Number field 33.33.277966181338944111003326058293667039541136678070715028736001.1

• Label: 33.33.277...001.1
• Degree: $33$
• Signature: $[33, 0]$
• Discriminant: $2.780\times 10^{59}$
• Root discriminant: \(63.29\)
• Ramified primes: $7,23$
• Class number: $1$ (GRH)
• Class group: trivial (GRH)
• Galois group: $C_{33}$ (as 33T1)

Normalized defining polynomial

x^33 - x^32 - 52*x^31 + 47*x^30 + 1159*x^29 - 945*x^28 - 14589*x^27 + 10741*x^26 + 115099*x^25 - 76770*x^24 - 597580*x^23 + 362822*x^22 + 2088771*x^21 - 1160546*x^20 - 4956062*x^19 + 2531215*x^18 + 7980244*x^17 - 3753538*x^16 - 8674935*x^15 + 3750773*x^14 + 6304834*x^13 - 2497276*x^12 - 3006793*x^11 + 1087323*x^10 + 908614*x^9 - 298518*x^8 - 163557*x^7 + 48112*x^6 + 15777*x^5 - 3955*x^4 - 691*x^3 + 126*x^2 + 12*x - 1

Invariants

Degree:		$33$
Signature:		$[33, 0]$
Discriminant:		\(277966181338944111003326058293667039541136678070715028736001\) \(\medspace = 7^{22}\cdot 23^{30}\)
Root discriminant:		\(63.29\)
Galois root discriminant:		$7^{2/3}23^{10/11}\approx 63.289707672053964$
Ramified primes:		\(7\), \(23\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$33$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(161=7\cdot 23\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{161}(128,·)$, $\chi_{161}(1,·)$, $\chi_{161}(2,·)$, $\chi_{161}(4,·)$, $\chi_{161}(8,·)$, $\chi_{161}(9,·)$, $\chi_{161}(141,·)$, $\chi_{161}(142,·)$, $\chi_{161}(16,·)$, $\chi_{161}(18,·)$, $\chi_{161}(151,·)$, $\chi_{161}(25,·)$, $\chi_{161}(156,·)$, $\chi_{161}(29,·)$, $\chi_{161}(32,·)$, $\chi_{161}(36,·)$, $\chi_{161}(39,·)$, $\chi_{161}(50,·)$, $\chi_{161}(58,·)$, $\chi_{161}(64,·)$, $\chi_{161}(71,·)$, $\chi_{161}(72,·)$, $\chi_{161}(78,·)$, $\chi_{161}(81,·)$, $\chi_{161}(85,·)$, $\chi_{161}(93,·)$, $\chi_{161}(95,·)$, $\chi_{161}(144,·)$, $\chi_{161}(100,·)$, $\chi_{161}(116,·)$, $\chi_{161}(121,·)$, $\chi_{161}(123,·)$, $\chi_{161}(127,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{461}a^{31}+\frac{83}{461}a^{30}+\frac{141}{461}a^{29}+\frac{129}{461}a^{28}-\frac{177}{461}a^{27}-\frac{113}{461}a^{26}-\frac{209}{461}a^{25}-\frac{55}{461}a^{24}-\frac{3}{461}a^{23}-\frac{139}{461}a^{22}-\frac{222}{461}a^{21}-\frac{196}{461}a^{20}-\frac{115}{461}a^{19}-\frac{106}{461}a^{18}+\frac{38}{461}a^{17}+\frac{165}{461}a^{16}-\frac{225}{461}a^{14}+\frac{164}{461}a^{13}-\frac{151}{461}a^{12}+\frac{137}{461}a^{11}+\frac{153}{461}a^{10}-\frac{15}{461}a^{9}+\frac{10}{461}a^{8}+\frac{166}{461}a^{7}-\frac{160}{461}a^{6}+\frac{14}{461}a^{5}-\frac{132}{461}a^{4}+\frac{139}{461}a^{3}-\frac{89}{461}a^{2}+\frac{134}{461}a+\frac{200}{461}$, $\frac{1}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{26\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{92\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{28\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{27}+\frac{50\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{71\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!24}{68\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{53\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{51\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{76\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{90\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{97\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a+\frac{72\!\cdots\!46}{68\!\cdots\!13}$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$32$
Torsion generator:		\( -1 \)  (order $2$)
Fundamental units:		$\frac{11\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{98\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{59\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{88\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{97\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a+\frac{62\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{11\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{98\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{59\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{88\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{97\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{66\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{83\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{25\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{60\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{69\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{97\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{74\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a+\frac{94\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{11\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{42\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{58\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!08}{68\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{96\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{68\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{87\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a+\frac{89\!\cdots\!76}{68\!\cdots\!13}$, $\frac{11\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{59\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{61\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{25\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a+\frac{10\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{57\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{14\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{67\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{66\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{77\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a+\frac{41\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{57\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{14\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{67\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{66\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{77\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{43\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{50\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a+\frac{44\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{11\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{59\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{61\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{25\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{84\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{52\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{34\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{36\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a+\frac{13\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{45\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{24\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{96\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{54\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{66\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{69\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{55\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{29\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{84\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{46\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a+\frac{19\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{52\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{32}+\frac{61\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{56\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{63\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{81\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{35\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{57\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{87\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{96\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a+\frac{16\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{17\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{74\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{91\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{47\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{37\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{68\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{64\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a+\frac{55\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{32\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{95\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{17\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{32\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{38\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{37\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{48\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{59\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!16}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{77\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{28\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{20\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{76\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{82\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a+\frac{13\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{64\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{60\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{24\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{76\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{75\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{96\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{54\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{59\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a+\frac{41\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{12\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{56\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{67\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{37\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{15\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{61\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{61\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{86\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{83\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a+\frac{16\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{16\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{83\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{44\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{18\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{82\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{84\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{53\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{96\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a+\frac{29\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{30\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{19\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{85\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{64\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{80\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{77\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a+\frac{43\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{11\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{86\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{57\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{39\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{76\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{83\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{56\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{78\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{86\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{91\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a-\frac{20\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{17\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{89\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{53\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{68\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{80\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{94\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{63\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a+\frac{19\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{17\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{12\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{93\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{56\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{72\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{83\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{84\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!93}a+\frac{47\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{14\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{82\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{78\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{61\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{17\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{89\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{31\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{87\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{57\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{85\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{70\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a+\frac{34\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{20\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{48\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{23\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{87\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{52\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{51\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{82\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{81\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a+\frac{67\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{50\!