↑

Properties

Label 33.33.8732677808...6409.2
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $13^{22}\cdot 67^{32}$
Root discriminant $326.11$
Ramified primes $13, 67$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![360625176548807, -4214342480887616, 5866180865966940, 13219885452415850, -24464261884516557, -13002855201605431, 35251613885785939, 3493450525717951, -25655283542767342, 1988618561887006, 10940132786146607, -1829759678630894, -2954479054797901, 650547522824832, 528898840721217, -135334358355851, -64528340390635, 18298306892962, 5447962104586, -1680727775657, -319817342676, 106955941516, 12983509436, -4737666605, -358196512, 144860331, 6485636, -2984153, -72192, 39392, 433, -300, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - x^32 - 300*x^31 + 433*x^30 + 39392*x^29 - 72192*x^28 - 2984153*x^27 + 6485636*x^26 + 144860331*x^25 - 358196512*x^24 - 4737666605*x^23 + 12983509436*x^22 + 106955941516*x^21 - 319817342676*x^20 - 1680727775657*x^19 + 5447962104586*x^18 + 18298306892962*x^17 - 64528340390635*x^16 - 135334358355851*x^15 + 528898840721217*x^14 + 650547522824832*x^13 - 2954479054797901*x^12 - 1829759678630894*x^11 + 10940132786146607*x^10 + 1988618561887006*x^9 - 25655283542767342*x^8 + 3493450525717951*x^7 + 35251613885785939*x^6 - 13002855201605431*x^5 - 24464261884516557*x^4 + 13219885452415850*x^3 + 5866180865966940*x^2 - 4214342480887616*x + 360625176548807)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - x^32 - 300*x^31 + 433*x^30 + 39392*x^29 - 72192*x^28 - 2984153*x^27 + 6485636*x^26 + 144860331*x^25 - 358196512*x^24 - 4737666605*x^23 + 12983509436*x^22 + 106955941516*x^21 - 319817342676*x^20 - 1680727775657*x^19 + 5447962104586*x^18 + 18298306892962*x^17 - 64528340390635*x^16 - 135334358355851*x^15 + 528898840721217*x^14 + 650547522824832*x^13 - 2954479054797901*x^12 - 1829759678630894*x^11 + 10940132786146607*x^10 + 1988618561887006*x^9 - 25655283542767342*x^8 + 3493450525717951*x^7 + 35251613885785939*x^6 - 13002855201605431*x^5 - 24464261884516557*x^4 + 13219885452415850*x^3 + 5866180865966940*x^2 - 4214342480887616*x + 360625176548807, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{33} - x^{32} - 300 x^{31} + 433 x^{30} + 39392 x^{29} - 72192 x^{28} - 2984153 x^{27} + 6485636 x^{26} + 144860331 x^{25} - 358196512 x^{24} - 4737666605 x^{23} + 12983509436 x^{22} + 106955941516 x^{21} - 319817342676 x^{20} - 1680727775657 x^{19} + 5447962104586 x^{18} + 18298306892962 x^{17} - 64528340390635 x^{16} - 135334358355851 x^{15} + 528898840721217 x^{14} + 650547522824832 x^{13} - 2954479054797901 x^{12} - 1829759678630894 x^{11} + 10940132786146607 x^{10} + 1988618561887006 x^{9} - 25655283542767342 x^{8} + 3493450525717951 x^{7} + 35251613885785939 x^{6} - 13002855201605431 x^{5} - 24464261884516557 x^{4} + 13219885452415850 x^{3} + 5866180865966940 x^{2} - 4214342480887616 x + 360625176548807 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $33$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[33, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(87326778082083662495218352588640880811056018195821008532012013421938001715942636409=13^{22}\cdot 67^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $326.11$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(871=13\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{871}(1,·)$, $\chi_{871}(770,·)$, $\chi_{871}(131,·)$, $\chi_{871}(776,·)$, $\chi_{871}(14,·)$, $\chi_{871}(406,·)$, $\chi_{871}(217,·)$, $\chi_{871}(412,·)$, $\chi_{871}(29,·)$, $\chi_{871}(542,·)$, $\chi_{871}(289,·)$, $\chi_{871}(802,·)$, $\chi_{871}(40,·)$, $\chi_{871}(425,·)$, $\chi_{871}(555,·)$, $\chi_{871}(560,·)$, $\chi_{871}(562,·)$, $\chi_{871}(55,·)$, $\chi_{871}(315,·)$, $\chi_{871}(705,·)$, $\chi_{871}(451,·)$, $\chi_{871}(196,·)$, $\chi_{871}(417,·)$, $\chi_{871}(328,·)$, $\chi_{871}(841,·)$, $\chi_{871