Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889)
gp: K = bnfinit(y^33 - 8*y^32 - 86*y^31 + 690*y^30 + 3527*y^29 - 25876*y^28 - 92162*y^27 + 549745*y^26 + 1676544*y^25 - 7221169*y^24 - 21518451*y^23 + 59984529*y^22 + 192193744*y^21 - 307177110*y^20 - 1170053321*y^19 + 864215343*y^18 + 4741699040*y^17 - 637264044*y^16 - 12404482875*y^15 - 3656463713*y^14 + 19997642137*y^13 + 12376322490*y^12 - 18399788371*y^11 - 16849661483*y^10 + 8289542908*y^9 + 11391691466*y^8 - 842642325*y^7 - 3707258605*y^6 - 522452271*y^5 + 463178377*y^4 + 128777001*y^3 - 2389174*y^2 - 1929880*y + 90889, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889)
\( x^{33} - 8 x^{32} - 86 x^{31} + 690 x^{30} + 3527 x^{29} - 25876 x^{28} - 92162 x^{27} + 549745 x^{26} + \cdots + 90889 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $33$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[33, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(23681050358190252966666038984115482490423545779778728084912954382239302601\)
\(\medspace = 7^{22}\cdot 67^{30}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(167.29\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{2/3}67^{10/11}\approx 167.28873448442988$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(67\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $33$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(469=7\cdot 67\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{469}(1,·)$, $\chi_{469}(260,·)$, $\chi_{469}(263,·)$, $\chi_{469}(9,·)$, $\chi_{469}(394,·)$, $\chi_{469}(15,·)$, $\chi_{469}(403,·)$, $\chi_{469}(148,·)$, $\chi_{469}(277,·)$, $\chi_{469}(22,·)$, $\chi_{469}(25,·)$, $\chi_{469}(282,·)$, $\chi_{469}(156,·)$, $\chi_{469}(158,·)$, $\chi_{469}(417,·)$, $\chi_{469}(424,·)$, $\chi_{469}(135,·)$, $\chi_{469}(442,·)$, $\chi_{469}(64,·)$, $\chi_{469}(193,·)$, $\chi_{469}(198,·)$, $\chi_{469}(330,·)$, $\chi_{469}(464,·)$, $\chi_{469}(81,·)$, $\chi_{469}(466,·)$, $\chi_{469}(344,·)$, $\chi_{469}(92,·)$, $\chi_{469}(225,·)$, $\chi_{469}(226,·)$, $\chi_{469}(359,·)$, $\chi_{469}(107,·)$, $\chi_{469}(375,·)$, $\chi_{469}(149,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{29}a^{21}-\frac{8}{29}a^{20}-\frac{5}{29}a^{19}+\frac{10}{29}a^{18}-\frac{5}{29}a^{17}-\frac{2}{29}a^{16}+\frac{8}{29}a^{15}+\frac{4}{29}a^{13}+\frac{9}{29}a^{12}-\frac{3}{29}a^{11}+\frac{9}{29}a^{10}-\frac{5}{29}a^{9}-\frac{1}{29}a^{8}+\frac{6}{29}a^{7}+\frac{11}{29}a^{6}-\frac{13}{29}a^{5}+\frac{3}{29}a^{4}-\frac{13}{29}a^{3}-\frac{4}{29}a^{2}-\frac{4}{29}a+\frac{2}{29}$, $\frac{1}{29}a^{22}-\frac{11}{29}a^{20}-\frac{1}{29}a^{19}-\frac{12}{29}a^{18}-\frac{13}{29}a^{17}-\frac{8}{29}a^{16}+\frac{6}{29}a^{15}+\frac{4}{29}a^{14}+\frac{12}{29}a^{13}+\frac{11}{29}a^{12}+\frac{14}{29}a^{11}+\frac{9}{29}a^{10}-\frac{12}{29}a^{9}-\frac{2}{29}a^{8}+\frac{1}{29}a^{7}-\frac{12}{29}a^{6}-\frac{14}{29}a^{5}+\frac{11}{29}a^{4}+\frac{8}{29}a^{3}-\frac{7}{29}a^{2}-\frac{1}{29}a-\frac{13}{29}$, $\frac{1}{29}a^{23}-\frac{2}{29}a^{20}-\frac{9}{29}a^{19}+\frac{10}{29}a^{18}-\frac{5}{29}a^{17}+\frac{13}{29}a^{16}+\frac{5}{29}a^{15}+\frac{12}{29}a^{14}-\frac{3}{29}a^{13}-\frac{3}{29}a^{12}+\frac{5}{29}a^{11}+\frac{1}{29}a^{9}-\frac{10}{29}a^{8}-\frac{4}{29}a^{7}-\frac{9}{29}a^{6}+\frac{13}{29}a^{5}+\frac{12}{29}a^{4}-\frac{5}{29}a^{3}+\frac{13}{29}a^{2}+\frac{1}{29}a-\frac{7}{29}$, $\frac{1}{29}a^{24}+\frac{4}{29}a^{20}-\frac{14}{29}a^{18}+\frac{3}{29}a^{17}+\frac{1}{29}a^{16}-\frac{1}{29}a^{15}-\frac{3}{29}a^{14}+\frac{5}{29}a^{13}-\frac{6}{29}a^{12}-\frac{6}{29}a^{11}-\frac{10}{29}a^{10}+\frac{9}{29}a^{9}-\frac{6}{29}a^{8}+\frac{3}{29}a^{7}+\frac{6}{29}a^{6}-\frac{14}{29}a^{5}+\frac{1}{29}a^{4}-\frac{13}{29}a^{3}-\frac{7}{29}a^{2}+\frac{14}{29}a+\frac{4}{29}$, $\frac{1}{29}a^{25}+\frac{3}{29}a^{20}+\frac{6}{29}a^{19}-\frac{8}{29}a^{18}-\frac{8}{29}a^{17}+\frac{7}{29}a^{16}-\frac{6}{29}a^{15}+\frac{5}{29}a^{14}+\frac{7}{29}a^{13}-\frac{13}{29}a^{12}+\frac{2}{29}a^{11}+\frac{2}{29}a^{10}+\frac{14}{29}a^{9}+\frac{7}{29}a^{8}+\frac{11}{29}a^{7}-\frac{5}{29}a^{5}+\frac{4}{29}a^{4}-\frac{13}{29}a^{3}+\frac{1}{29}a^{2}-\frac{9}{29}a-\frac{8}{29}$, $\frac{1}{29}a^{26}+\frac{1}{29}a^{20}+\frac{7}{29}a^{19}-\frac{9}{29}a^{18}-\frac{7}{29}a^{17}+\frac{10}{29}a^{15}+\frac{7}{29}a^{14}+\frac{4}{29}a^{13}+\frac{4}{29}a^{12}+\frac{11}{29}a^{11}-\frac{13}{29}a^{10}-\frac{7}{29}a^{9}+\frac{14}{29}a^{8}+\frac{11}{29}a^{7}-\frac{9}{29}a^{6}+\frac{14}{29}a^{5}+\frac{7}{29}a^{4}+\frac{11}{29}a^{3}+\frac{3}{29}a^{2}+\frac{4}{29}a-\frac{6}{29}$, $\frac{1}{29}a^{27}-\frac{14}{29}a^{20}-\frac{4}{29}a^{19}+\frac{12}{29}a^{18}+\frac{5}{29}a^{17}+\frac{12}{29}a^{16}-\frac{1}{29}a^{15}+\frac{4}{29}a^{14}+\frac{2}{29}a^{12}-\frac{10}{29}a^{11}+\frac{13}{29}a^{10}-\frac{10}{29}a^{9}+\frac{12}{29}a^{8}+\frac{14}{29}a^{7}+\frac{3}{29}a^{6}-\frac{9}{29}a^{5}+\frac{8}{29}a^{4}-\frac{13}{29}a^{3}+\frac{8}{29}a^{2}-\frac{2}{29}a-\frac{2}{29}$, $\frac{1}{29}a^{28}-\frac{1}{29}$, $\frac{1}{29}a^{29}-\frac{1}{29}a$, $\frac{1}{7436963}a^{30}-\frac{40018}{7436963}a^{29}+\frac{19632}{7436963}a^{28}-\frac{110131}{7436963}a^{27}-\frac{12410}{7436963}a^{26}+\frac{71590}{7436963}a^{25}+\frac{76491}{7436963}a^{24}+\frac{85961}{7436963}a^{23}-\frac{3082}{256447}a^{22}-\frac{3264}{7436963}a^{21}+\frac{290295}{7436963}a^{20}-\frac{1060069}{7436963}a^{19}-\frac{2707658}{7436963}a^{18}+\frac{2148906}{7436963}a^{17}-\frac{3439636}{7436963}a^{16}+\frac{127496}{7436963}a^{15}+\frac{1234945}{7436963}a^{14}+\frac{5}{37}a^{13}+\frac{860104}{7436963}a^{12}+\frac{61644}{256447}a^{11}+\frac{3228921}{7436963}a^{10}-\frac{2983870}{7436963}a^{9}+\frac{3652868}{7436963}a^{8}-\frac{3629386}{7436963}a^{7}+\frac{1550764}{7436963}a^{6}-\frac{2858496}{7436963}a^{5}+\frac{2742473}{7436963}a^{4}+\frac{56530}{256447}a^{3}+\frac{462954}{7436963}a^{2}+\frac{2465172}{7436963}a+\frac{1889497}{7436963}$, $\frac{1}{721385411}a^{31}+\frac{46}{721385411}a^{30}+\frac{417177}{24875359}a^{29}+\frac{3237179}{721385411}a^{28}+\frac{10897062}{721385411}a^{27}-\frac{6795986}{721385411}a^{26}-\frac{9333536}{721385411}a^{25}+\frac{203154}{19496903}a^{24}-\frac{6385812}{721385411}a^{23}-\frac{4690041}{721385411}a^{22}-\frac{5588912}{721385411}a^{21}-\frac{44661523}{721385411}a^{20}-\frac{242902349}{721385411}a^{19}+\frac{283763070}{721385411}a^{18}-\frac{275120971}{721385411}a^{17}+\frac{172012437}{721385411}a^{16}+\frac{1402583}{3018349}a^{15}+\frac{84354146}{721385411}a^{14}-\frac{56951367}{721385411}a^{13}-\frac{327836347}{721385411}a^{12}+\frac{231630514}{721385411}a^{11}+\frac{236108763}{721385411}a^{10}-\frac{297850070}{721385411}a^{9}-\frac{268696651}{721385411}a^{8}-\frac{10273897}{24875359}a^{7}+\frac{275524258}{721385411}a^{6}+\frac{279484067}{721385411}a^{5}+\frac{50598316}{721385411}a^{4}+\frac{38726279}{721385411}a^{3}+\frac{270968515}{721385411}a^{2}-\frac{15305213}{721385411}a-\frac{2279339}{7436963}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{56\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{40\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!77}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!36}{78\!\cdots\!21}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{50\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{84\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{86\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a-\frac{95\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!41}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | No | |
