LMFDB - Number field 32.0.7790452574060543254749837160138952789467349385216.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016)

gp: K = bnfinit(y^32 - 16*y^31 + 156*y^30 - 1096*y^29 + 6134*y^28 - 28580*y^27 + 114266*y^26 - 399684*y^25 + 1239490*y^24 - 3440780*y^23 + 8605010*y^22 - 19473044*y^21 + 39982438*y^20 - 74587072*y^19 + 126485556*y^18 - 194983784*y^17 + 273242634*y^16 - 348358772*y^15 + 405080242*y^14 - 431986068*y^13 + 426399702*y^12 - 394223580*y^11 + 344722538*y^10 - 285681476*y^9 + 222647745*y^8 - 160135088*y^7 + 103163456*y^6 - 57484000*y^5 + 26721528*y^4 - 9914240*y^3 + 2744800*y^2 - 506176*y + 48016, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016)

$ x^{32} - 16 x^{31} + 156 x^{30} - 1096 x^{29} + 6134 x^{28} - 28580 x^{27} + 114266 x^{26} + \cdots + 48016 $ x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$32$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 16]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$7790452574060543254749837160138952789467349385216$ 7790452574060543254749837160138952789467349385216 $\medspace = 2^{64}\cdot 3^{24}\cdot 11^{8}\cdot 17^{8}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$33.72$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2^{2}3^{3/4}11^{1/2}17^{1/2}\approx 124.68716072129577$
Ramified primes:	$2$, $3$, $11$, $17$ 2, 3, 11, 17	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$8$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{7}$, $\frac{1}{4}a^{20}-\frac{1}{4}a^{18}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{10}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}a^{21}-\frac{1}{4}a^{19}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{22}-\frac{1}{4}a^{18}-\frac{1}{4}a^{14}+\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{104}a^{23}-\frac{7}{104}a^{22}-\frac{5}{104}a^{21}+\frac{1}{104}a^{20}+\frac{1}{26}a^{19}+\frac{7}{52}a^{18}+\frac{11}{52}a^{17}-\frac{5}{52}a^{16}-\frac{21}{104}a^{15}-\frac{21}{104}a^{14}-\frac{11}{104}a^{13}-\frac{5}{104}a^{12}+\frac{1}{52}a^{11}-\frac{6}{13}a^{10}-\frac{19}{52}a^{9}+\frac{7}{52}a^{8}-\frac{5}{104}a^{7}-\frac{25}{104}a^{6}-\frac{1}{104}a^{5}+\frac{41}{104}a^{4}-\frac{3}{26}a^{3}+\frac{21}{52}a^{2}-\frac{11}{26}a+\frac{5}{13}$, $\frac{1}{6448}a^{24}-\frac{3}{1612}a^{23}-\frac{89}{3224}a^{22}-\frac{7}{124}a^{21}-\frac{547}{6448}a^{20}+\frac{239}{1612}a^{19}+\frac{67}{3224}a^{18}-\frac{121}{1612}a^{17}+\frac{81}{6448}a^{16}-\frac{369}{1612}a^{15}+\frac{567}{3224}a^{14}+\frac{357}{1612}a^{13}+\frac{417}{6448}a^{12}+\frac{76}{403}a^{11}+\frac{373}{806}a^{10}+\frac{185}{403}a^{9}+\frac{1849}{6448}a^{8}-\frac{1}{31}a^{7}+\frac{291}{1612}a^{6}+\frac{24}{403}a^{5}-\frac{971}{6448}a^{4}-\frac{23}{806}a^{3}+\frac{43}{806}a^{2}-\frac{1}{31}a-\frac{297}{1612}$, $\frac{1}{6448}a^{25}-\frac{3}{1612}a^{23}+\frac{83}{3224}a^{22}-\frac{17}{6448}a^{21}-\frac{231}{3224}a^{20}-\frac{25}{3224}a^{19}-\frac{123}{806}a^{18}+\frac{1093}{6448}a^{17}-\frac{95}{1612}a^{16}-\frac{5}{62}a^{15}+\frac{233}{3224}a^{14}+\frac{1247}{6448}a^{13}-\frac{83}{3224}a^{12}-\frac{287}{1612}a^{11}-\frac{119}{403}a^{10}-\frac{203}{6448}a^{9}-\frac{337}{806}a^{8}-\frac{1441}{3224}a^{7}-\frac{729}{3224}a^{6}-\frac{3121}{6448}a^{5}-\frac{369}{3224}a^{4}-\frac{295}{806}a^{3}-\frac{601}{1612}a^{2}+\frac{505}{1612}a-\frac{116}{403}$, $\frac{1}{12896}a^{26}-\frac{1}{12896}a^{25}+\frac{17}{6448}a^{23}+\frac{905}{12896}a^{22}+\frac{23}{12896}a^{21}-\frac{329}{3224}a^{20}-\frac{373}{6448}a^{19}+\frac{2073}{12896}a^{18}+\frac{2391}{12896}a^{17}-\frac{23}{124}a^{16}-\frac{303}{6448}a^{15}+\frac{1493}{12896}a^{14}-\frac{2009}{12896}a^{13}-\frac{407}{6448}a^{12}+\frac{319}{1612}a^{11}+\frac{3657}{12896}a^{10}-\frac{5661}{12896}a^{9}+\frac{1329}{6448}a^{8}-\frac{67}{806}a^{7}+\frac{2633}{12896}a^{6}-\frac{4293}{12896}a^{5}-\frac{2607}{6448}a^{4}-\frac{483}{1612}a^{3}-\frac{683}{3224}a^{2}+\frac{825}{3224}a+\frac{15}{52}$, $\frac{1}{12896}a^{27}-\frac{1}{12896}a^{25}-\frac{17}{12896}a^{23}+\frac{51}{1612}a^{22}-\frac{1441}{12896}a^{21}-\frac{237}{3224}a^{20}+\frac{2055}{12896}a^{19}+\frac{3}{248}a^{18}-\frac{657}{12896}a^{17}+\frac{45}{403}a^{16}+\frac{2339}{12896}a^{15}-\frac{189}{3224}a^{14}+\frac{2317}{12896}a^{13}-\frac{599}{3224}a^{12}+\frac{825}{12896}a^{11}+\frac{175}{3224}a^{10}+\frac{6221}{12896}a^{9}+\frac{431}{1612}a^{8}+\frac{2557}{12896}a^{7}-\frac{489}{1612}a^{6}+\frac{4593}{12896}a^{5}+\frac{869}{3224}a^{4}+\frac{783}{3224}a^{3}-\frac{123}{403}a^{2}-\frac{817}{3224}a+\frac{153}{806}$, $\frac{1}{25792}a^{28}-\frac{1}{25792}a^{26}+\frac{1}{25792}a^{24}+\frac{17}{6448}a^{23}+\frac{2671}{25792}a^{22}-\frac{27}{1612}a^{21}+\frac{1757}{25792}a^{20}+\frac{993}{6448}a^{19}-\frac{3205}{25792}a^{18}-\frac{111}{806}a^{17}+\frac{5037}{25792}a^{16}-\frac{84}{403}a^{15}-\frac{459}{25792}a^{14}-\frac{35}{806}a^{13}+\frac{5727}{25792}a^{12}-\frac{863}{6448}a^{11}+\frac{4629}{25792}a^{10}+\frac{213}{1612}a^{9}+\frac{1863}{25792}a^{8}+\frac{1465}{6448}a^{7}+\frac{2853}{25792}a^{6}-\frac{138}{403}a^{5}-\frac{1655}{12896}a^{4}+\frac{43}{1612}a^{3}+\frac{1847}{6448}a^{2}+\frac{5}{31}a+\frac{737}{3224}$, $\frac{1}{25792}a^{29}-\frac{1}{25792}a^{27}+\frac{1}{25792}a^{25}+\frac{15}{25792}a^{23}-\frac{339}{3224}a^{22}-\frac{1267}{25792}a^{21}-\frac{1}{26}a^{20}+\frac{1723}{25792}a^{19}+\frac{401}{3224}a^{18}+\frac{253}{25792}a^{17}-\frac{489}{6448}a^{16}+\frac{5173}{25792}a^{15}-\frac{665}{3224}a^{14}+\frac{4847}{25792}a^{13}-\frac{97}{1612}a^{12}-\frac{1179}{25792}a^{11}-\frac{441}{1612}a^{10}-\frac{3001}{25792}a^{9}+\frac{29}{62}a^{8}+\frac{8565}{25792}a^{7}-\frac{37}{806}a^{6}+\frac{3145}{12896}a^{5}-\frac{2789}{6448}a^{4}+\frac{883}{6448}a^{3}+\frac{81}{806}a^{2}+\frac{645}{3224}a-\frac{407}{1612}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!52}a^{30}+\frac{413668346333483}{27\!\cdots\!52}a^{29}+\frac{437636904689185}{27\!\cdots\!52}a^{28}-\frac{652940747591199}{27\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{427007964032757}{27\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{178448333508561}{27\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{6354824762865}{46\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!52}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!61}{88\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!52}a^{21}-\frac{21\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!52}a^{20}-\frac{63\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!52}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!52}a^{17}+\frac{24\!\cdots\!15}{27\!\cdots\!52}a^{16}-\frac{60\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!52}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!69}{27\!\cdots\!52}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{66\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!52}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{688803063213325}{60\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!44}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!76}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!45}{68\!\cdots\!88}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!44}a^{2}-\frac{36\!\cdots\!77}{26\!\cdots\!88}a-\frac{10\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!72}$, $\frac{1}{46\!\cdots\!52}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!52}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!52}a^{29}-\frac{51\!\cdots\!79}{78\!\cdots\!28}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!52}a^{27}+\frac{49\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!52}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!52}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!52}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!52}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!04}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!52}a^{20}+\frac{98\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!52}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!52}a^{18}-\frac{69\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!52}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!84}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!52}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!52}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!52}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!11}{35\!\cdots\!04}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!52}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!52}a^{8}-\frac{91\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!76}a^{7}+\frac{23\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!88}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!72}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!36}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!44}a^{3}+\frac{72\!\cdots\!65}{85\!\cdots\!44}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!03}{93\!\cdots\!12}a+\frac{24\!\cdots\!19}{28\!