Properties

Label 33.33.365...601.1
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $3.658\times 10^{73}$
Root discriminant \(169.51\)
Ramified prime $199$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097)
 
gp: K = bnfinit(y^33 - y^32 - 96*y^31 + 217*y^30 + 3795*y^29 - 13403*y^28 - 74197*y^27 + 394231*y^26 + 599821*y^25 - 6350170*y^24 + 2832807*y^23 + 56803105*y^22 - 104532088*y^21 - 244229488*y^20 + 932758015*y^19 + 5618002*y^18 - 3890173018*y^17 + 4529747891*y^16 + 6495127532*y^15 - 18110944809*y^14 + 4574986912*y^13 + 26694143816*y^12 - 29645825157*y^11 - 6037403432*y^10 + 30417132332*y^9 - 15468969217*y^8 - 6737165737*y^7 + 8515927088*y^6 - 1017730658*y^5 - 1409177433*y^4 + 395068072*y^3 + 75602260*y^2 - 21210003*y - 2947097, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097)
 

\( x^{33} - x^{32} - 96 x^{31} + 217 x^{30} + 3795 x^{29} - 13403 x^{28} - 74197 x^{27} + 394231 x^{26} + 599821 x^{25} - 6350170 x^{24} + 2832807 x^{23} + 56803105 x^{22} + \cdots - 2947097 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $33$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[33, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(36584611296554742180833097810429342639777502523008874222975105176339833601\) \(\medspace = 199^{32}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(169.51\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $199^{32/33}\approx 169.50825847800346$
Ramified primes:   \(199\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $33$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(199\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{199}(1,·)$, $\chi_{199}(132,·)$, $\chi_{199}(5,·)$, $\chi_{199}(8,·)$, $\chi_{199}(139,·)$, $\chi_{199}(140,·)$, $\chi_{199}(144,·)$, $\chi_{199}(18,·)$, $\chi_{199}(25,·)$, $\chi_{199}(28,·)$, $\chi_{199}(157,·)$, $\chi_{199}(40,·)$, $\chi_{199}(172,·)$, $\chi_{199}(52,·)$, $\chi_{199}(182,·)$, $\chi_{199}(187,·)$, $\chi_{199}(188,·)$, $\chi_{199}(61,·)$, $\chi_{199}(62,·)$, $\chi_{199}(63,·)$, $\chi_{199}(64,·)$, $\chi_{199}(90,·)$, $\chi_{199}(92,·)$, $\chi_{199}(98,·)$, $\chi_{199}(103,·)$, $\chi_{199}(106,·)$, $\chi_{199}(111,·)$, $\chi_{199}(114,·)$, $\chi_{199}(116,·)$, $\chi_{199}(117,·)$, $\chi_{199}(121,·)$, $\chi_{199}(123,·)$, $\chi_{199}(125,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{107}a^{28}-\frac{11}{107}a^{27}-\frac{43}{107}a^{26}-\frac{11}{107}a^{25}-\frac{25}{107}a^{24}+\frac{30}{107}a^{23}-\frac{12}{107}a^{22}-\frac{50}{107}a^{21}-\frac{37}{107}a^{19}+\frac{31}{107}a^{18}+\frac{33}{107}a^{16}+\frac{39}{107}a^{15}+\frac{9}{107}a^{14}+\frac{28}{107}a^{13}-\frac{34}{107}a^{12}-\frac{4}{107}a^{11}+\frac{13}{107}a^{10}-\frac{51}{107}a^{9}+\frac{4}{107}a^{8}+\frac{27}{107}a^{7}+\frac{45}{107}a^{6}-\frac{45}{107}a^{5}-\frac{14}{107}a^{4}+\frac{48}{107}a^{3}-\frac{42}{107}a^{2}+\frac{37}{107}a+\frac{34}{107}$, $\frac{1}{107}a^{29}+\frac{50}{107}a^{27}+\frac{51}{107}a^{26}-\frac{39}{107}a^{25}-\frac{31}{107}a^{24}-\frac{3}{107}a^{23}+\frac{32}{107}a^{22}-\frac{15}{107}a^{21}-\frac{37}{107}a^{20}+\frac{52}{107}a^{19}+\frac{20}{107}a^{18}+\frac{33}{107}a^{17}-\frac{26}{107}a^{16}+\frac{10}{107}a^{15}+\frac{20}{107}a^{14}-\frac{47}{107}a^{13}+\frac{50}{107}a^{12}-\frac{31}{107}a^{11}-\frac{15}{107}a^{10}-\frac{22}{107}a^{9}-\frac{36}{107}a^{8}+\frac{21}{107}a^{7}+\frac{22}{107}a^{6}+\frac{26}{107}a^{5}+\frac{1}{107}a^{4}-\frac{49}{107}a^{3}+\frac{3}{107}a^{2}+\frac{13}{107}a+\frac{53}{107}$, $\frac{1}{107}a^{30}-\frac{41}{107}a^{27}-\frac{29}{107}a^{26}-\frac{16}{107}a^{25}-\frac{37}{107}a^{24}+\frac{30}{107}a^{23}+\frac{50}{107}a^{22}+\frac{2}{107}a^{21}+\frac{52}{107}a^{20}+\frac{51}{107}a^{19}-\frac{19}{107}a^{18}-\frac{26}{107}a^{17}-\frac{35}{107}a^{16}-\frac{4}{107}a^{15}+\frac{38}{107}a^{14}+\frac{41}{107}a^{13}-\frac{43}{107}a^{12}-\frac{29}{107}a^{11}-\frac{30}{107}a^{10}+\frac{53}{107}a^{9}+\frac{35}{107}a^{8}-\frac{44}{107}a^{7}+\frac{23}{107}a^{6}+\frac{4}{107}a^{5}+\frac{9}{107}a^{4}-\frac{43}{107}a^{3}-\frac{27}{107}a^{2}+\frac{22}{107}a+\frac{12}{107}$, $\frac{1}{85279}a^{31}+\frac{200}{85279}a^{30}-\frac{310}{85279}a^{29}-\frac{350}{85279}a^{28}-\frac{1}{797}a^{27}+\frac{38955}{85279}a^{26}+\frac{35792}{85279}a^{25}-\frac{19460}{85279}a^{24}+\frac{21143}{85279}a^{23}-\frac{7552}{85279}a^{22}+\frac{18198}{85279}a^{21}-\frac{4936}{85279}a^{20}+\frac{40911}{85279}a^{19}-\frac{16288}{85279}a^{18}+\frac{34825}{85279}a^{17}-\frac{26368}{85279}a^{16}-\frac{23938}{85279}a^{15}+\frac{265}{85279}a^{14}-\frac{11498}{85279}a^{13}+\frac{1678}{85279}a^{12}+\frac{1913}{85279}a^{11}+\frac{30745}{85279}a^{10}-\frac{4236}{85279}a^{9}-\frac{18537}{85279}a^{8}+\frac{22380}{85279}a^{7}+\frac{33206}{85279}a^{6}-\frac{9075}{85279}a^{5}-\frac{41842}{85279}a^{4}-\frac{39299}{85279}a^{3}-\frac{40303}{85279}a^{2}+\frac{25329}{85279}a-\frac{5597}{85279}$, $\frac{1}{10\!\cdots\!27}a^{32}-\frac{43\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{32\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{29}-\frac{37\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{82\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!27}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{19}-\frac{51\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{12}-\frac{47\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a+\frac{36\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $32$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{13\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{50\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{70\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{69\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a+\frac{18\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{11\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{43\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{97\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{69\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{23\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a+\frac{15\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{13\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{54\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{50\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{81\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{53\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{83\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{30\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a+\frac{20\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{66\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{76\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{61\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{25\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{69\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{63\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a+\frac{89\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{13\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{50\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{72\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{58\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{35\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{50\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{81\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{85\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a+\frac{18\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{26\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{74\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{72\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{56\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a+\frac{39\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{28\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