| Index: | Not computed | |
| Inessential primes: | $29$ |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $32$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{40\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!39}a^{32}-\frac{37\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!39}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!39}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!39}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!39}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!39}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!10}{32\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!39}a+\frac{13\!\cdots\!43}{33\!\cdots\!87}$, $\frac{40\!\cdots\!42}{32\!\cdots\!39}a^{32}-\frac{37\!\cdots\!91}{32\!\cdots\!39}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!86}{32\!\cdots\!39}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!64}{32\!\cdots\!39}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!39}a^{28}-\frac{11\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!39}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!07}{32\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!31}{32\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!06}{32\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!70}{32\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!58}{32\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!46}{32\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{31\!\cdots\!12}{32\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!28}{32\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!43}{32\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!14}{32\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{58\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!21}{32\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!71}{32\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!20}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!52}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!10}{32\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!40}{32\!\cdots\!39}a+\frac{16\!\cdots\!30}{33\!\cdots\!87}$, $\frac{12\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!39}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!59}{32\!\cdots\!39}a^{31}-\frac{92\!\cdots\!25}{32\!\cdots\!39}a^{30}+\frac{92\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!39}a^{29}+\frac{33\!\cdots\!57}{32\!\cdots\!39}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!65}{32\!\cdots\!39}a^{27}-\frac{77\!\cdots\!17}{32\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!39}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!18}{32\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!92}{32\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!24}{32\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!45}{32\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!50}{32\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!54}{32\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!76}{32\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{44\!\cdots\!94}{32\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!47}{32\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!66}{32\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!88}{32\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!04}{32\!\cdots\!39}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!39}{32\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!08}{32\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!93}{32\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!78}{32\!\cdots\!39}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!77}{32\!\cdots\!39}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!48}{32\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!85}{32\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!09}{32\!\cdots\!39}a+\frac{12\!\cdots\!59}{33\!\cdots\!87}$, $\frac{12\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{96\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{83\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{31\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{67\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{88\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{73\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{37\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{64\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{22\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{62\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!56}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{94\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{35\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{53\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{54\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{83\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a+\frac{32\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{14\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{12\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{41\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{96\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!82}{29\!