\cdots\!33}{68\!\cdots\!13}a^{32}-\frac{15\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{70\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{34\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{91\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{38\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{48\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!50}{68\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{60\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{27\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{59\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{57\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{87\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a+\frac{19\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{28\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{55\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{28\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{63\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{79\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{21}-\frac{81\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!93}a^{15}+\frac{85\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{29\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!30}{68\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{42\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{29\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a-\frac{31\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{39\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{97\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{46\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{45\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{82\!\cdots\!36}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{96\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a+\frac{63\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{40\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{64\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{64\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{74\!\cdots\!32}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{67\!\cdots\!04}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{82\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!98}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{92\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!93}a-\frac{60\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{49\!\cdots\!06}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{31\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{26\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{74\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{60\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{45\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!44}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{92\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{50\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{75\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a-\frac{34\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{85\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{55\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{44\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{24\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{99\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{47\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{50\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{33\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{95\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{71\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{54\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!40}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!77}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a-\frac{21\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{10\!\cdots\!58}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{12\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{51\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{59\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!38}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{31\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{51\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{94\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{94\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!78}{31\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!96}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a-\frac{39\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{18\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{32}+\frac{73\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!68}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{32\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{76\!\cdots\!46}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{50\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{87\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{59\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{52\!\cdots\!97}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{92\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{43\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!81}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!80}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!90}{31\!\cdots\!93}a-\frac{25\!\cdots\!71}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{36\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!93}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{20\!\cdots\!00}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{42\!\cdots\!70}{31\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{52\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{67\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{56\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!49}{31\!\cdots\!93}a^{11}+\frac{91\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!51}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!12}{31\!\cdots\!93}a^{5}-\frac{21\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!22}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{65\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a+\frac{38\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{18\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{25\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{95\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!93}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!93}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{99\!\cdots\!88}{31\!\cdots\!93}a^{18}+\frac{97\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!93}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!02}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!54}{31\!\cdots\!93}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!62}{31\!\cdots\!93}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!93}{31\!\cdots\!93}a^{6}+\frac{35\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!92}{31\!\cdots\!93}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!95}{31\!\cdots\!93}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!84}{31\!\cdots\!93}a-\frac{41\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{11\!\cdots\!45}{31\!\cdots\!93}a^{32}-\frac{37\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{62\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!93}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!63}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!82}{31\!\cdots\!93}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!48}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!74}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!20}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!13}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!50}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!24}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!76}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!30}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!03}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!35}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!11}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!28}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!93}a+\frac{30\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}$, $\frac{37\!\cdots\!29}{31\!\cdots\!93}a^{32}+\frac{39\!\cdots\!86}{31\!\cdots\!93}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{30}-\frac{20\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!93}a^{29}+\frac{66\!\cdots\!91}{31\!\cdots\!93}a^{28}+\frac{44\!\cdots\!40}{31\!\cdots\!93}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!56}{31\!\cdots\!93}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!93}a^{25}+\frac{95\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a^{24}+\frac{43\!\cdots\!51}{31\!\cdots\!93}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!14}{31\!\cdots\!93}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!10}{31\!\cdots\!93}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!93}a^{19}-\frac{71\!\cdots\!72}{31\!\cdots\!93}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!93}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!60}{31\!\cdots\!93}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!18}{31\!\cdots\!93}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!93}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!19}{31\!\cdots\!93}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!16}{31\!\cdots\!93}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!51}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!93}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!93}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!93}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{5}+\frac{37\!\cdots\!26}{31\!\cdots\!93}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!17}{31\!\cdots\!93}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!52}{31\!\cdots\!93}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!61}{31\!\cdots\!93}a+\frac{89\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!93}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 15716532070591353000 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{33}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 15716532070591353000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{277966181338944111003326058293667039541136678070715028736001}}\cr\approx \mathstrut & 0.128032611487433 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

A cyclic group of order 33

The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$

Character table for $C_{33}$

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\zeta_{23})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$33$	$33$	$33$	R	$33$	${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }^{3}$	$33$	$33$	R	${\href{/padicField/29.11.0.1}{11} }^{3}$	$33$	$33$	${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{3}$	${\href{/padicField/43.11.0.1}{11} }^{3}$	${\href{/padicField/47.3.0.1}{3} }^{11}$	$33$	$33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(7\)		Deg $33$	$3$	$11$	$22$
\(23\)		Deg $33$	$11$	$3$	$30$