↑

Properties

Label 33.33.8732677808...6409.1
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $13^{22}\cdot 67^{32}$
Root discriminant $326.11$
Ramified primes $13, 67$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![315890005221779, 1433024492530567, -3950367838190814, -22500329928610950, -12822438553586336, 34243335729709568, 27838156837825430, -24801640551393011, -21997467965527856, 11364071406107235, 9646685091663910, -3689093459713802, -2664350540682474, 878121079251490, 489240390400026, -152647487143611, -61242330267096, 19108503148571, 5283844260566, -1703147326109, -315033430920, 107287869164, 12909408240, -4739669905, -357729656, 144860331, 6485636, -2984153, -72192, 39392, 433, -300, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - x^32 - 300*x^31 + 433*x^30 + 39392*x^29 - 72192*x^28 - 2984153*x^27 + 6485636*x^26 + 144860331*x^25 - 357729656*x^24 - 4739669905*x^23 + 12909408240*x^22 + 107287869164*x^21 - 315033430920*x^20 - 1703147326109*x^19 + 5283844260566*x^18 + 19108503148571*x^17 - 61242330267096*x^16 - 152647487143611*x^15 + 489240390400026*x^14 + 878121079251490*x^13 - 2664350540682474*x^12 - 3689093459713802*x^11 + 9646685091663910*x^10 + 11364071406107235*x^9 - 21997467965527856*x^8 - 24801640551393011*x^7 + 27838156837825430*x^6 + 34243335729709568*x^5 - 12822438553586336*x^4 - 22500329928610950*x^3 - 3950367838190814*x^2 + 1433024492530567*x + 315890005221779)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - x^32 - 300*x^31 + 433*x^30 + 39392*x^29 - 72192*x^28 - 2984153*x^27 + 6485636*x^26 + 144860331*x^25 - 357729656*x^24 - 4739669905*x^23 + 12909408240*x^22 + 107287869164*x^21 - 315033430920*x^20 - 1703147326109*x^19 + 5283844260566*x^18 + 19108503148571*x^17 - 61242330267096*x^16 - 152647487143611*x^15 + 489240390400026*x^14 + 878121079251490*x^13 - 2664350540682474*x^12 - 3689093459713802*x^11 + 9646685091663910*x^10 + 11364071406107235*x^9 - 21997467965527856*x^8 - 24801640551393011*x^7 + 27838156837825430*x^6 + 34243335729709568*x^5 - 12822438553586336*x^4 - 22500329928610950*x^3 - 3950367838190814*x^2 + 1433024492530567*x + 315890005221779, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{33} - x^{32} - 300 x^{31} + 433 x^{30} + 39392 x^{29} - 72192 x^{28} - 2984153 x^{27} + 6485636 x^{26} + 144860331 x^{25} - 357729656 x^{24} - 4739669905 x^{23} + 12909408240 x^{22} + 107287869164 x^{21} - 315033430920 x^{20} - 1703147326109 x^{19} + 5283844260566 x^{18} + 19108503148571 x^{17} - 61242330267096 x^{16} - 152647487143611 x^{15} + 489240390400026 x^{14} + 878121079251490 x^{13} - 2664350540682474 x^{12} - 3689093459713802 x^{11} + 9646685091663910 x^{10} + 11364071406107235 x^{9} - 21997467965527856 x^{8} - 24801640551393011 x^{7} + 27838156837825430 x^{6} + 34243335729709568 x^{5} - 12822438553586336 x^{4} - 22500329928610950 x^{3} - 3950367838190814 x^{2} + 1433024492530567 x + 315890005221779 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $33$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[33, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(87326778082083662495218352588640880811056018195821008532012013421938001715942636409=13^{22}\cdot 67^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $326.11$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(871=13\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{871}(256,·)$, $\chi_{871}(1,·)$, $\chi_{871}(131,·)$, $\chi_{871}(516,·)$, $\chi_{871}(523,·)$, $\chi_{871}(14,·)$, $\chi_{871}(16,·)$, $\chi_{871}(529,·)$, $\chi_{871}(659,·)$, $\chi_{871}(601,·)$, $\chi_{871}(640,·)$, $\chi_{871}(417,·)$, $\chi_{871}(35,·)$, $\chi_{871}(40,·)$, $\chi_{871}(560,·)$, $\chi_{871}(438,·)$, $\chi_{871}(575,·)$, $\chi_{871}(196,·)$, $\chi_{871}(612,·)$, $\chi_{871}(419,·)$, $\chi_{871}(341,·)$, $\chi_{871}(729,·)$, $\chi_{871}(92,·)$, $\chi_{871}(607,·)$, $\chi_{871}(224,·)$, $\chi_{871}(354,·)$, $\chi_{871}(100,·)$, $\chi_{871}(230,·)$, $\chi_{871}(490,·)$, $\chi_{871}(625,·)$, $\chi_{871}(211,·)$, $\chi_{871}(250,·)$, $\chi_{871}(763,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $\frac{1}{29} a^{20} - \frac{9}{29} a^{19} + \frac{11}{29} a^{18} + \frac{5}{29} a^{17} + \frac