↑

Properties

Label 33.33.1190468723...0449.1
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $7^{22}\cdot 11^{60}$
Root discriminant $286.31$
Ramified primes $7, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![7577750599, -30998629574, -94026824265, 515513855593, 145506995579, -2744512475650, 1195860701409, 6391533808968, -4383135863612, -7704320537793, 5954891146325, 5355715367049, -4350475066289, -2300361984558, 1947780966208, 634286675935, -569856225147, -113656432329, 112761226974, 12969912978, -15352935246, -855342411, 1444297455, 18084198, -93027924, 1844139, 3996894, -178156, -108592, 6930, 1672, -132, -11, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - 11*x^32 - 132*x^31 + 1672*x^30 + 6930*x^29 - 108592*x^28 - 178156*x^27 + 3996894*x^26 + 1844139*x^25 - 93027924*x^24 + 18084198*x^23 + 1444297455*x^22 - 855342411*x^21 - 15352935246*x^20 + 12969912978*x^19 + 112761226974*x^18 - 113656432329*x^17 - 569856225147*x^16 + 634286675935*x^15 + 1947780966208*x^14 - 2300361984558*x^13 - 4350475066289*x^12 + 5355715367049*x^11 + 5954891146325*x^10 - 7704320537793*x^9 - 4383135863612*x^8 + 6391533808968*x^7 + 1195860701409*x^6 - 2744512475650*x^5 + 145506995579*x^4 + 515513855593*x^3 - 94026824265*x^2 - 30998629574*x + 7577750599)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - 11*x^32 - 132*x^31 + 1672*x^30 + 6930*x^29 - 108592*x^28 - 178156*x^27 + 3996894*x^26 + 1844139*x^25 - 93027924*x^24 + 18084198*x^23 + 1444297455*x^22 - 855342411*x^21 - 15352935246*x^20 + 12969912978*x^19 + 112761226974*x^18 - 113656432329*x^17 - 569856225147*x^16 + 634286675935*x^15 + 1947780966208*x^14 - 2300361984558*x^13 - 4350475066289*x^12 + 5355715367049*x^11 + 5954891146325*x^10 - 7704320537793*x^9 - 4383135863612*x^8 + 6391533808968*x^7 + 1195860701409*x^6 - 2744512475650*x^5 + 145506995579*x^4 + 515513855593*x^3 - 94026824265*x^2 - 30998629574*x + 7577750599, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{33} - 11 x^{32} - 132 x^{31} + 1672 x^{30} + 6930 x^{29} - 108592 x^{28} - 178156 x^{27} + 3996894 x^{26} + 1844139 x^{25} - 93027924 x^{24} + 18084198 x^{23} + 1444297455 x^{22} - 855342411 x^{21} - 15352935246 x^{20} + 12969912978 x^{19} + 112761226974 x^{18} - 113656432329 x^{17} - 569856225147 x^{16} + 634286675935 x^{15} + 1947780966208 x^{14} - 2300361984558 x^{13} - 4350475066289 x^{12} + 5355715367049 x^{11} + 5954891146325 x^{10} - 7704320537793 x^{9} - 4383135863612 x^{8} + 6391533808968 x^{7} + 1195860701409 x^{6} - 2744512475650 x^{5} + 145506995579 x^{4} + 515513855593 x^{3} - 94026824265 x^{2} - 30998629574 x + 7577750599 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $33$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[33, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1190468723186094710476914290572582621182874672631260195591246568700644178487220449=7^{22}\cdot 11^{60}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $286.31$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(847=7\cdot 11^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{847}(1,·)$, $\chi_{847}(386,·)$, $\chi_{847}(771,·)$, $\chi_{847}(144,·)$, $\chi_{847}(529,·)$, $\chi_{847}(23,·)$, $\chi_{847}(408,·)$, $\chi_{847}(793,·)$, $\chi_{847}(155,·)$, $\chi_{847}(540,·)$, $\chi_{847}(298,·)$, $\chi_{847}(683,·)$, $\chi_{847}(177,·)$, $\chi_{847}(562,·)$, $\chi_{847}(309,·)$, $\chi_{847}(694,·)$, $\chi_{847}(67,·)$, $\chi_{847}(452,·)$, $\chi_{847}(837,·)$, $\chi_{847}(331,·)$, $\chi_{847}(716,·)$, $\chi_{847}(78,·)$, $\chi_{847}(463,·)$, $\chi_{847}(221,·)$, $\chi_{847}(606,·)$, $\chi_{847}(100,·)$, $\chi_{847}(485,·)$, $\chi_{847}(232,·)$, $\chi_{847}(617,·)$, $\chi_{847}(375,·)$, $\chi_{847}(760,·)$, $\chi_{847}(254,·)$, $\chi_{847}(639,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $\frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5}$, $\frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{9} a^{18} - \frac{1}{9} a^{12} - \frac{1}{9} a^{10} + \frac{1}{9} a^{9} - \frac{2}{9} a^{6} - \frac{4}{9} a^{4} + \frac{4}{9} a^{3} - \frac{2}{9} a^{2} + \frac{4}{9} a - \frac{2}{9}$, $\frac{1}{9} a^{19} - \frac{1}{9} a^{13} - \frac{1}{9} a^{11} + \frac{1}{9} a^{10} - \frac{2}{9} a^{7} - \frac{4}{9} a^{5} + \frac{4}{9} a^{4} - \frac{2}{9} a^{3} + \frac{4}{9} a^{2} - \frac{2}{9} a$, $\frac{1}{9} a^{20} - \frac{1}{9} a^{14} - \frac{1}{9} a^{12} + \frac{1}{9} a^{11} - \frac{2}{9} a^{8} - \frac{4}{9} a^{6} + \frac{4}{9} a^{5} - \frac{2}{9} a^{4} + \frac{4}{9} a^{3} - \frac{2}{9} a^{2}$, $\frac{1}{9} a^{21} - \frac{1}{9} a^{15} - \frac{1}{9} a^{13} + \frac{1}{9} a^{12} + \frac{1}{9} a^{9} - \frac{4}{9} a^{7} + \frac{4}{9} a^{6} - \frac{2}{9} a^{5} + \frac{4}{9} a^{4} + \frac{1}{9} a^{3} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{9} a^{22} - \frac{1}{9} a^{16} - \frac{1}{9} a^{14} + \frac{1}{9} a^{13} + \frac{1}{9} a^{10} - \frac{4}{9} a^{8} + \frac{4}{9} a^{7} - \frac{2}{9} a^{6} + \frac{4}{9} a^{5} + \frac{1}{9} a^{4} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{9} a^{23} - \frac{1}{9} a^{17} - \frac{1}{9} a^{15} + \frac{1}{9} a^{14} + \frac{1}{9} a^{11} - \frac{1}{9} a^{9} + \frac{4}{9} a^{8} - \frac{2}{9} a^{7} + \frac{4}{9} a^{6} + \frac{1}{9} a^{5} - \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{81} a^{24} + \frac{1}{81} a^{23} + \frac{4}{81} a^{21} - \frac{4}{81} a^{19} + \frac{1}{81} a^{18} + \frac{5}{81} a^{17} - \frac{13}{81} a^{16} + \frac{11}{81} a^{15} + \frac{4}{81} a^{14} + \frac{1}{9} a^{13} + \frac{1}{9} a^{12} + \frac{11}{81} a^{11} - \frac{10}{81} a^{10} + \frac{32}{81} a^{8} - \frac{8}{27} a^{7} - \frac{16}{81} a^{6} + \frac{8}{27} a^{5} - \frac{14}{81} a^{4} - \frac{40}{81} a^{3} - \frac{11}{81} a^{2} + \frac{16}{81} a - \frac{34}{81}$, $\frac{1}{81} a^{25} - \frac{1}{81} a^{23} + \frac{4}{81} a^{22} - \frac{4}{81} a^{21} - \frac{4}{81} a^{20} - \frac{4}{81} a^{19} + \frac{4}{81} a^{18} + \frac{1}{9} a^{17} - \frac{1}{27} a^{16} - \frac{7}{81} a^{15} + \frac{5}{81} a^{14} + \frac{1}{9} a^{13} + \frac{2}{81} a^{12} - \frac{4}{27} a^{11} + \frac{1}{81} a^{10} + \frac{5}{81} a^{9} - \frac{29}{81} a^{8} - \frac{28}{81} a^{7} + \frac{40}{81} a^{6} - \frac{29}{81} a^{5} - \frac{35}{81} a^{4} - \frac{34}{81} a^{3} - \frac{4}{9} a^{2} - \frac{32}{81} a + \frac{7}{81}$, $\frac{1}{81} a^{26} - \frac{4}{81} a^{23} - \frac{4}{81} a^{22} - \frac{4}{81} a^{20} + \frac{1}{81} a^{18} + \frac{11}{81} a^{17} + \frac{7}{81} a^{16} - \frac{2}{81} a^{15} + \frac{4}{81} a^{14} + \frac{11}{81} a^{13} + \frac{2}{27} a^{12} + \frac{1}{27} a^{11} + \frac{4}{81} a^{10} - \frac{2}{81} a^{9} - \frac{5}{81} a^{8} - \frac{20}{81} a^{7} - \frac{4}{9} a^{6} - \frac{20}{81} a^{5} - \frac{13}{27} a^{4} - \frac{31}{81} a^{3} - \frac{25}{81} a^{2} - \frac{40}{81} a + \frac{38}{81}$, $\frac{1}{243} a^{27} + \frac{1}{243} a^{25} - \frac{1}{243} a^{24} - \frac{11}{243} a^{23} - \frac{5}{243} a^{22} + \frac{13}{243} a^{21} + \frac{5}{243} a^{20} - \frac{2}{81} a^{19} + \frac{40}{243} a^{17} + \frac{19}{243} a^{16} + \frac{1}{81} a^{15} + \frac{19}{243} a^{14} + \frac{5}{81} a^{13} - \frac{4}{243} a^{12} + \frac{16}{243} a^{11} - \frac{13}{243} a^{10} + \frac{1}{9} a^{9} + \frac{83}{243} a^{8} + \frac{35}{243} a^{7} - \frac{118}{243} a^{6} + \frac{22}{243} a^{5} - \frac{11}{27} a^{4} - \frac{89}{243} a^{3} - \frac{109}{243} a^{2} + \frac{2}{27} a - \frac{32}{243}$, $\frac{1}{243} a^{28} + \frac{1}{243} a^{26} - \frac{1}{243} a^{25} + \frac{1}{243} a^{24} + \frac{7}{243} a^{23} + \frac{13}{243} a^{22} - \frac{1}{243} a^{21} - \frac{2}{81} a^{20} + \frac{2}{81} a^{19} - \frac{2}{243} a^{18} - \frac{2}{243} a^{17} + \frac{1}{27} a^{16} - \frac{38}{243} a^{15} - \frac{2}{27} a^{14} + \frac{23}{243} a^{13} - \frac{38}{243} a^{12} - \frac{16}{243} a^{11} + \frac{5}{81} a^{10} - \frac{25}{243} a^{9} + \frac{95}{243} a^{8} - \frac{55}{243} a^{7} - \frac{35}{243} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{41}{243} a^{4} + \frac{5}{243} a^{3} + \frac{16}{81} a^{2} - \frac{83}{243} a + \frac{8}{81}$, $\frac{1}{243} a^{29} - \frac{1}{243} a^{26} - \frac{1}{243} a^{24} - \frac{4}{81} a^{23} + \frac{4}{243} a^{22} - \frac{1}{243} a^{21} + \frac{1}{243} a^{20} + \frac{13}{243} a^{19} - \frac{11}{243} a^{18} + \frac{32}{243} a^{17} - \frac{7}{81} a^{16} + \frac{5}{81} a^{15} + \frac{22}{243} a^{14} + \frac{1}{243} a^{13} - \frac{13}{81} a^{12} - \frac{19}{243} a^{11} - \frac{10}{81} a^{10} - \frac{13}{243} a^{9} + \frac{38}{81} a^{8} - \frac{43}{243} a^{7} - \frac{116}{243} a^{6} + \frac{2}{27} a^{5} - \frac{67}{243} a^{4} + \frac{38}{243} a^{3} + \frac{98}{243} a^{2} + \frac{26}{81} a - \frac{67}{243}$, $\frac{1}{333153} a^{30} - \frac{301}{333153} a^{29} + \frac{631}{333153} a^{28} + \frac{269}{333153} a^{27} - \frac{1135}{333153} a^{26} - \frac{857}{333153} a^{25} - \frac{682}{333153} a^{24} - \frac{8971}{333153} a^{23} - \frac{15982}{333153} a^{22} + \frac{17734}{333153} a^{21} - \frac{598}{37017} a^{20} + \frac{4640}{111051} a^{19} + \frac{15332}{333153} a^{18} + \frac{31967}{333153} a^{17} + \frac{15790}{111051} a^{16} + \frac{20366}{333153} a^{15} - \frac{11935}{111051} a^{14} - \frac{53924}{333153} a^{13} - \frac{815}{12339} a^{12} - \frac{4208}{111051} a^{11} + \frac{5975}{333153} a^{10} + \frac{5719}{37017} a^{9} - \frac{151187}{333153} a^{8} - \frac{128840}{333153} a^{7} - \frac{50293}{111051} a^{6} + \frac{1799}{333153} a^{5} - \frac{347}{333153} a^{4} + \frac{49646}{333153} a^{3} + \frac{22780}{333153} a^{2} + \frac{21769}{111051} a + \frac{28828}{333153}$, $\frac{1}{333153} a^{31} + \frac{172}{111051} a^{29} - \frac{41}{37017} a^{28} + \frac{316}{333153} a^{27} + \frac{181}{37017} a^{26} + \frac{160}{111051} a^{25} - \frac{377}{333153} a^{24} - \frac{16754}{333153} a^{23} - \frac{5428}{111051} a^{22} - \frac{10235}{333153} a^{21} - \frac{160}{4113} a^{20} + \frac{18218}{333153} a^{19} + \frac{1951}{333153} a^{18} + \frac{25823}{333153} a^{17} - \frac{52327}{333153} a^{16} - \frac{31267}{333153} a^{15} - \frac{19523}{333153} a^{14} - \frac{17747}{333153} a^{13} - \frac{12959}{111051} a^{12} + \frac{43580}{333153} a^{11} - \frac{11872}{333153} a^{10} - \frac{14987}{333153} a^{9} + \frac{78497}{333153} a^{8} + \frac{37585}{333153} a^{7} - \frac{9373}{333153} a^{6} - \frac{13384}{111051} a^{5} + \frac{21035}{111051} a^{4} - \frac{3308}{37017} a^{3} + \frac{71200}{333153} a^{2} + \frac{152227}{333153} a - \frac{72494}{333153}$, $\frac{1}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{32} - \frac{37034100033830839942067729903228538121777600485052975278402135250938007910501839121383442488111173117277346181407193402425329120107088377553129835}{27479203212384750002987750201330677894972295365397591978284321906128240082121775423659439223036099960075085235627080010185186325975178091934619523093001} a^{31} + \frac{87275969408615367063341046255603368801777259750494113902965457491369305552852076541994846104221807564465312362215386966206579273829414117949869627}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{30} - \frac{94923196929844578304255127160862641943047743004160966493567985491968083908602313817956472513189651228066714369999016566912044964169058156253094468328}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{29} + \frac{121444939638260942941292374720680603607920961746299153696638906510218300758456481690005779430645865363459310367246360170363247