LMFDB - Number field 32.0.847622907049404564614012839370162176000000000000000000000000.2

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111)

gp: K = bnfinit(y^32 - 16*y^31 + 176*y^30 - 1400*y^29 + 9140*y^28 - 50008*y^27 + 237760*y^26 - 993304*y^25 + 3698828*y^24 - 12348736*y^23 + 37160956*y^22 - 100999328*y^21 + 248067450*y^20 - 550035696*y^19 + 1098447236*y^18 - 1969257808*y^17 + 3158187595*y^16 - 4516634096*y^15 + 5769439004*y^14 - 6655144784*y^13 + 7182394274*y^12 - 7714898672*y^11 + 8765771372*y^10 - 10407112256*y^9 + 11993265010*y^8 - 12412466704*y^7 + 10863979076*y^6 - 7670495384*y^5 + 4079279422*y^4 - 1470536872*y^3 + 246059100*y^2 + 34978664*y + 6872111, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111)

$ x^{32} - 16 x^{31} + 176 x^{30} - 1400 x^{29} + 9140 x^{28} - 50008 x^{27} + 237760 x^{26} + \cdots + 6872111 $ x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$32$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 16]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$847622907049404564614012839370162176000000000000000000000000$ 847622907049404564614012839370162176000000000000000000000000 $\medspace = 2^{88}\cdot 5^{24}\cdot 11^{16}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$74.60$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2^{11/4}5^{3/4}11^{1/2}\approx 74.60300719070477$
Ramified primes:	$2$, $5$, $11$ 2, 5, 11	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$32$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$880=2^{4}\cdot 5\cdot 11$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{880}(1,·)$, $\chi_{880}(133,·)$, $\chi_{880}(769,·)$, $\chi_{880}(397,·)$, $\chi_{880}(109,·)$, $\chi_{880}(529,·)$, $\chi_{880}(21,·)$, $\chi_{880}(793,·)$, $\chi_{880}(153,·)$, $\chi_{880}(837,·)$, $\chi_{880}(417,·)$, $\chi_{880}(549,·)$, $\chi_{880}(681,·)$, $\chi_{880}(813,·)$, $\chi_{880}(177,·)$, $\chi_{880}(309,·)$, $\chi_{880}(441,·)$, $\chi_{880}(573,·)$, $\chi_{880}(197,·)$, $\chi_{880}(329,·)$, $\chi_{880}(461,·)$, $\chi_{880}(593,·)$, $\chi_{880}(857,·)$, $\chi_{880}(221,·)$, $\chi_{880}(353,·)$, $\chi_{880}(617,·)$, $\chi_{880}(749,·)$, $\chi_{880}(241,·)$, $\chi_{880}(373,·)$, $\chi_{880}(89,·)$, $\chi_{880}(637,·)$, $\chi_{880}(661,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{4}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{4}a$, $\frac{1}{164}a^{18}-\frac{9}{164}a^{17}+\frac{2}{41}a^{16}-\frac{6}{41}a^{15}+\frac{9}{82}a^{14}-\frac{5}{82}a^{13}-\frac{8}{41}a^{12}-\frac{1}{41}a^{11}-\frac{17}{164}a^{10}+\frac{15}{164}a^{9}+\frac{9}{41}a^{8}-\frac{4}{41}a^{7}-\frac{29}{82}a^{6}-\frac{5}{41}a^{5}+\frac{6}{41}a^{4}+\frac{13}{41}a^{3}+\frac{13}{164}a^{2}-\frac{59}{164}a+\frac{17}{41}$, $\frac{1}{164}a^{19}+\frac{9}{164}a^{17}+\frac{7}{164}a^{16}-\frac{17}{82}a^{15}-\frac{3}{41}a^{14}-\frac{10}{41}a^{13}+\frac{9}{41}a^{12}+\frac{29}{164}a^{11}+\frac{13}{82}a^{10}+\frac{7}{164}a^{9}+\frac{21}{164}a^{8}+\frac{11}{41}a^{7}-\frac{25}{82}a^{6}-\frac{37}{82}a^{5}+\frac{11}{82}a^{4}+\frac{71}{164}a^{3}+\frac{29}{82}a^{2}-\frac{53}{164}a-\frac{3}{164}$, $\frac{1}{164}a^{20}+\frac{3}{82}a^{17}+\frac{17}{164}a^{16}+\frac{10}{41}a^{15}-\frac{19}{82}a^{14}-\frac{19}{82}a^{13}-\frac{11}{164}a^{12}-\frac{5}{41}a^{11}-\frac{1}{41}a^{10}-\frac{8}{41}a^{9}+\frac{7}{164}a^{8}+\frac{3}{41}a^{7}-\frac{11}{41}a^{6}+\frac{19}{82}a^{5}+\frac{19}{164}a^{4}-\frac{3}{82}a^{2}-\frac{23}{82}a+\frac{3}{164}$, $\frac{1}{164}a^{21}-\frac{11}{164}a^{17}-\frac{2}{41}a^{16}+\frac{6}{41}a^{15}+\frac{9}{82}a^{14}-\frac{33}{164}a^{13}+\frac{2}{41}a^{12}+\frac{5}{41}a^{11}-\frac{3}{41}a^{10}-\frac{1}{164}a^{9}-\frac{10}{41}a^{8}+\frac{13}{41}a^{7}-\frac{6}{41}a^{6}-\frac{25}{164}a^{5}+\frac{5}{41}a^{4}-\frac{18}{41}a^{3}-\frac{21}{82}a^{2}+\frac{29}{164}a-\frac{20}{41}$, $\frac{1}{164}a^{22}+\frac{4}{41}a^{17}-\frac{11}{164}a^{16}+\frac{1}{164}a^{14}-\frac{5}{41}a^{13}-\frac{1}{41}a^{12}+\frac{13}{82}a^{11}-\frac{6}{41}a^{10}+\frac{1}{82}a^{9}-\frac{3}{164}a^{8}+\frac{23}{82}a^{7}-\frac{7}{164}a^{6}+\frac{23}{82}a^{5}+\frac{7}{41}a^{4}+\frac{19}{82}a^{3}+\frac{2}{41}a^{2}+\frac{25}{82}a-\frac{31}{164}$, $\frac{1}{5084}a^{23}+\frac{1}{1271}a^{22}-\frac{3}{1271}a^{21}+\frac{3}{5084}a^{20}+\frac{3}{5084}a^{19}-\frac{11}{5084}a^{18}+\frac{257}{2542}a^{17}+\frac{605}{5084}a^{16}+\frac{543}{5084}a^{15}-\frac{147}{2542}a^{14}+\frac{87}{1271}a^{13}-\frac{869}{5084}a^{12}+\frac{1041}{5084}a^{11}-\frac{491}{5084}a^{10}+\frac{202}{1271}a^{9}-\frac{333}{5084}a^{8}+\frac{1711}{5084}a^{7}+\frac{213}{1271}a^{6}+\frac{841}{2542}a^{5}-\frac{23}{124}a^{4}+\frac{2539}{5084}a^{3}+\frac{1539}{5084}a^{2}-\frac{264}{1271}a-\frac{23}{164}$, $\frac{1}{10168}a^{24}-\frac{7}{2542}a^{22}+\frac{5}{2542}a^{21}-\frac{9}{10168}a^{20}+\frac{1}{1271}a^{19}+\frac{189}{5084}a^{17}-\frac{99}{1271}a^{16}-\frac{130}{1271}a^{15}-\frac{228}{1271}a^{14}+\frac{70}{1271}a^{13}+\frac{363}{10168}a^{12}-\frac{268}{1271}a^{11}-\frac{227}{1271}a^{10}+\frac{37}{164}a^{9}-\frac{611}{2542}a^{8}+\frac{336}{1271}a^{7}+\frac{1103}{2542}a^{6}+\frac{564}{1271}a^{5}-\frac{4477}{10168}a^{4}-\frac{337}{1271}a^{3}-\frac{935}{2542}a^{2}+\frac{2329}{5084}a-\frac{71}{328}$, $\frac{1}{10168}a^{25}+\frac{1}{1271}a^{22}+\frac{27}{10168}a^{21}+\frac{15}{5084}a^{20}+\frac{11}{5084}a^{19}+\frac{1}{1271}a^{18}-\frac{237}{5084}a^{17}-\frac{203}{5084}a^{16}-\frac{499}{2542}a^{15}+\frac{221}{2542}a^{14}+\frac{683}{10168}a^{13}-\frac{1117}{5084}a^{12}+\frac{367}{5084}a^{11}+\frac{250}{1271}a^{10}+\frac{1193}{5084}a^{9}-\frac{1117}{5084}a^{8}+\frac{309}{1271}a^{7}+\frac{539}{1271}a^{6}+\frac{583}{10168}a^{5}-\frac{1871}{5084}a^{4}+\frac{1405}{5084}a^{3}+\frac{421}{2542}a^{2}+\frac{409}{10168}a+\frac{53}{164}$, $\frac{1}{10168}a^{26}-\frac{5}{10168}a^{22}+\frac{1}{5084}a^{21}-\frac{1}{5084}a^{20}-\frac{2}{1271}a^{19}-\frac{7}{5084}a^{18}+\frac{281}{2542}a^{17}-\frac{163}{5084}a^{16}-\frac{14}{1271}a^{15}+\frac{2415}{10168}a^{14}+\frac{219}{5084}a^{13}-\frac{63}{5084}a^{12}-\frac{16}{1271}a^{11}+\frac{739}{5084}a^{10}-\frac{113}{2542}a^{9}+\frac{305}{5084}a^{8}-\frac{180}{1271}a^{7}-\frac{4497}{10168}a^{6}+\frac{1941}{5084}a^{5}+\frac{25}{164}a^{4}+\frac{570}{1271}a^{3}+\frac{3225}{10168}a^{2}+\frac{498}{1271}a+\frac{45}{164}$, $\frac{1}{10168}a^{27}-\frac{1}{10168}a^{23}+\frac{9}{5084}a^{22}+\frac{3}{2542}a^{21}-\frac{1}{2542}a^{20}-\frac{1}{5084}a^{19}+\frac{13}{5084}a^{18}+\frac{183}{5084}a^{17}+\frac{503}{5084}a^{16}+\frac{867}{10168}a^{15}+\frac{871}{5084}a^{14}-\frac{51}{1271}a^{13}+\frac{29}{2542}a^{12}+\frac{15}{164}a^{11}-\frac{247}{5084}a^{10}-\frac{931}{5084}a^{9}+\frac{9}{5084}a^{8}+\frac{2099}{10168}a^{7}+\frac{421}{5084}a^{6}-\frac{337}{1271}a^{5}+\frac{269}{1271}a^{4}+\frac{4949}{10168}a^{3}-\frac{541}{5084}a^{2}+\frac{771}{5084}a+\frac{71}{164}$, $\frac{1}{10168}a^{28}-\frac{13}{5084}a^{22}-\frac{2}{1271}a^{21}-\frac{3}{10168}a^{20}-\frac{5}{2542}a^{19}+\frac{3}{5084}a^{18}+\frac{623}{5084}a^{17}-\frac{213}{10168}a^{16}+\frac{106}{1271}a^{15}+\frac{755}{5084}a^{14}-\frac{63}{1271}a^{13}+\frac{1373}{10168}a^{12}+\frac{211}{1271}a^{11}+\frac{317}{5084}a^{10}-\frac{939}{5084}a^{9}-\frac{1729}{10168}a^{8}-\frac{555}{2542}a^{7}-\frac{1943}{5084}a^{6}-\frac{261}{2542}a^{5}+\frac{251}{1271}a^{4}-\frac{295}{1271}a^{3}+\frac{1945}{5084}a^{2}-\frac{939}{5084}a+\frac{113}{328}$, $\frac{1}{10168}a^{29}+\frac{13}{5084}a^{22}-\frac{5}{10168}a^{21}-\frac{1}{2542}a^{20}+\frac{11}{5084}a^{19}+\frac{15}{5084}a^{18}+\frac{937}{10168}a^{17}+\frac{96}{1271}a^{16}-\frac{185}{2542}a^{15}-\frac{509}{5084}a^{14}+\frac{315}{10168}a^{13}-\frac{17}{1271}a^{12}-\frac{69}{5084}a^{11}-\frac{1215}{5084}a^{10}+\frac{1361}{10168}a^{9}-\frac{298}{1271}a^{8}-\frac{102}{1271}a^{7}+\frac{1347}{5084}a^{6}-\frac{2519}{5084}a^{5}+\frac{891}{2542}a^{4}+\frac{1317}{5084}a^{3}+\frac{2111}{5084}a^{2}+\frac{2273}{10168}a+\frac{17}{82}$, $\frac{1}{46\!\cdots\!32}a^{30}-\frac{15}{46\!\cdots\!32}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!58}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!32}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!16}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!32}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!32}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!29}{58\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!32}a^{15}+\frac{58\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!32}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{27\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!16}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!32}a^{10}-\frac{94\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!72}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!58}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!32}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!28}{18\!\cdots\!59}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!58}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!32}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!32}a+\frac{72\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!72}$, $\frac{1}{47\!\cdots\!92}a^{31}+\frac{628075}{58\!\cdots\!99}a^{30}+\frac{58\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!96}a^{29}+\frac{50\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{91\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!92}a^{27}+\frac{45\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!12}a^{25}-\frac{66\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!96}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!07}{47\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{91\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!92}a^{20}-\frac{56\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!92}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!43}{23\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!98}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!39}{58\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!96}a^{15}+\frac{95\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!92}a^{14}+\frac{39\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!12}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!92}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!96}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!78}{58\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!98}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!15}{15\!\cdots\!32}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!92}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!18}{58\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!92}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!92}a-\frac{22\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!32}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, 1/2*a^8 - 1/2*a^4 - 1/2, 1/2*a^9 - 1/2*a^5 - 1/2*a, 1/2*a^10 - 1/2*a^6 - 1/2*a^2, 1/2*a^11 - 1/2*a^7 - 1/2*a^3, 1/2*a^12 - 1/2, 1/2*a^13 - 1/2*a, 1/2*a^14 - 1/2*a^2, 1/2*a^15 - 1/2*a^3, 1/4*a^16 - 1/4*a^8 - 1/2*a^4 - 1/4, 1/4*a^17 - 1/4*a^9 - 1/2*a^5 - 1/4*a, 1/164*a^18 - 9/164*a^17 + 2/41*a^16 - 6/41*a^15 + 9/82*a^14 - 5/82*a^13 - 8/41*a^12 - 1/41*a^11 - 17/164*a^10 + 15/164*a^9 + 9/41*a^8 - 4/41*a^7 - 29/82*a^6 - 5/41*a^5 + 6/41*a^4 + 13/41*a^3 + 13/164*a^2 - 59/164*a + 17/41, 1/164*a^19 + 9/164*a^17 + 7/164*a^16 - 17/82*a^15 - 3/41*a^14 - 10/41*a^13 + 9/41*a^12 + 29/164*a^11 + 13/82*a^10 + 7/164*a^9 + 21/164*a^8 + 11/41*a^7 - 25/82*a^6 - 37/82*a^5 + 11/82*a^4 + 71/164*a^3 + 29/82*a^2 - 53/164*a - 3/164, 1/164*a^20 + 3/82*a^17 + 17/164*a^16 + 10/41*a^15 - 19/82*a^14 - 19/82*a^13 - 11/164*a^12 - 5/41*a^11 - 1/41*a^10 - 8/41*a^9 + 7/164*a^8 + 3/41*a^7 - 11/41*a^6 + 19/82*a^5 + 19/164*a^4 - 3/82*a^2 - 23/82*a + 3/164, 1/164*a^21 - 11/164*a^17 - 2/41*a^16 + 6/41*a^15 + 9/82*a^14 - 33/164*a^13 + 2/41*a^12 + 5/41*a^11 - 3/41*a^10 - 1/164*a^9 - 10/41*a^8 + 13/41*a^7 - 6/41*a^6 - 25/164*a^5 + 5/41*a^4 - 18/41*a^3 - 21/82*a^2 + 29/164*a - 20/41, 1/164*a^22 + 4/41*a^17 - 11/164*a^16 + 1/164*a^14 - 5/41*a^13 - 1/41*a^12 + 13/82*a^11 - 6/41*a^10 + 1/82*a^9 - 3/164*a^8 + 23/82*a^7 - 7/164*a^6 + 23/82*a^5 + 7/41*a^4 + 19/82*a^3 + 2/41*a^2 + 25/82*a - 31/164, 1/5084*a^23 + 1/1271*a^22 - 3/1271*a^21 + 3/5084*a^20 + 3/5084*a^19 - 11/5084*a^18 + 257/2542*a^17 + 605/5084*a^16 + 543/5084*a^15 - 147/2542*a^14 + 87/1271*a^13 - 869/5084*a^12 + 1041/5084*a^11 - 491/5084*a^10 + 202/1271*a^9 - 333/5084*a^8 + 1711/5084*a^7 + 213/1271*a^6 + 841/2542*a^5 - 23/124*a^4 + 2539/5084*a^3 + 1539/5084*a^2 - 264/1271*a - 23/164, 1/10168*a^24 - 7/2542*a^22 + 5/2542*a^21 - 9/10168*a^20 + 1/1271*a^19 + 189/5084*a^17 - 99/1271*a^16 - 130/1271*a^15 - 228/1271*a^14 + 70/1271*a^13 + 363/10168*a^12 - 268/1271*a^11 - 227/1271*a^10 + 37/164*a^9 - 611/2542*a^8 + 336/1271*a^7 + 1103/2542*a^6 + 564/1271*a^5 - 4477/10168*a^4 - 337/1271*a^3 - 935/2542*a^2 + 2329/5084*a - 71/328, 1/10168*a^25 + 1/1271*a^22 + 27/10168*a^21 + 15/5084*a^20 + 11/5084*a^19 + 1/1271*a^18 - 237/5084*a^17 - 203/5084*a^16 - 499/2542*a^15 + 221/2542*a^14 + 683/10168*a^13 - 1117/5084*a^12 + 367/5084*a^11 + 250/1271*a^10 + 1193/5084*a^9 - 1117/5084*a^8 + 309/1271*a^7 + 539/1271*a^6 + 583/10168*a^5 - 1871/5084*a^4 + 1405/5084*a^3 + 421/2542*a^2 + 409/10168*a + 53/164, 1/10168*a^26 - 5/10168*a^22 + 1/5084*a^21 - 1/5084*a^20 - 2/1271*a^19 - 7/5084*a^18 + 281/2542*a^17 - 163/5084*a^16 - 14/1271*a^15 + 2415/10168*a^14 + 219/5084*a^13 - 63/5084*a^12 - 16/1271*a^11 + 739/5084*a^10 - 113/2542*a^9 + 305/5084*a^8 - 180/1271*a^7 - 4497/10168*a^6 + 1941/5084*a^5 + 25/164*a^4 + 570/1271*a^3 + 3225/10168*a^2 + 498/1271*a + 45/164, 1/10168*a^27 - 1/10168*a^23 + 9/5084*a^22 + 3/2542*a^21 - 1/2542*a^20 - 1/5084*a^19 + 13/5084*a^18 + 183/5084*a^17 + 503/5084*a^16 + 867/10168*a^15 + 871/5084*a^14 - 51/1271*a^13 + 29/2542*a^12 + 15/164*a^11 - 247/5084*a^10 - 931/5084*a^9 + 9/5084*a^8 + 2099/10168*a^7 + 421/5084*a^6 - 337/1271*a^5 + 269/1271*a^4 + 4949/10168*a^3 - 541/5084*a^2 + 771/5084*a + 71/164, 1/10168*a^28 - 13/5084*a^22 - 2/1271*a^21 - 3/10168*a^20 - 5/2542*a^19 + 3/5084*a^18 + 623/5084*a^17 - 213/10168*a^16 + 106/1271*a^15 + 755/5084*a^14 - 63/1271*a^13 + 1373/10168*a^12 + 211/1271*a^11 + 317/5084*a^10 - 939/5084*a^9 - 1729/10168*a^8 - 555/2542*a^7 - 1943/5084*a^6 - 261/2542*a^5 + 251/1271*a^4 - 295/1271*a^3 + 1945/5084*a^2 - 939/5084*a + 113/328, 1/10168*a^29 + 13/5084*a^22 - 5/10168*a^21 - 1/2542*a^20 + 11/5084*a^19 + 15/5084*a^18 + 937/10168*a^17 + 96/1271*a^16 - 185/2542*a^15 - 509/5084*a^14 + 315/10168*a^13 - 17/1271*a^12 - 69/5084*a^11 - 1215/5084*a^10 + 1361/10168*a^9 - 298/1271*a^8 - 102/1271*a^7 + 1347/5084*a^6 - 2519/5084*a^5 + 891/2542*a^4 + 1317/5084*a^3 + 2111/5084*a^2 + 2273/10168*a + 17/82, 1/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^30 - 15/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^29 + 197906135855483038316720802403793398169486356005/11699944658531383538365013504697573607920294542197858*a^28 - 1877437031564498187935410170884992368364332282867/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^27 + 511315588544872027568275454970128117792810808329/11699944658531383538365013504697573607920294542197858*a^26 + 196948277553415470231289232389225030972571815577/23399889317062767076730027009395147215840589084395716*a^25 + 1085339192175061674837643980662446075273744934401/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^24 + 1233147363460163746121834963882473788932643166897/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^23 - 130731608373078152472686002769965826022605965887719/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^22 + 49642799624821441601604927439924343747723476687005/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^21 - 102779751236243967773917983030465739927439593344993/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^20 + 62519874525435373213318284710979629312869530268589/23399889317062767076730027009395147215840589084395716*a^19 + 47419987837828480236881151061039640080336843182279/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^18 - 1112743373223113621393722751921374958280176496680007/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^17 - 605972031003339267014971729504415670968756691600229/5849972329265691769182506752348786803960147271098929*a^16 - 1696207265437103089720276774185405111570351868023839/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^15 + 5894079342488781575014036923548889505950424798523861/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^14 - 4171274977601268389399150718340528702781602508505111/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^13 + 1511345480922581082650484978768386731341151471360887/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^12 - 2771636154091398703305147734783488499265998736208381/23399889317062767076730027009395147215840589084395716*a^11 - 10455072386792936343981447323650629592174447497105561/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^10 - 94024264908544912735095180559940526764780812007049/1509670278520178521079356581251299820376812198993272*a^9 + 818187921216864672600122089985961787164489943380331/11699944658531383538365013504697573607920294542197858*a^8 + 7193280361763597743441336531380784858787849933990045/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^7 - 26953183772512500543256505345012219870896359827928/188708784815022315134919572656412477547101524874159*a^6 - 4046407804981307132312177270802631865730084635501621/11699944658531383538365013504697573607920294542197858*a^5 - 11852635376347457709156951157622913210432446214955385/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^4 - 7064640858033865102200674305121704460321865533592287/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a^3 - 491470583849985883773695992181035006079231299322313/1141458015466476442767318390702202303211736052897352*a^2 - 13505344087474113385015051546616229224168587931762621/46799778634125534153460054018790294431681178168791432*a + 722494635446167399579208677521624565562032091528805/1509670278520178521079356581251299820376812198993272, 1/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^31 + 628075/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599*a^30 + 589749868258877730332542051573257777813722830055470765/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396*a^29 + 5000712912211084547985224563204767954675899896203130431/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396*a^28 + 9133955682668391664702415681537386895416572811050842857/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^27 + 4534105293469061398919873452543916481737957394984433955/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^26 + 284981294869339372732001568959565593348971884506800613/11470775274224194529427061758714683153706777506593709536312*a^25 - 6653880464256344998847547822693457958455676882963500585/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^24 + 21635225956624569023143143912184875393701726674926354055/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396*a^23 - 1293469474765404929288670094045463810767560332697795523861/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^22 - 300546285543542596116122802839291026507882751820789192707/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^21 + 91382456450458704103677077985458346045216610535745317425/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^20 - 567480343058856446913765827381541910907351804397750167931/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^19 + 180539085024058180279505453922263070808550919677750402543/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396*a^18 + 9895265350860969782264131996308002573175221670414990247935/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198*a^17 - 3523686129369925140545562665181169478129071257529355396939/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599*a^16 + 1035294087867988703067192809723950158620446341507101176873/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396*a^15 + 95207585642208678997639983832417704574674048510271365772347/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^14 + 39619917142004322310169040189728533950068350789536433605409/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^13 + 2604185631832329239088449186952624981932279792060650588313/11470775274224194529427061758714683153706777506593709536312*a^12 - 65333553713580573063270735666156178707296681745504151038387/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^11 + 10955483305178238552573109932019064707513822650041258883071/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396*a^10 - 10797430729583557197817691428850976455369875411233360253478/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599*a^9 + 175356642438542634842023077555434877946737789094326464477/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198*a^8 + 3592511956334783295903379823042585063323697023350668041115/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832*a^7 + 185094023164916275628383551538770805116953982722024861129835/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^6 + 197557380627886128490096756478147287802177387879511858498359/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^5 + 128990480655858647928311731433681346131749932486293453709959/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^4 - 24529989168456018129622541588487546964986495137047483237618/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599*a^3 + 135860786609531025621367047450425460839066560412403782184419/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a^2 + 119024392291523480321737998918783485002601140694095973860647/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792*a - 2200181948810421962155108478803582552558601001108596881581/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$31$

Class group and class number

$C_{3}\times C_{15}\times C_{120}$, which has order $5400$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$15$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( \frac{194192354925125763461675690502500983}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{30} - \frac{2912885323876886451925135357537514745}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{29} + \frac{63418558545115333649646449473867041401}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{28} - \frac{246824669566804685633924320457030792062}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{27} + \frac{3197900573584593536532627272873381157315}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{26} - \frac{8653241869555114881866634189503126610537}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{25} + \frac{40929906181041317775639016525631995633084}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{24} - \frac{169944479378273224538908935406041338660478}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{23} + \frac{1261591442224541897958287955662865880123819}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{22} - \frac{2098710235622159753657010492630630804059108}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{21} + \frac{12608078666262685005961960569144459567433021}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{20} - \frac{17105201628100992000656734876638628826252928}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{19} + \frac{41980187720024796604884937936927628725010938}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{18} - \frac{93039242826795624780277600998670191053531937}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{17} + \frac{743131472676813843223698794118884171668964261}{179244665054617042894163828218692695034040516} a^{16} - \frac{333017152962633564409110791536594044682302092}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{15} + \frac{1067542949423722293362987916773003971449478869}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{14} - \frac{761850714459592974621100696042877878340593012}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{13} + \frac{969687921800753698797625934948768786502556446}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{12} - \frac{1109910088239409380810781092803747703985733414}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{11} + \frac{1189102861909915305362161236789960867931746504}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{10} - \frac{1266803229648437062155176836196760397427721103}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{9} + \frac{5800165338555899821606173760952783827412793979}{179244665054617042894163828218692695034040516} a^{8} - \frac{1730503360177402191287600875136514186936077852}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{7} + \frac{4027765820903374965896999145881065091562327057}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{6} - \frac{2053006011294027581172358197574043212817569657}{44811166263654260723540957054673173758510129} a^{5} + \frac{3553418530721639258088457492210739964297200595}{89622332527308521447081914109346347517020258} a^{4} - \frac{39221731504424017134823173294591479543171326}{1445521492375943894307772808215263669629359} a^{3} + \frac{28961543606794317164527232665167150664083551}{2185910549446549303587363758764545061390738} a^{2} - \frac{178261628948738270877236344179507444298251318}{44811166263654260723540957054673173758510129} a + \frac{3720393733609086151030377223700930254368235}{5782085969503775577231091232861054678517436} \) (194192354925125763461675690502500983)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(30) - (2912885323876886451925135357537514745)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(29) + (63418558545115333649646449473867041401)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(28) - (246824669566804685633924320457030792062)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(27) + (3197900573584593536532627272873381157315)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(26) - (8653241869555114881866634189503126610537)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(25) + (40929906181041317775639016525631995633084)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(24) - (169944479378273224538908935406041338660478)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(23) + (1261591442224541897958287955662865880123819)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(22) - (2098710235622159753657010492630630804059108)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(21) + (12608078666262685005961960569144459567433021)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(20) - (17105201628100992000656734876638628826252928)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(19) + (41980187720024796604884937936927628725010938)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(18) - (93039242826795624780277600998670191053531937)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(17) + (743131472676813843223698794118884171668964261)/(179244665054617042894163828218692695034040516)a^(16) - (333017152962633564409110791536594044682302092)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(15) + (1067542949423722293362987916773003971449478869)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(14) - (761850714459592974621100696042877878340593012)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(13) + (969687921800753698797625934948768786502556446)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(12) - (1109910088239409380810781092803747703985733414)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(11) + (1189102861909915305362161236789960867931746504)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(10) - (1266803229648437062155176836196760397427721103)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(9) + (5800165338555899821606173760952783827412793979)/(179244665054617042894163828218692695034040516)a^(8) - (1730503360177402191287600875136514186936077852)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(7) + (4027765820903374965896999145881065091562327057)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(6) - (2053006011294027581172358197574043212817569657)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a^(5) + (3553418530721639258088457492210739964297200595)/(89622332527308521447081914109346347517020258)a^(4) - (39221731504424017134823173294591479543171326)/(1445521492375943894307772808215263669629359)a^(3) + (28961543606794317164527232665167150664083551)/(2185910549446549303587363758764545061390738)a^(2) - (178261628948738270877236344179507444298251318)/(44811166263654260723540957054673173758510129)a + (3720393733609086151030377223700930254368235)/(5782085969503775577231091232861054678517436) (order $10$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{41\!