↑

Properties

Label 34.0.16375695046...9088.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,2^{34}\cdot 17^{65}$
Root discriminant $450.15$
Ramified primes $2, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![70650614507633, 0, 991809541368350, 0, 4576533241103881, 0, 9040807486110933, 0, 9092449242994454, 0, 5344604524417151, 0, 2003005437481574, 0, 505462029719138, 0, 88900785810246, 0, 11128651308197, 0, 1002364749015, 0, 65109162580, 0, 3030819007, 0, 99462240, 0, 2231369, 0, 32368, 0, 272, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 + 272*x^32 + 32368*x^30 + 2231369*x^28 + 99462240*x^26 + 3030819007*x^24 + 65109162580*x^22 + 1002364749015*x^20 + 11128651308197*x^18 + 88900785810246*x^16 + 505462029719138*x^14 + 2003005437481574*x^12 + 5344604524417151*x^10 + 9092449242994454*x^8 + 9040807486110933*x^6 + 4576533241103881*x^4 + 991809541368350*x^2 + 70650614507633)
 
gp: K = bnfinit(x^34 + 272*x^32 + 32368*x^30 + 2231369*x^28 + 99462240*x^26 + 3030819007*x^24 + 65109162580*x^22 + 1002364749015*x^20 + 11128651308197*x^18 + 88900785810246*x^16 + 505462029719138*x^14 + 2003005437481574*x^12 + 5344604524417151*x^10 + 9092449242994454*x^8 + 9040807486110933*x^6 + 4576533241103881*x^4 + 991809541368350*x^2 + 70650614507633, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} + 272 x^{32} + 32368 x^{30} + 2231369 x^{28} + 99462240 x^{26} + 3030819007 x^{24} + 65109162580 x^{22} + 1002364749015 x^{20} + 11128651308197 x^{18} + 88900785810246 x^{16} + 505462029719138 x^{14} + 2003005437481574 x^{12} + 5344604524417151 x^{10} + 9092449242994454 x^{8} + 9040807486110933 x^{6} + 4576533241103881 x^{4} + 991809541368350 x^{2} + 70650614507633 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-1637569504672609029759453328209845791289707218675094773643512138419836077449127814221529088=-\,2^{34}\cdot 17^{65}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $450.15$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1156=2^{2}\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1156}(1,·)$, $\chi_{1156}(1155,·)$, $\chi_{1156}(135,·)$, $\chi_{1156}(137,·)$, $\chi_{1156}(271,·)$, $\chi_{1156}(273,·)$, $\chi_{1156}(407,·)$, $\chi_{1156}(409,·)$, $\chi_{1156}(543,·)$, $\chi_{1156}(545,·)$, $\chi_{1156}(679,·)$, $\chi_{1156}(681,·)$, $\chi_{1156}(815,·)$, $\chi_{1156}(817,·)$, $\chi_{1156}(951,·)$, $\chi_{1156}(953,·)$, $\chi_{1156}(1087,·)$, $\chi_{1156}(1089,·)$, $\chi_{1156}(67,·)$, $\chi_{1156}(69,·)$, $\chi_{1156}(203,·)$, $\chi_{1156}(205,·)$, $\chi_{1156}(339,·)$, $\chi_{1156}(341,·)$, $\chi_{1156}(475,·)$, $\chi_{1156}(477,·)$, $\chi_{1156}(611,·)$, $\chi_{1156}(613,·)$, $\chi_{1156}(747,·)$, $\chi_{1156}(749,·)$, $\chi_{1156}(883,·)$, $\chi_{1156}(885,·)$, $\chi_{1156}(1019,·)$, $\chi_{1156}(1021,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{32} + \frac{10162589448517113540114616111655558736816221916432392786295863131542857025166259528228832927477851123244858083282461433602}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{30} - \frac{631506805810923347536062692732275524857577227156607637867672484725179248279907857720464971841921177870645017831723287683969}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{28} + \frac{600117039498028154403618350392631811370949573490829546503723263379812146692386359285809747048674342111855663525430726780790}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{26} + \frac{782139678628412210280643515629978939804377947835073083131588670668743650086901720882236972992934629578229276910865927765146}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{24} - \frac{88746732254883743301817160728726159749147562207844647204455909444246217956073234508803021899106527308327582958752433097388}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{22} + \frac{757388398941105343162592228313750740930427950397069035893162381153457263033902714646727650866487998804090673037765858838934}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{20} - \frac{617623225119512489618365262679944234981710265432164961624789594919723575316970409443991053122801407320277147408517044901858}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{18} + \frac{439249490801702646023693183690577073142412155613862538767934765764301329198126537617043705788068405631625198846253466670673}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{16} - \frac{169899484992429693966706829620622865874288900856531989837902318252306687663522645218317316849041915902377433535367474021591}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{14} + \frac{217085726247443062554560015888628130735047614810039786524651143241636515314692435034476795259681303898846689295070247130736}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{12} + \frac{55166264478