# Properties

 Label 32.0.95722904318...8097.1 Degree $32$ Signature $[0, 16]$ Discriminant $353^{31}$ Root discriminant $293.87$ Ramified prime $353$ Class number Not computed Class group Not computed Galois group $C_{32}$ (as 32T33)

# Related objects

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![272803795483, -1554391051686, 7674195186138, -24811228492420, 46767096306383, -53074991558346, 35665340406463, -7464078960084, -6473190002488, 3197253545113, 1209773620966, -610442701949, -210387899697, 50727599993, 38560539181, -7012926215, -267790372, 1524157119, 836109803, 107460240, 24756306, -1399032, -2081212, -961862, 45840, 20280, 7428, 717, 391, -46, 6, -1, 1]);

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - x^31 + 6*x^30 - 46*x^29 + 391*x^28 + 717*x^27 + 7428*x^26 + 20280*x^25 + 45840*x^24 - 961862*x^23 - 2081212*x^22 - 1399032*x^21 + 24756306*x^20 + 107460240*x^19 + 836109803*x^18 + 1524157119*x^17 - 267790372*x^16 - 7012926215*x^15 + 38560539181*x^14 + 50727599993*x^13 - 210387899697*x^12 - 610442701949*x^11 + 1209773620966*x^10 + 3197253545113*x^9 - 6473190002488*x^8 - 7464078960084*x^7 + 35665340406463*x^6 - 53074991558346*x^5 + 46767096306383*x^4 - 24811228492420*x^3 + 7674195186138*x^2 - 1554391051686*x + 272803795483)

gp: K = bnfinit(x^32 - x^31 + 6*x^30 - 46*x^29 + 391*x^28 + 717*x^27 + 7428*x^26 + 20280*x^25 + 45840*x^24 - 961862*x^23 - 2081212*x^22 - 1399032*x^21 + 24756306*x^20 + 107460240*x^19 + 836109803*x^18 + 1524157119*x^17 - 267790372*x^16 - 7012926215*x^15 + 38560539181*x^14 + 50727599993*x^13 - 210387899697*x^12 - 610442701949*x^11 + 1209773620966*x^10 + 3197253545113*x^9 - 6473190002488*x^8 - 7464078960084*x^7 + 35665340406463*x^6 - 53074991558346*x^5 + 46767096306383*x^4 - 24811228492420*x^3 + 7674195186138*x^2 - 1554391051686*x + 272803795483, 1)

## Normalizeddefining polynomial

$$x^{32} - x^{31} + 6 x^{30} - 46 x^{29} + 391 x^{28} + 717 x^{27} + 7428 x^{26} + 20280 x^{25} + 45840 x^{24} - 961862 x^{23} - 2081212 x^{22} - 1399032 x^{21} + 24756306 x^{20} + 107460240 x^{19} + 836109803 x^{18} + 1524157119 x^{17} - 267790372 x^{16} - 7012926215 x^{15} + 38560539181 x^{14} + 50727599993 x^{13} - 210387899697 x^{12} - 610442701949 x^{11} + 1209773620966 x^{10} + 3197253545113 x^{9} - 6473190002488 x^{8} - 7464078960084 x^{7} + 35665340406463 x^{6} - 53074991558346 x^{5} + 46767096306383 x^{4} - 24811228492420 x^{3} + 7674195186138 x^{2} - 1554391051686 x + 272803795483$$

magma: DefiningPolynomial(K);