\cdots\!72}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, 1/2*a^11 - 1/2*a^10 - 1/2*a^7 - 1/2*a^6 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2, 1/2*a^12 - 1/2*a^10 - 1/2*a^8 - 1/2*a^6 - 1/2*a^4 - 1/2*a^2, 1/2*a^13 - 1/2*a^10 - 1/2*a^9 - 1/2*a^6 - 1/2*a^5 - 1/2*a^2, 1/2*a^14 - 1/2*a^2, 1/2*a^15 - 1/2*a^3, 1/2*a^16 - 1/2*a^4, 1/2*a^17 - 1/2*a^5, 1/2*a^18 - 1/2*a^6, 1/2*a^19 - 1/2*a^7, 1/4*a^20 - 1/4*a^18 - 1/4*a^12 - 1/4*a^10 + 1/4*a^4 - 1/4*a^2 - 1/2, 1/4*a^21 - 1/4*a^19 - 1/4*a^13 - 1/4*a^11 + 1/4*a^5 - 1/4*a^3 - 1/2*a, 1/4*a^22 - 1/4*a^18 - 1/4*a^14 + 1/4*a^10 - 1/2*a^8 - 1/4*a^6 - 1/2*a^4 - 1/4*a^2 - 1/2, 1/104*a^23 - 7/104*a^22 - 5/104*a^21 + 1/104*a^20 + 1/26*a^19 + 7/52*a^18 + 11/52*a^17 - 5/52*a^16 - 21/104*a^15 - 21/104*a^14 - 11/104*a^13 - 5/104*a^12 + 1/52*a^11 - 6/13*a^10 - 19/52*a^9 + 7/52*a^8 - 5/104*a^7 - 25/104*a^6 - 1/104*a^5 + 41/104*a^4 - 3/26*a^3 + 21/52*a^2 - 11/26*a + 5/13, 1/6448*a^24 - 3/1612*a^23 - 89/3224*a^22 - 7/124*a^21 - 547/6448*a^20 + 239/1612*a^19 + 67/3224*a^18 - 121/1612*a^17 + 81/6448*a^16 - 369/1612*a^15 + 567/3224*a^14 + 357/1612*a^13 + 417/6448*a^12 + 76/403*a^11 + 373/806*a^10 + 185/403*a^9 + 1849/6448*a^8 - 1/31*a^7 + 291/1612*a^6 + 24/403*a^5 - 971/6448*a^4 - 23/806*a^3 + 43/806*a^2 - 1/31*a - 297/1612, 1/6448*a^25 - 3/1612*a^23 + 83/3224*a^22 - 17/6448*a^21 - 231/3224*a^20 - 25/3224*a^19 - 123/806*a^18 + 1093/6448*a^17 - 95/1612*a^16 - 5/62*a^15 + 233/3224*a^14 + 1247/6448*a^13 - 83/3224*a^12 - 287/1612*a^11 - 119/403*a^10 - 203/6448*a^9 - 337/806*a^8 - 1441/3224*a^7 - 729/3224*a^6 - 3121/6448*a^5 - 369/3224*a^4 - 295/806*a^3 - 601/1612*a^2 + 505/1612*a - 116/403, 1/12896*a^26 - 1/12896*a^25 + 17/6448*a^23 + 905/12896*a^22 + 23/12896*a^21 - 329/3224*a^20 - 373/6448*a^19 + 2073/12896*a^18 + 2391/12896*a^17 - 23/124*a^16 - 303/6448*a^15 + 1493/12896*a^14 - 2009/12896*a^13 - 407/6448*a^12 + 319/1612*a^11 + 3657/12896*a^10 - 5661/12896*a^9 + 1329/6448*a^8 - 67/806*a^7 + 2633/12896*a^6 - 4293/12896*a^5 - 2607/6448*a^4 - 483/1612*a^3 - 683/3224*a^2 + 825/3224*a + 15/52, 1/12896*a^27 - 1/12896*a^25 - 17/12896*a^23 + 51/1612*a^22 - 1441/12896*a^21 - 237/3224*a^20 + 2055/12896*a^19 + 3/248*a^18 - 657/12896*a^17 + 45/403*a^16 + 2339/12896*a^15 - 189/3224*a^14 + 2317/12896*a^13 - 599/3224*a^12 + 825/12896*a^11 + 175/3224*a^10 + 6221/12896*a^9 + 431/1612*a^8 + 2557/12896*a^7 - 489/1612*a^6 + 4593/12896*a^5 + 869/3224*a^4 + 783/3224*a^3 - 123/403*a^2 - 817/3224*a + 153/806, 1/25792*a^28 - 1/25792*a^26 + 1/25792*a^24 + 17/6448*a^23 + 2671/25792*a^22 - 27/1612*a^21 + 1757/25792*a^20 + 993/6448*a^19 - 3205/25792*a^18 - 111/806*a^17 + 5037/25792*a^16 - 84/403*a^15 - 459/25792*a^14 - 35/806*a^13 + 5727/25792*a^12 - 863/6448*a^11 + 4629/25792*a^10 + 213/1612*a^9 + 1863/25792*a^8 + 1465/6448*a^7 + 2853/25792*a^6 - 138/403*a^5 - 1655/12896*a^4 + 43/1612*a^3 + 1847/6448*a^2 + 5/31*a + 737/3224, 1/25792*a^29 - 1/25792*a^27 + 1/25792*a^25 + 15/25792*a^23 - 339/3224*a^22 - 1267/25792*a^21 - 1/26*a^20 + 1723/25792*a^19 + 401/3224*a^18 + 253/25792*a^17 - 489/6448*a^16 + 5173/25792*a^15 - 665/3224*a^14 + 4847/25792*a^13 - 97/1612*a^12 - 1179/25792*a^11 - 441/1612*a^10 - 3001/25792*a^9 + 29/62*a^8 + 8565/25792*a^7 - 37/806*a^6 + 3145/12896*a^5 - 2789/6448*a^4 + 883/6448*a^3 + 81/806*a^2 + 645/3224*a - 407/1612, 1/27368334734137351552*a^30 + 413668346333483/27368334734137351552*a^29 + 437636904689185/27368334734137351552*a^28 - 652940747591199/27368334734137351552*a^27 - 427007964032757/27368334734137351552*a^26 - 178448333508561/27368334734137351552*a^25 - 6354824762865/463870080239616128*a^24 + 66334949590416409/27368334734137351552*a^23 + 77286664506076361/882849507552817792*a^22 - 2329692348359166669/27368334734137351552*a^21 - 2112238067575675287/27368334734137351552*a^20 - 637211869054983987/27368334734137351552*a^19 + 3453584297464929519/27368334734137351552*a^18 + 1264877328663770383/27368334734137351552*a^17 + 2493603214122858215/27368334734137351552*a^16 - 6024246604807807501/27368334734137351552*a^15 + 1986469139228112917/27368334734137351552*a^14 + 276788580965461169/27368334734137351552*a^13 - 100486818219061571/463870080239616128*a^12 + 6650418084857908891/27368334734137351552*a^11 + 12060792850474394973/27368334734137351552*a^10 - 1132937095453043095/27368334734137351552*a^9 - 12714938182679727153/27368334734137351552*a^8 - 688803063213325/6032253633268096*a^7 + 307567849734731351/3421041841767168944*a^6 + 3801122546396902455/13684167367068675776*a^5 + 89987853368491931/427630230220896118*a^4 + 576314855732254645/6842083683534337888*a^3 - 10352213789871345/131578532375660344*a^2 - 36333969628432777/263157064751320688*a - 100241368968762695/1710520920883584472, 1/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^31 - 662825536326714997404606818697469189/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^30 + 506540085879702455742274663320807502859644341452151/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^29 - 5166279010210470975763549750615281369082851952179/783015773683589970464654858637648311671993089163846528*a^28 - 1023730788181643842557308676851959339406204430418087/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^27 + 492919705958202698388206063721191937803389062573249/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^26 - 785649289330252584941959698650865744120925139291785/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^25 + 473892893060222571749475550938430698492128642547135/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^24 - 208196391242743430505777102564824020981183876953804731/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^23 + 1944779144688446355030553673081100210007024806958297269/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^22 + 303086779220932827532236004715035677050377014971705807/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704*a^21 - 3751657116022982563745901054423517269681770516781643973/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^20 + 9801054078693944971145087364876247317385123367435210325/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^19 - 7237295792136850931314610426121523973536916811979412295/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^18 - 6926798633447675395538087308410880070926155526923799087/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^17 + 3285212368680920405014836670342704823882012549543443/114635063641021856718150463175238834711284348041357184*a^16 + 2153653799165611340160481720954688746613834357315300095/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^15 + 2329273965726962377144174462057135110453788084807044279/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^14 - 277616916178513638965917039432037807266935036255041075/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^13 - 4382304418810678282397562152751126744716435447598122139/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^12 + 850387138287143329434083738141919544652995054482656611/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704*a^11 + 19517425838283054042755008063058449880826597461951502399/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^10 - 14670381252815470921550088261674867055451190088954488051/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^9 + 13540669488872148490989102043597442340446816756375110613/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152*a^8 - 9161623237324442511725283181841252342789638422480315647/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576*a^7 + 2306117175318097478071668009373623453588680763515910085/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288*a^6 + 823186889358009879028927803076224155570704969832376529/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072*a^5 - 244345057012205465792588870448433142152039430826517937/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036*a^4 + 534529777022162547525833217777688368292650418810374957/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144*a^3 + 727697388328691517758017305024692839319748645552865/8542516761710763361208327784693278548196670166543444*a^2 - 40974929721170506165567806478230528691031230542956803/93140989208330258583497251329881553202918532783602712*a + 244809961134494103844933725271787314623679213563769219/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$

Class group and class number

$C_{2}\times C_{12}$, which has order $24$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$15$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( \frac{5218015018014496867534361723302710370923454205}{6350164678325258493164145180012037041076628238752} a^{31} - \frac{315745854338833719442733331483793503445726527117}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{30} + \frac{2980839981596353439395188998874682480050899123241}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{29} - \frac{20278164767916066284221199433129250014311497513351}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{28} + \frac{110361102192611475372100436350751609753232597646863}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{27} - \frac{500368542207551763651134315120025412623398282148721}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{26} + \frac{1948994937006334771796687763686134111611506802477181}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{25} - \frac{214318720213926845621605882174484320171865483474501}{819376087525839805569567120001553166590532675968} a^{24} + \frac{20080323774413916833015730228294615126964501823445183}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{23} - \frac{54311556605545172695716263244594753944889858521779085}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{22} + \frac{782520816517091853336753220880511614891382428012449}{150299755700006118181399885917444663694121378432} a^{21} - \frac{291087686222432488575742779217223434780578069343205079}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{20} + \frac{580500634204775427302519893957289010282073992750102427}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{19} - \frac{33869691622656727417571353741362378870185136633797443}{819376087525839805569567120001553166590532675968} a^{18} + \frac{1722751497339918996445720898167596194277132940001884357}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{17} - \frac{197198895622318792282727043162313477183518074465418529}{1953896824100079536358198516926780628023577919616} a^{16} + \frac{3459935954441455347295804134153297764889556404948663061}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{15} - \frac{4240280630114003287526895544424952122819982059318129807}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{14} + \frac{4736137601391150557004530954068128448094967987198888187}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{13} - \frac{4857187545656762532619572120523286879470223403206980001}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{12} + \frac{356010074349391177063678588201422947880280226305115561}{1953896824100079536358198516926780628023577919616} a^{11} - \frac{4152306556979381305194473466956950698482303193598419207}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{10} + \frac{3533697003054614558621769212210639356146577124951674387}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{9} - \frac{2843480075467151158019891882860740640110502474058195009}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{8} + \frac{2134103279288069416474805017491267617438077086412289985}{25400658713301033972656580720048148164306512955008} a^{7} - \frac{726631963711313610143845507384798643892265410387898275}{12700329356650516986328290360024074082153256477504} a^{6} + \frac{431815038806499008060550352675790649263410083637225961}{12700329356650516986328290360024074082153256477504} a^{5} - \frac{107564903011568162950075090237039710879819387958732127}{6350164678325258493164145180012037041076628238752} a^{4} + \frac{42979004032676267715954153894812868818605172638662831}{6350164678325258493164145180012037041076628238752} a^{3} - \frac{37960575528666866688082203616434908985126601087639}{18787469462500764772674985739680582961765172304} a^{2} + \frac{1266337995317896992353826983637844073606627511371821}{3175082339162629246582072590006018520538314119376} a - \frac{16120194331840303759660323104265522360739299966987}{396885292395328655822759073750752315067289264922} \) (5218015018014496867534361723302710370923454205)/(6350164678325258493164145180012037041076628238752)a^(31) - (315745854338833719442733331483793503445726527117)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(30) + (2980839981596353439395188998874682480050899123241)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(29) - (20278164767916066284221199433129250014311497513351)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(28) + (110361102192611475372100436350751609753232597646863)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(27) - (500368542207551763651134315120025412623398282148721)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(26) + (1948994937006334771796687763686134111611506802477181)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(25) - (214318720213926845621605882174484320171865483474501)/(819376087525839805569567120001553166590532675968)a^(24) + (20080323774413916833015730228294615126964501823445183)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(23) - (54311556605545172695716263244594753944889858521779085)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(22) + (782520816517091853336753220880511614891382428012449)/(150299755700006118181399885917444663694121378432)a^(21) - (291087686222432488575742779217223434780578069343205079)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(20) + (580500634204775427302519893957289010282073992750102427)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(19) - (33869691622656727417571353741362378870185136633797443)/(819376087525839805569567120001553166590532675968)a^(18) + (1722751497339918996445720898167596194277132940001884357)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(17) - (197198895622318792282727043162313477183518074465418529)/(1953896824100079536358198516926780628023577919616)a^(16) + (3459935954441455347295804134153297764889556404948663061)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(15) - (4240280630114003287526895544424952122819982059318129807)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(14) + (4736137601391150557004530954068128448094967987198888187)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(13) - (4857187545656762532619572120523286879470223403206980001)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(12) + (356010074349391177063678588201422947880280226305115561)/(1953896824100079536358198516926780628023577919616)a^(11) - (4152306556979381305194473466956950698482303193598419207)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(10) + (3533697003054614558621769212210639356146577124951674387)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(9) - (2843480075467151158019891882860740640110502474058195009)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(8) + (2134103279288069416474805017491267617438077086412289985)/(25400658713301033972656580720048148164306512955008)a^(7) - (726631963711313610143845507384798643892265410387898275)/(12700329356650516986328290360024074082153256477504)a^(6) + (431815038806499008060550352675790649263410083637225961)/(12700329356650516986328290360024074082153256477504)a^(5) - (107564903011568162950075090237039710879819387958732127)/(6350164678325258493164145180012037041076628238752)a^(4) + (42979004032676267715954153894812868818605172638662831)/(6350164678325258493164145180012037041076628238752)a^(3) - (37960575528666866688082203616434908985126601087639)/(18787469462500764772674985739680582961765172304)a^(2) + (1266337995317896992353826983637844073606627511371821)/(3175082339162629246582072590006018520538314119376)*a - (16120194331840303759660323104265522360739299966987)/(396885292395328655822759073750752315067289264922) (order $24$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{11\!\cdots\!91}{26\!\cdots\!36}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!92}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!21}{53\!\cdots\!72}a^{29}-\frac{45\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!44}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!47}{53\!\cdots\!72}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!44}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!34}a^{23}-\frac{92\!\cdots\!81}{82\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!35}{53\!\cdots\!72}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!44}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!79}{13\!\cdots\!68}a^{19}-\frac{74\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!24}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!65}{53\!\cdots\!72}a^{17}-\frac{56\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!44}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!36}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!44}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!71}{53\!\cdots\!72}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!59}{10\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!23}{26\!\cdots\!36}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!44}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!79}{41\!\cdots\!44}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!44}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!19}{66\!\cdots\!34}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!37}{53\!\cdots\!72}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!68}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!27}{26\!\cdots\!36}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!85}{33\!\cdots\!17}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!36}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!56}{33\!\cdots\!17}a-\frac{77\!\cdots\!63}{33\!\cdots\!17}$, $\frac{12\!\cdots\!11}{23\!\cdots\!76}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!76}a^{30}+\frac{91\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!88}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!25}{23\!\cdots\!76}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!36}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!44}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!93}{88\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!72}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!52}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!36}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!76}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!93}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!76}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!88}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!76}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!76}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!59}{93\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!88}a^{5}-\frac{66\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!44}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!44}a^{3}-\frac{92\!\cdots\!61}{65\!\cdots\!88}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!72}a-\frac{11\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!09}$, $\frac{21\!\cdots\!15}{84\!\cdots\!12}a^{31}-\frac{83\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!64}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!12}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!24}a^{28}+\frac{72\!\cdots\!57}{52\!\cdots\!57}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!25}{16\!\cdots\!24}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!12}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!47}{16\!\cdots\!24}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!12}a^{23}-\frac{88\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!48}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!12}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!24}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!12}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!24}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!54}{52\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!47}{42\!\cdots\!56}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!45}{52\!\cdots\!57}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!17}{16\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{51\!\cdots\!29}{84\!\cdots\!12}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!24}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!12}a^{11}-\frac{90\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!24}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!29}{64\!\cdots\!24}a^{9}-\frac{61\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!24}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!57}a^{7}-\frac{63\!\cdots\!81}{33\!\cdots\!48}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!12}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!03}{16\!\cdots\!24}a^{4}+\frac{48\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!67}{64\!\cdots\!24}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!28}a-\frac{64\!\cdots\!97}{42\!\cdots\!56}$, $\frac{96\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!08}a^{31}-\frac{36\!\cdots\!37}{63\!\cdots\!52}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!76}a^{29}-\frac{46\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!04}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!49}{63\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!04}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!04}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!39}{31\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!21}{40\!\cdots\!84}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!07}{18\!\cdots\!04}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!85}{63\!\cdots\!52}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!04}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!04}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!29}{97\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{98\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!79}{63\!\cdots\!52}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!04}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!08}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!27}{63\!