{9}{29} a^{16} - \frac{12}{29} a^{15} - \frac{11}{29} a^{14} + \frac{10}{29} a^{13} - \frac{8}{29} a^{12} - \frac{11}{29} a^{11} - \frac{11}{29} a^{10} - \frac{2}{29} a^{8} + \frac{5}{29} a^{7} - \frac{7}{29} a^{6} - \frac{12}{29} a^{5} - \frac{9}{29} a^{4} + \frac{4}{29} a^{2} - \frac{3}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{21} - \frac{12}{29} a^{19} - \frac{12}{29} a^{18} - \frac{4}{29} a^{17} + \frac{11}{29} a^{16} - \frac{3}{29} a^{15} - \frac{2}{29} a^{14} - \frac{5}{29} a^{13} + \frac{4}{29} a^{12} + \frac{6}{29} a^{11} - \frac{12}{29} a^{10} - \frac{2}{29} a^{9} - \frac{13}{29} a^{8} + \frac{9}{29} a^{7} + \frac{12}{29} a^{6} - \frac{1}{29} a^{5} + \frac{6}{29} a^{4} + \frac{4}{29} a^{3} + \frac{4}{29} a^{2} + \frac{2}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{22} - \frac{4}{29} a^{19} + \frac{12}{29} a^{18} + \frac{13}{29} a^{17} - \frac{11}{29} a^{16} - \frac{1}{29} a^{15} + \frac{8}{29} a^{14} + \frac{8}{29} a^{13} - \frac{3}{29} a^{12} + \frac{1}{29} a^{11} + \frac{11}{29} a^{10} - \frac{13}{29} a^{9} + \frac{14}{29} a^{8} + \frac{14}{29} a^{7} + \frac{2}{29} a^{6} + \frac{7}{29} a^{5} + \frac{12}{29} a^{4} + \frac{4}{29} a^{3} - \frac{8}{29} a^{2} - \frac{7}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{23} + \frac{5}{29} a^{19} - \frac{1}{29} a^{18} + \frac{9}{29} a^{17} + \frac{6}{29} a^{16} - \frac{11}{29} a^{15} - \frac{7}{29} a^{14} + \frac{8}{29} a^{13} - \frac{2}{29} a^{12} - \frac{4}{29} a^{11} + \frac{1}{29} a^{10} + \frac{14}{29} a^{9} + \frac{6}{29} a^{8} - \frac{7}{29} a^{7} + \frac{8}{29} a^{6} - \frac{7}{29} a^{5} - \frac{3}{29} a^{4} - \frac{8}{29} a^{3} + \frac{9}{29} a^{2} - \frac{12}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{24} - \frac{14}{29} a^{19} + \frac{12}{29} a^{18} + \frac{10}{29} a^{17} + \frac{2}{29} a^{16} - \frac{5}{29} a^{15} + \frac{5}{29} a^{14} + \frac{6}{29} a^{13} + \frac{7}{29} a^{12} - \frac{2}{29} a^{11} + \frac{11}{29} a^{10} + \frac{6}{29} a^{9} + \frac{3}{29} a^{8} + \frac{12}{29} a^{7} - \frac{1}{29} a^{6} - \frac{1}{29} a^{5} + \frac{8}{29} a^{4} + \frac{9}{29} a^{3} - \frac{3}{29} a^{2} - \frac{14}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{25} + \frac{2}{29} a^{19} - \frac{10}{29} a^{18} + \frac{14}{29} a^{17} + \frac{5}{29} a^{16} + \frac{11}{29} a^{15} - \frac{3}{29} a^{14} + \frac{2}{29} a^{13} + \frac{2}{29} a^{12} + \frac{2}{29} a^{11} - \frac{3}{29} a^{10} + \frac{3}{29} a^{9} + \frac{13}{29} a^{8} + \frac{11}{29} a^{7} - \frac{12}{29} a^{6} + \frac{14}{29} a^{5} - \frac{1}{29} a^{4} - \frac{3}{29} a^{3} + \frac{13}{29} a^{2} - \frac{13}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{26} + \frac{8}{29} a^{19} - \frac{8}{29} a^{18} - \frac{5}{29} a^{17} - \frac{7}{29} a^{16} - \frac{8}{29} a^{15} - \frac{5}{29} a^{14} + \frac{11}{29} a^{13} - \frac{11}{29} a^{12} - \frac{10}{29} a^{11} - \frac{4}{29} a^{10} + \frac{13}{29} a^{9} - \frac{14}{29} a^{8} + \frac{7}{29} a^{7} - \frac{1}{29} a^{6} - \frac{6}{29} a^{5} - \frac{14}{29} a^{4} + \frac{13}{29} a^{3} + \frac{8}{29} a^{2} + \frac{6}{29} a$, $\frac{1}{29} a^{27} + \frac{6}{29} a^{19} - \frac{6}{29} a^{18} + \frac{11}{29} a^{17} + \frac{7}{29} a^{16} + \frac{4}{29} a^{15} + \frac{12}{29} a^{14} - \frac{4}{29} a^{13} - \frac{4}{29} a^{12} - \frac{3}{29} a^{11} + \frac{14}{29} a^{10} - \frac{14}{29} a^{9} - \frac{6}{29} a^{8} - \frac{12}{29} a^{7} - \frac{8}{29} a^{6} - \frac{5}{29} a^{5} - \frac{2}{29} a^{4} + \frac{8}{29} a^{3} + \frac{3}{29} a^{2} - \frac{5}{29} a$, $\frac{1}{81577} a^{28} - \frac{54}{81577} a^{27} - \frac{505}{81577} a^{26} - \frac{971}{81577} a^{25} - \frac{540}{81577} a^{24} - \frac{1082}{81577} a^{23} + \frac{44}{81577} a^{22} - \frac{1258}{81577} a^{21} + \frac{1306}{81577} a^{20} - \frac{22054}{81577} a^{19} - \frac{162}{81577} a^{18} + \frac{17587}{81577} a^{17} - \frac{16035}{81577} a^{16} - \frac{28067}{81577} a^{15} - \frac{30801}{81577} a^{14} - \frac{22768}{81577} a^{13} + \frac{38498}{81577} a^{12} - \frac{14620}{81577} a^{11} + \frac{1263}{81577} a^{10} + \frac{46}{2813} a^{9} + \frac{34541}{81577} a^{8} + \frac{9644}{81577} a^{7} + \frac{7156}{81577} a^{6} + \frac{36013}{81577} a^{5} + \frac{34792}{81577} a^{4} + \frac{39809}{81577} a^{3} - \frac{6021}{81577} a^{2} - \frac{15728}{81577} a - \frac{1178}{2813}$, $\frac{1}{81577} a^{29} - \frac{608}{81577} a^{27} - \frac{111}{81577} a^{26} + \frac{473}{81577} a^{25} + \frac{701}{81577} a^{24} + \frac{689}{81577} a^{23} + \frac{1118}{81577} a^{22} + \frac{886}{81577} a^{21} + \frac{649}{81577} a^{20} + \frac{26951}{81577} a^{19} + \frac{3213}{81577} a^{18} + \frac{27877}{81577} a^{17} + \frac{6203}{81577} a^{16} + \frac{26048}{81577} a^{15} - \frac{26352}{81577} a^{14} + \frac{35494}{81577} a^{13} - \frac{8909}{81577} a^{12} - \frac{11829}{81577} a^{11} + \frac{32967}{81577} a^{10} + \frac{2496}{81577} a^{9} + \frac{29530}{81577} a^{8} - \frac{26229}{81577} a^{7} + \frac{11739}{81577} a^{6} - \frac{3671}{81577} a^{5} + \frac{5737}{81577} a^{4} + \frac{159}{81577} a^{3} - \frac{37058}{81577} a^{2} - \frac{3005}{81577} a + \frac{1087}{2813}$, $\frac{1}{81577} a^{30} + \frac{813}{81577} a^{27} + \frac{50}{81577} a^{26} + \frac{1063}{81577} a^{25} - \frac{1323}{81577} a^{24} - \frac{1309}{81577} a^{23} - \frac{492}{81577} a^{22} + \frac{921}{81577} a^{21} - \frac{397}{81577} a^{20} + \frac{26456}{81577} a^{19} - \frac{25611}{81577} a^{18} + \frac{20951}{81577} a^{17} + \frac{12561}{81577} a^{16} + \frac{31643}{81577} a^{15} + \frac{26188}{81577} a^{14} + \frac{24676}{81577} a^{13} + \frac{24551}{81577} a^{12} - \frac{28799}{81577} a^{11} - \frac{5988}{81577} a^{10} + \frac{256}{841} a^{9} - \frac{21533}{81577} a^{8} + \frac{1747}{81577} a^{7} - \frac{4534}{81577} a^{6} + \frac{84}{2813} a^{5} + \frac{22439}{81577} a^{4} - \frac{36238}{81577} a^{3} - \frac{431}{2813} a^{2} + \frac{38725}{81577} a + \frac{1091}{2813}$, $\frac{1}{81577} a^{31} - \frac{1056}{81577} a^{27} + \frac{930}{81577} a^{26} + \frac{460}{81577} a^{25} - \frac{1117}{81577} a^{24} - \frac{1295}{81577} a^{23} - \frac{1095}{81577} a^{22} + \frac{1238}{81577} a^{21} - \frac{138}{81577} a^{20} + \frac{22050}{81577} a^{19} + \frac{755}{81577} a^{18} - \frac{18134}{81577} a^{17} - \frac{20791}{81577} a^{16} + \frac{31229}{81577} a^{15} + \frac{556}{2813} a^{14} - \frac{8361}{81577} a^{13} + \frac{28838}{81577} a^{12} - \frac{2040}{81577} a^{11} + \frac{24758}{81577} a^{10} + \frac{2247}{81577} a^{9} + \frac{24597}{81577} a^{8} - \frac{33405}{81577} a^{7} - \frac{12173}{81577} a^{6} + \frac{18761}{81577} a^{5} + \frac{4776}{81577} a^{4} - \frac{22090}{81577} a^{3} + \frac{33552}{81577} a^{2} + \frac{2475}{81577} a + \frac{1294}{2813}$, $\frac{1}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{32} + \frac{8995410232832782199000738462168129959657203969039038882756299328996331011241007043737551663112778673317036502270581807420349104343343315864809716046350783829835475148148601155221694125979461242820865457515040629}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{31} - \frac{2257678456636758919380596077154011735144845219166054620369557615737009342809448958221054885493199213569523195301125898736321953626658375507170987775891679395427711303951630913436501931496062855415748535798172077}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{30} + \frac{17413476622736337654456786207259077109154150829950894320984974517836573874845236992154700133687278323733359672904576923541416040567307351553071768091195959047858952613351069045738889860551499989425701684250003532}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{29} + \frac{15275376548301347991946323721928204489025622503371638121572262229901114904251901879820484552362174720290366200962957727254527679269856293317858490349912811823497911007049299912524344629577269808521304843264331554}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{28} + \frac{49619983877921783871183452149836569226206860324619009173542270242598757971128590471668312531230150193886763943881252987152421754295111847927453591638179833789844859375709774350239120410488423942551742065588902502998}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{27} + \frac{10964933398146422815470063461798045450312644931176894904506471467766028537623675678016030797210924769448423418297198710731996990270461085384452120724146043073609402855704201313412512212830