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

## Invariants

 Degree: $32$ magma: Degree(K);  sage: K.degree()  gp: poldegree(K.pol) Signature: $[0, 16]$ magma: Signature(K);  sage: K.signature()  gp: K.sign Discriminant: $$9572290431813101812896740520288704359886188011817648342612467121075247600488097=353^{31}$$ magma: Discriminant(Integers(K));  sage: K.disc()  gp: K.disc Root discriminant: $293.87$ magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));  sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())  gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) Ramified primes: $353$ magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));  sage: K.disc().support()  gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ This field is Galois and abelian over $\Q$. Conductor: $$353$$ Dirichlet character group: $\lbrace$$\chi_{353}(1,·), \chi_{353}(6,·), \chi_{353}(7,·), \chi_{353}(137,·), \chi_{353}(10,·), \chi_{353}(283,·), \chi_{353}(286,·), \chi_{353}(36,·), \chi_{353}(293,·), \chi_{353}(294,·), \chi_{353}(42,·), \chi_{353}(304,·), \chi_{353}(49,·), \chi_{353}(311,·), \chi_{353}(59,·), \chi_{353}(60,·), \chi_{353}(317,·), \chi_{353}(67,·), \chi_{353}(70,·), \chi_{353}(343,·), \chi_{353}(216,·), \chi_{353}(346,·), \chi_{353}(347,·), \chi_{353}(352,·), \chi_{353}(100,·), \chi_{353}(101,·), \chi_{353}(106,·), \chi_{353}(237,·), \chi_{353}(116,·), \chi_{353}(247,·), \chi_{353}(252,·), \chi_{353}(253,·)$$\rbrace$ This is a CM field.