\cdots\!41}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{60\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{50\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{44\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a+\frac{19\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{36\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{33\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{28\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{97\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{40\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{14\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{51\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{54\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{44\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a+\frac{25\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{69\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{63\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{51\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{54\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{64\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{79\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{51\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{71\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{43\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{92\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{98\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{96\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{44\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a-\frac{45\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{94\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{35\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{91\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{50\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{37\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a+\frac{20\!\cdots\!92}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{65\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{58\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{50\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{18\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{89\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{48\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{59\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a+\frac{26\!\cdots\!94}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{16\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{73\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{40\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{39\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{95\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{90\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{85\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{93\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{96\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{35\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a+\frac{18\!\cdots\!34}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{20\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{18\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{54\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{59\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{91\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{89\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{73\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{77\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a+\frac{85\!\cdots\!32}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{44\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{39\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!21}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{69\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{60\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a+\frac{46\!\cdots\!60}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{23\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{50\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{62\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{27\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{63\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{62\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!49}{78\!\cdots\!21}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{91\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{94\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{42\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a+\frac{52\!\cdots\!09}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{10\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{89\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{78\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{76\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{28\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{61\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{34\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!43}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{73\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{42\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{46\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{63\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a+\frac{42\!\cdots\!89}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{15\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{93\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!64}{78\!\cdots\!21}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{44\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!43}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!77}a+\frac{19\!\cdots\!62}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{94\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{79\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{78\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{68\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{31\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{73\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{34\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{93\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{33\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{69\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a+\frac{29\!\cdots\!92}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{12\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{39\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{85\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{59\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{98\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!62}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!04}{78\!\cdots\!21}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{50\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{47\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!77}a+\frac{14\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{55\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{55\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{38\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{46\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{49\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!44}{78\!