\cdots\!35}{89\!\cdots\!58}a^{30}-\frac{61\!\cdots\!25}{89\!\cdots\!58}a^{29}+\frac{56\!\cdots\!41}{89\!\cdots\!58}a^{28}-\frac{37\!\cdots\!49}{89\!\cdots\!58}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!58}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!63}{89\!\cdots\!58}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!82}{44\!\cdots\!29}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!72}{44\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{60\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!08}{44\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{28\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!06}{44\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{61\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!36}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!27}{44\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!18}{44\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!16}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!41}{89\!\cdots\!58}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!32}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!23}{89\!\cdots\!58}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!73}{43\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!39}{89\!\cdots\!58}a-\frac{45\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!72}$, $\frac{23\!\cdots\!03}{58\!\cdots\!29}a^{30}-\frac{35\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!29}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!16}a^{28}-\frac{58\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!58}a^{27}+\frac{74\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!16}a^{26}-\frac{98\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!29}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!32}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!68}{58\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!88}{58\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!69}{58\!\cdots\!29}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!32}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!36}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!58}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!29}{58\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!66}{58\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!46}{58\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!89}{58\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!16}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!58}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!74}{58\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{28\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!58}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!03}{58\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!32}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!58}a^{3}+\frac{11\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!38}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!58}a-\frac{32\!\cdots\!05}{15\!\cdots\!72}$, $\frac{63\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{61\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!98}a^{30}+\frac{66\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!98}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!84}{58\!\cdots\!99}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!98}a^{27}-\frac{93\!\cdots\!96}{58\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!98}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{68\!\cdots\!08}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{91\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!53}{58\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!33}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!88}{58\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{73\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!98}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!27}{58\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!44}{58\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!96}{58\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!96}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!21}{37\!\cdots\!58}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!42}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!96}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!98}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!98}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!98}a-\frac{56\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{30\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!31}a^{30}-\frac{45\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!31}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!79}{88\!\cdots\!24}a^{28}-\frac{74\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!62}a^{27}+\frac{94\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!24}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!62}a^{25}+\frac{46\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!48}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!56}{22\!\cdots\!31}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!93}{44\!\cdots\!62}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!31}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!91}{56\!\cdots\!08}a^{20}-\frac{20\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!31}a^{19}+\frac{99\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!62}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!62}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!62}a^{16}-\frac{34\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!31}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!31}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!31}a^{13}+\frac{65\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!48}a^{12}-\frac{87\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!31}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!89}{44\!\cdots\!62}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!62}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!62}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!90}{22\!\cdots\!31}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!62}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!31}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!48}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!41}{44\!\cdots\!62}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!64}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!31}a-\frac{16\!\cdots\!99}{56\!\cdots\!08}$, $\frac{79\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!96}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!92}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!92}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!75}{58\!\cdots\!99}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!93}{47\!\cdots\!92}a^{27}-\frac{71\!\cdots\!59}{47\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!92}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!98}a^{22}+\frac{49\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!92}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!96}a^{19}-\frac{68\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!92}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!92}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!92}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!98}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!41}{47\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!51}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!96}a^{11}-\frac{79\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!96}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!67}{47\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!80}{58\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!92}a^{3}-\frac{76\!\cdots\!53}{58\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!92}a-\frac{25\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{63\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!58}a^{30}+\frac{58\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!98}a^{29}-\frac{22\!\cdots\!88}{58\!\cdots\!99}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!98}a^{27}-\frac{71\!\cdots\!54}{58\!\cdots\!99}a^{26}+\frac{65\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!98}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!48}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!16}{58\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!68}{58\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{98\!\cdots\!86}{58\!\cdots\!99}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!98}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{12\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!20}{58\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!32}{58\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!96}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!74}{58\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!98}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!30}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!96}a^{6}+\frac{79\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!98}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!98}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!96}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!98}a-\frac{23\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{63\!\cdots\!76}{18\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!21}{58\!\cdots\!99}a^{30}+\frac{32\!\cdots\!87}{58\!\cdots\!99}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!98}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!83}{58\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!56}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{51\!\cdots\!64}{14\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{63\!\cdots\!71}{58\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!35}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{41\!\cdots\!21}{58\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{36\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!98}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!97}{58\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!27}{58\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{72\!\cdots\!46}{58\!\cdots\!99}a^{14}+\frac{91\!\cdots\!38}{58\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{83\!\cdots\!47}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!43}{58\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{48\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!96}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!98}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!99}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!30}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!98}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!65}{58\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{92\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!98}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!98}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!98}a-\frac{49\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{49\!\cdots\!39}{58\!\cdots\!99}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!96}a^{30}+\frac{84\!\cdots\!92}{58\!\cdots\!99}a^{29}-\frac{52\!\cdots\!65}{47\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!46}{58\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{92\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!99}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!98}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!98}a^{19}-\frac{94\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!98}a^{17}-\frac{66\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!32}{58\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!98}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!25}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{60\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!98}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!96}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!98}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!59}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!35}{18\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!27}{28\!\cdots\!78}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!60}{58\!\cdots\!99}a^{4}+\frac{36\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!98}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!98}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!98}a+\frac{53\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{23\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!39}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!79}{58\!\cdots\!99}a^{30}+\frac{32\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!98}a^{29}-\frac{50\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{81\!\cdots\!75}{58\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!98}a^{25}-\frac{82\!\cdots\!17}{58\!\cdots\!99}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!28}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!83}{58\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!98}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{38\!\cdots\!58}{58\!\cdots\!99}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!98}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!38}{58\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!80}{58\!\cdots\!99}a^{12}+\frac{35\!