\cdots\!52}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!45}{63\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!04}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!76}a-\frac{34\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!88}$, $\frac{36\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!08}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!63}{63\!\cdots\!52}a^{30}+\frac{66\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!76}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!04}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!65}{63\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!04}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!13}{63\!\cdots\!52}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!04}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!47}{31\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{49\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!04}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!51}{28\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{85\!\cdots\!77}{40\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!91}{63\!\cdots\!52}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!04}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!04}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!41}{97\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{80\!\cdots\!73}{31\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!89}{12\!\cdots\!76}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!04}a^{10}+\frac{70\!\cdots\!79}{26\!\cdots\!32}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!08}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!23}{63\!\cdots\!52}a^{4}+\frac{84\!\cdots\!23}{63\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{75\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!04}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!76}a-\frac{13\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!88}$, $\frac{70\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!76}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!76}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!73}{23\!\cdots\!76}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!35}{97\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{37\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{66\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!81}{28\!\cdots\!72}a^{24}+\frac{69\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!36}a^{22}+\frac{35\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!52}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!72}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!72}a^{18}+\frac{91\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!27}{88\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!59}{23\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{18\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!72}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{43\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!72}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!76}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!79}{36\!\cdots\!92}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!59}{36\!\cdots\!09}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!59}{74\!\cdots\!96}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!63}{73\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{79\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!88}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!36}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!47}{28\!\cdots\!72}a-\frac{54\!\cdots\!93}{28\!\cdots\!72}$, $\frac{24\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!52}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!76}a^{30}+\frac{87\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!88}a^{29}-\frac{60\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!88}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!01}{36\!\cdots\!09}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!44}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!32}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!11}{88\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!44}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!53}{72\!\cdots\!18}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!36}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!88}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!44}a^{13}-\frac{40\!\cdots\!23}{28\!\cdots\!72}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!63}{88\!\cdots\!76}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!88}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!36}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!72}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{99\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!76}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!88}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!48}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!44}a-\frac{10\!\cdots\!57}{28\!\cdots\!72}$, $\frac{35\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!44}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!44}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!88}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!63}{28\!\cdots\!72}a^{28}+\frac{37\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!88}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{33\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!44}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!72}a^{24}+\frac{67\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!25}{44\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!99}{28\!\cdots\!72}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!88}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!44}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!88}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!27}{72\!\cdots\!18}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!59}{18\!\cdots\!24}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!59}{88\!\cdots\!76}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!51}{37\!\cdots\!48}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!89}{72\!\cdots\!18}a^{9}-\frac{47\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!44}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!88}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!88}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!88}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!44}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!88}a^{2}+\frac{89\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!72}a-\frac{47\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!36}$, $\frac{30\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!88}a^{31}-\frac{93\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!76}a^{30}+\frac{87\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!76}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!88}a^{28}+\frac{32\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{36\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{57\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{97\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!88}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!58}{36\!\cdots\!09}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!52}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!88}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!67}{74\!\cdots\!96}a^{19}-\frac{76\!\cdots\!05}{57\!\cdots\!44}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!05}{23\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!21}{44\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!44}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!88}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!44}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!76}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!88}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!45}{23\!\cdots\!76}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!15}{23\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{62\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!88}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!44}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!81}{34\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!03}{36\!\cdots\!09}a-\frac{40\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!72}$, $\frac{44\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!64}a^{31}-\frac{40\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!76}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!77}{23\!\cdots\!76}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!88}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{75\!\cdots\!95}{19\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{27\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!04}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!88}a^{20}+\frac{80\!\cdots\!85}{23\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{73\!\cdots\!85}{11\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{24\!\cdots\!37}{23\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!99}{19\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!88}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!09}{23\!\cdots\!76}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!88}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!88}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!88}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!88}a^{4}+\frac{35\!\cdots\!45}{28\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!79}{16\!\cdots\!36}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!59}{28\!\cdots\!72}a-\frac{26\!\cdots\!75}{28\!\cdots\!72}$, $\frac{97\!\cdots\!86}{72\!\cdots\!71}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!71}{92\!\cdots\!88}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!88}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!88}a^{28}+\frac{67\!\cdots\!95}{92\!\cdots\!88}a^{27}-\frac{30\!\cdots\!11}{92\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!33}{92\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!01}{92\!\cdots\!88}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{83\!\cdots\!61}{92\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!21}{92\!