↑

Properties

Label 33.33.225...481.1
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $2.250\times 10^{75}$
Root discriminant $192.04$
Ramified primes $23, 37$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 8*x^32 - 136*x^31 + 1010*x^30 + 9089*x^29 - 56260*x^28 - 391707*x^27 + 1778015*x^26 + 11776892*x^25 - 33684927*x^24 - 250499393*x^23 + 352249669*x^22 + 3723230595*x^21 - 869647969*x^20 - 37516024451*x^19 - 27213591295*x^18 + 241140895308*x^17 + 392273336476*x^16 - 846902299600*x^15 - 2477173011886*x^14 + 614677458641*x^13 + 7779541229922*x^12 + 5903210349213*x^11 - 9094078083973*x^10 - 16773542913789*x^9 - 4693562989906*x^8 + 8584245508513*x^7 + 7302900918860*x^6 + 488836631314*x^5 - 1567611092278*x^4 - 601455629303*x^3 - 17378174655*x^2 + 24259321620*x + 3109630591)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - 8*x^32 - 136*x^31 + 1010*x^30 + 9089*x^29 - 56260*x^28 - 391707*x^27 + 1778015*x^26 + 11776892*x^25 - 33684927*x^24 - 250499393*x^23 + 352249669*x^22 + 3723230595*x^21 - 869647969*x^20 - 37516024451*x^19 - 27213591295*x^18 + 241140895308*x^17 + 392273336476*x^16 - 846902299600*x^15 - 2477173011886*x^14 + 614677458641*x^13 + 7779541229922*x^12 + 5903210349213*x^11 - 9094078083973*x^10 - 16773542913789*x^9 - 4693562989906*x^8 + 8584245508513*x^7 + 7302900918860*x^6 + 488836631314*x^5 - 1567611092278*x^4 - 601455629303*x^3 - 17378174655*x^2 + 24259321620*x + 3109630591, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3109630591, 24259321620, -17378174655, -601455629303, -1567611092278, 488836631314, 7302900918860, 8584245508513, -4693562989906, -16773542913789, -9094078083973, 5903210349213, 7779541229922, 614677458641, -2477173011886, -846902299600, 392273336476, 241140895308, -27213591295, -37516024451, -869647969, 3723230595, 352249669, -250499393, -33684927, 11776892, 1778015, -391707, -56260, 9089, 1010, -136, -8, 1]);
 

\( x^{33} - 8 x^{32} - 136 x^{31} + 1010 x^{30} + 9089 x^{29} - 56260 x^{28} - 391707 x^{27} + 1778015 x^{26} + 11776892 x^{25} - 33684927 x^{24} - 250499393 x^{23} + 352249669 x^{22} + 3723230595 x^{21} - 869647969 x^{20} - 37516024451 x^{19} - 27213591295 x^{18} + 241140895308 x^{17} + 392273336476 x^{16} - 846902299600 x^{15} - 2477173011886 x^{14} + 614677458641 x^{13} + 7779541229922 x^{12} + 5903210349213 x^{11} - 9094078083973 x^{10} - 16773542913789 x^{9} - 4693562989906 x^{8} + 8584245508513 x^{7} + 7302900918860 x^{6} + 488836631314 x^{5} - 1567611092278 x^{4} - 601455629303 x^{3} - 17378174655 x^{2} + 24259321620 x + 3109630591 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $33$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[33, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(225\!\cdots\!481\)\(\medspace = 23^{30}\cdot 37^{22}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $192.04$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $23, 37$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $33$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(851=23\cdot 37\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{851}(1,·)$, $\chi_{851}(519,·)$, $\chi_{851}(269,·)$, $\chi_{851}(26,·)$, $\chi_{851}(285,·)$, $\chi_{851}(417,·)$, $\chi_{851}(676,·)$, $\chi_{851}(556,·)$, $\chi_{851}(174,·)$, $\chi_{851}(47,·)$, $\chi_{851}(692,·)$, $\chi_{851}(565,·)$, $\chi_{851}(186,·)$, $\chi_{851}(445,·)$, $\chi_{851}(581,·)$, $\chi_{851}(840,·)$, $\chi_{851}(75,·)$, $\chi_{851}(334,·)$, $\chi_{851}(593,·)$, $\chi_{851}(211,·)$, $\chi_{851}(729,·)$, $\chi_{851}(602,·)$, $\chi_{851}(223,·)$, $\chi_{851}(100,·)$, $\chi_{851}(232,·)$, $\chi_{851}(491,·)$, $\chi_{851}(371,·)$, $\chi_{851}(630,·)$, $\chi_{851}(248,·)$, $\chi_{851}(121,·)$, $\chi_{851}(507,·)$, $\chi_{851}(380,·)$, $\chi_{851}(639,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{47} a^{25} - \frac{17}{47} a^{24} - \frac{2}{47} a^{23} + \frac{2}{47} a^{22} - \frac{3}{47} a^{21} + \frac{16}{47} a^{20} + \frac{9}{47} a^{19} + \frac{11}{47} a^{18} - \frac{6}{47} a^{17} - \frac{13}{47} a^{16} - \frac{5}{47} a^{15} + \frac{1}{47} a^{14} + \frac{13}{47} a^{13} + \frac{13}{47} a^{12} + \frac{7}{47} a^{11} - \frac{22}{47} a^{10} + \frac{2}{47} a^{9} + \frac{14}{47} a^{8} + \frac{21}{47} a^{7} + \frac{14}{47} a^{6} + \frac{13}{47} a^{5} + \frac{23}{47} a^{4} - \frac{7}{47} a^{3} + \frac{5}{47} a^{2} + \frac{4}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{26} - \frac{9}{47} a^{24} + \frac{15}{47} a^{23} - \frac{16}{47} a^{22} + \frac{12}{47} a^{21} - \frac{1}{47} a^{20} + \frac{23}{47} a^{19} - \frac{7}{47} a^{18} - \frac{21}{47} a^{17} + \frac{9}{47} a^{16} + \frac{10}{47} a^{15} - \frac{17}{47} a^{14} - \frac{1}{47} a^{13} - \frac{7}{47} a^{12} + \frac{3}{47} a^{11} + \frac{4}{47} a^{10} + \frac{1}{47} a^{9} - \frac{23}{47} a^{8} - \frac{5}{47} a^{7} + \frac{16}{47} a^{6} + \frac{9}{47} a^{5} + \frac{8}{47} a^{4} - \frac{20}{47} a^{3} - \frac{5}{47} a^{2} + \frac{21}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{27} + \frac{3}{47} a^{24} + \frac{13}{47} a^{23} - \frac{17}{47} a^{22} + \frac{19}{47} a^{21} - \frac{21}{47} a^{20} - \frac{20}{47} a^{19} - \frac{16}{47} a^{18} + \frac{2}{47} a^{17} - \frac{13}{47} a^{16} - \frac{15}{47} a^{15} + \frac{8}{47} a^{14} + \frac{16}{47} a^{13} - \frac{21}{47} a^{12} + \frac{20}{47} a^{11} - \frac{9}{47} a^{10} - \frac{5}{47} a^{9} - \frac{20}{47} a^{8} + \frac{17}{47} a^{7} - \frac{6}{47} a^{6} - \frac{16}{47} a^{5} - \frac{1}{47} a^{4} - \frac{21}{47} a^{3} + \frac{19}{47} a^{2} - \frac{11}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{28} + \frac{17}{47} a^{24} - \frac{11}{47} a^{23} + \frac{13}{47} a^{22} - \frac{12}{47} a^{21} - \frac{21}{47} a^{20} + \frac{4}{47} a^{19} + \frac{16}{47} a^{18} + \frac{5}{47} a^{17} - \frac{23}{47} a^{16} + \frac{23}{47} a^{15} + \frac{13}{47} a^{14} - \frac{13}{47} a^{13} - \frac{19}{47} a^{12} + \frac{17}{47} a^{11} + \frac{14}{47} a^{10} + \frac{21}{47} a^{9} + \frac{22}{47} a^{8} - \frac{22}{47} a^{7} - \frac{11}{47} a^{6} + \frac{7}{47} a^{5} + \frac{4}{47} a^{4} - \frac{7}{47} a^{3} + \frac{21}{47} a^{2} - \frac{12}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{29} - \frac{4}{47} a^{24} + \frac{1}{47} a^{22} - \frac{17}{47} a^{21} + \frac{14}{47} a^{20} + \frac{4}{47} a^{19} + \frac{6}{47} a^{18} - \frac{15}{47} a^{17} + \frac{9}{47} a^{16} + \frac{4}{47} a^{15} + \frac{17}{47} a^{14} - \frac{5}{47} a^{13} - \frac{16}{47} a^{12} - \frac{11}{47} a^{11} + \frac{19}{47} a^{10} - \frac{12}{47} a^{9} + \frac{22}{47} a^{8} + \frac{8}{47} a^{7} + \frac{4}{47} a^{6} + \frac{18}{47} a^{5} - \frac{22}{47} a^{4} - \frac{1}{47} a^{3} - \frac{3}{47} a^{2} - \frac{21}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{30} - \frac{21}{47} a^{24} - \frac{7}{47} a^{23} - \frac{9}{47} a^{22} + \frac{2}{47} a^{21} + \frac{21}{47} a^{20} - \frac{5}{47} a^{19} - \frac{18}{47} a^{18} - \frac{15}{47} a^{17} - \frac{1}{47} a^{16} - \frac{3}{47} a^{15} - \frac{1}{47} a^{14} - \frac{11}{47} a^{13} - \frac{6}{47} a^{12} - \frac{6}{47} a^{10} - \frac{17}{47} a^{9} + \frac{17}{47} a^{8} - \frac{6}{47} a^{7} - \frac{20}{47} a^{6} - \frac{17}{47} a^{5} - \frac{3}{47} a^{4} + \frac{16}{47} a^{3} - \frac{1}{47} a^{2} + \frac{16}{47} a$, $\frac{1}{2209} a^{31} + \frac{7}{2209} a^{30} + \frac{19}{2209} a^{29} - \frac{19}{2209} a^{27} - \frac{4}{2209} a^{26} + \frac{15}{2209} a^{25} + \frac{218}{2209} a^{24} + \frac{268}{2209} a^{23} - \frac{476}{2209} a^{22} + \frac{417}{2209} a^{21} - \frac{869}{2209} a^{20} + \frac{24}{2209} a^{19} - \frac{1038}{2209} a^{18} + \frac{990}{2209} a^{17} + \frac{139}{2209} a^{16} - \frac{539}{2209} a^{15} + \frac{774}{2209} a^{14} + \frac{883}{2209} a^{13} + \frac{361}{2209} a^{12} + \frac{397}{2209} a^{11} - \frac{1087}{2209} a^{10} - \frac{1013}{2209} a^{9} + \frac{50}{2209} a^{8} + \frac{402}{2209} a^{7} + \frac{50}{2209} a^{6} - \frac{454}{2209} a^{5} - \frac{595}{2209} a^{4} - \frac{198}{2209} a^{3} - \frac{632}{2209} a^{2} - \frac{817}{2209} a - \frac{10}{47}$, $\frac{1}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{32} - \frac{393404171832387353550531262824516065826017852087889620260785028726495446130103606228913821502088885587317509212023253761624514952552874458800195556757399334693}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{31} + \frac{17695649420268760538574272481226517935948449100225258535329040151304169919470698709491613844182171680808008919777552237937687157565784749851904251485105006040162}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{30} + \frac{15416938614434348377894327962262417231957512773171455186357281750244446920558625040752001819632507277541726747281615955327925022578643262695660364806954449564685}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{29} - \frac{3604499114804080260492158687310244933938930807269318571365683427322214338461330577788802993168596658342382865800755402482603479213795720424477766241061267869826}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{28} + \frac{7898041962480002477450296238275774662867049581463690825836953437404804473230055078934279380954501221531316795039617640819529862846258557941899757594563189175486}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{27} + \frac{14514522613610584304955248148843137195633161588482789761603277722464020059904105720559245443486076244100802646147181202715528268318239962056633305126872230624002}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{26} - \frac{12953253786236984711911985016846369845337128616370646906584520207412704176339972207334252874994230699973599492678539436195193021338338713263956199636936327005907}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{25} - \frac{524132886452064429279137289490171857003699909281340406573251779731489604233118598741307736205974186361946573051731514180382813014199368903794715346508304628413768}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{24} + \frac{656459743948085293842311753256860855976898366695710646098633173743481413859314596108288767896321425697000016707040262289993670916853047045793960787629083715030557}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{23} + \frac{740672621884914937677357939159309235473438105677046935010986440891541804924008026456643260082181158566255700407689059886319047599060246806170796733808424553473255}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{22} + \frac{892917935371481366232980999777553901165310393729775133199640750921394920467539287681445648323620370408302514784762579891309910974318423453922605657370509696313255}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{21} - \frac{557885735147811894177526950742937702539175919888759414155246499757357367090307424326679616219537833960121924530096127049392648872157727600797347811798548550414594}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{20} + \frac{309332448562196567843289946298821859261378222001710323928686280426246660596842909973611323391779282725799787614140137465545680695147710136554406336563991632306608}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{19} - \frac{4030473227943770388992986411957692525200271251177675068666095470137837989106351483322015378240291076230292819793701786519251475284336928941099977048254621412540}{13256998537468864868402847003304379244910413845147104136010677188083184574806035177428391493925106946769289274192393440008502241901999342950143401578728326958991} a^{18} - \frac{537864095958410008889366785650707786963297289126433548621153494480876120561865912085744696993488647091024198787628010149902160991024948148818023706894967088914388}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{17} - \frac{518696085637256864913666662862719155572616631930830336203567140551758203476692294708430981844248422472574264005358800073552338023697457894673235296675835440035909}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{16} - \frac{70121368812330421356888141432151889811009040549403447302909126955846056502758010668250167837751928940190606514654712406442812882072235064343097434325494721656719}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{15} + \frac{229612708304068523010763600106257384298415333126498446167043326895562348332618140810100466019525914585185486513158099229872933979914082309607538835061381585412177}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{14} + \frac