\cdots\!91}{58\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!57}{58\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{92\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!98}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!96}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!50}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!96}a^{6}+\frac{89\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!98}a^{5}-\frac{97\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!96}a^{4}+\frac{72\!\cdots\!22}{58\!\cdots\!99}a^{3}+\frac{87\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!55}{58\!\cdots\!99}a+\frac{42\!\cdots\!03}{75\!\cdots\!16}$, $\frac{71\!\cdots\!57}{58\!\cdots\!99}a^{31}-\frac{22\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!98}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!22}{58\!\cdots\!99}a^{29}-\frac{79\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{64\!\cdots\!05}{58\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{70\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!98}a^{26}+\frac{54\!\cdots\!50}{18\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!17}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!98}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!71}{58\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!01}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!98}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!80}{18\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!66}{14\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!06}{58\!\cdots\!99}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!98}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!95}{58\!\cdots\!99}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!98}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{48\!\cdots\!10}{58\!\cdots\!99}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!99}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!58}{58\!\cdots\!99}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!53}{58\!\cdots\!99}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!31}{23\!\cdots\!96}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!98}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!98}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!34}{58\!\cdots\!99}a-\frac{12\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{48\!\cdots\!19}{58\!\cdots\!99}a^{31}-\frac{79\!\cdots\!76}{58\!\cdots\!99}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!96}a^{29}-\frac{27\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{45\!\cdots\!88}{58\!\cdots\!99}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!89}{37\!\cdots\!58}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!16}{58\!\cdots\!99}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!92}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!98}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!50}{58\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!61}{37\!\cdots\!58}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{88\!\cdots\!23}{58\!\cdots\!99}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!78}{14\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!29}{47\!\cdots\!92}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!98}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!96}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!06}{58\!\cdots\!99}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!18}{58\!\cdots\!99}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!98}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!21}{58\!\cdots\!99}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!96}a^{5}-\frac{49\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!98}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!00}{58\!\cdots\!99}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!23}{47\!\cdots\!92}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!98}a+\frac{40\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!58}$, $\frac{13\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!98}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!92}a^{30}+\frac{46\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!96}a^{29}+\frac{16\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!92}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!55}{47\!\cdots\!92}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!98}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!92}a^{25}+\frac{29\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!96}a^{24}-\frac{26\!\cdots\!57}{47\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!92}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!92}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!96}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!31}{47\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!98}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!92}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!85}{47\!\cdots\!92}a^{15}+\frac{75\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!92}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!91}{47\!\cdots\!92}a^{12}-\frac{62\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!96}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!92}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!64}{58\!\cdots\!99}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!79}{47\!\cdots\!92}a^{8}-\frac{21\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{29\!\cdots\!82}{58\!\cdots\!99}a^{6}-\frac{69\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!32}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!21}{58\!\cdots\!99}a^{4}-\frac{70\!\cdots\!75}{47\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!03}{47\!\cdots\!92}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!92}a+\frac{12\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{24\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!92}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!77}{47\!\cdots\!92}a^{30}+\frac{94\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!98}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!19}{47\!\cdots\!92}a^{27}-\frac{95\!\cdots\!73}{47\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{70\!\cdots\!78}{18\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!96}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!98}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!34}{58\!\cdots\!99}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!21}{47\!\cdots\!92}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!92}a^{18}+\frac{70\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!98}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!98}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!98}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!63}{47\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!98}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!49}{47\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!15}{11\!\cdots\!98}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!96}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!96}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{49\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!29}a-\frac{16\!\cdots\!66}{18\!\cdots\!29}$, $\frac{24\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!96}a^{31}-\frac{75\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!92}a^{30}+\frac{81\!\cdots\!69}{47\!\cdots\!92}a^{29}-\frac{31\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!89}{47\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!53}{47\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{75\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!96}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!99}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!44}{58\!\cdots\!99}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!05}{47\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!85}{58\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!81}{47\!\cdots\!92}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!87}{47\!\cdots\!92}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!98}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!98}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!13}{47\!\cdots\!92}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!78}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!09}{47\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!92}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!96}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!99}{14\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!39}{47\!\cdots\!92}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!95}{47\!\cdots\!92}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!11}{47\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!41}{23\!\cdots\!96}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!98}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!96}a+\frac{12\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!32}$, $\frac{19\!\cdots\!51}{61\!\cdots\!68}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!84}a^{30}+\frac{36\!\cdots\!63}{61\!\cdots\!68}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!91}{30\!\cdots\!84}a^{28}+\frac{99\!\cdots\!25}{30\!\cdots\!84}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!53}{61\!\cdots\!68}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!42}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{84\!\cdots\!55}{61\!\cdots\!68}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!75}{61\!\cdots\!68}a^{22}+\frac{86\!\cdots\!61}{61\!\cdots\!68}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!62}{76\!\cdots\!71}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!87}{61\!\cdots\!68}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!38}{76\!\cdots\!71}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!63}{61\!\cdots\!68}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!84}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!39}{61\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!47}{61\!\cdots\!68}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!09}{61\!\cdots\!68}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!42}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!31}{61\!\cdots\!68}a^{11}-\frac{43\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!42}a^{10}+\frac{19\!\cdots\!39}{61\!\cdots\!68}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!65}{74\!\cdots\!24}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!42}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!33}{61\!\cdots\!68}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!07}{30\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!23}{19\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!79}{61\!\cdots\!68}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!13}{61\!\cdots\!68}a+\frac{37\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!82}$ 41034851790475737941155843716644535/89622332527308521447081914109346347517020258a^30 - 615522776857136069117337655749668025/89622332527308521447081914109346347517020258a^29 + 5640558327212971316727012660401960641/89622332527308521447081914109346347517020258a^28 - 37317442013648724423904995873233245949/89622332527308521447081914109346347517020258a^27 + 183092979808702000327135728495575559699/89622332527308521447081914109346347517020258a^26 - 684447762152470251374518433915349563463/89622332527308521447081914109346347517020258a^25 + 6277667694017158153737323926235081518257/358489330109234085788327656437385390068081032a^24 + 260122026920871630623308108874765050482/44811166263654260723540957054673173758510129a^23 - 61376726453006684829843874117862527982237/179244665054617042894163828218692695034040516a^22 + 100985232396760314692491483785405191765407/44811166263654260723540957054673173758510129a^21 - 3737404907619112754115631091978311704007423/358489330109234085788327656437385390068081032a^20 + 1743309207650248636611099725041603091669172/44811166263654260723540957054673173758510129a^19 - 22233155410164431762243356511979907666721293/179244665054617042894163828218692695034040516a^18 + 15406013614947312403343094459236983380344388/44811166263654260723540957054673173758510129a^17 - 150041941131320589957548317454512307918652089/179244665054617042894163828218692695034040516a^16 + 80388753725487931440608516265343942100177521/44811166263654260723540957054673173758510129a^15 - 605395620989263261156685235349739265601124737/179244665054617042894163828218692695034040516a^14 + 249164867688221652499800818545769063211014408/44811166263654260723540957054673173758510129a^13 - 2852345973863158692829155302647933890114288527/358489330109234085788327656437385390068081032a^12 + 440535042227403095470519006707769829139229906/44811166263654260723540957054673173758510129a^11 - 61501859921870801539286586685089030436359125/5782085969503775577231091232861054678517436a^10 + 470383464391401190256210653471625640045065927/44811166263654260723540957054673173758510129a^9 - 1969083691314328874516427589405757276300861751/179244665054617042894163828218692695034040516a^8 + 594471153559476486450618231248176810053952618/44811166263654260723540957054673173758510129a^7 - 3152243081259433017984478780867006098076202709/179244665054617042894163828218692695034040516a^6 + 1858555927437430436114776503003732828728790541/89622332527308521447081914109346347517020258a^5 - 7320368961578859969482391164042438717634140935/358489330109234085788327656437385390068081032a^4 + 1374545000404257432804600355003156028362410523/89622332527308521447081914109346347517020258a^3 - 34817336720443268156470441571509113106906473/4371821098893098607174727517529090122781476a^2 + 223187086870494841237788354981244606184223039/89622332527308521447081914109346347517020258a - 4523776300254510578961170764945598834387217/11564171939007551154462182465722109357034872, 235256970014016924286654310962432757204912703/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^30 - 3528854550210253864299814664436491358073690545/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^29 + 151419768741295015483086006488814600737873066179/23399889317062767076730027009395147215840589084395716a^28 - 582366732060610752079693794167963708039138676163/11699944658531383538365013504697573607920294542197858a^27 + 7422460817051133826559174991215475356945706039765/23399889317062767076730027009395147215840589084395716a^26 - 9882564890044778422352438511871726658115679155945/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^25 + 367062664453693677064380379177344415237575350996327/46799778634125534153460054018790294431681178168791432a^24 - 186896676343152268257028174111782957292213691410968/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^23 + 679086920269445899232878621012846043845525874527388/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^22 - 2208954213419065141953305043176879411408508222263969/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^21 + 51770358649764900921447127053280516041906960778655153/46799778634125534153460054018790294431681178168791432a^20 - 17087262785608687470076889706620178725174750734112243/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^19 + 5248951658471409165392700427898865494049607809294843/754835139260089260539678290625649910188406099496636a^18 - 174306662013142646152691480285616680637889207806997395/11699944658531383538365013504697573607920294542197858a^17 + 167530188657736255832510769201715321762703691548820955/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^16 - 287744930924945782629554230677863710153878944145130029/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^15 + 439838166580726640788741036698538270228573052071780966/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^14 - 596260816949995129583610066062003566762483353148731046/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^13 + 5764568677790262502634624629765463865207624994390338889/46799778634125534153460054018790294431681178168791432a^12 - 790271805317770128392382818265881038694043156991654089/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^11 + 3333226007999932709849133044262892758547723355720461559/23399889317062767076730027009395147215840589084395716a^10 - 1818815254700195929625071024575832366231263208567443989/11699944658531383538365013504697573607920294542197858a^9 + 1076849286743884027357887191174255856540990329686133019/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^8 - 1288495114755913782341548049055371286019883101874496674/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^7 + 2867269413590873319237096977247686310436108985791640687/11699944658531383538365013504697573607920294542197858a^6 - 1365649877777578660856870057649988949214351397265031203/5849972329265691769182506752348786803960147271098929a^5 + 8429721089468637747992970055762926798448406814563410211/46799778634125534153460054018790294431681178168791432a^4 - 1239014641775287337478971871668736151927146362107446021/11699944658531383538365013504697573607920294542197858a^3 + 11662725481423979729510806566191795097001429999028423/285364503866619110691829597675550575802934013224338a^2 - 96848723548853031227574815589825675131825238216943065/11699944658531383538365013504697573607920294542197858a - 3219081892548718825483681420051423162949079389703505/1509670278520178521079356581251299820376812198993272, 63209896081611857377375854972811160669480464444976/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^31 - 61200398058661091590212745665607042547359926635286697/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^30 + 668758189756260074326430917446051863431249337248092199/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^29 - 2634844521354150384075832505177746244223271506424494284/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^28 + 34232056413139789787181851285116679128903685346587065089/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^27 - 93140585021562128123461593886663218716591483642605328496/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^26 + 882594736717864928920069140855707209405038100106729080501/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^25 - 14700976660162022499672876613971353375363086601761550023105/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^24 + 6828687067658997120035382749677039138399707192009502528208/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 91049238102357233112212884352649652773170921882749342302893/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^22 + 68458130103453199901492463169446414527956703111961918033053/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^21 - 1488849247073653764960181880381607093334192989983097384001933/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 457736659645278821791056449660918142306684468005679079703788/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^19 - 4070906568441537352437786431050972746614452002932906702585323/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^18 + 2041648208763710508874972650441848208703265347839477218299691/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^17 - 7370183573204077722771896850869842984125482879208294654024895/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^16 + 5967475333158430784260881658447291835016529151582180451335427/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^15 - 34589092715166078021814195901345299243482836211693595843355573/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^14 + 11235501709476292142566278767191061145067555321381401187728644/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^13 - 105695733012879797244127550609405691141349915739122342876627329/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 14499941881435090537306987760742894765649666538192578778513096/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^11 - 62540143639475932809018946367106698451484998924488791997161781/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^10 + 428405633098503793315015866138530025145505815466260863880298/1433846909278024316178382719839335394213347188324213692039a^9 - 1325990161873693325159430560951491442936040714244932735792421/3792756340670903029891205904091145236306273207825339443458a^8 + 23723984190083013660658546434844386042236272536187066175869642/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 100111741182016767443094968936554904319102884068393650753188137/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^6 + 45557598228645111014711305448692144927967431470204711829839841/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^5 - 136815466297501189643454334228231042112318857068058495427528109/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^4 + 20033656050282810245298513153466409752124831322004745806063329/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^3 - 16869666787299418368480392742619307759870426378759429794256641/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^2 + 1971602638947802013648927234321698664788353034126281077402675/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a - 5694840002769257650259663329669125468106506479512906197793/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 3010345284242979426817448513900460495/220429608006315988851804878719952308753336831a^30 - 45155179263644691402261727708506907425/220429608006315988851804878719952308753336831a^29 + 1931848923901353908656824085531432837779/881718432025263955407219514879809235013347324a^28 - 7411941540296229124158348115502095059603/440859216012631977703609757439904617506673662a^27 + 94148522542388320485700150768036386015963/881718432025263955407219514879809235013347324a^26 - 249865527264249683760128834889013785333729/440859216012631977703609757439904617506673662a^25 + 4622023777248617955086916102653373695050569/1763436864050527910814439029759618470026694648a^24 - 2343685307331510397683889965155865591189756/220429608006315988851804878719952308753336831a^23 + 16952112448523926621501349653063419838171993/440859216012631977703609757439904617506673662a^22 - 27432470005692581786042668815703396254567811/220429608006315988851804878719952308753336831a^21 + 20621618825438140871635570015734387170314691/56885060130662190671433517089019950646022408a^20 - 209660743208795134082328566758231697685473441/220429608006315988851804878719952308753336831a^19 + 991032880020181462693362435057342220922830721/440859216012631977703609757439904617506673662a^18 - 2105583790684202858154500705518678558273865109/440859216012631977703609757439904617506673662a^17 + 4008362906741284956719216405170478205760087907/440859216012631977703609757439904617506673662a^16 - 3403523380203520158967864389431512074012804347/220429608006315988851804878719952308753336831a^15 + 5134124664514493957950259637017972983429047251/220429608006315988851804878719952308753336831a^14 - 6854534186034842439836080502049858890573275271/220429608006315988851804878719952308753336831a^13 + 65170650102167420384068983938113656321956731601/1763436864050527910814439029759618470026694648a^12 - 8795967495013244248569410047310996090729284211/220429608006315988851804878719952308753336831a^11 + 18387314603523265363118841645027101267785901189/440859216012631977703609757439904617506673662a^10 - 20131796757222346701289855824463700241632635291/440859216012631977703609757439904617506673662a^9 + 24025443672505340062477072733892999282593613421/440859216012631977703609757439904617506673662a^8 - 14390559311079609250690308213715956876437637790/220429608006315988851804878719952308753336831a^7 + 31692507872100139856987035915308398120198336779/440859216012631977703609757439904617506673662a^6 - 14836153135318386012936687578455889666872257249/220429608006315988851804878719952308753336831a^5 + 87184779829117488048545145493100155016341540687/1763436864050527910814439029759618470026694648a^4 - 11652268987333713219688287938311482491598240341/440859216012631977703609757439904617506673662a^3 + 139536819416574723343749716066254927943716853/21505327610372291595298036948288030122276764a^2 + 215004480042827293041334274464997171815039623/220429608006315988851804878719952308753336831a - 163715200174762488292123997563628925201306199/56885060130662190671433517089019950646022408, 7913037990118292188596230320345552643666806237163827/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^31 - 243266091676027871599458561805946169611483527890961253/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^30 + 2636519801033070544773360808676610726508826917171332337/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^29 - 2569434121517649355856784963089225266303896946990508175/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^28 + 132312202800819999605528735545551599271914304669919002093/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^27 - 712529309319075719903511668138499147900983031061900056459/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^26 + 1670544024899570526264290060713390035061577753007489145589/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^25 - 13753182251164508606574708155425865943383050949478359499723/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^24 + 50485978381752619884644612046735936468445418667198021707985/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^23 - 41500900776364719333352157446286376964188376573627277698665/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^22 + 491758494796545709160112782329099264004542859032651612215605/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^21 - 1314001710954191294458911782654716750738853261755995498138467/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 1584193735521407938701509084941615798587063328083922223990691/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^19 - 6883060127069182376638625764569486591960545191419320423741571/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^18 + 13434342996417633550576295865673295719782837565096648311914053/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^17 - 11733068174042241105767459817697319880591057200275091974700081/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^16 + 36536493185748886202379116326740704218181224641460204780605441/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^15 - 12631227545335634983499808206582527273886418667452535476464797/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^14 + 62256445442414201520001953974085896554392942291239507696310441/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^13 - 69366413891122314096553841205302570314524130561173944491870451/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 36694913959455813373924559753163803218162968955142432439820575/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^11 - 79251777209282917160523257900163065627103955407310998141081091/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^10 + 92487372337494040695986318287290490720427086167353132373621689/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^9 - 55471544044052900149501706460492942930569544318472150436982939/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^8 + 125674887283171118903076567562623589964412624852714862455541667/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^7 - 123627899867449852006243307451750150918513478030093985886028503/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^6 + 12505998840476546351255309460553394852478850196652438231730580/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^5 - 62524637469807046523118816576710736033378587699920489492340111/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^4 + 26684865197775383662845231397724035264561607754833629518613609/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^3 - 761400300650956202409189478018400073923448750739164224800453/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^2 - 227347654393879626932969766056139463541326382040539079740205/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a - 2592818981863743491570800633473465261358016372251497221781/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 