\cdots\!21}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{56\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{66\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a-\frac{16\!\cdots\!75}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{92\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{35\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{76\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{95\!\cdots\!40}{29\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{61\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{62\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{99\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!71}{28\!\cdots\!77}a+\frac{12\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{13\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{12\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{35\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{39\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!88}{78\!\cdots\!21}a^{26}+\frac{83\!\cdots\!08}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!93}{78\!\cdots\!21}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{59\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{38\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{55\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!83}{78\!\cdots\!21}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!42}{29\!\cdots\!41}a^{7}-\frac{36\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{54\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a+\frac{88\!\cdots\!58}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{22\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{20\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{17\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{58\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{65\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{23\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{30\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{61\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{92\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{95\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a+\frac{88\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{28\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{17\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{29\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!80}{78\!\cdots\!21}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{59\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{82\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{97\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{58\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!84}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{46\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{96\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{98\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a+\frac{27\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{12\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{10\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{94\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{92\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{34\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{79\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!26}{78\!\cdots\!21}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{15\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!62}{78\!\cdots\!21}a^{19}-\frac{93\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{33\!\cdots\!68}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{49\!\cdots\!68}{78\!\cdots\!21}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a-\frac{42\!\cdots\!10}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{15\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{41\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{94\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{93\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!02}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{58\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!05}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!43}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{30\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!77}a+\frac{14\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{79\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{66\!\cdots\!80}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{65\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{57\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{25\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{64\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{61\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!35}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{90\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!90}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{66\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{91\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!19}a+\frac{25\!\cdots\!22}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{11\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{27\!\cdots\!37}{78\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{87\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{87\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{31\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{32\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{72\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{69\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{94\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{48\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{84\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{54\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!41}a+\frac{11\!\cdots\!95}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{70\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{63\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{54\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{54\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!06}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!89}{78\!\cdots\!21}a^{26}+\frac{43\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{77\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{96\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{86\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!15}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!92}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!58}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!46}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{57\!