407280761779244426081395447718972207352881926892785205618427983077697894364550706341823735708835962865910916291}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{10} - \frac{580220116059796901730005599733893464175311014823980739704320535273604497539760593938851616290981427271975920457960618684690}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{8} - \frac{472305630592131470443824418462569167304118524605702331435799804285909898275813168140950882045502908066801537206204798879204}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{6} + \frac{4487058514712340488087927960022512880910622580062316578821083279577092046404838549656754857048793783432103679311413372505}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{4} - \frac{26250259990980414634613513949559605191228987022180958595928468099170901893868571171623703808009408140652252965350749682713}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363} a^{2} - \frac{277687828081372510725889666299858679769479157404448128015626583008382556854037396478248631728436362621011266264490902140192}{1798931683142793628892012966588205275623198913739515238749534139790781239871044732933712870905082572531773582644993853905363}$, $\frac{1}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{33} + \frac{1238577066528184861564666711701361561359060551318274334918118288280794550662750421104251375837078614243984957311014866653281196643}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{31} + \frac{797485571878909175494399624168491136666271076071551083397656861372306297049224431693719466048831218390455208050917038645352692924}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{29} + \frac{601246742983756555850958545363326712671699404695249231985370802060697448926806747206396536375127366396201605741603951258392824102}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{27} - \frac{884267684572527865456916477108849849664194868068538359564727873893767431277441693661311546882162155758508789867035108008961228230}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{25} - \frac{1478597806003971765072584411457970879124411255516395707545290549508286059514665624458174062498907323030140500884565402086722013341}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{23} + \frac{1803485536621226980672081813998868336926542160618140348887845103860972860646421381055482744908994203010850305673341371115456312687}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{21} + \frac{349887996884681955719749119610210069753925960614242802741345266331432449868863141495731841974243627390877578000138606079840390916}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{19} - \frac{1715505787087555772649499841569493565389099921702689605689985726123217995570695835317374319473153580162206951124633417677035120202}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{17} + \frac{456066789342559191160638052595578769058403137521254786311030806751580398406659468215442602427410589828911868068307951468467511532}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{15} + \frac{258997808302843674575532337398619566775429552255434037508273203359241389084469238027100477639612712896420936860836995198563957935}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{13} - \frac{1687572359994940796475429926138251178364900583663325819572339801042527303160879467753219348692894539702515466849684836501148397920}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{11} - \frac{1030576160722325959503815902330583948603033615411935792986050321392157611864301388453125235761461805298574785548749826973630850856}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{9} + \frac{931759790841545653540405456245875636350419819650684791238467270973110438843789085699314307960147283105069123876602650413191697372}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{7} - \frac{1280306870132400282144620708284764087459620278793445373416681866604574891964089974203016635417876030152359602430669026488449096047}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{5} - \frac{1301253661388233476852194429969159059271094879084637891099956616877850127469142359346706509367153476685121498111343979585486198037}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a^{3} - \frac{1033610655939499873931365724089284816868225546147556935661209096792032394594023155194386948771694117053371236618017738135452653739}{3667314721776681091414659877777481392322382667941771942321471544116465171069790889871797594617197667941281347995162985528450349341} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-17}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $17^{2}$ R $34$ $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$ $34$ $17^{2}$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
17Data not computed