{20\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{60\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{79\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{39\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a+\frac{47\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{25\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!27}a^{30}-\frac{66\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{96\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{97\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{92\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a+\frac{30\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{25\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{19\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{19\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{75\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{42\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a+\frac{48\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{30\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{32\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{67\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{81\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a+\frac{42\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{53\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{53\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{49\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{29\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{70\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{58\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a+\frac{77\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{35\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{38\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{78\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{19\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{80\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{59\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{21\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{46\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{72\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{38\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a+\frac{50\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{13\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{14\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{52\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{75\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{61\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{89\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{80\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a+\frac{19\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{70\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{86\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{65\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{68\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{26\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{60\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{74\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{72\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{70\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a+\frac{92\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{57\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{68\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{71\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{28\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{49\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{44\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{58\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a+\frac{77\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{19\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{74\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{99\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{79\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{85\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{98\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a+\frac{26\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{94\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{88\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{80\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{46\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{80\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{32\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{96\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{65\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{17\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a+\frac{12\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{34\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{33\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{32\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{94\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{27\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{81\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{30\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{38\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{50\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{75\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a+\frac{52\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{15\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{82\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{63\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{89\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{40\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{93\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{99\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{88\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a+\frac{21\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{54\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{32}-\frac{27\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{88\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{47\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{56\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{88\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a+\frac{14\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{10\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{98\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{40\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{54\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{90\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{43\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{63\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{63\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{53\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{76\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a+\frac{14\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{39\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{38\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{36\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{91\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{33\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{55\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{84\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{45\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a+\frac{58\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{10\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{99\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{40\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{90\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!69}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{60\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{41\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{66\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!27}a+\frac{15\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{11\!