↑

Properties

Label 34.0.12309522877...3491.1
Degree $34$
Signature $[0, 17]$
Discriminant $-\,3^{17}\cdot 17^{65}$
Root discriminant $389.84$
Ramified primes $3, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{34}$ (as 34T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3824407175566921, -1754351291037504, 14214703561341037, 13816157078710411, 93161070414797644, 46263549788790027, 63643987656998854, 24217977695848077, 19976687332696262, 6461901079081403, 3321012216033951, 1193617393246187, 396326179751097, 130098984436055, 43313685823796, 8980959860874, 6615819435686, 659205602328, 858017168074, 66714409731, 79955812802, 6447612032, 5146798399, 395908495, 243454042, 13096392, 9745403, 190434, 329613, -663, 8364, -34, 136, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^34 + 136*x^32 - 34*x^31 + 8364*x^30 - 663*x^29 + 329613*x^28 + 190434*x^27 + 9745403*x^26 + 13096392*x^25 + 243454042*x^24 + 395908495*x^23 + 5146798399*x^22 + 6447612032*x^21 + 79955812802*x^20 + 66714409731*x^19 + 858017168074*x^18 + 659205602328*x^17 + 6615819435686*x^16 + 8980959860874*x^15 + 43313685823796*x^14 + 130098984436055*x^13 + 396326179751097*x^12 + 1193617393246187*x^11 + 3321012216033951*x^10 + 6461901079081403*x^9 + 19976687332696262*x^8 + 24217977695848077*x^7 + 63643987656998854*x^6 + 46263549788790027*x^5 + 93161070414797644*x^4 + 13816157078710411*x^3 + 14214703561341037*x^2 - 1754351291037504*x + 3824407175566921)
 
gp: K = bnfinit(x^34 + 136*x^32 - 34*x^31 + 8364*x^30 - 663*x^29 + 329613*x^28 + 190434*x^27 + 9745403*x^26 + 13096392*x^25 + 243454042*x^24 + 395908495*x^23 + 5146798399*x^22 + 6447612032*x^21 + 79955812802*x^20 + 66714409731*x^19 + 858017168074*x^18 + 659205602328*x^17 + 6615819435686*x^16 + 8980959860874*x^15 + 43313685823796*x^14 + 130098984436055*x^13 + 396326179751097*x^12 + 1193617393246187*x^11 + 3321012216033951*x^10 + 6461901079081403*x^9 + 19976687332696262*x^8 + 24217977695848077*x^7 + 63643987656998854*x^6 + 46263549788790027*x^5 + 93161070414797644*x^4 + 13816157078710411*x^3 + 14214703561341037*x^2 - 1754351291037504*x + 3824407175566921, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{34} + 136 x^{32} - 34 x^{31} + 8364 x^{30} - 663 x^{29} + 329613 x^{28} + 190434 x^{27} + 9745403 x^{26} + 13096392 x^{25} + 243454042 x^{24} + 395908495 x^{23} + 5146798399 x^{22} + 6447612032 x^{21} + 79955812802 x^{20} + 66714409731 x^{19} + 858017168074 x^{18} + 659205602328 x^{17} + 6615819435686 x^{16} + 8980959860874 x^{15} + 43313685823796 x^{14} + 130098984436055 x^{13} + 396326179751097 x^{12} + 1193617393246187 x^{11} + 3321012216033951 x^{10} + 6461901079081403 x^{9} + 19976687332696262 x^{8} + 24217977695848077 x^{7} + 63643987656998854 x^{6} + 46263549788790027 x^{5} + 93161070414797644 x^{4} + 13816157078710411 x^{3} + 14214703561341037 x^{2} - 1754351291037504 x + 3824407175566921 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $34$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 17]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-12309522877752896848740501655027735029115386449381382152715887725819844838409975062613491=-\,3^{17}\cdot 17^{65}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $389.84$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(867=3\cdot 17^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{867}(256,·)$, $\chi_{867}(1,·)$, $\chi_{867}(664,·)$, $\chi_{867}(662,·)$, $\chi_{867}(407,·)$, $\chi_{867}(152,·)$, $\chi_{867}(409,·)$, $\chi_{867}(154,·)$, $\chi_{867}(305,·)$, $\chi_{867}(562,·)$, $\chi_{867}(815,·)$, $\chi_{867}(560,·)$, $\chi_{867}(817,·)$, $\chi_{867}(50,·)$, $\chi_{867}(307,·)$, $\chi_{867}(52,·)$, $\chi_{867}(715,·)$, $\chi_{867}(713,·)$, $\chi_{867}(458,·)$, $\chi_{867}(203,·)$, $\chi_{867}(460,·)$, $\chi_{867}(205,·)$, $\chi_{867}(101,·)$, $\chi_{867}(866,·)$, $\chi_{867}(611,·)$, $\chi_{867}(356,·)$, $\chi_{867}(613,·)$, $\chi_{867}(358,·)$, $\chi_{867}(103,·)$, $\chi_{867}(254,·)$, $\chi_{867}(764,·)$, $\chi_{867}(509,·)$, $\chi_{867}(766,·)$, $\chi_{867}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{118195667} a^{32} + \frac{42338533}{118195667} a^{31} + \frac{1759364}{118195667} a^{30} - \frac{50764968}{118195667} a^{29} - \frac{206970}{118195667} a^{28} + \frac{30102960}{118195667} a^{27} + \frac{16268929}{118195667} a^{26} + \frac{21107444}{118195667} a^{25} + \frac{56109112}{118195667} a^{24} - \frac{44574335}{118195667} a^{23} - \frac{32307573}{118195667} a^{22} + \frac{39876}{902257} a^{21} - \frac{7510586}{118195667} a^{20} + \frac{24069818}{118195667} a^{19} + \frac{58107112}{118195667} a^{18} + \frac{41567414}{118195667} a^{17} + \frac{52579000}{118195667} a^{16} - \frac{7409402}{118195667} a^{15} + \frac{12434755}{118195667} a^{14} + \frac{17772927}{118195667} a^{13} + \frac{18771086}{118195667} a^{12} + \frac{15010533}{118195667} a^{11} + \frac{13805690}{118195667} a^{10} + \frac{42612758}{118195667} a^{9} - \frac{46296723}{118195667} a^{8} - \frac{18438904}{118195667} a^{7} + \frac{43833414}{118195667} a^{6} + \frac{32094796}{118195667} a^{5} - \frac{7456310}{118195667} a^{4} - \frac{21291874}{118195667} a^{3} + \frac{13707549}{118195667} a^{2} - \frac{42887496}{118195667} a - \frac{51563}{902257}$, $\frac{1}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{33} + \frac{220356751401488533022545214870251141950365588147094116093585072830339280114196361882253051877182295433532286337899140991283991866683748487191970057325545072253948936399913770550743142393131801442400831891627325078285144405120701029560877268928494272011418355277822688627656458544740472227361243112605837}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{32} - \frac{21207507066514335436369654867253901181931905291271597816384075008519652687618030955141849311568506811920563791598847445874008595007812664351817834665627175020533023578922479881844231608350937372510083391066237269934253440150236454017592616363735110103486048276293204969208557775185446480130865508013604618362178}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{31} - \frac{45352786511332700364716780998090987958572057168478258225252867167106969690690853010927532044414900134156504382598437545313968821786279137647871189957262040561820973651763576517034164417399090415997882156777644576816077354366870016305041761901053922561513583204498639136002439843298313070416732248971958541470118}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{30} + \frac{4900213868564196775767227724746135601758746958100708544953413136243421027955697412573395363593383646106754123221001227461550833923528630207198983259919055225247126733472959430657221717237536386315440957188130672754452366960120199257370541402263216400861168787859887649623475688932286394099626433934649344667500}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{29} + \frac{50627827652149213159913235814018710942310598413117195042957109865158361741501215972805521211653222646153225059660211957332492199693770900449974595441846378661543181644397743308792014297710041838144601937296150152534405831198881206355613379558470926564884168865015061606484591961180758514908517175034787539559630}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{28} + \frac{9486864756610408851191194005042375863180611249670821521180543796771429474589210360363528176166077933571143392258010484953626734474934566830175589724628225252143507807893302636527409874333258334534554221088963238971136549688092551601626694173620597752734669549464503536276971772890720155421201873471402337327511}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{27} - \frac{34704506583906760909153113814776108897871732450835532370926847364961901934780627382951220769227728770571504107450935050299302837711383455876404996292491143945182739940212235797648003421013387390738574007011292444873291987716997485939883371835817196900022249720312890870511443231569915125700595114386462567222668}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{26} - \frac{44612855883568359641857884817496222104155161934267078615472495839686508351334100184747236368083463342172281096666048747245557925427474929791107157604694992532400921959166609875525793726313489285613143857989817506489294224869678369693906292251836404535611048271721611874148419577164889047349982173455979318551376}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{25} - \frac{23260514191202075058114727790893739255093939857626914090653913104327682821680963142582311603658018279206257474369036611804954622190939787129337672515067289584186839646093662609253359659100712778635519137618752192079023350780452075019899135672286916301536794543273839325164346246319176785010386584334250306769573}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{24} - \frac{22970633933231780667507994616253799083162747182440751300622673858398842841295928554390940740295928089752767498795409340504707242449249073740365071626011387494392023757724811777038374222337214539674468794809142890253745883251802081605872302890337442666616043735925257531786717482710099902397615707774382040515324}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{23} - \frac{46323773086484685184896828550448972782492345852992448268372523488658389042124406453899568904078416032084964209887476690766180040050415922571924988087889217086841439912153156427929035615386228600548501914639293810875498384884058114122835498370343245004063432427426793939976679978272563885334292921561905731331872}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{22} + \frac{25259784271417832