## Integral basis (with respect to field generator $$a$$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{262} a^{29} - \frac{33}{262} a^{28} - \frac{14}{131} a^{27} + \frac{15}{131} a^{25} + \frac{9}{262} a^{24} + \frac{58}{131} a^{23} - \frac{31}{131} a^{22} + \frac{17}{131} a^{21} - \frac{56}{131} a^{20} + \frac{79}{262} a^{19} - \frac{47}{262} a^{18} - \frac{47}{131} a^{17} + \frac{51}{131} a^{16} + \frac{2}{131} a^{15} + \frac{62}{131} a^{14} + \frac{7}{131} a^{13} + \frac{85}{262} a^{12} + \frac{10}{131} a^{11} + \frac{83}{262} a^{10} + \frac{127}{262} a^{9} - \frac{107}{262} a^{8} - \frac{9}{131} a^{7} + \frac{69}{262} a^{6} + \frac{9}{131} a^{5} - \frac{43}{131} a^{4} - \frac{123}{262} a^{3} - \frac{31}{262} a^{2} + \frac{19}{262} a + \frac{60}{131}$, $\frac{1}{262} a^{30} + \frac{31}{131} a^{28} - \frac{7}{262} a^{27} + \frac{15}{131} a^{26} - \frac{49}{262} a^{25} + \frac{10}{131} a^{24} + \frac{49}{131} a^{23} + \frac{42}{131} a^{22} + \frac{93}{262} a^{21} + \frac{51}{262} a^{20} - \frac{30}{131} a^{19} - \frac{73}{262} a^{18} - \frac{59}{131} a^{17} - \frac{18}{131} a^{16} + \frac{125}{262} a^{15} + \frac{45}{262} a^{14} + \frac{23}{262} a^{13} + \frac{37}{131} a^{12} + \frac{44}{131} a^{11} + \frac{115}{262} a^{10} - \frac{54}{131} a^{9} + \frac{119}{262} a^{8} + \frac{65}{131} a^{7} - \frac{63}{262} a^{6} - \frac{8}{131} a^{5} - \frac{79}{262} a^{4} - \frac{29}{262} a^{3} + \frac{22}{131} a^{2} + \frac{46}{131} a + \frac{15}{131}$, $\frac{1}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{31} - \frac{18943165176279275155072919416532662403025208172269789968512676435245105276220763799180856599608774199961680037048330537472512263412793155920197914424527909818774188777323293900691362141657551712410912333219314172234865453512051}{15898991520086424664483577365229094049193061995642373620082030674730874618049234428549525388175471366139794160191734353010815025907398837919876858343737007364001378563550829783058208150557439493496493257833104266246562094708128194} a^{30} + \frac{8340122275030819221030982973631988347376319659223602300590214576962893094171324263369035016486304135712765511521649444803472603153492747455357414350232872761141677606402087674356731429582688005521050105602366461850227754877544147}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{29} + \frac{273327757456748796620485783867298962032954670443953541299735071726885659584167438929465680496003109102723422764801527388797167226324263888688699455641987768998272763863893866322017610171369735046850386273566431379231364643672350504}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{28} - \frac{106150482404019276944960687467622945420507213462058693596555716103352261642567638880347113456144070078678093017440295660303710010100586800026444210142761497935713194209452148575286747728139367451199706427962371877019034922107671822}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{27} - \frac{287542369992938353244199985748535523535402436225805928587722802658679928843290104008084082655408595370376222076441784710682548411981781281266217955571941043167763684742612406462697176770522253078038815932396471740979449717350221775}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{26} - \frac{560083795271556169502179387232822987595592247135492055394214994421464719040489930243606269911884231289264645874408457750515669977979551469362948140319927735749550478704876133992545244254270950330997247673423857947495208102059033731}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{25} - \frac{23261117477250789103978825038545616471243789109969644275243979379809927906100067710574938403960904264027129498451524405651072151209854608140775625164021785960741756620755579730547202189065717955742119949450349011236802203386459135}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{24} + \frac{316350898494791201986729424447754831806855424098284823247561986217795127004505410011606406527717704634565831985533425056625914405246649422604561078659409630259252582212906155665133595623314141301170592154246382610765620840594278329}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{23} + \frac{1084480347120987551814159667210360401766203693103108858873825419903294869781217653577972771983687265443664648633309128970221342905935942941297053929077435821839807240117282825991407953505234084170613240515708348551528971689794714141}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{22} - \frac{2192063075429785864646285491735331963894790384221922566024360788592601346769177399837410493933900244606614079582560754941942284890597533489433810607009208493950558804783840901862500004219814775865836582851415689663456788974709202399}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{21} - \frac{138676384335112177842368768654795908274906327655298387756981669703997146131753216028009284083471681794720983029696468589510551887949068757548364128345161471599230195534601161097776233675263589179105253699922306384807513832402329}{2998298904459499223240607482978290259976531557096519255717764038827255034293560158042076136438239423832742379398217390578984143106207839048124511058667807208544188346903542046385347591907026921828941369831984408352037731346748294} a^{20} + \frac{109463247668976727490740497506459433437791546865042718779901095207965314228275568925497112811147891225432793406443327848257894841383842460169336490777489926502291597322066149747943616764158181575649130580111908844335447827958502947}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{19} - \frac{2582230328635810621333726873745360723603680761594952999997410294047027107972065616874452298741193493908228489498097923427617295251935557688140441572180545366603634582652006889343571380847941804157862883922526315902583499701519313785}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{18} - \frac{82244735951823790886168981786754435752886573834721083552974561539712746379577022689291432457520607075119779787620375470119859588543348548514174680997801147604991427212269897037291204852647264578711632218760571640319530331949146308}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{17} - \frac{1260672984929467228396564348553705802122702077242243762401560802484028486345641075004945247675955981802209715091428607557689452949681801490365914151490453392751164151433869633425684087252685578361454546169559013762405765437732916522}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{16} + \frac{1194270719459323156723150816963029091021350144840013498568475683468744123971514505875783638853003062639811037306691602798772611777725231181552836882406705465666731981971407198180933249668095500670334034812985718486721497715032306471}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{15} + \frac{2145453583353991289517981002081658315883862381968111313802837405102632652668819606556005540877655125262226149534267759299638277863621553919030234024108068891583867718254028610454996789020105294823862092890960445559324913310123541905}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{14} - \frac{771014105220675778897716797700695137133033582196698630314150036632446212537972683516945246279535419330173249316349635545087724544722675357471651601202840350097729710098018916845992127985927367805872742624612373009181856886369223705}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{13} + \frac{777269364080300725191340584513460273856270656652199006016224236905849238760570569155529396574650258734861566299745592753569950765235159748700200518372772425676380107489063307053195768974026743238385428289316900697430553482231949881}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{12} - \frac{1230758395351307396745811698464617131441813456073643799428440966599904465307779010027775189578688615832782163600336383083271846364913214860058422014282049655220093111063957776762235066337875801149903261311130926293129028841066703089}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{11} - \frac{2668815024962270325111385800341780283108572822216854660618580075293777660597148448275108252943054140487886551682386560285411781118350567922514708989699381163915410203134790188954115342598620669506215318978480997102293124797645834113}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{10} - \frac{850102968313626893828988096525458307846011340262975976919310480517643484094537441007979997628447324481843584485847593372720337264791034572602858938509226704616686563253956303499517919703867847286506887382294155161732444020457356981}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{9} - \frac{2674867478372821213887822916510533535556730473128651846004984214036324574377284582805060515848623490601327417328468036470904763078803103523007977619674390387434240356244850189423412309758408631874893296721569314794232530857646963081}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{8} - \frac{576331350795790790700464920465019391443459066345728817472520098568502299817162104755676979714376132018511900208719203778800447545896506376685311025452610395602251334419845090608592601118682614185197525992544819172479383495500056838}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{7} - \frac{1652423985202984972808347017063446351438018179107163639188695177997052556909896649655054685449100886562504448630245219154106990246292124707357258775561081519326425296800585741103741797679108406785039260429051094833982109171108966277}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{6} - \frac{354297293790996124542744161114761577323133707125805465750126328778043966195983538380953520578596846112368094371503408490368846180872875962202937393429320626020516278724733387248823825131456511140494636307673148970747692574519834105}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{5} + \frac{668041996186968074929255629964614310199322217714734643282537337385454175875538077177834086803644758147300305764379975760955857469541085052710531918263780158351931190637089366067596986106484726353549106115894469884869113781737406889}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{4} + \frac{1692151611490291210623553008528944056536492059455267571644674376527572333306089046706831422514146737082578811670847119380957959174541502544739691766967212604486996775251607976029076327714177052529066507045653617974023375265788831965}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a^{3} - \frac{812830673642449798041837499995457603385895522790742132868936488714478144430596132016308123031750471421601328166874721342413612443669556231948353184692223528997847835783423721792445748181429169971989519251364496333850849810817600958}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689} a^{2} - \frac{2021849398610080960479351058414264893460505012686367554911113369252229441277837619781797140124729859333372859495346540889223988703061354897316542108085762042581822651056298095023230010149349822497617892909609351951448297420113888549}{5357960142269125111930965572082204694578061892531479909967644337384304746282592002421190055815133850389110631984614476964644663730793408378998501261839371481668464575916629636890616146737857109308318227889756137725091425916639201378} a + \frac{61029564033312689169162622925067185462122106184958503065770387917003039505571004042795282835445284559630642710586111286490952484139950950735284507858693066934076462560901071256627106193046475518390869825652367260078471276392623395}{2678980071134562555965482786041102347289030946265739954983822168692152373141296001210595027907566925194555315992307238482322331865396704189499250630919685740834232287958314818445308073368928554654159113944878068862545712958319600689}$