63209896081611857377375854972811160669480464444976/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^31 - 1802239049726945685130448163965912384418480952374451/3792756340670903029891205904091145236306273207825339443458a^30 + 588793376999373444058898128706095483975444080572911459/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^29 - 2204627486704264321399795036914312832317449051675761788/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^28 + 27596931772825642013689187545144258605383478981976451941/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^27 - 71923720805628507781616183431251102179125498946602963854/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^26 + 655802916302341299598603588957955314441693548630647877109/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^25 - 10471379605446342935113484388980247862193437860914837459725/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^24 + 4665514054821874176649226986016698565421766232491006506848/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 59448868334799985721922652159309447822662318656714146918765/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^22 + 42616995587182517681583334808096712162095889516371931932916/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^21 - 879338797727895794666316537334387444149180974434902965083157/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 255106890520912253480063872611359179372904390616900315194968/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^19 - 2125048979839259950761737491152008393898512009043118667687157/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^18 + 989195072537858929377587272630398138440443150857597264058286/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^17 - 3277011673558872929685783907749563207238873537946804755686453/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^16 + 2403754075991532447698523174482061484235457797346604773480943/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^15 - 12441933001754909997645919620565500509988613687892138992952277/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^14 + 3585320429795988910182823521829909616790754016515669044754120/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^13 - 30172262375077770680200420083081877038402136639488365169713037/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 3944370662947226706602963831326819720210812419156693675650632/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^11 - 17589267339464914134906917139481746393755700366829020096248037/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^10 + 5398600168625122198171307142066330084417709490951538377671074/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^9 - 12727747367032403985495699452136434681060914743590604863167153/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^8 + 6821743282216415077803180047135255975844406645907778327277730/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 23557987907675590274295285349653969288783217999821224798890567/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^6 + 7930573133254888055526709112162551704391490817368576970852617/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^5 - 13770908244415783755640441401168560337334027159229239438209621/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^4 + 416817795220409402858837112153648142122647039570609014554865/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^3 + 1009238156406251655563506615200397556261572661514168011097047/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^2 - 563316304132852430786954961303760276652659604190264912115219/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a - 2359210672978226332998993701240603992323674337042452937817/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 63209896081611857377375854972811160669480464444976/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^31 - 30187666785800892443878746956303598053078577417738721/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^30 + 328191111225185236894801070575527083406603880125476687/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^29 - 10267207627727929976402652820801653029807076117314210413/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^28 + 33164303663684285170869191415046199637122429364707091853/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^27 - 358575457898888876622223198765123848800955823702729410555/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^26 + 422172742513550759531900875991070956918286168949037667383/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^25 - 13968420927450445635200875633524689063954935984959868534857/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^24 + 6443753176759787660498379718798771783528133065242251823056/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 519850925843610328326313587045028737316762352295144307364/1433846909278024316178382719839335394213347188324213692039a^22 + 63570015030045153957427720853593712989082855500345795600171/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^21 - 1369540809635782333342724640489577775274331133200429893653535/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 416589273941943277314752461362197409769742171094259147104021/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^19 - 3659472297570078808888380489706456614785213619447624886270123/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^18 + 3618130148667402429758783060634252074068879597645605585753697/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^17 - 3210272473523966545539546949437097275979797362519124451051797/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^16 + 5095436631130893350109090509650315663834645735604147622008427/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^15 - 7212242213396027960443065244530290118783252457363373385677946/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^14 + 9129394697756085634843402562871521803849767142810447161570438/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^13 - 83658054555903689169063346411263435620684266194806725932771847/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 11276915775561787252871764898649917671292549956258054088517743/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^11 - 48624125458567551646177591543767080802029276176498963589146681/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^10 + 27830002518699024319205823407073738288003852099462999541478131/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^9 - 16475570404829716409792059417235032910737371883675880203629365/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^8 + 18888873858517213238059431652355791563419765141752540596911430/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 38500639994678337568672045520791799733458422286389080865386849/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^6 + 16643262197217023247756305095734659894774788197974170230938665/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^5 - 92284745382426202299039296109847839173716471093922883057821901/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^4 + 12095894202605976444293919580064355718802209774117937049075963/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^3 - 4429289205816526601869664478748107532190926355145590539793331/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^2 + 736538645949248318500736228252832515696432081178967158917093/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a - 4942919933968797892811378137713343097776310662092027722385/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 4954044913792537106708632957823503598015732277790539/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^31 - 308976311670322837651689412297938110526703555388026985/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^30 + 840728233855714768474070554486905381715092784655099892/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^29 - 52797796163514767125435448476983045955259268275898568665/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^28 + 42672814283045660310213249956771650928290342195759831646/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^27 - 924355703255421971405623940456516082919974701092876599705/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^26 + 1088896907292221857018061694632690951593404208187930609079/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^25 - 439779284541060834550270935393140690699081145887737723337/5735387637112097264713530879357341576853388753296854768156a^24 + 16641613856537667177345381577101383502022053321758058035119/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 220307840791005341272557612924785405922008140933324265129549/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^22 + 328646198709729378971443584030168421011683622311399133071561/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^21 - 3541902952614913259593258056953311294795472253421053876490873/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 2155811095394446260928264714227044556143966079224103388353803/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^19 - 9475810288968976837306643398558256015775430401638987766595461/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^18 + 9378821935389303768554561606268156202594350552208033204214893/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^17 - 66685574092724100184419206951006772118546405545596143098340075/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^16 + 13265665368574944316438156545796757456543389637693205495470632/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^15 - 75419323519088559812220354016211393623482547785902132032121183/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^14 + 48022174988616690712285492745558528935196867967181221525812353/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^13 - 221899824411794209082529290056740842999365618322201882880270025/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 60311370815455603321749476749956313809635735190044627119667409/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^11 - 130688006723295378974357411851292253284438219610321944435749249/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^10 + 74380350554681769248883415175807092278427022471326437963194735/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^9 - 350042515412912443130556381053322959503457494488035363711839739/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^8 + 49878551436694955178351467691635762668150467965011436476831959/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 1656562883338593092753416851168692962897940263551503923882635/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^6 + 2200457849517133917164157475717902842361617387359236542035527/2867693818556048632356765439678670788426694376648427384078a^5 - 32483910325976558499135741601958143427094701566091306629446160/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^4 + 36177548064189252109481931692533576317067078876524338210540279/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^3 - 14371259755121969415116651935159145045909526649201171321296491/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^2 + 2851179473026487626868848318103795958788681746804119410057405/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a + 53921538788698756063035381753727128421012866821550223286665/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 23983781235256360761075795664671592597753422498484/1433846909278024316178382719839335394213347188324213692039a^31 - 15157468279605411422551555172336518372873397810226879/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^30 + 326743588814300831917629423278445528715813955322047677/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^29 - 5076574995987940679368334583593468712217637730432863149/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^28 + 8119841845995247240712945786712456047957455212299601775/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^27 - 173936186682396221728861079894277079743025412419571490015/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^26 + 404989519348117004091037051633896449683453411786379326201/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^25 - 827774416679649870941151557379591524912041928437836552017/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^24 + 3014407700341958296939925004153227686275209974661165238928/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 39314027584537885081328513559025827139125788136429703917423/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^22 + 28838140747905845240565582644378453899461063202608300031483/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^21 - 152506044670484977962105154741257147237976126282535145176603/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^20 + 181677220741383939886319290079983699310590664138647902247891/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^19 - 389359471680558897447690101677317171381666743243430091217958/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^18 + 1496295336384173487657318102393757439078478274105799643200639/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^17 - 5133297418635176124105188391224442138302883063611278510752083/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^16 + 1956547467898922492320743124341563429683387003812453173936038/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^15 - 10564105693859335511437978857477513084347279436378280178698739/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^14 + 3168808019292033489448041912873395672599544833397091722870091/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^13 - 3443247501135288607356398868876694249933739438552820339740180/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^12 + 3586521243451901661088982035593246546870951975296063454841891/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^11 - 3896184828616172120078976035111935550216894227454150661539657/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^10 + 