580064979167536658937318182}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{26} - \frac{19894322752113383820708590142280098527180287521798619949154263076373961923386041678830397284331364830044535918831065931500361424975062387667710928814403280673689634636565518701237939915196207390067015995932892232864}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{25} + \frac{46686825174081899488548296686477686574840181182733547758868246165732423523187994508687210244538558021106584498641220513672515112577377217128542359352899432577309548999316850516958419574122908257302380380781139871092}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{24} - \frac{37510511186477506397157165271449186220190247882806770548414714542162768787016304520110839237486985352998348133252089232498625537958187145468027357280656915721537020272746768860620284832482744506642982873967091019984}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{23} + \frac{15967432295146190007196366181343016941885009312829034230994079001412669197247024212393935269959699198833841375080779847724727567900726576082427237663426453691771861221740976759811616866304429351331856802066025881714}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{22} - \frac{17842984793877826127804443842729816102525612040361058821892599664667037869156036731131610242324093853081219869431604241944518088832875830465475404542781426627079187411968026969685410384237106781209644679283939561604}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{21} + \frac{8774022923396974099265024162334086697861918978115948304891992738137226275527523837104032511700753161518247664896599813807734185646843479861382273283705181971267647653395988421232564486301818541134888576994009345311}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{20} + \frac{1155904914182647001999699811466976178528060614993515347993848101319956274854635327891618832056882810579050071804044642069754130366804878809894165447950296653307457648915202054294152303376730026386655546783817600292933}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{19} - \frac{1567633119192997021163392937576053800207196258680176933621962026244475926661885809366572842007388340607933255807268231990884737729626111657192383797048603920593626505939628483910302258868635766056240117470621397402382}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{18} - \frac{1555841842023797692139797318203148669636964031267206504644548433380488223466482392848732943379781190940330519338016253120502956831396462578966020512188686039193349727668217053078111181663956424334347563835430657312901}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{17} + \frac{977550534420478668383353247436354068273645410775162111834223684798002995191631181485942944886373928410364685997863277106480041913454705137527423351837911961367329063124920396857190202838244383680179716230921680665494}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{16} - \frac{4885403417850258345406254205038202245295958734140469264917042010441132322908271918993780091497659445774972043293766243789390682298680841394061004954833398455671663718989516551221723378090967090082581790906875699537}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{15} - \frac{645031661187146912827619287892338518945167178710629085166094290837164600037322196813989795387624633247708598126091928194749325655763333381457180316865873370984451796841209219467949428053029135580240201023048436984075}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{14} - \frac{1480881602910447814867027869658060003212026680745094598438996671240296190862347458423599014339281900263743756989535179368967286013004988541235318226696240769309099927788665775109043123874607445148813581262924570072273}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{13} + \frac{464602989422930696622981282997259710847724189182907146038259812252883473773646529252869212374517420492520332507486184145724058822567112458907699031352008897454371875215486609763309818992805402344088754496320054945036}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{12} + \frac{5271810621084303092597475479652401534129220166868716884965760811454904461129127806727111979669144039676750524835