a + \frac{1639498214444}{3939895616837}$, $\frac{1}{5232151695655825405098686809667} a^{32} + \frac{821776641067309}{5232151695655825405098686809667} a^{31} - \frac{821776641067197}{5232151695655825405098686809667} a^{30} - \frac{3871900164314733031826308949}{5232151695655825405098686809667} a^{29} - \frac{4795361729737692126500712072}{5232151695655825405098686809667} a^{28} - \frac{431181513296742011965305915629}{5232151695655825405098686809667} a^{27} - \frac{506473860629883682300001183006}{5232151695655825405098686809667} a^{26} - \frac{269104842163051056187376517996}{5232151695655825405098686809667} a^{25} + \frac{208684083468219698534021057020}{5232151695655825405098686809667} a^{24} - \frac{401217628948964432624597380781}{5232151695655825405098686809667} a^{23} - \frac{2065776902039197116448791455304}{5232151695655825405098686809667} a^{22} - \frac{511658108741135695108589953597}{5232151695655825405098686809667} a^{21} + \frac{14111891248230205547079137427}{5232151695655825405098686809667} a^{20} - \frac{1545323915429302665257196702669}{5232151695655825405098686809667} a^{19} - \frac{2543127508884214226881660691115}{5232151695655825405098686809667} a^{18} + \frac{537552800438734944447727361693}{5232151695655825405098686809667} a^{17} + \frac{559410986079279057287662975549}{5232151695655825405098686809667} a^{16} - \frac{388761047639941011907797946609}{5232151695655825405098686809667} a^{15} - \frac{1723571990857902268001720001356}{5232151695655825405098686809667} a^{14} + \frac{1287907083687481565126336898444}{5232151695655825405098686809667} a^{13} - \frac{846142506046951670453648714770}{5232151695655825405098686809667} a^{12} - \frac{1834994209946462709613831812221}{5232151695655825405098686809667} a^{11} + \frac{1031486190855534926861458747742}{5232151695655825405098686809667} a^{10} + \frac{340781050159725048216805284448}{5232151695655825405098686809667} a^{9} - \frac{121821786286139117516469046662}{5232151695655825405098686809667} a^{8} + \frac{744879670521772782245369932366}{5232151695655825405098686809667} a^{7} + \frac{694518860373894465839162464430}{5232151695655825405098686809667} a^{6} - \frac{1862169363035637312976879826707}{5232151695655825405098686809667} a^{5} + \frac{100385147817648749316620623186}{5232151695655825405098686809667} a^{4} + \frac{1576235509320177577824748329794}{5232151695655825405098686809667} a^{3} - \frac{504483120231117419180155786685}{5232151695655825405098686809667} a^{2} + \frac{1815751467148907157475884597554}{5232151695655825405098686809667} a - \frac{3412081676968721211175146201}{8452587553563530541354905993}$, $\frac{1}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{33} - \frac{1345254438970837287788269444435802193778758308953336555898993314726897328475845852724489151956704470504935074071850943401459764772920}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{32} + \frac{672949148185135793295616752878171192576480448723584011860495179522112447743809141758333904583554384421466058164517155248590168677102526295193014490}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{31} + \frac{9751209924319078378824654396262434734583489439456444263568683643832604624337004401253046556331797597841603123929584596175609386232234182160224426478761}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{30} - \frac{53012131948411374147222217798074742444008063371406941495386520832712927732827120000060053097589274276892322462355296252626052150683332461499391082962586312205933}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{29} - \frac{38192096265978197897895213322554009530203472324978700319906233483289121696522650610582741846583848096642118516452164525020928027964211822813652626874145930228053}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{28} - \frac{5226317828668091200452531107816221419636759200617660857141728501252270004691764608100554425491718750297271767293919617068573585949432006685213010338382866458656093}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{27} - \frac{16707490174534308556596587852120647666441752485386890062139108818454484720356495738519460521461729392562392539687714300345922791256223853906179320577245413344844754}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{26} + \frac{9235647338936005542367531414661593846894552675471220661192631199391967180254511483814458156393227759014794762173967911135774899274760166442947956560894257946208218}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{25} - \frac{13677858913203534250053853047949506379185542779804830844615692480494643553125921669104573143184966463414226199435368258585409392006708642326960444762517385884475026}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{24} + \frac{2334084233343846699000931072240954517055992802405005199849500360612564840770725932669428597761580182637066935803143959112439365934219851920671124776471033828253483}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{23} - \frac{3397813297404826616236677146990945761937495481591447981731990282985940177970485532654287498905952311951081553509085497580838499139123156142034433791514750121990166}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{22} + \frac{1172914076102124439966358930547012303173471778997331859545621644323668998533895772462051824969498192590442052741101615784496254592958102823311507348194351774795659}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{21} + \frac{12769224007490353366852135732284519300337657541539848201594585968695541514513117939298182716727365604445395620405909621462682207066046638056595302406467961351214290}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{20} - \frac{3422212084482657291709658103150171098796202757779549338227297813308252522393225457567330823078122146717488209969432205107718421620450269069665140658236973847550155}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{19} - \frac{3700221779521279591879994658603150123535416196151866285941583719837066605255114692660573146332495078847816625820665149079771003280590245793833965330476892491612493}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