419761685306505544772699}{82437609637154250008963250603992033684916886096192775934852965718384720246365326270978317669108299880225255706881240030555558977925534275803858569279003} a^{28} + \frac{424374748399220183495826871413159475578954539660441620781507739845872423756350549291063243066972121420760964462873626964489230765994784660580997012757}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{27} + \frac{117428966153048232451252744969823622980685023544079794993944741616535896795082639393438946981836489602684643958099071871158738031468757599510427377851}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{26} - \frac{204185052202173710061542236629870307801559143951903099186574489739852323076579187754408918062705010993426033049466927883080767962801400668664299668213}{82437609637154250008963250603992033684916886096192775934852965718384720246365326270978317669108299880225255706881240030555558977925534275803858569279003} a^{25} - \frac{444002120791696602715732672368069953467722445886197585024195383005731469391117891950284060518019950687487382266450592794077606119893718746721119326274}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{24} - \frac{2246772368761582213619600757752759964957351663482763223017305446973445010501089913472977911920378488909808745457688893289311031926004562167636557920137}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{23} + \frac{12228900162919405254568242135110858184364966955985069961768186519099365472320042816470406057894530009139329330765122664966406854833106163187071403335818}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{22} + \frac{11013795344046214157099332129259071346734461738631374569900461697451800537802044730243176048236090858442435096335973831964750780429742638492747885978473}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{21} - \frac{6599749947396712111815480185490010962253121722849624280398475560781921305049574772189483224628277653024425783359993834778758777548984437619173247849852}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{20} + \frac{8298179626493317716116142525916072849745462896953578280212267429458065969346427465109224547974437115574911304880599356053722080802636898450821979749661}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{19} - \frac{241999436131681581010509646629478771450672117919599909197321573880720149891448279722873957873442839177978060470780528630374639959189913939356165180949}{82437609637154250008963250603992033684916886096192775934852965718384720246365326270978317669108299880225255706881240030555558977925534275803858569279003} a^{18} + \frac{4506681134114267883711325367435252617118165089280041945227226636312769822762605225923008991269427437835269812556634232944045739180934508895760861993593}{82437609637154250008963250603992033684916886096192775934852965718384720246365326270978317669108299880225255706881240030555558977925534275803858569279003} a^{17} + \frac{9913029957448760931618598675533032749025204254005715373371220431772479424236466150903945762771304664842448533664942942186953815205267547582802212206098}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{16} - \frac{17983111300388861789930712211818776030775451735830471425294293777279686174379540893378727224902449960867713035953314913024462783096752463100935788116248}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{15} - \frac{31365819339508999756242261648978570770650657287953602198017244169838860252845410465393730612917766767434921424119770737774267009370910783103489455028707}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{14} - \frac{28500615411225154513094079643695254128729402136370073472105345685744729875904382458644540976389372334203621872985184685912451755102826465655637581357523}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