747534208149578337547661468032351566682418412155051676299460778622793440800793954404086510042645558486}{109499534040058540954157927858685379408724693879887323371282280017717806336539989034830938248720066950565389160186053725771054343483852332918347896463241382217030235921863921953462632817377818135269523723508950201661} a^{11} + \frac{201822152083435426139186896183305742405232892314011363176306006845237934713534557388012137737469260648418109004431216574348976898157176770189160572589124571146883289006641970910867606988934903242603234188053406355214}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{10} + \frac{833415591876729561565947497896460710198526959418105247087536378824155318822844455711656125356896035023253563730869745436757751659480985604860045818561133411641268029055413612898993786760710701488411305618722917588960}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{9} + \frac{256123449788197159537369271654510660835245783998478084662126052939387548263617680003763615551449786511195611827234359312077848033351088614470776410947686067361015406557994075700928032620190245967192554229590607628761}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{8} + \frac{369845729775965063984103337244221140130783975543846705347353987870335769337102271128622031421313021863664872992520197147583860885186905459449202552809762564784241487475529698467136974883336141124727573819385765671657}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{7} + \frac{587064801196943558582157634511562177750747904715692243304475430942361035189172473362699117956409730763505692619027217775633114428110209620865271007234579445983823378967369470555914116947436598636289114060437787408948}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{6} - \frac{317475052451269821627575049894516763836401139562174529129143368521613495028126494358136323443153259006596882423240913984440021162562400360865723782389501048484954612879168060245277519978947658094711414010464164476908}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{5} + \frac{671047646165733205796309609079229951447647653482523297952485201683844976360931040087417905243469235843951112072145018795819500988999151127773601697257274628891674020170622533121734940666811597110286160898313535680637}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{4} - \frac{34482335462134199632043126685880325821755776566882122251547158224054346458595276003401202509900701094614759687811179272281901770525920517683956680413428322314744891703975662252715787254037308534636117943731553443277}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{3} - \frac{370372716509495929974067831293045033887177024521510713240565066120729236067347003380145390805344759639459033768016957464612845912370781866449114462320823359223855919892741272512379386556605490966826898595960256567292}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a^{2} + \frac{648171232529763076804509646892120687536701818670489026962532032943506444987100201448072774187892843587891127968597883050317549329613338612793703252540887726619955911761630226851514780706987246447777238727844481338839}{3175486487161697687670579907901876002853016122516732377767186120513816383759659682010097209212881941566396285645395558047360575961031717654632088997434000084293876841734053736650416351703956725922816187981759555848169} a + \frac{48637978903592430810552143413962295495329465901971378142755902698195489961414959611556100674316022720092240481019099997942850673056375829095391269838037862954112383669278386278977521060712746759083726920318218194560}{109499534040058540954157927858685379408724693879887323371282280017717806336539989034830938248720066950565389160186053725771054343483852332918347896463241382217030235921863921953462632817377818135269523723508950201661}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $32$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.758641.2, 11.11.1822837804551761449.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/5.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/29.1.0.1}{1} }^{33}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{11}$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
67Data not computed