{18} - \frac{610124396751234362878659026606666635470225918594646852661454354770098476396660775726440850035261824792427480767005536333005269408913207069717669483412002309354498}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{17} - \frac{5172414622688234112935340126270162989490479001901033400107206122236500529718875302250342744361884456454301564946161017476398226636113560102402368150525895061790695}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{16} - \frac{5133812103244774121833395922209642184085596451323117493544967395809542705204090922464120616466030529737079890846399067144324641866724235475262192405503147288834912}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{15} - \frac{14507903938581989472622023482047010184980425120349080828396029622364037317574807994980644966179025578809329599292419231536417755340886810407992735328460342876185389}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{14} - \frac{7873213923776087993264775606081981709622749639637353540938549464507557020732855270525513881743048320484800330733569628153922465525395632817846861508128142404678596}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{13} + \frac{16591108803723004962361853353275883488082432655131740184571769097402354963471517578227142221194257478697661085059392068416747012839709805842767680910846664881324053}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{12} - \frac{5397072882133459910513142696335976100795641098309056894221323174282318166607406664111757852744986042335799031975494161398632205077497618628891912297421700310959006}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{11} - \frac{16703534283666104687225404560217622022229840497628289501170889191659096180363659818306637717799139919515088913497547306772284314242461698111001218555511150609528288}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{10} - \frac{12185010556402737536291074028323866181755316126308101805310856567454408686191401060951078967383560394727154190157212250995403477613922729250135137968300084431290318}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{9} - \frac{13363184631086252566172793331131653463852326084043656025709340718319330855945624730252956404228743694579475507956434193148927291142795579624612015526552054603773030}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{8} + \frac{5383131501981262916424851403513242303293024047418849917323935686585427500888541497143530154713862512350683415547563952654805215956814179280339748063435647091726079}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{7} + \frac{11445069241677541165859254615857288159328772954322477152733415634805982433548068187104231406754742688792240694073028560505575601809161395225488527763029003763522860}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{6} + \frac{15576071777686557054692517797276388247566164727276874762280063866946107861681529418485022083748130198942251355521861563817606844303118921877365034718004771568438744}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{5} - \frac{4667575756404690733872038827141401501984803619628960790992182437894464836443319290605024001001280570087314195411860573875780763051382683933946762532944002967724883}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{4} - \frac{63917212711920466792742989150617627848312093584260079383103951123045688215557883259547225331357720020662240246353975416133672743846423610620440236664664025902931}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{3} - \frac{14869109310666074235448144732742086404341901290827743024862224015731992426746972246927593361882065750850073827228954194160645740346519777971863261940952822765105691}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a^{2} + \frac{6140982250032247947597149544891988765976677523455479710672711839284417446198291079459697458011921262528153020634832406678112654194720340465913671021173549135957023}{34848498816999070657102441232884898091600739278468371129291204860579965099936968318375225269040811354373184704577583595555626065721280974144883874369352342509475971} a - \frac{23166423536286517450397526111178155981877894464610514123268844929148601714824693323843285401736012372367085980379460657200713434086722635332113494521461010124313}{56298059478189128686756770973965909679484231467638725572360589435508828917507218608037520628498887486871057681062332141446891867077998342721944869740472281921609}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{8853057619350591052239229596464879822105085680719767692350176920079000107718745480492274146320061250080926199864261825912954211514744136}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{33} + \frac{8700547263358490520213491396740842642558901052853815917895726600730140635358415155734105071907882046116633386191922861025770362546867232}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{32} - \frac{1000254453216758273383431996055160739230826898230586999854412142552321160529887763705293778753397579605815344846804838079007545404737226058}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{31} - \frac{176578646046982616149000763130578250229458923742645707866570360340859550702713992344193343971859024378652680432927861866882726036220565841}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{30} - \frac{76273129728017496424273809939667194216863297214427527598556185352451779417673882557231276082781053973168846171331790601777340991604511364116}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{29} + \frac{13080831850935539777317210089282278687332019635178282435011733783439721036173038789773970639332186081044495991055649264874000238886401930138}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{28} - \frac{2783526512666236438555458323359851607022645621305344751919102809010251312523802338573272559559891777431172867853230752841403367074463596293666}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{27} + \frac{5076459115692613430423151452849859335452263943242901333425182540628142588467571372546903006418057997609208519983789651755809545360954017588950}