↑

Properties

Label 33.33.2677496390...3841.2
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $3^{44}\cdot 67^{32}$
Root discriminant $255.21$
Ramified primes $3, 67$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![102306835297, -515631486780, -547717175874, 4512897235854, 1974777473349, -16809267910761, -8169702508646, 32182755692400, 21599565380280, -31399034523306, -28558726323942, 14115431940957, 18790066832900, -2330964630558, -7002763432065, -384257671040, 1607669922021, 256540684815, -237908569591, -55275281400, 23142227058, 6781467109, -1479852048, -525472893, 61060182, 26459037, -1554534, -861687, 22110, 17487, -134, -201, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 201*x^31 - 134*x^30 + 17487*x^29 + 22110*x^28 - 861687*x^27 - 1554534*x^26 + 26459037*x^25 + 61060182*x^24 - 525472893*x^23 - 1479852048*x^22 + 6781467109*x^21 + 23142227058*x^20 - 55275281400*x^19 - 237908569591*x^18 + 256540684815*x^17 + 1607669922021*x^16 - 384257671040*x^15 - 7002763432065*x^14 - 2330964630558*x^13 + 18790066832900*x^12 + 14115431940957*x^11 - 28558726323942*x^10 - 31399034523306*x^9 + 21599565380280*x^8 + 32182755692400*x^7 - 8169702508646*x^6 - 16809267910761*x^5 + 1974777473349*x^4 + 4512897235854*x^3 - 547717175874*x^2 - 515631486780*x + 102306835297)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - 201*x^31 - 134*x^30 + 17487*x^29 + 22110*x^28 - 861687*x^27 - 1554534*x^26 + 26459037*x^25 + 61060182*x^24 - 525472893*x^23 - 1479852048*x^22 + 6781467109*x^21 + 23142227058*x^20 - 55275281400*x^19 - 237908569591*x^18 + 256540684815*x^17 + 1607669922021*x^16 - 384257671040*x^15 - 7002763432065*x^14 - 2330964630558*x^13 + 18790066832900*x^12 + 14115431940957*x^11 - 28558726323942*x^10 - 31399034523306*x^9 + 21599565380280*x^8 + 32182755692400*x^7 - 8169702508646*x^6 - 16809267910761*x^5 + 1974777473349*x^4 + 4512897235854*x^3 - 547717175874*x^2 - 515631486780*x + 102306835297, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{33} - 201 x^{31} - 134 x^{30} + 17487 x^{29} + 22110 x^{28} - 861687 x^{27} - 1554534 x^{26} + 26459037 x^{25} + 61060182 x^{24} - 525472893 x^{23} - 1479852048 x^{22} + 6781467109 x^{21} + 23142227058 x^{20} - 55275281400 x^{19} - 237908569591 x^{18} + 256540684815 x^{17} + 1607669922021 x^{16} - 384257671040 x^{15} - 7002763432065 x^{14} - 2330964630558 x^{13} + 18790066832900 x^{12} + 14115431940957 x^{11} - 28558726323942 x^{10} - 31399034523306 x^{9} + 21599565380280 x^{8} + 32182755692400 x^{7} - 8169702508646 x^{6} - 16809267910761 x^{5} + 1974777473349 x^{4} + 4512897235854 x^{3} - 547717175874 x^{2} - 515631486780 x + 102306835297 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $33$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[33, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(26774963908351534896674972007892455806354317687496033867399094865996622071193841=3^{44}\cdot 67^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $255.21$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(603=3^{2}\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{603}(256,·)$, $\chi_{603}(1,·)$, $\chi_{603}(4,·)$, $\chi_{603}(391,·)$, $\chi_{603}(397,·)$, $\chi_{603}(16,·)$, $\chi_{603}(151,·)$, $\chi_{603}(412,·)$, $\chi_{603}(91,·)$, $\chi_{603}(421,·)$, $\chi_{603}(550,·)$, $\chi_{603}(424,·)$, $\chi_{603}(301,·)$, $\chi_{603}(562,·)$, $\chi_{603}(439,·)$, $\chi_{603}(442,·)$, $\chi_{603}(571,·)$, $\chi_{603}(64,·)$, $\chi_{603}(322,·)$, $\chi_{603}(328,·)$, $\chi_{603}(82,·)$, $\chi_{603}(595,·)$, $\chi_{603}(601,·)$, $\chi_{603}(475,·)$, $\chi_{603}(478,·)$, $\chi_{603}(226,·)$, $\chi_{603}(358,·)$, $\chi_{603}(103,·)$, $\chi_{603}(106,·)$, $\chi_{603}(364,·)$, $\chi_{603}(250,·)$, $\chi_{603}(490,·)$, $\chi_{603}(382,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{37} a^{30} + \frac{9}{37} a^{27} - \frac{14}{37} a^{26} + \frac{17}{37} a^{25} - \frac{4}{37} a^{24} - \frac{7}{37} a^{23} + \frac{3}{37} a^{22} - \frac{11}{37} a^{21} + \frac{6}{37} a^{20} - \frac{17}{37} a^{19} - \frac{3}{37} a^{18} - \frac{12}{37} a^{16} + \frac{4}{37} a^{15} - \frac{6}{37} a^{14} + \frac{13}{37} a^{13} + \frac{12}{37} a^{12} + \frac{5}{37} a^{11} + \frac{11}{37} a^{10} - \frac{1}{37} a^{9} + \frac{18}{37} a^{8} + \frac{16}{37} a^{7} - \frac{1}{37} a^{6} + \frac{13}{37} a^{5} + \frac{4}{37} a^{4} - \frac{7}{37} a^{3} + \frac{11}{37} a^{2} + \frac{12}{37}$, $\frac{1}{3589} a^{31} - \frac{16}{3589} a^{30} + \frac{5}{97} a^{29} - \frac{324}{3589} a^{28} + \frac{64}{3589} a^{27} + \frac{500}{3589} a^{26} + \frac{575}{3589} a^{25} + \frac{1759}{3589} a^{24} + \frac{781}{3589} a^{23} - \frac{96}{3589} a^{22} + \frac{700}{3589} a^{21} - \frac{1630}{3589} a^{20} + \frac{491}{3589} a^{19} - \frac{692}{3589} a^{18} - \frac{1714}{3589} a^{17} + \frac{1010}{3589} a^{16} - \frac{70}{3589} a^{15} - \frac{483}{3589} a^{14} - \frac{603}{3589} a^{13} + \frac{405}{3589} a^{12} - \frac{735}{3589} a^{11} - \frac{177}{3589} a^{10} + \frac{1477}{3589} a^{9} + \frac{431}{3589} a^{8} + \frac{1667}{3589} a^{7} + \frac{1176}{3589} a^{6} + \frac{1720}{3589} a^{5} - \frac{404}{3589} a^{4} + \frac{715}{3589} a^{3} - \frac{805}{3589} a^{2} - \frac{1579}{3589} a - \frac{1635}{3589}$, $\frac{1}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{32} - \frac{4124882384675951021912618171745750414774878533575732148963062896358811943862905899907568443896406951425253765338393512412099391717847951030282433576304871650302439383155926140513584026095372}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{31} + \frac{185377419205768251047607192129214091159275451669052757738283060493270947892454080760751586675257745256131547282244238926460720848871528097633374253331836842782164922314950935767646358922937856}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{30} + \frac{16337320638201322896957617713384491358705435796625355815027393532211938100792783503634918242950805090801158795421471800435399400211332661967645427203182376819850548377854893848434521845770157512}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{29} + \frac{11508100136892212647096562758223375718425581071717667056138666372310905185639722600592312452067758298284110151611549314018632835607781925845442228273993768591651355876899170881869115438883510868}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{28} - \frac{12738813815397742821409321708368188377423204802581255003174896477621454282913671648398702391451654832538320752333926843962148850134040838590915251739831120742678523561700904097053376970896441272}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{27} - \frac{2548838373701075876566394866137762406003863956088314029426267816440063442798570279288116240422699420419867741468099437294837638343138109519832517149925188922877596082979440065888309510543682291}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{26} - \frac{2379102136356456094226387649098903444116900512422386228128126300855551661692682255836939377708829786638715881858012661009365452015152756804770071861204355076235524109368194653221074274270333403}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{25} - \frac{15169180415041434793025146296451141937915260103194205004761682482875503973436333773161230227868029255235719078813022547361755912011750183861633795645809840853678342289938847977179474199914460761}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{24} - \frac{1715769796103524901469110326924303330496818494803764038775314381062837406510892020757263572622373083701160867050833573495977590906997356060350149485109152132067788042357592035101917064525501116}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{23} - \frac{3794739815750790184770439528051363642150366711429540222437882948916657787214794949465824039951745787218633379565434587147523233190442643933830489618492823411081068287259358446095591250068969929}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{22} - \frac{8660897021359180536071799919286678925918916437689858356517896341093664935605913688192373562662357793510291309351764254522496129437258766795345066570013845020795970423240716295163081703079707641}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{21} - \frac{2941488389868769281991905309366470667184835233967172478807372035785051880784867740858619289988519874233270075256275309989915851201446319437648034764598066688807114685211392875221343508026601646}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{20} + \frac{1512887033268904387360340001672817823258296974023429895039384944855100978398549907884356487337711367864113529581879201934136485751594013682336130153757890111229062979521172914273185578095587791}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{19} + \frac{1591754988695405040716774552631077143999599332893098222748628990277872494865033519457773275674129984042963340162922920189825047343426961260380291848500930844933563522534527099936996894171906409}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{18} + \frac{12685185543340570473765117985952960091171714260461622651469710898050209438368549507339643869143552444325047917976891249021004012334896924667323300333990696491799551160573243191605293938210355762}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{17} + \frac{7228970621578192656521030893926039849737500384914978678168443261727990818076323024461829693277836320294293984372311531247886068248039757049072705007124104076117064957475447111752824550736793157}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{16} + \frac{16833343898580727713702085142100642361169822467241200963973353523882684782299153440246235156562322162902682683017425127384475566606197229704133718956103242278081670639147469792045