\cdots\!11}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!42}{28\!\cdots\!77}a+\frac{17\!\cdots\!72}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{39\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{54\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!38}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{17\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{28\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{72\!\cdots\!13}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{57\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{59\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{44\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!18}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!85}{28\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{85\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!48}{28\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{76\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{54\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!40}{28\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!73}{29\!\cdots\!41}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a+\frac{38\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{19\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{16\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{63\!\cdots\!67}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{51\!\cdots\!26}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{28\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!50}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!86}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{69\!\cdots\!00}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!72}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!82}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!32}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{54\!\cdots\!76}{78\!\cdots\!21}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!74}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!36}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!21}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!60}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a+\frac{71\!\cdots\!04}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{69\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{57\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{58\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{49\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{23\!\cdots\!17}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!77}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{54\!\cdots\!70}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!94}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!25}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!97}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{82\!\cdots\!52}{28\!\cdots\!77}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{60\!\cdots\!54}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!98}{28\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!96}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a+\frac{14\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!41}$, $\frac{73\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{17\!\cdots\!10}{78\!\cdots\!21}a^{31}-\frac{56\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{56\!\cdots\!65}{28\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!12}{28\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!77}a^{24}-\frac{60\!\cdots\!76}{28\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{95\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!30}{28\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!22}{28\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{31\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!09}{28\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!78}{28\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!35}{78\!\cdots\!21}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!69}{28\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!16}{28\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!44}{28\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!53}{28\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{64\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{67\!\cdots\!04}{28\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{37\!\cdots\!56}{78\!\cdots\!21}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!66}{28\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{60\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!77}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!07}{28\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!14}{28\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!77}a+\frac{71\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!41}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 503657750536712100000000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{33}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 503657750536712100000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{23681050358190252966666038984115482490423545779778728084912954382239302601}}\cr\approx \mathstrut & 0.444523681073377 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 86*x^31 + 690*x^30 + 3527*x^29 - 25876*x^28 - 92162*x^27 + 549745*x^26 + 1676544*x^25 - 7221169*x^24 - 21518451*x^23 + 59984529*x^22 + 192193744*x^21 - 307177110*x^20 - 1170053321*x^19 + 864215343*x^18 + 4741699040*x^17 - 637264044*x^16 - 12404482875*x^15 - 3656463713*x^14 + 19997642137*x^13 + 12376322490*x^12 - 18399788371*x^11 - 16849661483*x^10 + 8289542908*x^9 + 11391691466*x^8 - 842642325*x^7 - 3707258605*x^6 - 522452271*x^5 + 463178377*x^4 + 128777001*x^3 - 2389174*x^2 - 1929880*x + 90889);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 33 |
| The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$ |
| Character table for $C_{33}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\zeta_{7})^+\), 11.11.1822837804551761449.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $33$ | $33$ | $33$ | R | $33$ | ${\href{/padicField/13.11.0.1}{11} }^{3}$ | $33$ | $33$ | $33$ | ${\href{/padicField/29.1.0.1}{1} }^{33}$ | $33$ | ${\href{/padicField/37.3.0.1}{3} }^{11}$ | ${\href{/padicField/41.11.0.1}{11} }^{3}$ | ${\href{/padicField/43.11.0.1}{11} }^{3}$ | $33$ | $33$ | $33$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| Deg $33$ | $3$ | $11$ | $22$ | |||
|
\(67\)
| Deg $33$ | $11$ | $3$ | $30$ |