{13} - \frac{19563264396714706023808194281701154749112419829436697059515058435004641203059973417409034242571195617779899487152671005601021197179861768727675980358830}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{12} + \frac{38148717550799214508102455632283643694876759927966913396061343381711608986077257464943425427176601404466748832038757820787424444009842249686092114013307}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{11} - \frac{26154386334687804515438568229056187220242774534711444125270055797523785600741185882742291187769998675964123450884296314954330491405811942832472050038761}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{10} + \frac{5595605323878364353200286466858413952045914718792748392906431932937087119779241846604952919822112555484967541194313213684946087610741908138101701917661}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{9} - \frac{7910649572459390900623072779947516684720428685960501204094950069265293418411785592482608251920353644161374097408362484629138189331660131226279141752940}{27479203212384750002987750201330677894972295365397591978284321906128240082121775423659439223036099960075085235627080010185186325975178091934619523093001} a^{8} - \frac{99034596282368573772833068010163694634231006237185976080066143655300601968737236829526598485173035346835919782316169664823190050392354570656585617115302}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{7} - \frac{25495817482493595052456269966751006417972134585753327065038242911091719493287503330757986204064458422278459907688922177498659661531230880247168752233238}{82437609637154250008963250603992033684916886096192775934852965718384720246365326270978317669108299880225255706881240030555558977925534275803858569279003} a^{6} + \frac{79833759264874278834476354557800074672986169705019482413631070287927401928071506858646441703690625794775786807804080604429815296010828135768169326818726}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{5} + \frac{89927568070518098204715231758566969941454402210165641503209513026174161136679834742833696775519842261515675275450918833283871071026306104364979307351368}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{4} + \frac{23203357513737285619807899381061333412420153494256718523665162271970169754226281781630344667648302590900220296742198961987538942481606443383983091906114}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a^{3} - \frac{107943297079517291606056092846845571501089042218096792543093912844227813063005287240840598605375632688050914053584855040830184740167784407759805884630}{339249422375120370407256175325070097468793769943180147880053356865780741754589820045178262012791357531791175748482469261545510197224420888081722507321} a^{2} - \frac{19749624696978982550879379552948401119940992476736818262926627433469200170548950732059185474811114883263224729177735115172296425210591246321503657839737}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009} a - \frac{82796327422091007599197001120196357971660478992231048270026731212430402926000442210804401199123674367722845044083949556433434600018256584028832410519650}{247312828911462750026889751811976101054750658288578327804558897155154160739095978812934953007324899640675767120643720091666676933776602827411575707837009}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $32$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\zeta_{7})^+\), 11.11.672749994932560009201.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $33$ ${\href{/LocalNumberField/3.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ R R ${\href{/LocalNumberField/13.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/29.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/41.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
11Data not computed