467425959261576}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{15} - \frac{2644643079008298498822017460052769954508801138213347269257749822503957897629878109230385707779498319955819023017405464508442151366516624851036323749365218710242421814041400611955184092379250763}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{14} + \frac{4881010161292458499334942976377610266420441051188659743055650936004439002482861381605609492790174473719539129439749962895249210727263670359760080531677109896938068320751429036202892466209876826}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{13} + \frac{17673720318056590470323083006752001126306331733354075726587648357896822010890964322043622070526410873360101166225559704609677120973544899353084088254440116791656600312438750754890612965743501967}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{12} + \frac{2360349902864489944558835184722434240542037835604449627666793289563675886098709964845485386459823810771630002508884991603345089758261313322007137451380466219864644265501771600821687031149248295}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{11} - \frac{11604847393402737560235784189759332477204471904133423691971228477107945460762244437799308799802626901843792881722712754803074538132054490595891117747828716231451914601170989181865532348153468482}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{10} - \frac{13814836180007856506232483582783165582070505537538077181399025612998390960424619912136205576738024162841861115987121390688195968223136842316889286373737154632605763750139758330084570550377894773}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{9} - \frac{17924760254799825938331753018435842173461373514958233657733335203215768933774555971371274655673029504408717470892961961058639966750904715105724847440392029529915125499560960864406288887424978450}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{8} + \frac{6797510884924848583861073598503785298407602399776572766277777677909723134946009698699522376533833713558983599476270438004343209123304734978875362416986958252689151799086381561079956932159091}{27743090446487792116486889171795832599775504389245564036389733668205525990506833288396085520306575971577154470958870448214436569995884189215869574867607658568110963222804503952260763246002229} a^{7} - \frac{8296952900372063316237898729524555195249391305180522719666005789453938581510272621860622808539995083634781160748948870715468760229808158238654605493831202361715727651707893571537192366471300233}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{6} + \frac{17315922928428421827213627212202210820858566327724223951343379492652874853836227390283963463589470173994055724774263018769368271415603450026028863886330743879077213334375536860751248844670124623}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{5} - \frac{13236475475123383358145562229184863596051004660214584975703585953257644179882312562024225106857749611877652516281042284224628467859026599234121658361999022632525563343119608795756359610708457022}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{4} - \frac{3825345964673726374238264235604845517678344316018721485692679004670432610828620907012315560053193059492402819070017714559862636056334938451622130538616327044103182289650876725838912297429093754}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{3} + \frac{9021268266629591705767339531191840228988686421250077792676417079110067873271249138030558506075582524811348216558277409049314635635443831668772019020827806163932894555998807359568268877506578075}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a^{2} + \frac{9383612761889759077893315531033040897739486532739384413221751395542871331451003704891901338433272249762972412492504058654655603112592051025206514467024528574371443201773864307131275521515567251}{36149246851773593127782416590849969877507482219186969939415822969671800365630403774780099432959468490965032275659408194023410850704637098548278056052492779114248585079314268649795774509540904387} a - \frac{2799965812934389451559482252798747988420000108359994476030993453683711168923865888902743407472855226524659227879645463087440914967506609565160264721586108870704383729485357713444991991}{23673878016436428403633077650265731704671334934739604742177758998616428725491876680958601522210903472852217850665321113217588603650839851691582422651595435174304932349295050441113606057}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $32$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.363609.2, 11.11.1822837804551761449.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.11.0.1}{11} }^{3}$ R $33$ $33$ $33$ $33$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{11}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{11}$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
67Data not computed