}(458,·)$, $\chi_{871}(724,·)$, $\chi_{871}(729,·)$, $\chi_{871}(92,·)$, $\chi_{871}(612,·)$, $\chi_{871}(620,·)$, $\chi_{871}(237,·)$, $\chi_{871}(625,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{37} a^{26} + \frac{12}{37} a^{25} + \frac{1}{37} a^{24} + \frac{13}{37} a^{23} - \frac{10}{37} a^{22} - \frac{14}{37} a^{21} + \frac{16}{37} a^{20} - \frac{1}{37} a^{19} - \frac{11}{37} a^{18} - \frac{4}{37} a^{17} + \frac{5}{37} a^{16} + \frac{1}{37} a^{15} + \frac{2}{37} a^{14} - \frac{9}{37} a^{13} - \frac{2}{37} a^{12} + \frac{10}{37} a^{11} - \frac{1}{37} a^{10} + \frac{10}{37} a^{9} + \frac{4}{37} a^{8} + \frac{18}{37} a^{7} + \frac{16}{37} a^{6} + \frac{17}{37} a^{5} + \frac{13}{37} a^{4} - \frac{4}{37} a^{3} + \frac{3}{37} a^{2} - \frac{12}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{27} + \frac{5}{37} a^{25} + \frac{1}{37} a^{24} - \frac{18}{37} a^{23} - \frac{5}{37} a^{22} - \frac{1}{37} a^{21} - \frac{8}{37} a^{20} + \frac{1}{37} a^{19} + \frac{17}{37} a^{18} + \frac{16}{37} a^{17} + \frac{15}{37} a^{16} - \frac{10}{37} a^{15} + \frac{4}{37} a^{14} - \frac{5}{37} a^{13} - \frac{3}{37} a^{12} - \frac{10}{37} a^{11} - \frac{15}{37} a^{10} - \frac{5}{37} a^{9} + \frac{7}{37} a^{8} - \frac{15}{37} a^{7} + \frac{10}{37} a^{6} - \frac{6}{37} a^{5} - \frac{12}{37} a^{4} + \frac{14}{37} a^{3} - \frac{11}{37} a^{2} - \frac{4}{37} a$, $\frac{1}{37} a^{28} + \frac{15}{37} a^{25} + \frac{14}{37} a^{24} + \frac{4}{37} a^{23} + \frac{12}{37} a^{22} - \frac{12}{37} a^{21} - \frac{5}{37} a^{20} - \frac{15}{37} a^{19} - \frac{3}{37} a^{18} - \frac{2}{37} a^{17} + \frac{2}{37} a^{16} - \frac{1}{37} a^{15} - \frac{15}{37} a^{14} + \frac{5}{37} a^{13} + \frac{9}{37} a^{11} - \frac{6}{37} a^{9} + \frac{2}{37} a^{8} - \frac{6}{37} a^{7} - \frac{12}{37} a^{6} + \frac{14}{37} a^{5} - \frac{14}{37} a^{4} + \frac{9}{37} a^{3} + \frac{18}{37} a^{2} - \frac{14}{37} a$, $\frac{1}{6031} a^{29} - \frac{61}{6031} a^{28} + \frac{36}{6031} a^{27} + \frac{31}{6031} a^{26} + \frac{1284}{6031} a^{25} - \frac{2500}{6031} a^{24} + \frac{438}{6031} a^{23} + \frac{655}{6031} a^{22} + \frac{2724}{6031} a^{21} - \frac{1925}{6031} a^{20} + \frac{340}{6031} a^{19} - \frac{2195}{6031} a^{18} + \frac{1487}{6031} a^{17} + \frac{2828}{6031} a^{16} - \frac{1260}{6031} a^{15} - \frac{828}{6031} a^{14} - \frac{6}{163} a^{13} + \frac{11}{37} a^{12} + \frac{2359}{6031} a^{11} - \frac{192}{6031} a^{10} - \frac{2945}{6031} a^{9} + \frac{558}{6031} a^{8} - \frac{527}{6031} a^{7} - \frac{1302}{6031} a^{6} + \frac{10}{37} a^{5} + \frac{1231}{6031} a^{4} + \frac{1204}{6031} a^{3} + \frac{1019}{6031} a^{2} + \frac{13}{163} a + \frac{66}{163}$, $\frac{1}{6031} a^{30} + \frac{64}{6031} a^{28} - \frac{55}{6031} a^{27} + \frac{78}{6031} a^{26} - \frac{949}{6031} a^{25} - \frac{2428}{6031} a^{24} + \frac{967}{6031} a^{23} - \frac{2635}{6031} a^{22} + \frac{2054}{6031} a^{21} + \frac{1742}{6031} a^{20} - \frac{689}{6031} a^{19} + \frac{2393}{6031} a^{18} + \frac{1603}{6031} a^{17} + \frac{2380}{6031} a^{16} - \frac{1404}{6031} a^{15} - \frac{1667}{6031} a^{14} - \frac{1969}{6031} a^{13} - \frac{1879}{6031} a^{12} + \frac{430}{6031} a^{11} - \frac{1454}{6031} a^{10} + \frac{2006}{6031} a^{9} + \frac{585}{6031} a^{8} + \frac{944}{6031} a^{7} - \frac{2160}{6031} a^{6} - \frac{399}{6031} a^{5} - \frac{1130}{6031} a^{4} - \frac{1821}{6031} a^{3} + \frac{1189}{6031} a^{2} + \frac{1465}{6031} a - \frac{49}{163}$, $\frac{1}{14316273211} a^{31} - \frac{654124}{14316273211} a^{30} - \frac{1122515}{14316273211} a^{29} + \frac{74755052}{14316273211} a^{28} - \frac{56340525}{14316273211} a^{27} + \frac{111792436}{14316273211} a^{26} + \frac{4620168165}{14316273211} a^{25} + \frac{53165015}{14316273211} a^{24} + \frac{5002800816}{14316273211} a^{23} + \frac{2043541182}{14316273211} a^{22} - \frac{6084646706}{14316273211} a^{21} - \frac{2907438381}{14316273211} a^{20} - \frac{1640177559}{14316273211} a^{19} - \frac{2108120647}{14316273211} a^{18} - \frac{709713463}{14316273211} a^{17} - \frac{1632374245}{14316273211} a^{16} + \frac{5465792509}{14316273211} a^{15} + \frac{870404824}{14316273211} a^{14} - \frac{2837190853}{14316273211} a^{13} - \frac{1460611333}{14316273211} a^{12} - \frac{2252592871}{14316273211} a^{11} + \frac{3810038374}{14316273211} a^{10} + \frac{1403452155}{14316273211} a^{9} - \frac{2134205016}{14316273211} a^{8} + \frac{7119819189}{14316273211} a^{7} - \frac{216254735}{14316273211} a^{6} + \frac{3819257451}{14316273211} a^{5} - \frac{5604010156}{14316273211} a^{4} - \frac{1291543715}{14316273211} a^{3} + \frac{1953792494}{14316273211} a^{2} - \frac{4679778926}{14316273211} a - \frac{84110883}{386926303}$, $\frac{1}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{32} + \frac{450061145150778649804861764668608162368621266814984970073061827697597766781611136912434106872145978872610988945097114254466586265111378629362738443897330138194594283549571316291922923000654339913942593935582246759173616}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{31} + \frac{25327157718180738852197025867173577946699083028424780575098571393985913948036667502668454503068761168124082711569405389553156031582619617359785897106720386620406786838447355062525233461886200593401547271274027628637297420280572}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{30} - \frac{10359748139846901167726501989824884980767020113976641427831316575200501112041846368988738928715304453531805661873687060475222399997240514601077778054538614655049545347870819120221134834364743615683012218647427296070434277496516}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{29} + \frac{2154961438299510701081307122624801105058203669837090281070569813445753117160672435821868643852776051275938103656646543138496617292748692232067645184129704800876505564523877794548058959456517873919501481019706460245903726767045961}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{28} + \frac{1673553052272391297486038361282884661674739622943532381189112448312007293812372104665514259693246645079104112614681783994053958662819058730296925824031756589954059925369162050290055860404241431934150378000033258534381545550527997}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{27} - \frac{1463716533315840008273575278882352216297622428509614906934201638152021101184200679547789560262504583343743597732629784817457968893510987240132006261600455918257095533309879636465605969735274979745565685575234291401748848914574713}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{26} - \frac{138982420907784749285077754858687849468124046755533395223540259706779775870629161831120069235380907889245294587630477973734184629941061674081923805436021864713909099386720480853674995323765999632891923182766346006521404380560978738}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{25} + \frac{44784627251499187055336580622771130241918392435972715111947558306685863433292287821172841599889395030961921496516374471691592811194924219642113287190099054744461625960205722594492340728061547016678800123431968838583218116244280766}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{24} + \frac{86713334978839028464632792662975348885515369059140930584610033717428650180184544097347890936718310013948603932718481414825402614409090794886171701518389725650389913740242563923427772002976161206680229387794353333048192267205234566}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{23} + \frac{44605580528226778072329799321408638078892573994796738336693787416977181919231045541532713588068218708282476051345108282242911057644845763210805876972124208689479021890766711937943580480531011432712424013642039979824126585620320924}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{22} - \frac{63829578647448284926377395128310265