133941269117893197869768190724805556133177325605950738679312092354324739789650335046499433730234165784844596714605261331104901277812970214295093125389282605280265937672714142059644756866370129847722526129874379833129962755091124101396596067345991710508510635265487394710231086209466940576725518}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{21} - \frac{23764491773729107885938528137472671742857761416117988276739840552774808432355705102010710607739085066136144764614591318259210795682991888251553703785930011044675998196855395276315394887644780719362503889172331895232579944632158385726262985134728470387711344218211139841021462420953626743777500551702565235238978}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{20} + \frac{4551138392875325166958741814634360976337533364373228028158314658874198259851035276362111752583692953501100959691073658420303482093215672233055293047316077245644377390599664623223285465241292743843585334664907800798551554051196575082981939436486368979454577422027410396768842427468977528185302772062007665815086}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{19} + \frac{21121530802198593423884841002431378170423448604815599792442352085573222327618579892925510983458367368549672203956054945399231767555179088049601036495975841303478365011446352041443729473495055721932295043169544073938875237054517381467322303328651212807112419578349857909435832728280393534235695124471201693453149}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{18} - \frac{11867338809288808040122812685177478627641436797895776042545503350399189801941629199703569228803469005564464354693228578344414061124226557309090811020361426089139130752843652087734195268856663108001005850855481483937010735268390582709990703747417048581672985803930858273582902298853584818180070598684227384736549}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{17} + \frac{9193333409351345224616267603035433265904647592204558703434639364507247319146604970104598130244570110347902985572294526517679545769775240772240512404173464505281162964160448919738832659397975178050655200240979828061334233728172863008271052528017787487847933829974634827279537754064918190341781024500262317098877}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{16} - \frac{31949009711822243043491915580251893404422761892178559999612950033786692036576026683725641605434439211004694093238187578569752876731925992385965487844734610630276334703306417005615723821581523487200936102375009673893522515556335809352654961251286688315198278246172364931480060684903117838367010342195730743382869}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{15} + \frac{24092577997962776762374027662765517394649046836177820530088102243538924724344914711719844587867979723188928541697754892651981004788816257276300338458898887757664699870858187226680761107786866030623598519641716494634450276899570814541579393264923361210558591457659858036706955642635502007798539849869685681064671}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{14} + \frac{19311215300907047428193577777213272016172035306267871248845676632891082618979562936176154653571102941949597955547328570781726129709512071230277456129421385734856911798670479878491291895246800267896936128334892040962991730121955716435127374538889283653421448957663015812263024007145314106160733101739011647735556}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{13} + \frac{5333867802471740049259689185840211983807987989792852512047131894989366102819585514710768499265633679097542015022525413699308113380274420526794981532529067424122335419171773653926754710565407077996778304388930182721419489553691425540851873539700371640692244732954625584947101136861681602691846091500035279982335}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{12} + \frac{12984575593615707641799769320566455591168169561617310113688452157489449470312913147768808498606840802580577970193658069231643266649511927546159149728853352090106529844172639547244274700789528387409249436279966940327863159434236382176296101927796472671346254653352731936958358708500122494204804013347796799374730}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{11} - \frac{3612819660450432527967402535398812035243331402067687318339213964771501463628939052413780354726496010174882908811704469774062376141393385138365834060536235433629286793775115142215355428148172637830373422308457688228709693156287663417455984780220197336306580080097279824382070765661486337082079834701653028333527}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{10} + \frac{26925706715708225138218566138025451916746374633517022709508859821851458958548420968340523757518974201605798101732480695620523211300491761377675842617485947313650439250701307533474010106929680283464800027007406