↑

Properties

Label 33.33.1449760345...0241.1
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $397^{32}$
Root discriminant $331.16$
Ramified prime $397$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-15673387271, -12108757758, 407404883932, 151875061213, -3158585276742, -1311338013785, 10477113462512, 5101268818647, -16764042648709, -7754711015299, 15508197069166, 5801368765632, -9171653462413, -2329240823315, 3615890185103, 482008128932, -959026697321, -30119712292, 171033576249, -8215547427, -20426291889, 2235888539, 1615294942, -257440569, -82566570, 16908632, 2610041, -664958, -47108, 15372, 409, -192, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - x^32 - 192*x^31 + 409*x^30 + 15372*x^29 - 47108*x^28 - 664958*x^27 + 2610041*x^26 + 16908632*x^25 - 82566570*x^24 - 257440569*x^23 + 1615294942*x^22 + 2235888539*x^21 - 20426291889*x^20 - 8215547427*x^19 + 171033576249*x^18 - 30119712292*x^17 - 959026697321*x^16 + 482008128932*x^15 + 3615890185103*x^14 - 2329240823315*x^13 - 9171653462413*x^12 + 5801368765632*x^11 + 15508197069166*x^10 - 7754711015299*x^9 - 16764042648709*x^8 + 5101268818647*x^7 + 10477113462512*x^6 - 1311338013785*x^5 - 3158585276742*x^4 + 151875061213*x^3 + 407404883932*x^2 - 12108757758*x - 15673387271)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - x^32 - 192*x^31 + 409*x^30 + 15372*x^29 - 47108*x^28 - 664958*x^27 + 2610041*x^26 + 16908632*x^25 - 82566570*x^24 - 257440569*x^23 + 1615294942*x^22 + 2235888539*x^21 - 20426291889*x^20 - 8215547427*x^19 + 171033576249*x^18 - 30119712292*x^17 - 959026697321*x^16 + 482008128932*x^15 + 3615890185103*x^14 - 2329240823315*x^13 - 9171653462413*x^12 + 5801368765632*x^11 + 15508197069166*x^10 - 7754711015299*x^9 - 16764042648709*x^8 + 5101268818647*x^7 + 10477113462512*x^6 - 1311338013785*x^5 - 3158585276742*x^4 + 151875061213*x^3 + 407404883932*x^2 - 12108757758*x - 15673387271, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{33} - x^{32} - 192 x^{31} + 409 x^{30} + 15372 x^{29} - 47108 x^{28} - 664958 x^{27} + 2610041 x^{26} + 16908632 x^{25} - 82566570 x^{24} - 257440569 x^{23} + 1615294942 x^{22} + 2235888539 x^{21} - 20426291889 x^{20} - 8215547427 x^{19} + 171033576249 x^{18} - 30119712292 x^{17} - 959026697321 x^{16} + 482008128932 x^{15} + 3615890185103 x^{14} - 2329240823315 x^{13} - 9171653462413 x^{12} + 5801368765632 x^{11} + 15508197069166 x^{10} - 7754711015299 x^{9} - 16764042648709 x^{8} + 5101268818647 x^{7} + 10477113462512 x^{6} - 1311338013785 x^{5} - 3158585276742 x^{4} + 151875061213 x^{3} + 407404883932 x^{2} - 12108757758 x - 15673387271 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $33$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[33, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(144976034503232042323155974224682173532803520277909171306332029850953046775578970241=397^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $331.16$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $397$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(397\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{397}(256,·)$, $\chi_{397}(1,·)$, $\chi_{397}(260,·)$, $\chi_{397}(261,·)$, $\chi_{397}(393,·)$, $\chi_{397}(140,·)$, $\chi_{397}(16,·)$, $\chi_{397}(273,·)$, $\chi_{397}(147,·)$, $\chi_{397}(151,·)$, $\chi_{397}(31,·)$, $\chi_{397}(290,·)$, $\chi_{397}(167,·)$, $\chi_{397}(171,·)$, $\chi_{397}(172,·)$, $\chi_{397}(314,·)$, $\chi_{397}(190,·)$, $\chi_{397}(332,·)$, $\chi_{397}(34,·)$, $\chi_{397}(206,·)$, $\chi_{397}(333,·)$, $\chi_{397}(354,·)$, $\chi_{397}(99,·)$, $\chi_{397}(362,·)$, $\chi_{397}(108,·)$, $\chi_{397}(110,·)$, $\chi_{397}(367,·)$, $\chi_{397}(370,·)$, $\chi_{397}(106,·)$, $\chi_{397}(120,·)$, $\chi_{397}(234,·)$, $\chi_{397}(126,·)$, $\chi_{397}(255,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{126378563} a^{31} - \frac{61920481}{126378563} a^{30} - \frac{56776407}{126378563} a^{29} + \frac{49633657}{126378563} a^{28} + \frac{49331448}{126378563} a^{27} - \frac{5631367}{126378563} a^{26} - \frac{29855719}{126378563} a^{25} - \frac{13608486}{126378563} a^{24} + \frac{16666474}{126378563} a^{23} + \frac{41593530}{126378563} a^{22} - \frac{1890089}{126378563} a^{21} + \frac{17033922}{126378563} a^{20} - \frac{3813430}{126378563} a^{19} - \frac{4377295}{126378563} a^{18} + \frac{17908190}{126378563} a^{17} - \frac{39655458}{126378563} a^{16} + \frac{29904665}{126378563} a^{15} - \frac{34499295}{126378563} a^{14} + \frac{12076514}{126378563} a^{13} + \frac{42953948}{126378563} a^{12} + \frac{17641828}{126378563} a^{11} - \frac{1251192}{126378563} a^{10} + \frac{42744421}{126378563} a^{9} - \frac{32268688}{126378563} a^{8} + \frac{26058921}{126378563} a^{7} - \frac{45183070}{126378563} a^{6} + \frac{40715417}{126378563} a^{5} - \frac{58223899}{126378563} a^{4} + \frac{25159606}{126378563} a^{3} + \frac{26513029}{126378563} a^{2} - \frac{57622148}{126378563} a - \frac{37935373}{126378563}$, $\frac{1}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{32} - \frac{53760118071162831797400747840286324628022520567019845213587524600192605736032844823799871660018235791338682108338891640382162089393422957845860385117956599661631916}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{31} + \frac{4558161755366322961520554845290966011172945043780382680161834612971172447789081063922058475297385529076997922429206928064269033727409740653999495216331518271222754045966181}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{30} + \frac{3508470751332421917152051659647177642185085409600800251573399225527847632894172067394943949332979355183539489882369677696168362062800131725419897816951620823562665939692821}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{29} - \frac{7534589076987341192042592101135424621082196258820447863590618012988430622363870095724595630728002525751544817306316356205918744796400748064173501400308156054102745056286262}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{28} + \frac{6674292229762584437378865139611221101400410282091845708799103461897971792649273016299525048257062489893554374160012164505151491204650818353686598018602771346574591852115567}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{27} + \frac{6209399691221513560926742683133300820490170803043095003175453925668996667474971180715051851458634516654321985369655123049078453768084990824556732137049107907134533506879508}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{26} + \frac{1482247412051021455261983794876928452618430792901362007998794722651499260270348952389986538027329808800522592027176481247435275084466027711516386871730078720527258584998576}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{25} - \frac{4380081205649585584706058078882910025086423299559666961364612490023137234276240422308225991991748986161736406762875903185006802745335767900821593322388714290162499669309279}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{24} - \frac{5916346115170248811365384686132111424082081315877117762568422875601825963419049762270171888889440147879774930457833918227615842158399103464714240439554179507489137267423306}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{23} - \frac{7802919701531989246721769920086651816552207963570590285989372035794958380843965957270128305708950073096480626366368544970997540555122304060912473397615686281544317660884279}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{22} + \frac{1351159012407664821884652069522207297357793418101175351320258799635830884210505627082232348307410526032615444737791412698006242645778889561837874737883819561560577471406332}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{21} + \frac{3959919059427083424251021408093084434423558527757523343894183204084751516094368344293180324711899863597314938345720311536491089442193958122085873325125675457432637926208222}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{20} - \frac{1062045622223734709233151137840547856373919922653786454378261362682608138211938820296982565421611678868589433242398622864197626546013677568810609378768580634325768774819742}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{19} - \frac{5378766578278354991680498557633686950332917296415830408213753088549104874335711805280118009255616561072190143420641557073366278636320431110302463215197005547491008987579705}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{18} + \frac{250370090368390273088825170745506346160009341282043111720303153682908495225461727267445375862759884438004613081953860053716506082667827379050630298372736561984473801864429}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{17} - \frac{3673272249405559037332259430171970527200036485263181308798303692056159608213535980969021381659586510689078977899035565888046192815163542097604029461476017604029947819920499}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