668954502544210004294038515630113712883111755809882582362205887009910534324040067364243433763481492769104449729194292020825145988688965914589329917664205270845627023316188396544427285778530698638}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{21} - \frac{151285547052915686872830781577218885585575084872817517910742464486196018318095621166135281422795941956561445431402569222824647352994446292350560300765509913712048427409634416657490215354116688433235359322054951817692730576637513213}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{20} + \frac{65411813539817669623210526838271022510722397039739654747637707247730484571026236266925124213247090003702162686645138400101040163910907405190802596055742752210904315217339689461985995548778330248672261120132178633598047446331845941}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{19} + \frac{21826494697553252210923002952572085988266918751206851225328318771838248813190730463093125048838604514105957800273291926957863977237207579427050793097587058900868611316646574789986437491305560426628178447095105712872142640918356816}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{18} - \frac{110965180163332867462645271454331419511189620987449654718536300850838746183329742973949890646872395734887504432687439653613676269791071390513609104964659720579300973473473067140115289171274109443045919437660362939030452139302239537}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{17} + \frac{69024916410757492124810896336792325258397475758364949474711937804939871354305378257313064137464505280969689070277540530045144224763571724602809668967666428116306478451751608936258296987977761547839751503762505337273224273367216490}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{16} - \frac{133066127978601699424329258925835058063235008807541713079764296022589305280213167431806990095644124336167931629514929747842640561753124348306237116582763319800540534414979289618428152243712662168137441498373485784921312080632488689}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{15} + \frac{49442068552436977055591203493109547465389431735149523606600531162162637185204817731725665647553051499485916152882506776914045370383091013918557064231499273733776491505191659627822675110811022584211753243473518964504305206947453183}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{14} + \frac{26445382523335461220303281654739660976535145638480869874438775684278401146707208021341166340816772628640042876473413719284604292715061597787729988888502780740017108292277961048812292937275902004986755506102261908333025108533954917}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{13} - \frac{576309044643567344920132281259005449068669488543576239322156064362016558393254284306412378280353385322158501000752171867054076300482827418988180322032419082019199983847389724176259269175090675364565552779769335149920048091635529}{8356945486112973910555185812093972504041897843616849117387436957456426629564013044918820566330927076609736382966362298515879098247637507822239347496999342982833657198859563865224999878061057447651934883157801565362531401173540663} a^{12} + \frac{3037233700947844201606997811988101733647802846455855169052548395897415130603036606105199262324906412898822111416094360217680608808118428008017756355414936262400913596966897079479675329229228246706793055762991758817716958946481}{7684643064497354044549590552165344897719765892432920380329924383673926617140156638466992095689149336047922215119303254345192897958659636389960878231204505563656468334065756965313641560957803155382399052534698360176296986440863} a^{11} + \frac{120980174920792219492318151202887296712874326481362488465399989462505592318876068613333659876391824320426673103898912764200289795023728877766175141267691553493029407348011680261363129937476436506067818615549932915445719462219020903}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