\cdots\!66}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{44\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{57\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{98\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{46\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{69\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{50\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{90\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{88\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!42}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a+\frac{15\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{54\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{54\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{51\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{31\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{46\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{57\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!80}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{74\!\cdots\!40}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a+\frac{80\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{26\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{28\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{59\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{70\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{98\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{34\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!02}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{53\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{81\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a+\frac{37\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{61\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a^{32}-\frac{31\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{69\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{70\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{98\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{88\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!27}a+\frac{38\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{19\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!55}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{76\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!46}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!60}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{89\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{75\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!16}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!98}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!36}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{41\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a+\frac{28\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}$, $a-2$, $\frac{32\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{33\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{84\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{72\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{34\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{88\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!90}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{43\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!78}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!27}a+\frac{47\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{20\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{42\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{76\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!44}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{89\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{74\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!68}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{40\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a+\frac{28\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!27}$, $\frac{17\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!27}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!27}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!24}{10\!\cdots\!27}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!27}a^{29}+\frac{66\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!27}a^{28}-\frac{93\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!27}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!27}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!27}a^{24}-\frac{71\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!27}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!27}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!94}{10\!\cdots\!27}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!27}a^{20}-\frac{46\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!27}a^{19}+\frac{64\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!28}{10\!\cdots\!27}a^{17}-\frac{38\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!27}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!27}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!27}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!38}{10\!\cdots\!27}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!27}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!27}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!58}{10\!\cdots\!27}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!27}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!27}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!27}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!34}{10\!\cdots\!27}a^{5}+\frac{99\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!27}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!27}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!67}{10\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!37}{10\!\cdots\!27}a+\frac{24\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!27}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 194708110268326050000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{33}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 194708110268326050000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{36584611296554742180833097810429342639777502523008874222975105176339833601}}\cr\approx \mathstrut & 0.138259404012701 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^33 - x^32 - 96*x^31 + 217*x^30 + 3795*x^29 - 13403*x^28 - 74197*x^27 + 394231*x^26 + 599821*x^25 - 6350170*x^24 + 2832807*x^23 + 56803105*x^22 - 104532088*x^21 - 244229488*x^20 + 932758015*x^19 + 5618002*x^18 - 3890173018*x^17 + 4529747891*x^16 + 6495127532*x^15 - 18110944809*x^14 + 4574986912*x^13 + 26694143816*x^12 - 29645825157*x^11 - 6037403432*x^10 + 30417132332*x^9 - 15468969217*x^8 - 6737165737*x^7 + 8515927088*x^6 - 1017730658*x^5 - 1409177433*x^4 + 395068072*x^3 + 75602260*x^2 - 21210003*x - 2947097);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.39601.1, 11.11.97393677359695041798001.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $33$ $33$ ${\href{/padicField/5.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/padicField/11.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/padicField/17.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/padicField/19.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ $33$ ${\href{/padicField/59.11.0.1}{11} }^{3}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(199\) Copy content Toggle raw display Deg $33$$33$$1$$32$