magma: IntegralBasis(K);

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

## Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

## Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);

sage: UK = K.unit_group()

 Rank: $15$ magma: UnitRank(K);  sage: UK.rank()  gp: K.fu Torsion generator: $$-1$$ (order $2$) magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);  sage: UK.torsion_generator()  gp: K.tu[2] Fundamental units: Not computed magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];  sage: UK.fundamental_units()  gp: K.fu Regulator: Not computed magma: Regulator(K);  sage: K.regulator()  gp: K.reg

## Galois group

$C_{32}$ (as 32T33):

magma: GaloisGroup(K);

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

 A cyclic group of order 32 The 32 conjugacy class representatives for $C_{32}$ Character table for $C_{32}$ is not computed

## Intermediate fields

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

## Frobenius cycle types

 $p$ Cycle type 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 ${\href{/LocalNumberField/2.8.0.1}{8} }^{4}$ $32$ $32$ $32$ ${\href{/LocalNumberField/11.8.0.1}{8} }^{4}$ $32$ ${\href{/LocalNumberField/17.8.0.1}{8} }^{4}$ $16^{2}$ $16^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.8.0.1}{8} }^{4}$ $32$ $32$ $16^{2}$ $16^{2}$ $16^{2}$ $32$ $32$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:

magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data

magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:

sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:

gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data

gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])

## Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
353Data not computed