{10} - \frac{21010080129410497508814755155087341624019786739210273978100601660787348931794150414309319005355368088630301925795070972528373235256281418095162079275345007537360912843049095503451146981918045056385009149704951119451713485400024857}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{9} - \frac{34209762821050091918154843117009622218399829469977188095050583198895881159490100177085366009569326033693899159424168938902970384212898883701197764654691191126537093995519433071486547841792772532805912967191522748431870577538196061}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{8} + \frac{15853559253738717362269647328431898857502190608838780863857592511467959185202793447856479173809941455188338865652431137933774501838912654793643149531154001510055808560847949917756672363402917826121792727870957192513144411011648275}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{7} + \frac{102331561293077731485607832741737275240285792750577639536228555750186999675014467243762348797280833401329450759299731484026355438280733113643906593949997416508449269441976111893996764215513519308342392355393786991304121336509076951}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{6} + \frac{95092284596490668564553160716015107861204917179984104868088329330214211194698108389477606048907437995519056425499557234776600679298199475612989248533118972097957020468553835861780262865278405147266794696838198650389208438516445638}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{5} - \frac{93078394917537050590770012577577482330192383088183451194985556737366488360637051798598387048399059070674377156669781800506413283029493214467080615484418076766664407120340934311364093551223402014722481262060678827111771379948529139}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{4} + \frac{116157454296081559639840865150645807374202673668269952446826757288904912437517194092408974336621611877901649872851762003574474885754817447429383608652685427627052835435664534935761779571440277012231947122913279697298202161142803994}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{3} + \frac{131884278252142127754875911049335691433245094213251118279434038502965245355719428914756702781161882139019938701694905362359784897072778178558546177479443556412204736607342952478678404146760172513585225382441282135256235446037823963}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a^{2} - \frac{55992583906539575479551880722161801946637348723817115823020114960345117410314866336566752334859107787964471804727739623084374410546378546392050278045901919223088950177337444360235459329144924143800148355807178597949670598444526201}{309206982986180034690541875047476982649550220213823417343335167425887785293868482661996360954244301834560246169755405045087526635162587789422855857388975690364845316357803863013324995488259125563121590676838657918413661843421004531} a - \frac{919762803569472709840267324118363186851240889832433444358289371676061976758806537788156530579647226624340545266762782631151080117600817064550184751137341841833493900906109851856584894543587708503334182786527726734960844398926240}{8356945486112973910555185812093972504041897843616849117387436957456426629564013044918820566330927076609736382966362298515879098247637507822239347496999342982833657198859563865224999878061057447651934883157801565362531401173540663}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $32$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.758641.1, 11.11.1822837804551761449.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/5.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/7.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ R $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/23.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/37.1.0.1}{1} }^{33}$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
67Data not computed