↑

Properties

Label 33.33.1063042350...5889.2
Degree $33$
Signature $[33, 0]$
Discriminant $7^{22}\cdot 67^{32}$
Root discriminant $215.84$
Ramified primes $7, 67$
Class number $3$ (GRH)
Class group $[3]$ (GRH)
Galois group $C_{33}$ (as 33T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![92241043, -1420033359, -27513840644, 160346257228, 176411491936, -1120340176018, -963126440972, 2837059467987, 2800536792860, -3171263867777, -3878119747536, 1667373272694, 2904925438202, -299209598192, -1282471520334, -97922207025, 350436717444, 66428973399, -60999502470, -16687359215, 6861757948, 2404876028, -497212030, -218988687, 22519732, 12983561, -584740, -499793, 6466, 12056, 31, -166, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^33 - x^32 - 166*x^31 + 31*x^30 + 12056*x^29 + 6466*x^28 - 499793*x^27 - 584740*x^26 + 12983561*x^25 + 22519732*x^24 - 218988687*x^23 - 497212030*x^22 + 2404876028*x^21 + 6861757948*x^20 - 16687359215*x^19 - 60999502470*x^18 + 66428973399*x^17 + 350436717444*x^16 - 97922207025*x^15 - 1282471520334*x^14 - 299209598192*x^13 + 2904925438202*x^12 + 1667373272694*x^11 - 3878119747536*x^10 - 3171263867777*x^9 + 2800536792860*x^8 + 2837059467987*x^7 - 963126440972*x^6 - 1120340176018*x^5 + 176411491936*x^4 + 160346257228*x^3 - 27513840644*x^2 - 1420033359*x + 92241043)
 