966252774492019560477147486450685233247149186311148545180467697990246564681086392095107831014703475855}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{9} + \frac{42597909100335424288298622330704234146975305157010424803407998107750431670602316050349594522488495321693204628098347935886444338715099992829612364930797772476849858379202150180006183585289188912925393975377242819248856877015238495922345421409354420673394795397556085490764626939245268222149973586385010462397369}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{8} - \frac{2384429739309195066719238331455726690508367933816399001215333762818899244244054295661119365746648301996634876676337494724058456750250691510723293758577307876788882426861501395820515885953969591564295431594627990304641798518004319670799563896712209561415073009274332183543956381391818350310669271196229063252531}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{7} + \frac{42132848580214737604468118594652610348102574885130113099066135190378341549784530956320360263103688549773216822865278185080875287679523605874749175204691108846200224214099556634512305809804354388704085713540916525929932896640596521984585431766402923545624670474002040686699606150932219980826944769136730272282712}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{6} + \frac{33297880426813482271031641090876906635975483044431666366086181495777810182641844314745218255411441853528807257072232476730708329720048932799312947956335760776469771561944560093411276628230423920432620298232184129298737685785479870469998789969045334820024581035092824177219713844185404322005664720070624331380051}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{5} + \frac{48889333314649445423934910435144263396416797700375380915502646366012348604429226605865920517011984195566836079793254252300476166918410783248363916636422726613738754989980781570947521353689853796642246887443325480546562593549434370986331025508480013227754370572714965830210047684388376714070627890418163348754680}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{4} - \frac{5851838107343500223111203204077143489280282323941305554819204309658118693389997448652518237296501513299707115238658684815416609874508952809017699975137029336267629566694920689237091432711362551617853216134007807709074563650551310306874901547985421611858460084734603597818839450519446700454496749230631552994465}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{3} - \frac{30440772920943806695090862582890730499508823643107029417062918974387788684665438775504971507100579022479014879520562695638748510353407635480152174150004458945065235170608443771678305575299389722089788367578206090775207110710332457156797031099060157815624850268084131034933434593862886303288098358441427323187328}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a^{2} + \frac{44780149567885521507987363625339793889443126633053356255541067167339234129142010455660835941314825883471856621886385791539462020415436551093452269228499059691039222111397009603511498649203575526086603365721103099298639398330892592739332553417508482084671123373585423338061671255837551372709316947954723187910860}{107645425774057402732829529660637806578670036651284102417958356115594881696249772753615976048852334156521699841370096298389212793397573446543946541520506057791989097193855336088095880257571456218691513979411859571889105198185491937636900415865498761219689365309153630332715227663891320709481624759914847558347933} a - \frac{55037468707454703794122146414351638781747453490027723940928814046976146163025844265841952150839805545346742323976504056632452532813868472280173390596549589702507666836611268589089773351281782674877259466254951127370274497261159410862642380516875128622548344443204680439931712766255112445816965701213273542156}{821720807435552692617019310386548141821908676727359560442430199355686119818700555371114320983605604248257250697481651132742082392347888904915622454355008074748008375525613252580884582118866078005278732667266103602206909909812915554480155846301517261219002788619493361318436852396116951980775761526067538613343}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $16$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{34}$ (as 34T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 34
The 34 conjugacy class representatives for $C_{34}$
Character table for $C_{34}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-51}) \), 17.17.2367911594760467245844106297320951247361.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $34$ R $17^{2}$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ R $17^{2}$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $17^{2}$ $17^{2}$ $34$ $34$ $34$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
17Data not computed