{16} - \frac{3183501998725286543481913220766762732465497860611306457331343905352654687093519396046260910431025859044977225810910812820077492145322757231796690443420101100395134158117374}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{15} - \frac{6366905434417376274236751989636002477444737061625501537538586509287798372782814912512727179612535094167658695175661260339198158832190301882667603256999654387665002775326176}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{14} - \frac{7757399354028445147358480530971978393250404747076766146862009823580419608538624973705618083282752816177582322692724433912545077683176472803394775223384703853978816242149088}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{13} - \frac{6884955677609300000117269873169205958570239187939553222619918001902257580950066846138758838673937305678706904867517337901067774314164421421964060565771309224165734977258112}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{12} + \frac{1921409872087726296001001357560546310383329509109903516463360625218881694934655306006072582323948137037448131887026215308761949649966311334388724139160505541690265929412145}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{11} - \frac{5104898716002914982178129414481110416527067858304106037441112056771486525107874634498447762185851336004674498214345280935559384979565767829420964862680370834338964023180378}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{10} + \frac{843646936665988362579879148680108007683663153201450830774135679925421801927982500996879374336596042522978762450097696364871643086769666686959601813248233530968978928094532}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{9} - \frac{6783902161548109336148323390513437725340403354174947582729076291841681998557948215692032924638735541712882529836829941125026690472059147749218250589203773143238009006369822}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{8} + \frac{5574270320437781130264218243726065335554980509075488824131440555352191399471079514133456519104921494569130498774815658781256539600531963086734363555002901073360184599535335}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{7} + \frac{2328548184281057667774718276863264668699536537567919370645018730490516625889271241097910289729865323600011320699283223522485724577770452760979572339595091283227811664069604}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{6} + \frac{3497441826089630850300961386302664854332372592027854411866913002533336648800389624622160974955527255388432503756502441186419757057934184590692904736189943120875876935590132}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{5} + \frac{4573974275630352386292710969986950182337648962158557448511566501892826173125314148505166346011745851387544307062062514750444355260302040613815477167899658863221806929027176}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{4} - \frac{4894857606037067241108670876281472758614344260712469510346322225444998613216427133657628144222296730420277741208505232814320590224491553684077803743703505191975531879716306}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{3} - \frac{7128573396988827617609440808597568375681319011359592004255877649358848940888080253520650231505637189157698131782721993795762320571277767244383573844315190108271218938703782}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a^{2} + \frac{2267529512206240333741101647520402580854552333248152334904766667155066203524199473668931013919286831840378836625827481018269175236836886605507361742943654910678603421686051}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579} a - \frac{1785568919648143829649038984417819854500379601110405611226919343515893695706439834839271063293590842366675842918497289109458928821326016723741500651945584529339346321130033}{15730545839235766234831012641413478144531060920129762834890399104009515523410435397105753947743561765846988279400624953501985756644254351921444104402299794445821677488395579}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $32$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.157609.1, 11.11.97253461433805715000527049.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/17.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/31.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{11}$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/53.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
397Data not computed