gp: K = bnfinit(x^33 - x^32 - 166*x^31 + 31*x^30 + 12056*x^29 + 6466*x^28 - 499793*x^27 - 584740*x^26 + 12983561*x^25 + 22519732*x^24 - 218988687*x^23 - 497212030*x^22 + 2404876028*x^21 + 6861757948*x^20 - 16687359215*x^19 - 60999502470*x^18 + 66428973399*x^17 + 350436717444*x^16 - 97922207025*x^15 - 1282471520334*x^14 - 299209598192*x^13 + 2904925438202*x^12 + 1667373272694*x^11 - 3878119747536*x^10 - 3171263867777*x^9 + 2800536792860*x^8 + 2837059467987*x^7 - 963126440972*x^6 - 1120340176018*x^5 + 176411491936*x^4 + 160346257228*x^3 - 27513840644*x^2 - 1420033359*x + 92241043, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{33} - x^{32} - 166 x^{31} + 31 x^{30} + 12056 x^{29} + 6466 x^{28} - 499793 x^{27} - 584740 x^{26} + 12983561 x^{25} + 22519732 x^{24} - 218988687 x^{23} - 497212030 x^{22} + 2404876028 x^{21} + 6861757948 x^{20} - 16687359215 x^{19} - 60999502470 x^{18} + 66428973399 x^{17} + 350436717444 x^{16} - 97922207025 x^{15} - 1282471520334 x^{14} - 299209598192 x^{13} + 2904925438202 x^{12} + 1667373272694 x^{11} - 3878119747536 x^{10} - 3171263867777 x^{9} + 2800536792860 x^{8} + 2837059467987 x^{7} - 963126440972 x^{6} - 1120340176018 x^{5} + 176411491936 x^{4} + 160346257228 x^{3} - 27513840644 x^{2} - 1420033359 x + 92241043 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $33$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[33, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(106304235057916045567363848999694400899511297005426710373174252221872229375889=7^{22}\cdot 67^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $215.84$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 67$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(469=7\cdot 67\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{469}(1,·)$, $\chi_{469}(260,·)$, $\chi_{469}(261,·)$, $\chi_{469}(15,·)$, $\chi_{469}(144,·)$, $\chi_{469}(148,·)$, $\chi_{469}(22,·)$, $\chi_{469}(151,·)$, $\chi_{469}(284,·)$, $\chi_{469}(389,·)$, $\chi_{469}(289,·)$, $\chi_{469}(291,·)$, $\chi_{469}(39,·)$, $\chi_{469}(170,·)$, $\chi_{469}(303,·)$, $\chi_{469}(305,·)$, $\chi_{469}(442,·)$, $\chi_{469}(64,·)$, $\chi_{469}(324,·)$, $\chi_{469}(457,·)$, $\chi_{469}(330,·)$, $\chi_{469}(333,·)$, $\chi_{469}(205,·)$, $\chi_{469}(163,·)$, $\chi_{469}(344,·)$, $\chi_{469}(207,·)$, $\chi_{469}(92,·)$, $\chi_{469}(93,·)$, $\chi_{469}(225,·)$, $\chi_{469}(354,·)$, $\chi_{469}(100,·)$, $\chi_{469}(114,·)$, $\chi_{469}(116,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{163} a^{29} + \frac{42}{163} a^{28} - \frac{48}{163} a^{27} + \frac{5}{163} a^{26} + \frac{33}{163} a^{25} + \frac{63}{163} a^{24} + \frac{70}{163} a^{23} - \frac{62}{163} a^{22} - \frac{47}{163} a^{21} - \frac{31}{163} a^{20} + \frac{8}{163} a^{19} - \frac{59}{163} a^{18} - \frac{12}{163} a^{17} - \frac{2}{163} a^{16} - \frac{55}{163} a^{15} - \frac{79}{163} a^{14} - \frac{70}{163} a^{13} - \frac{20}{163} a^{12} + \frac{35}{163} a^{11} - \frac{9}{163} a^{10} + \frac{60}{163} a^{9} + \frac{52}{163} a^{8} - \frac{5}{163} a^{7} + \frac{60}{163} a^{6} - \frac{7}{163} a^{5} + \frac{52}{163} a^{4} - \frac{55}{163} a^{3} + \frac{14}{163} a^{2} - \frac{44}{163} a + \frac{1}{163}$, $\frac{1}{163} a^{30} - \frac{19}{163} a^{28} + \frac{65}{163} a^{27} - \frac{14}{163} a^{26} - \frac{19}{163} a^{25} + \frac{32}{163} a^{24} - \frac{68}{163} a^{23} - \frac{51}{163} a^{22} - \frac{13}{163} a^{21} + \frac{6}{163} a^{20} - \frac{69}{163} a^{19} + \frac{21}{163} a^{18} + \frac{13}{163} a^{17} + \frac{29}{163} a^{16} - \frac{51}{163} a^{15} - \frac{12}{163} a^{14} - \frac{14}{163} a^{13} + \frac{60}{163} a^{12} - \frac{12}{163} a^{11} - \frac{51}{163} a^{10} - \frac{23}{163} a^{9} - \frac{70}{163} a^{8} - \frac{56}{163} a^{7} + \frac{81}{163} a^{6} + \frac{20}{163} a^{5} + \frac{43}{163} a^{4} + \frac{42}{163} a^{3} + \frac{20}{163} a^{2} + \frac{56}{163} a - \frac{42}{163}$, $\frac{1}{152731} a^{31} - \frac{289}{152731} a^{30} - \frac{56}{152731} a^{29} - \frac{2192}{152731} a^{28} + \frac{33181}{152731} a^{27} + \frac{45244}{152731} a^{26} + \frac{62656}{152731} a^{25} - \frac{25991}{152731} a^{24} + \frac{54012}{152731} a^{23} + \frac{25659}{152731} a^{22} - \frac{17644}{152731} a^{21} + \frac{20371}{152731} a^{20} + \frac{63350}{152731} a^{19} + \frac{25630}{152731} a^{18} - \frac{68158}{152731} a^{17} + \frac{48366}{152731} a^{16} + \frac{56045}{152731} a^{15} + \frac{6051}{152731} a^{14} - \frac{38618}{152731} a^{13} - \frac{32749}{152731} a^{12} + \frac{32929}{152731} a^{11} + \frac{40151}{152731} a^{10} - \frac{3793}{152731} a^{9} + \frac{47590}{152731} a^{8} - \frac{68310}{152731} a^{7} - \frac{21371}{152731} a^{6} - \frac{75242}{152731} a^{5} - \frac{73967}{152731} a^{4} - \frac{64688}{152731} a^{3} - \frac{44873}{152731} a^{2} - \frac{24541}{152731} a + \frac{61327}{152731}$, $\frac{1}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{32} + \frac{30060918864278519468499348296479435531668953215567343100076945720599909811476369899151593850707937881000509139036358791702193693927601451078564978595059572763957496081}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{31} + \frac{11664180745375489126921402220924266921216405578858448364716072543358018322655927711099115285784901129341408218443219887382370365437409544437125647969617816994290530319032}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{30} - \frac{36923691625271407883293931906654948527614094955108077674338549608621892712704700028569741591875113903225535382132179993978677243791806379658254861542352484506558665848916}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{29} - \frac{5659172171207432059416765691761705019645559323493034393515333991639172954918431494375086942805333369274776986289498265461226167413446387844953936340522866646022190137645918}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{28} + \frac{2637391368037543383916916811052935600349033169165871031305182573753615516743620254176264275064508619208578374524058792819534958250168601325588049424807948972847475797532992}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{27} - \frac{6241469820788571688873992697683768200181887106094941463522884585957524165871335354726698152570682288444719786920926343574709121552834475332436475698789983630979625896389147}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{26} + \frac{26826900504464060628603405717986661024805921934426465864821123988924611134438575481853016487523953233251144042471477015140293041936085038770212995068557135399062319433155}{84092117830548388096836176570950938964010178832650256225804031879492668097510486079038408032589814310517745075824802643746499644148008323659458504754886334017069870085031} a^{25} - \frac{1392652626363680107478942168392134754653050953762637120037172696618501266066665593114788607204706112464183108112113338647531891832530147576518492405691926288834814509610990}