9228921244372086036224416249162804410300944183505563128331103/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^9 - 22331761838371141867851211151425994877314889079073918337700337/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^8 + 6228436477721127988310955147102013751932132488149698225689750/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 23822665515891078722415209330231467432108380951878011812683299/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^6 + 8954986202688327827237645072273151919763240397754974229003985/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^5 - 9707899849833855273393700757597047296077271993174564779307807/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^4 + 725606389455067255576323279993754310022162411561542139132522/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^3 + 87973291608105103693128595290035485299557605937824518371/139887503344197494261305631203837599435448506177972067516a^2 - 140866376874500039871540473117633153228970584546695659538855/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a + 4292676302090940900102729287595407441733212153711752530503/7585512681341806059782411808182290472612546415650678886916, 7107297892349470918941030839462013016411342519578757/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^31 - 228464561469903133017817667895473801067941910216398429/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^30 + 1255115982392570610406235829474191046420418375062461922/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^29 - 79795874813442995875959401590089885164589610746684498591/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^28 + 64950383501169814625431857504732420937914295904169003105/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^27 - 708551404630320276224396353697573025813876884946378042333/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^26 + 54111333640544056917595548133370610031079357434639491350/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^25 - 27895446033993524511087477945099792169266467490798587099189/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^24 + 25815476463538723251757859893460845585056954416836886304217/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 171167480206351979844661595165882056787786758284593538791625/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^22 + 255395697834159196725517459647647568404434647377326606427871/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^21 - 5497517382796357238216794077008321972517446774033583197291801/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 3334791481688882083713472593970765642861535511726864850404585/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^19 - 117495119671238173930747470179231509888877829496429130222980/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^18 + 174172952458838614834517890507275957007053239441678321442066/1433846909278024316178382719839335394213347188324213692039a^17 - 100089628844054457409090102409525122036784443775226441698168303/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^16 + 19495516074012292996740907528448427060167616769433309792069006/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^15 - 53803359976228516587267579870258361036278330432609752046709019/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^14 + 32926444307739505775715515077920266374489991407713918639628495/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^13 - 290393599566580314600965795144292420637951717182244427047017813/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 75834385838029935937128654064751187417998648926480742054435255/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^11 - 40843894554109558066460202059622916316443454724597236899011619/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^10 + 48124395615033471085464374238065731726351369344649353934241310/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^9 - 468799151514971521725140364602799750956830741014531770818555395/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^8 + 66443823205439756696368055282198767288566601978223711539824099/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 64625665370861005562783948351201277326592200210864625520400958/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^6 + 50769676474386302662659969854562547106347239076996816165122853/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^5 - 119321236218519618446969874186582629457710866908561686028987231/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^4 + 22733229994175761444590470583972996959775543724515242029470835/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^3 - 3806269757078578348476963949812521773197790174458835301996929/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^2 - 126945008466851486540483046936769867104901089035570951980634/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a - 12256393410682766104427203708422676714255180692432779130387/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 4887261772519676944323211874328417254958474396208719/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^31 - 79289552333281201827209840012739507473670074507744576/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^30 + 3485344700149700825942109757802046808484859271346924711/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^29 - 27762601900160789770863150161524132555646673404404952605/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^28 + 45201062127787572490783145690774495429539247983075662188/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^27 - 1974199891546974761052844375032778746423201837382159929861/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^26 + 4674198187015466068907423872940977858501651735212977725715/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^25 - 313585845088809769021225195967577571874287317044765753389/3792756340670903029891205904091145236306273207825339443458a^24 + 17996074515197363676321374833227166230155105683871254430016/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^23 - 477529489926369390138024337994098338727608335625439597011085/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^22 + 356435722935059154094454220778345119823477062074923728249777/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^21 - 1919761546222895068626193802674597504165892826930986204727669/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^20 + 1165883737306555860381182153463051775524925666530334316652850/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^19 - 164599018118839581793593458056601981311247535776103290364961/3792756340670903029891205904091145236306273207825339443458a^18 + 20059349081030691009079721459241940560408668433664970068544685/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^17 - 8819283638991836020088899052713118192154712635345571631878823/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^16 + 337055275303986307106494272718970510273850222971004381425578/1433846909278024316178382719839335394213347188324213692039a^15 - 153795232064087430609519828062967379109600059578226810817799829/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^14 + 47589134923989863872630014289355212096327459781607076919975915/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^13 - 106437574651334148356469218408792497581315597588437012651156063/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^12 + 28136109416546243740152965519642904061314245401145290225345006/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^11 - 30390995682622187543157545436364199558556052638125918850910118/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^10 + 141501872294849213102036713350585262110669686364732396389005613/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^9 - 85261343434523227164874255132068066432063012204353523540669281/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^8 + 48365127161824481605342053502009367752817672510166189209039321/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^7 - 383699982273512467539371665110557162239958080963646019697426385/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^6 + 156406006467360684012142738593924774446743863287826017910855099/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^5 - 49121150185377555951261437069054908031471018230821063931941579/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^4 + 11040931390581278342123395232296201175272015458524529567664500/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^3 - 22179847554267237323257094179665101853191123950563063450203723/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^2 - 135726959132659311885837410308784257330929017340517032019277/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a + 4020523480544621777215853665321653919137668560642510939071/3792756340670903029891205904091145236306273207825339443458, 13719124735920649741905569343807295676677857842736397/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^31 - 305370044932943878889071461648224144227647139114244795/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^30 + 468779816335215381376195758585178075041757524964220745/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^29 + 16835930548321869719015885749519915888679425680646780003/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^28 - 221852045817425189250243159515029101196336085653314905955/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^27 + 466693308272745146510053589360367151083207538846356484579/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^26 - 11530560385309022431169234331735111529642542868778258000209/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^25 + 29739341182359774846473958103496259079327818694927031755609/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^24 - 260790539204913890855832764639427752272182172345931744652957/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^23 + 1003196146097705130353141656285538312221820584736555825698961/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^22 - 3411446549597918730857081670159260603086651579677465323287049/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^21 + 10355614094692153866776325363062780564438346776174055658247831/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 - 14066877966191428339264131787170040716399366659359978760804727/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^19 + 68479787872174711949316628194979169666625521453010957240428231/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^18 - 37283095978678116714392912762044905479584782999326205008179203/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^17 + 289596731889880066797406167368621671975212095148033576004371663/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^16 - 498952019674733576894131883076612648551752481920278305526462285/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^15 + 758761728406909629986481165901139380649809964357482492780835877/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^14 - 1012493516594304954506044111183662315138309262717840231303689997/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^13 + 1190464530547849837727062356760935627166192345807912742120485991/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 - 629298106601013359646117768069283994322106193962216896390579609/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^11 + 1289721329600054315373698509084189232769063648943522973445118875/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^10 - 177491255443702430353370222009348143251297078506621072078850564/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^9 + 1747634913803380145663628061774955450365039598848697876674267979/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^8 - 2151062487798903689782737734814638779138916887606373255911225253/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^7 + 294926119338265711076672136429362713275992975809624637483930082/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^6 - 69175429401225827860670910306347080714807376303650789512186201/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832a^5 + 185137850693934449392940229593884572328225268172541580743105321/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^4 - 704522830550426270957708366039907848664620772633225900899711775/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^3 + 151215226388543165662256569290849240347660369226035511655747603/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^2 + 22955340738766037391106394310198707594943470759040585366795453/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a + 124793093281652171006572847104546674971398141043499192895943/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 24374846304762548171419892890087233170383104732127873/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^31 - 358297477055797290268714699042056526476501448832766577/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^30 + 949291551894954310125176101700978024870125389609024229/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^29 - 14403002611217041264107028888882384018511720873213931165/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^28 + 181352412943999585684656746921501756475226208695147223019/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^27 - 953605952088484814055236766232547361726388235712427286873/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^26 + 2186317934957973457647290369979214069695573051396010202659/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^25 - 70900977506976707270348772387211106479497598122567465478/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a^24 + 31525191860518816233392772596366782204741335474670194123765/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^23 - 101142818268370336876278644103037475700361463596753244659193/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^22 + 145996812324659136833271451748148465228726195630953538206129/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^21 - 189766468023741429355534627220641924871338473683495345776034/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^20 + 3553260906393205755860018420884542169203298870250479268406821/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^19 - 7473594167446851441363555595866086061223606891417802461976011/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^18 + 7039402751307487047789597102319385188248195483448814333217397/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^17 - 5914191111429485208085445878585210762260238333764535327414231/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^16 + 17665724799219277288514772355280508382312409681061992318285413/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^15 - 23392034125018808808739612514359460211747422690948015175096963/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^14 + 13855647562580530204432276587875438862704662536436328461804777/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^13 - 15041579451675188632195713015739954304399290517362743159782335/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^12 + 63944598035967420399093166180734143829392461393858013253133105/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^11 - 71350803312593349658861042981221704392152720289444486345227763/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^10 + 42641020692844240903244628371187519869934071279771505091979087/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^9 - 25233683943055893639703043007796738774908584873515535312569565/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^8 + 109155031690528775985036337755820686615548350908460990177589949/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^7 - 101533907648782475605114429363228149969964430991837154136488017/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^6 + 18915003109232117773848784597741638897007059056342454610924315/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^5 - 22210894478739950543854581857641577958667535083996338009080599/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^4 + 9500420485273119453887996449825618736661132961886251980670355/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^3 - 2526949106294575808789634883394280382911439372084510997970847/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^2 + 4960800889246948518067654778641992418011289003895146308927/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729a - 162359286654852399566157578134855665534380616459576741866/1896378170335451514945602952045572618153136603912669721729, 249571502363586074453668875240927399264553255532000373/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^31 - 7560953561483585281739369509343750663940892865692823417/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^30 + 81484347473612868425027206627364993873335958002571467469/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^29 - 315284292088717018219082586745424863490458805959538979589/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^28 + 2018934556065167298073811890616964018908797073666332240725/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^27 - 21621891595418884153134631575182230010787629098802539617297/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^26 + 100904193276858039430042748827267859544606599950743289463289/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^25 - 413327370451288219489501045217788012883078090403908312813753/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^24 + 755232632170298930379932017011954905025197327219522052749207/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^23 - 618023054999656575726831130124675768490356315875050440216945/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^22 + 1822854772852786474395114582551146501785242301446843264803044/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^21 - 38797923727123441045053921676654223482303784667447796269814105/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^20 + 11644653285402872665678116371369313040993426110229493752994485/58787723280398996963313691513412751162747234721292761373599a^19 - 201550502944830776527639009758146172666862822068555312107690981/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^18 + 391881406512703252231261677682340768721575850351962192361365787/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^17 - 341108359907656087701627350435147499742029195113451148245151291/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^16 + 529787213488828470182909758787671294749130658498018067526012151/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^15 - 365914981788278259425932829111879749365342479550387744064763479/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^14 + 451503242298999250454734913943571569906289273154666978695388781/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^13 - 2021062530097159972090820001716087736062415266025793057566740213/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^12 + 13133739132653960153942386429425315579350325080515687320616259/2867693818556048632356765439678670788426694376648427384078a^11 - 2337320171632370341852194311354311954558088313524672462651191009/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^10 + 2722717789579732104961803756463288992147524531339410315122422383/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^9 - 1620789201297924040977793170862980648096921384345231176016838345/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^8 + 11142714038713377953008442494812469174629102264429991759902599/1433846909278024316178382719839335394213347188324213692039a^7 - 3599452731262049875964667560342038297629856470040177553480780339/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^6 + 2939214687486542363489798198104951931140617019444762191614100695/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^5 - 1892256706208399158252553528014980511774337903282258117118318611/470301786243191975706509532107302009301977877770342090988792a^4 + 436509505837725090467551778121036953047707891993305959841808341/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a^3 - 65355566691008710138825097724408392832976471979847134763424881/117575446560797993926627383026825502325494469442585522747198a^2 + 4445028770699769351687890855159753596623446040807976930675153/235150893121595987853254766053651004650988938885171045494396a + 128857678325958061786397626896801109247209068777154293107125/15171025362683612119564823616364580945225092831301357773832, 19431411555250627033884260504601947158083389088851/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^31 - 165794554171120855349768995203954728328805385221377/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^30 + 3692413551903815956299177119099118656388634476425063/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^29 - 15027372742984027993403341339597405681472682644102491/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^28 + 99209774189244545000322301839406969566871866107510825/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^27 - 1101533498540040731807991023303059775974663136026695253/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^26 + 1322684174248156650917223760862218564136421164420618913/152893948713651487550880862193531212386858867935741902142a^25 - 11180941723432108534216222349060633803281327313726126129/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^24 + 84087192929918918357455190824899494969624623705560204755/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^23 - 283694944649051432383096032073331391267841641812539693375/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^22 + 862135772520045175511943254424256599168057554218968850561/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^21 - 295899793652351241537499389722419363726607953466156097062/76446974356825743775440431096765606193429433967870951071a^20 + 5872804266777084297832701289597948452819714951502712288187/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^19 - 1644114316925956924778486513646800291109840129873590688338/76446974356825743775440431096765606193429433967870951071a^18 + 26523450275100685616219166713518693436310140932087969655363/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^17 - 23982873483072887143790491844851790604379008491682299736789/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^16 + 77434053648778077588421818213667284877787889345129651086939/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^15 - 111019283166953106206343992563037963042609615152814577301647/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^14 + 141012522733276324673255427964012282689837800204897057042509/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^13 - 39988922375074711651430385395224402439073583152649754976581/152893948713651487550880862193531212386858867935741902142a^12 + 167119917823046845317562388303073050821854220851806256446231/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^11 - 43607935746371917311939400737129369783383687216623738667889/152893948713651487550880862193531212386858867935741902142a^10 + 197963152359405907366531569182138439851862967112878732590639/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^9 - 2972882979686208383984395203515263775505780817644748681865/7458241400665926221994188399684449384724822826133751324a^8 + 72921323291147008720482370415826412057364802515898694449513/152893948713651487550880862193531212386858867935741902142a^7 - 301292133928622685130589277915302647391266640264130475266233/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^6 + 124256222265774092072516150305472173998769943537628451644507/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^5 - 75706431396628133110059547365152094037706806868698274853641/305787897427302975101761724387062424773717735871483804284a^4 + 1989237795270966825022500526179895140178512362661821626923/19728251446922772587210433831423382243465660378805406728a^3 - 11989745659869563227623664313240648792632126762662250742679/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a^2 - 1752891981424981745849296239774178855530058286753588302713/611575794854605950203523448774124849547435471742967608568a + 370364256690382199933254421603826174106172756203310903/4932062861730693146802608457855845560866415094701351682 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 122816592296668.77 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 122816592296668.77 \cdot 5400}{10\cdot\sqrt{847622907049404564614012839370162176000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.425037603482518 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 176*x^30 - 1400*x^29 + 9140*x^28 - 50008*x^27 + 237760*x^26 - 993304*x^25 + 3698828*x^24 - 12348736*x^23 + 37160956*x^22 - 100999328*x^21 + 248067450*x^20 - 550035696*x^19 + 1098447236*x^18 - 1969257808*x^17 + 3158187595*x^16 - 4516634096*x^15 + 5769439004*x^14 - 6655144784*x^13 + 7182394274*x^12 - 7714898672*x^11 + 8765771372*x^10 - 10407112256*x^9 + 11993265010*x^8 - 12412466704*x^7 + 10863979076*x^6 - 7670495384*x^5 + 4079279422*x^4 - 1470536872*x^3 + 246059100*x^2 + 34978664*x + 6872111);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2\times C_4^2$ (as 32T36):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 32

The 32 conjugacy class representatives for $C_2\times C_4^2$

Character table for $C_2\times C_4^2$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-22}) $, $\Q(\sqrt{2}) $, $\Q(\sqrt{-11}) $, $\Q(\sqrt{5}) $, $\Q(\sqrt{-110}) $, $\Q(\sqrt{10}) $, $\Q(\sqrt{-55}) $, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-11})$, 4.0.247808.2, $\Q(\zeta_{16})^+$, $\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-22})$, $\Q(\sqrt{10}, \sqrt{-22})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{5})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-55})$, 4.0.6195200.5, 4.4.51200.1, $\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-11})$, $\Q(\sqrt{10}, \sqrt{-11})$, 4.4.968000.2, $\Q(\zeta_{5})$, 4.4.15125.1, 4.0.8000.2, 4.0.256000.4, 4.4.30976000.2, 4.0.256000.2, 4.4.30976000.1, 8.0.61408804864.2, 8.0.37480960000.9, 8.0.38380503040000.48, 8.0.38380503040000.63, 8.0.38380503040000.23, 8.8.2621440000.1, 8.0.38380503040000.59, 8.0.937024000000.5, 8.0.937024000000.1, 8.0.959512576000000.38, 8.0.959512576000000.36, 8.8.937024000000.1, 8.0.64000000.2, 8.0.65536000000.1, 8.8.959512576000000.2, 8.0.937024000000.2, 8.0.228765625.1, 8.0.959512576000000.12, 8.0.959512576000000.19, 16.0.1473063013603449241600000000.1, 16.0.878013976576000000000000.1, 16.0.920664383502155776000000000000.8, 16.0.920664383502155776000000000000.5, 16.0.920664383502155776000000000000.6, 16.16.920664383502155776000000000000.2, 16.0.4294967296000000000000.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	${\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{8}$	R	${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{8}$	R	${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/31.1.0.1}{1} }^{32}$	${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2		Deg $16$	$4$	$4$	$44$
$2$ 2		Deg $16$	$4$	$4$	$44$
$5$ 5	5.16.12.1	$x^{16} + 16 x^{14} + 16 x^{13} + 124 x^{12} + 192 x^{11} + 368 x^{10} - 16 x^{9} + 1462 x^{8} + 2688 x^{7} + 2544 x^{6} + 5232 x^{5} + 14108 x^{4} + 4800 x^{3} + 8592 x^{2} - 6512 x + 13041$	$4$	$4$	$12$	$C_4^2$	$[\ ]_{4}^{4}$
$5$ 5	5.16.12.1	$x^{16} + 16 x^{14} + 16 x^{13} + 124 x^{12} + 192 x^{11} + 368 x^{10} - 16 x^{9} + 1462 x^{8} + 2688 x^{7} + 2544 x^{6} + 5232 x^{5} + 14108 x^{4} + 4800 x^{3} + 8592 x^{2} - 6512 x + 13041$	$4$	$4$	$12$	$C_4^2$	$[\ ]_{4}^{4}$
$11$ 11	11.8.4.1	$x^{8} + 60 x^{6} + 20 x^{5} + 970 x^{4} - 280 x^{3} + 4664 x^{2} - 5460 x + 2325$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	11.8.4.1	$x^{8} + 60 x^{6} + 20 x^{5} + 970 x^{4} - 280 x^{3} + 4664 x^{2} - 5460 x + 2325$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	11.8.4.1	$x^{8} + 60 x^{6} + 20 x^{5} + 970 x^{4} - 280 x^{3} + 4664 x^{2} - 5460 x + 2325$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	11.8.4.1	$x^{8} + 60 x^{6} + 20 x^{5} + 970 x^{4} - 280 x^{3} + 4664 x^{2} - 5460 x + 2325$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more