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{26} - \frac{71672641317148825369542921659702566315400192015815475293733645466869625585089212069831950580053863423363692952981092301541610083978781755290122}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{25} + \frac{206989730157720648522810506079003650642639391944961954531701160816086989991884950344993515879645090038448385748588178579890316986094828335321261}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{24} - \frac{1516042659458182785488882601025598443518113558267116885389956962034534658587011671831680906128012842897817478059749067911234718745341903278795587}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{23} + \frac{5254820933889976228386050986567593506138148137907610297220548056689005366216084871075446915737501702279969917753209435350180382008283709181193620}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{22} - \frac{25855002284253031787679607700678883928824999935544423488868293847870441937067213166369193677870911146074244109866210007117210100129166361701926563}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{21} + \frac{90450462642272882330877603751036498559747742513063429904981145216881769565479246382522096935933731384267356671630290674876489932354247577643055796}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{20} - \frac{355697918944478479887091259657524949424563962791318202625700990556623019130957190081225766660249694755714650391250270906005127872858600493267615400}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{19} + \frac{1155227537595610285879642620734804385964713700309894542245630825786492086329179775289283266715904366060181600488287901404833228928565898038344276888}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{18} - \frac{3736857888027531349467500800155687914995694457880807076483441093517305502193946478910222844038458433524486717728922925716743400222019135696661210801}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{17} + \frac{10650599536584911559256933845852936717195347530021729781267969684590459986683635023554436347775207182845547666629615465443665841315131036265083760553}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{16} - \frac{28923733822619563391622343383586240677789366298977474818441836594297116160494246241332952488878259910277417769122473363561000094000451957766488021238}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{15} + \frac{69836845904402909470767016173530727858324123614480684444455500177796546475525114486949363772302065139668996628635734483890814318067480293411694261448}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{14} - \frac{152085060294004715670129923398117581093478768117611248737045332334229428475624891347758652543337040156510696414428400605021399493389534728291940120708}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{13} + \frac{284570835149587218869987728026577734907947482020540553497129890632052453750423649583542623186150019694775147365795929460523916066766784821994962741309}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{12} - \frac{457568528232240584376643436136495828791744269603316046634109588104456879786511260791302350115936434895446119571804200977398308975630853714331484229238}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{11} + \frac{612843121117059110444848371919907956094492071676610405104286610634117791663809082233558612588263394060384950451855774372465922639503414606982327822979}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{10} - \frac{682841427001684969947232819467244606359338322639912530339111061873169627055707060850272268781265758173696330865613946210666822196983085714974925856200}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{9} + \frac{614424855854929084002986048089018486750280780281620078696864522619632721765656849071040407235489587427485981912782821429753335180175319104126196786058}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{8} - \frac{443466190411925830997858595076283739229175440588942502733191882131032060592082876226546832723318059070328953214222253837681805150808703577258179327664}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{7} + \frac{244391682322530835002446162776839119018828445845648861359712033141522982184961488120117113236358014413527096133188485786998504387839413752465612501135}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{6} - \frac{100991398401451464556690870096853257494829720551374191691400599147937824614429318836551926457801218595769090162047681325030372204738372986747801702678}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{5} + \frac{27584798195068426649547296880509687936509508840751207414950669522428776351030270915611865661487870901156822419586779309379177971768039220781891540906}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{4} - \frac{5045547408615359597842875666892633658857778673132202269885260849527090538104836264357016701410454305263859977084652054816699918575601057237183399177}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{3} + \frac{338085364499568502219065339507811115669435372395019648709906245754504459794064101619711513438571717554062317985923888204917417630531632577406165826}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a^{2} - \frac{19712029286837065627636218602407796947237145338825657429381284708772145326293655625387922275275530342182215746134405120420766294309597130235908920}{218241294196437147702016037727354903790161360434186584568081434039947757818487127579319721069333945002460463527793463074901111011313123602133091} a + \frac{445145544108365886947883375251665307976021070989110261862772649816304753043201981417420673997763297113725263056634755588575985261848725233082}{352570749913468736190655957556308406769242908617425823211763221389253243648606021937511665701670347338385239947970053432796625220215062362089} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 17.17.113335617496346216833223278514633468161.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ R $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
239Data not computed