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{24} + \frac{38021509368656808205231204174490506200952725373191994889566937627362852851514310648887089272959340023875171367322001193027096814950276981573667849638782815626341071540583}{84092117830548388096836176570950938964010178832650256225804031879492668097510486079038408032589814310517745075824802643746499644148008323659458504754886334017069870085031} a^{23} - \frac{2688647498157427459401806426418396528881145925944068157616559880247603790596186109232223130226693838755562152797966668176071537744254288995037044601982296052230579392101657}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{22} - \frac{3167675757408610638371755930066773892766547270632659012993943850608841976512119100294576636234307188242339208865716980107240554659782743708503509319719191123251098017478163}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{21} - \frac{1183925882570633319706586181079043035056735382008232198524006468114483658691369637023532678077196029264957472321198428240606660658249692300666536604172111439735337879819663}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{20} + \frac{3806928985344275057000180624876344208529338414153949604651966861303924909196161495823807503153867134548537726915632822924140412484412663910547489547071715418965857371698072}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{19} - \frac{1269764460544526365848183476658919526978433219645032838707524907708853671642264051489623269910161618314434569234005566928685035430631856924545462435553663498532481263036205}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{18} - \frac{2653573627768017799131308534379033138370933056239417229906021177252627485344129256469265337981879610287075861157515887117830159890473535668187090508922227435662583948304646}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{17} + \frac{4666756443612056446681681398168017725675479276905893676418512936522139668248396639088736551563973196273953460117273182407418667707184232809973851179689721862814592066293121}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{16} + \frac{3131984246242085276240135337522676301109726039699593861433454058699083966753115996543782072981276341941758845922152843756934004240358263000096478780021150020466498267549562}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{15} - \frac{4410973981199677871468789061596727878354174287814311605551972203572207476042582454814271865762834585962755880253751237552037448152859590344854872929928897475173390675744530}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{14} + \frac{108956357613740156853508998248558640885169518393358281998617802316887586624526396673487092264381570561493069120862636833468561376508296948386357077263091707572012878408165}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{13} - \frac{4432609203386597011870152010985520452691636529323615960490941452702095264403140614387006993411836344015666405739990596093370032038116390500009690347078752695641002798223405}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{12} + \frac{1525072124539379059134875877880625348702298312526018741562484056898998083901642683378167604410432451281219636011650745748343758564862271725810713857821798125086662702087431}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{11} - \frac{75452699267383585746835135032753042238324928717665012706379862307575070490933313318531054940537561299034271863435904003870182884319677404587918623060920038626386048824169}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{10} + \frac{630664305848595184797712419642195702160636554152910133602528621045833639328259219735410504050132444659536512172914450364258968534575670117589768103042238706986092617361133}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{9} - \frac{1482883098602032798168558950273100061303665012847366204371729280529951547977085199813960884846144931081618026333331478468979212212376666173282514308172563232097691585205000}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{8} + \frac{4990235004505290978432805155103948564981738845502255116733496669390282633996851174245665127620675200007210096380994644822702768486359177971426396542238303282169463780015299}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{7} - \frac{2438772112622458524772547210018386025621781436020993017710068746435598049758906752042236194252357252440042235248526325403120602392767189521627319201720926365632543619922007}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{6} - \frac{6605094430448190854236332993619023068154052798471023761702689700652599945879412055736738204928269847403867190641392002980526580669105524974604638917703546788723553542634938}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{5} + \frac{5881401192481598381352020232188436344133871352362388836662901432546407583206863482672631616208910114705649112915403721496662577756218065002200874022483267071808767267192363}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{4} - \frac{4537563482511886871599087333483931974099708696608319986023140051282049621793037794782392348007317747811081736657481860215290173459241706750856825659990318002305354905508351}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{3} + \frac{5267145936001117942590368604998055090615457863546685149094438357879637287626927238673243805032059981131950123667654030135177372829617576455279310226964806835954480102796854}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a^{2} - \frac{448206516780473885947615798372713363179195937375221330249846405820298993869900857430341524478695977674488788382425658160303697138049780180804513404542673770482498401237548}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053} a - \frac{5784289033819055359943390522303307072284519694744396799491276834505152497981707495689994164885785289324382506682744241803558568801984382727740890328150666077911580834769259}{13707015206379387259784296781065003051133659149721991764806057196357304899894209230883260509312139732614392447359442830930679441996125356756491736275046472444782388823860053}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $32$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 2873827831811995000000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{33}$ (as 33T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 33
The 33 conjugacy class representatives for $C_{33}$
Character table for $C_{33}$ is not computed

Intermediate fields

3.3.219961.1, 11.11.1822837804551761449.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $33$ $33$ $33$ R $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/17.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{11}$ $33$ ${\href{/LocalNumberField/43.11.0.1}{11} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.11.0.1}{11} }^{3}$ $33$ $33$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
7Data not computed
67Data not computed