{10850095773666858269944734678881363258348399138379300159227321811372306638124096704617013808855249742665746904116581023552794875880305849272281722566288182750611}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{13} + \frac{54876850051867251289616659741727713790157595431140208957976975285936558389491798687332512946298557945142180311341682648636497118547706462242082609494266490216073}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{12} + \frac{479685650164610753454376666114697449931355392594925682073699152372298003979989283102105348737262699578624892900064508293524391130529218844924907385497099473815010}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{11} + \frac{534744083918409648734193330437744077428308089877789809319086194895717165739252273096777417870823470312997323004655719930788257001397607000125360731090777978413235}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{10} + \frac{409474288042189897209379310335494636125164837496994846926561011545119409227123615907781991000614080447210899991329426616582593677736771769822205164224833251418888}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{9} + \frac{356651086500334124796750765805682997333284934078662822964944042642975038904090446531656809589821207223909611321798820798274157940299670086639822517152977887001269}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{8} + \frac{675284524506658251616654904334618184570929030029708857469680736953184286023612496437340206942692128772057485975167638064024797386764861048907823772753891454071814}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{7} - \frac{318080231249318521984604412196964825327123718376218376533889626860694509674702374261364636337223180372987053889465019086740142774545929681703367768676724657757838}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{6} - \frac{119388664090905674254440960281025034071804077733672308445337840172023827029062449607085051953241810834004544791395478574566427235980012378930602393003764103886268}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{5} - \frac{412151407567745436485864547398151464925377467378313250726978406997172041273086908445291002015926318134010757752250470187254490851934564287341008546663728260190861}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{4} - \frac{743901963055420307619996052497122357867277478283149337642124255586382540446725757522210667555785051954464270699555607403110455156600742339524077304295765802348730}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{3} + \frac{138540971843181048285437378771691915043396816078809357850617754715546897433895775594970810159868720650348492920110781208075206671683086705468257958533895173371066}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a^{2} - \frac{247004844852650650379480598864049307209835430013442623096901878038861658108646514152562638011791435523198600272178281932031818279114740159529032939833301739202835}{1816208799633234486971190039452699956552726696785153266633462774767396286748426819307689634667739651707392630564357901281164807140573909984169646016285780793381767} a - \frac{14696754074729771870743534742065570978602930663428173487421644135243140994063143577999939592416589603303073637398391455740674904869642542058213765199590645528732}{38642740417728393339812554030908509713887802059258580141137505846114814611668655729950843290802971312923247458816125559173719300863274680514247787580548527518761}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $32$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.1369.1, \(\Q(\zeta_{23})^+\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $33$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/11.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ $33$ R ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{3}$ R $33$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{33}$ $33$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$23$23.11.10.10$x^{11} - 23$$11$$1$$10$$C_{11}$$[\ ]_{11}$
23.11.10.10$x^{11} - 23$$11$$1$$10$$C_{11}$$[\ ]_{11}$
23.11.10.10$x^{11} - 23$$11$$1$$10$$C_{11}$$[\ ]_{11}$
37Data not computed