\cdots\!88}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!83}{92\!\cdots\!88}a^{19}-\frac{66\!\cdots\!11}{92\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{84\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!76}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!79}{92\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!81}{92\!\cdots\!88}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!25}{92\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{99\!\cdots\!73}{29\!\cdots\!48}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!95}{92\!\cdots\!88}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!93}{92\!\cdots\!88}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!97}{92\!\cdots\!88}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!15}{92\!\cdots\!88}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!47}{92\!\cdots\!88}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!05}{92\!\cdots\!88}a^{7}-\frac{48\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!44}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!88}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!13}{23\!\cdots\!72}a^{4}+\frac{29\!\cdots\!23}{23\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!89}{28\!\cdots\!12}a^{2}+\frac{92\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!36}a-\frac{12\!\cdots\!33}{14\!\cdots\!42}$, $\frac{32\!\cdots\!31}{60\!\cdots\!56}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!52}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!44}a^{29}-\frac{23\!\cdots\!79}{44\!\cdots\!88}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!48}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!15}{88\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!33}{88\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{62\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!88}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!65}{88\!\cdots\!76}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!31}{88\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!72}a^{19}-\frac{24\!\cdots\!25}{88\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!52}a^{17}-\frac{59\!\cdots\!61}{88\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{79\!\cdots\!65}{88\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!63}{71\!\cdots\!24}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!64}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!55}{88\!\cdots\!76}a^{11}-\frac{47\!\cdots\!65}{44\!\cdots\!88}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!67}{44\!\cdots\!88}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!31}{68\!\cdots\!52}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!04}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!52}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!92}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!11}{88\!\cdots\!76}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!19}{44\!\cdots\!88}a-\frac{16\!\cdots\!47}{55\!\cdots\!48}$, $\frac{56\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!04}a^{31}-\frac{85\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!04}a^{30}+\frac{80\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!04}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!04}a^{28}+\frac{96\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!84}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!04}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!04}a^{24}+\frac{54\!\cdots\!95}{35\!\cdots\!04}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!08}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!84}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!03}{35\!\cdots\!04}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!04}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!04}a^{17}-\frac{69\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!04}a^{16}+\frac{93\!\cdots\!09}{35\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!56}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!04}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!16}a^{9}-\frac{76\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!72}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!52}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!44}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!47}{88\!\cdots\!76}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!44}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!44}a-\frac{30\!\cdots\!76}{47\!\cdots\!27}$, $\frac{11\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!52}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!44}a^{30}+\frac{78\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!76}a^{29}-\frac{53\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!76}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!76}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{49\!\cdots\!65}{66\!\cdots\!24}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!76}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!76}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!52}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!76}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!76}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!65}{23\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{28\!\cdots\!81}{14\!\cdots\!36}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!52}a^{16}+\frac{89\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!76}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!76}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!76}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!52}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!29}{23\!\cdots\!76}a^{10}+\frac{91\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!76}a^{9}-\frac{73\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!76}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{22\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!76}a^{5}-\frac{55\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!88}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!88}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!76}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!44}a-\frac{36\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!72}$, $\frac{32\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!76}a^{31}-\frac{50\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!04}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!04}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!04}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!53}{35\!\cdots\!04}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!04}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!04}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!04}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!41}{35\!\cdots\!04}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!87}{35\!\cdots\!04}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!04}a^{21}-\frac{45\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!04}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!04}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!04}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!04}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!04}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!29}{35\!\cdots\!04}a^{14}+\frac{73\!\cdots\!33}{35\!\cdots\!04}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{71\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!04}a^{11}-\frac{64\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!04}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!04}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!99}{35\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!08}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!87}{88\!\cdots\!76}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!52}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!72}a^{4}+\frac{66\!\cdots\!37}{88\!\cdots\!76}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!39}{42\!\cdots\!22}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!76}a-\frac{10\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!44}$ 1171097712253384713702168751395407751183718325891/267919705433630696491455394936098000305323792919336a^31 - 450036125387191527671406469349208260286738596497/6825979756270845770482939998371923574657931029792a^30 + 332994460962995447572624213453384876383134302382821/535839410867261392982910789872196000610647585838672a^29 - 4523521803255269974750892203655306597300519455083549/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^28 + 3073365034727803064357690491097901926553816303342435/133959852716815348245727697468049000152661896459668a^27 - 111338606154308455562507975442898708226015925355701689/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^26 + 216595212143990938897902493028754790563353545406502647/535839410867261392982910789872196000610647585838672a^25 - 1475119016509400278406544088189433122064052263169725701/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^24 + 278363841179557511958815952980807820931899450117054697/66979926358407674122863848734024500076330948229834a^23 - 925730681881824765353640108719518079118886743745228481/82436832441117137381986275364953230863176551667488a^22 + 14637643738135022115775233362389117396613315281328106735/535839410867261392982910789872196000610647585838672a^21 - 64377523324538394687567137030309331707404309888866754001/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^20 + 16033233554175470739003727488359832667161211661338828979/133959852716815348245727697468049000152661896459668a^19 - 7476958344219454109648760426506279772352239942901565051/34570284572081380192445857411109419394235328118624a^18 + 189986780331604764554986603322826104257538198463351424665/535839410867261392982910789872196000610647585838672a^17 - 564955752533490218567890751804032144614048875136137106707/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^16 + 190477598979181373070347662424478653644449840683201608879/267919705433630696491455394936098000305323792919336a^15 - 933151241844228424549113402069193736857557276445286405139/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^14 + 520896010510960694164649510945132676844899832681721879871/535839410867261392982910789872196000610647585838672a^13 - 1068166231830271139020877706984564577882707126012765150859/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^12 + 254445990288368021729900319225390198884616088194534192723/267919705433630696491455394936098000305323792919336a^11 - 913252574715407083386016843476615399421885038255377885035/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^10 + 29893854792888254074852139659430495006697867696598280579/41218416220558568690993137682476615431588275833744a^9 - 625416164054632384428981237625951460182532032818620421787/1071678821734522785965821579744392001221295171677344a^8 + 29336562149335902124188947062659533318620194895867904019/66979926358407674122863848734024500076330948229834a^7 - 159824710113415560759446945331047077614969999859298290437/535839410867261392982910789872196000610647585838672a^6 + 23762315191372157590535329999789810024797840414587073417/133959852716815348245727697468049000152661896459668a^5 - 23733685039046143794196245173144924730250789283892438527/267919705433630696491455394936098000305323792919336a^4 + 1191142028745186165384546835624135942850948496185800785/33489963179203837061431924367012250038165474114917a^3 - 110608159318184678948409504771771853602305450491770419/10304604055139642172748284420619153857897068958436a^2 + 72661926626116644736555169526214265812222415630255656/33489963179203837061431924367012250038165474114917a - 7796879935196826976852363682404228653509950375260263/33489963179203837061431924367012250038165474114917, 127940035400370789763603128616979435548440239246241011/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^31 - 1933706633904696722251220863874109256222148546555966215/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^30 + 9122773589870050917352325041637236586584408143802594593/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^29 - 124057611151322872282891776183746479934458989372143870025/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^28 + 42179428524182727291598466653398292888425943664175072275/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^27 - 3058583178696634386722124448667966832326499050940265761813/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^26 + 5954597055229596761048079662570958333543396377429296748597/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^25 - 40583476160432945208356685543408616301018711045722919630505/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^24 + 30655266657501391498890875371286315403143591584917982374069/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^23 - 331563273162714295810876803013602277152092051253605689919073/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^22 + 31043769358988802795011722601087171471111286325672977338193/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^21 - 1776205969087308808085156297447674149988414992612697657508829/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^20 + 442692243426820478025102345004122480197096107888826466168733/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^19 - 6404730120357114440082865156473613181004975297926758419161957/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^18 + 2626969464014637152911544793277735994788646888280436255077549/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^17 - 1202804548493864313096865068553087283943329706891014474054819/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^16 + 1319114443221005283522176410535511172208092044987774622270561/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^15 - 25872062979023255182303117683039942654576619590040316108583375/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^14 + 14454460234353703581411354536135872868978721190449278877890655/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^13 - 29664236544261431577878194921084407828854013753418544789186415/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^12 + 33995292115208708880671564565533933583001957385915914339536/27763179475559980923927065300253155281639178041266193a^11 - 25393204038341060517576002869550561459941176235107000679941783/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^10 + 10811332068641427996535926476946301275541938660500459525183599/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^9 - 17409271100038723515904064169004177002156342629606555151310503/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^8 + 13076354425831798961668840009451337098772536886098268974803209/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^7 - 35949563050224657301627645166127556737362694220319123320459/93140989208330258583497251329881553202918532783602712a^6 + 2655380717658683704451912822094993571512754194361530786186639/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^5 - 664467137271327133295246744322246346384920497387194889192501/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^4 + 267501943348576411240493687466653493856827541607969823479435/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^3 - 9217000970889188598275625602662925599142292598404666861/657116673977751027785255983437944503707436166657188a^2 + 8220790561940363793534962976596021092731726562511041410273/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a - 110052341831028184319320106053753517080421347609360569201/360921333182279752011051848903291018661309314536460509, 2162532901816286603011383089532707836015/844173437159798086017865328185121641716112a^31 - 837036391328861977353407009593447433925/21507603494517148688353256769047685139264a^30 + 310834964164156649936476480718039299759013/844173437159798086017865328185121641716112a^29 - 4238642517696927499482158978687215602145537/1688346874319596172035730656370243283432224a^28 + 722222588533412488241549607349434798182757/52760839822487380376116583011570102607257a^27 - 104975636434389461263032221805450769172216925/1688346874319596172035730656370243283432224a^26 + 204796706587804422623213259709176551971964249/844173437159798086017865328185121641716112a^25 - 1398616642356119320622839931964437404121281847/1688346874319596172035730656370243283432224a^24 + 2117126183970774791375662456304159879142571207/844173437159798086017865328185121641716112a^23 - 882451603082888289338794682531745768129482099/129872836486122782464286973566941791033248a^22 + 13991090836124409676237800777496450803240464769/844173437159798086017865328185121641716112a^21 - 61703390449093896451328525955453577919768731959/1688346874319596172035730656370243283432224a^20 + 61643613940547753873860456676716737260954729495/844173437159798086017865328185121641716112a^19 - 223446067901484153844477518570314788812958151497/1688346874319596172035730656370243283432224a^18 + 11482145404706887865061126106526343777530914454/52760839822487380376116583011570102607257a^17 - 137013572129024316018706031436030013897535100747/422086718579899043008932664092560820858056a^16 + 23173731307641357563140149902204391604140582345/52760839822487380376116583011570102607257a^15 - 911259023213320541366112918816514506811940304817/1688346874319596172035730656370243283432224a^14 + 510321635698183059255395358703620529079669681829/844173437159798086017865328185121641716112a^13 - 1049566809510517271047385213811909160534036782267/1688346874319596172035730656370243283432224a^12 + 501260518315074565246681224775454511619528290399/844173437159798086017865328185121641716112a^11 - 901334592271581265167021326980029485421512397289/1688346874319596172035730656370243283432224a^10 + 29558970281247979678397541332160927109835300629/64936418243061391232143486783470895516624a^9 - 619754203549877902625161821816790496793554837439/1688346874319596172035730656370243283432224a^8 + 14577593647493344147420290089429890351535769565/52760839822487380376116583011570102607257a^7 - 638063965260581100799327476833031088009067047581/3376693748639192344071461312740486566864448a^6 + 95419775292629748210446159021786771375940100863/844173437159798086017865328185121641716112a^5 - 95988419988097493823350983338577814577523118403/1688346874319596172035730656370243283432224a^4 + 4857982720073185392182218861534508909362036555/211043359289949521504466332046280410429028a^3 - 455556606594084366310269628868668396089347967/64936418243061391232143486783470895516624a^2 + 302476426766991279171301296114483377987213191/211043359289949521504466332046280410429028a - 64445433046179667145619047320309707442238297/422086718579899043008932664092560820858056, 96582190835067425415208147629074141883537596349/25400658713301033972656580720048148164306512955008a^31 - 365230151240192732518983521912558698996060630237/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^30 + 1723980097916576651150682631596807151558437883785/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^29 - 46912933827613101018319483160557065912053122306173/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^28 + 127666093538726208938475764950362576735190864358849/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^27 - 1157765358079183982541057834574320987107309621421731/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^26 + 563775185101017923260018632181915389700681606475859/1587541169581314623291036295003009260269157059688a^25 - 15377220119881421226851501488251409902167786584201951/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^24 + 11621262557641592076439324391540182821021199028172239/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^23 - 4056754928279932216149365157963009173439213224675621/409688043762919902784783560000776583295266337984a^22 + 453117534652534553733217301998989991652852055911207/18787469462500764772674985739680582961765172304a^21 - 674452269648611628304862194775466377363127151461325843/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^20 + 672796297023658543120163693064182992940303388155677085/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^19 - 2435034711439308565288962775019506748802295263869889001/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^18 + 3997818213791080562659164009194309417591232063866925909/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^17 - 457961714861899228955421794106285278541887205779275429/976948412050039768179099258463390314011788959808a^16 + 2010588454944538392979374688068015776635706358402305579/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^15 - 9866704090517399808524166534123399924585349523077267377/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^14 + 5516989510171482190285384267230162152176138105948341879/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^13 - 11330994917367670531429424955266126555410224026699237561/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^12 + 207901282553862922534894600798481982742330532766435763/244237103012509942044774814615847578502947239952a^11 - 9710924249804458917683028346907067584547312734286831545/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^10 + 70109429161515894731067580791243660335011723172358283/107629909802123025307866867457831136289434376928a^9 - 6664628166940026145383754862198176067117025840292369649/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^8 + 10019301401139679303377356344011569309053275961426934935/25400658713301033972656580720048148164306512955008a^7 - 3419415291537791210707006077039534284937664958533346057/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^6 + 2040184011016556010615731435936300029844155992956339787/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^5 - 511509879003836141868651632477032047611989480960278327/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^4 + 206371207776536936661921573092480989587724902104511245/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^3 - 185328901286072868225782228170399383671837045958331/18787469462500764772674985739680582961765172304a^2 + 6362367939114479693422377004692594572706514806515889/3175082339162629246582072590006018520538314119376a - 340312117008870545731243115005862260684283223980687/1587541169581314623291036295003009260269157059688, 36763516651100995225026127331346681036300463755/25400658713301033972656580720048148164306512955008a^31 - 140075153698753956414426979910899305291432729263/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^30 + 663697131663775250605516196699926920158372849457/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^29 - 18129700566034728771546366438517935397248055036225/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^28 + 49489029471693074113212349987187561853852744721965/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^27 - 450122493695545974131536865056910734563621201773033/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^26 + 879097027226954751192704804455620945660394725215713/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^25 - 6009760655729661944962869571414956726895869807983483/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^24 + 4552981869275692819747090052184977104462291522944647/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^23 - 49387282014527509393566765572687298817881464684206401/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^22 + 27440526572488313142652891093183933319774524858951/2890379917307809965026920883027781994117718816a^21 - 8584149909499067879321469741365820315675597355127377/409688043762919902784783560000776583295266337984a^20 + 266078493528622004102212330652140206129008610844459391/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^19 - 965290541966383257643200049118572768822376135639207715/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^18 + 1588589323586163901895161818699809488495174581534131325/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^17 - 182413397404765448516944349276946504659201042251484741/976948412050039768179099258463390314011788959808a^16 + 802740179376511397648391178418729838893155605717427573/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^15 - 3948253087401064623766584346196315391717585292531416279/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^14 + 1106102498092602738673967788710832879412506791589518843/3175082339162629246582072590006018520538314119376a^13 - 4551360153016560755481275834938529620632037229377633457/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^12 + 41809234954222117538046536033148802332762600298987289/122118551506254971022387407307923789251473619976a^11 - 3909703649883414652496597532394573036995532289511048807/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^10 + 7063922298456293311922716227979782480366810535436179/26907477450530756326966716864457784072358594232a^9 - 2689278632543786525275287081090600711085084458589394513/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^8 + 4049324993205270378787709532891878520622122457386124281/25400658713301033972656580720048148164306512955008a^7 - 1385133725565782165977021169676118935523441836771035015/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^6 + 828625554971297078202011621499852774136745371101000711/12700329356650516986328290360024074082153256477504a^5 - 208244710070981221719736610122108103163172597502228123/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^4 + 84205074700815353889536694015971052589439661817456123/6350164678325258493164145180012037041076628238752a^3 - 75736174994724050128478250294130527087659768464909/18787469462500764772674985739680582961765172304a^2 + 2594880952419639419247159191313211607721647904733205/3175082339162629246582072590006018520538314119376a - 135884184980351481576473380200634816686676606154771/1587541169581314623291036295003009260269157059688, 70652407581360500800559843446145497214856094792232415/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^31 - 1073219304042274182273250456685562224285768788638592323/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^30 + 10154834723150973411437446051833337993403105065041013773/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^29 - 293406814751497338150739002224765187230752906044408835/97876971710448746308081857329706038958999136145480816a^28 + 377611781741653872261866561746233483415225010661890231885/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^27 - 428875808578056132649533169935011213362976376082457571717/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^26 + 6694997195930354722056774457922569771735449118760285829159/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^25 - 2858327124500160880470574639469895241427890430960541375381/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^24 + 69246809237284368891930150772617198930360841874360662077809/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^23 - 11729281047958513083964308361246713066503507990905520805649/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^22 + 35224573179374244102713505926374694252456075183853199497783/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^21 - 126268859909152709369363932290839570440712009762660315293175/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^20 + 2019236377346543871524760093769818815317684285254507374658705/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^19 - 457688767572362216328708740818821792066906799963192124183595/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^18 + 9141640639266983440132592208459477530672372874002237015103/35051540703590142835671196251609446425377535857865664a^17 - 345836126027960806782506153276417983303124150439461342266627/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^16 + 12175488621187979479896399666008875827242192639596887689637259/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^15 - 1871746062345407404663687269982110236302808272483555354305541/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^14 + 16786007949499029398173885925814452283238164147027760627162581/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^13 - 4319190197990157178231515952204070511745169903673797779916075/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^12 + 1270424077358106131635442473136011592848098445210154620951071/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^11 - 1857305869792676744644302061769851765545004197721511466836175/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^10 + 12676675516024925615700521431776974972706253791137097184200709/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^9 - 16289028893148066941156016089340734423176607192016941798479/36781791916665452434247322181227110182044261354034192a^8 + 120415220753441080060198304392486788926130786954378705886759/360921333182279752011051848903291018661309314536460509a^7 - 170248785706118431213864623431391059960070938258078140654659/745127913666642068667978010639052425623348262268821696a^6 + 10075858254645412549013290141513467678716982926165954364463/73563583833330904868494644362454220364088522708068384a^5 - 798060946364194148180860068624270257745768814608436585599211/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^4 + 40548574252892706185856346079645172924594868064560763919397/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^3 - 294101103818798037115846981195275507410334280749189871015/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^2 + 5112286635046200942817553726583298791175555864177782513847/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a - 547923763580616932723214877695437561481245197118393606393/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072, 24064979179783684730578919862652067570375204751006525/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152a^31 - 184705017960249314867819595384053473438146428356272339/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^30 + 878854902531799101022496080557778646386908375924285159/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^29 - 6027144741773708267024053480208146957862445896518820797/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^28 + 1032065781056364078006709535695694737951700219039214801/360921333182279752011051848903291018661309314536460509a^27 - 150731476905191297444112556002321620117736101459197558939/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^26 + 590779990487850190786236431705140346396295161505246761885/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^25 - 1013083178052288327831634330086800271895392438890796665991/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^24 + 104417346887697384161211651849657905796290730163570756619/195753943420897492616163714659412077917998272290961632a^23 - 16762492314116084589703782321178381662639459049065551844329/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^22 + 3158756720901357266895840224736506139302162504637425031811/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^21 - 45473742613491508197012635088567063700262328862009025770231/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^20 + 11408693900921599975545885371835134171977656434113902432353/721842666364559504022103697806582037322618629072921018a^19 - 41547264809301843794863280107275196889215225878783059994685/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^18 + 1098388777121309645938055118941089303075816327202637689978979/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^17 - 31663958973378664198664143992578838773335872991105814394609/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^16 + 1119604610968144219343163178580594945234343645212912524171131/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^15 - 1382778979152603920343518394499610303899788326855599544015079/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^14 + 778105550689127064068377017296436875941694869534853509445865/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^13 - 401784205742377964284283274311580941645349780991009077891823/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^12 + 118491548185145073848269665630995427520961496408205988129963/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^11 - 1388623460188706157586360426060350123882942526311411856968491/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^10 + 148380968587074119987041867875912224756672738602042267961279/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^9 - 240038151779645020130612126499377370133913405910284767503631/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^8 + 2902103783711476741995215086738215130255656726492832526756363/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152a^7 - 998097940561574915632078860050222327493226615704735524871809/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^6 + 601632485038741006465685089422998595703944781463806123692339/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^5 - 152531271867986334864062798586720392425587528151790944741579/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^4 + 2009173741746337341967613323740708982485573890969250784887/372563956833321034333989005319526212811674131134410848a^3 - 56638041163159666264565385926946224895658291929470483551/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^2 + 1950835878957118994610019852982829963443990895618256143169/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a - 101059138118956028036715878229711459384800517402752750757/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072, 35574435211709624657523861230910381325840981448643339/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^31 - 537259325938760625008386276853353807002044293098863515/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^30 + 10134337402488699104523222286538204743716135456213504883/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^29 - 17219219120626656914426369473682429333163160948297871963/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^28 + 374551004925494631673943087156567416975049224990306753285/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^27 - 1696892803996961004807358104829847276170644796231553982109/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^26 + 3302468125505787626015599148293472822761987700873334119809/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^25 - 5625096573223248535859814197494485041896505526664046963499/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^24 + 67961204341283440553592996739920661355868363516229474001579/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^23 - 183703198569373590352016673231120286260154499684988843594953/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^22 + 17193933466912121560793672171102716252349494980648232764125/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^21 - 245855168798404103304162258827292613609218158439911141094199/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^20 + 1960086609112919500329479166407533290684554666607871358108559/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^19 - 3543330913151103620732026872309730126336938861323096422625853/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^18 + 2905438908872389291819315707284242078434460487084918475895293/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^17 - 166212811313102936580116146096894949791957742733203822104639/222105435804479847391416522402025242253113424330129544a^16 + 11660618502894015220583858534153407325969704600281679367640957/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^15 - 14286607985751138453592741122358627134955381276619233867989765/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^14 + 997205996938107636707192767191953851445632993050355908480827/721842666364559504022103697806582037322618629072921018a^13 - 263934895053657273271961339429926267482646473124370247069559/186281978416660517166994502659763106405837065567205424a^12 + 1199661551190716547646455979641826183926354011415867137390259/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^11 - 451491205713983859758807055949673764321621596349844701699651/372563956833321034333989005319526212811674131134410848a^10 + 744606068748544483504117414908938962798050554805659756778989/721842666364559504022103697806582037322618629072921018a^9 - 4794172273254548334909575685036965316506481100771243420390207/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^8 + 7198123543001752065796896438761048529145726183183537749041133/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^7 - 4903739068954439928182631248478525216077732927284106734540963/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^6 + 2917576232015427987278088705021654259186877837841512807484969/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^5 - 728835115175691662267042972652417751640094156784636326825975/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^4 + 146344655100864996845661350540337592607171692390294799080237/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^3 - 261249068623195264543366513915760696812189440229210128583/17085033523421526722416655569386557096393340333086888a^2 + 8907410189835032843601054864877564910304800295805906294487/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a - 471404433374034182492726762759779598065867526636315953795/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036, 30958229663103697642513653989097642444791808518286671/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^31 - 932834706128358292773652635748743803079548125970987789/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^30 + 8788143782746011299619502907634741409458372740070257523/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^29 - 29829410280681914865182682541511370944821161034528795863/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^28 + 324134430139868770387013179537183135284485403542238704557/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^27 - 366808450615294221743877014820302730511341015687800676961/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^26 + 5706710277979305252994305076760619042884190938684062796457/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^25 - 9713304390148340334241339289362058984516213317455906971255/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^24 + 58637476478547751103442460831368614655503822455309226139565/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^23 - 2474972286109824522521065409848309682961236548368157546158/360921333182279752011051848903291018661309314536460509a^22 + 29632264206715058522117581801027249699975361996586491504713/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^21 - 423448805869832576118138802159109626081359762140630291858967/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^20 + 54417561227869018855614902906177898893848007890909748784967/745127913666642068667978010639052425623348262268821696a^19 - 761926885194500563041751964774676059358502962794709147686905/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^18 + 4995068147800410513890925187652406422542921760207191242015405/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^17 - 142792857134343385378963227090316280695392874496855486812821/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^16 + 10011874666599703350509184742688598900432740050070822294045691/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^15 - 3065008753252277166229038725054762619161392990000941334932949/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^14 + 13685651022135963162024220334952314727586737528390681450991939/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^13 - 7015470116446084376550669494893629510580234151422759105710105/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^12 + 1028351365713153799550011248712260364444910409507341958366887/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^11 - 2998804533591502715186197682518548103620038448874267045668025/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^10 + 10208283909114681565007066874008205202360031304307828447377051/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^9 - 4106886894378740047258475614585506545531771867420392519342729/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^8 + 6164140819750373010742928804999236214415211262137088045904445/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^7 - 4197396556494193335463558759494975714212420973387765730540115/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^6 + 624068019240954631609408579548289407254543247375428775051725/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^5 - 623406441412100526931963852810612129474567619486048517776209/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^4 + 125187520821596020259172745795875970133050983747566156880627/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^3 - 223651528328957824008289296563438893662343699698404199181/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^2 + 477661273447512594423565868028196450925253454650529033003/360921333182279752011051848903291018661309314536460509a - 407645102155813827644332480809136695857464708309514977595/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072, 448427066696472356754016880975045116194345574307287/391507886841794985232327429318824155835996544581923264a^31 - 406340627713751785753957501025204093915009134590567149/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^30 + 3868870449561191144301918252318686299806831415908985977/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^29 - 13272963647904963547165930667055999408198641237228418665/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^28 + 145536421667075006941127501549796576073285274405503779757/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^27 - 332289747738411574528460959884824150239893988821939735431/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^26 + 2606202846474257834517628129597718195372060363701358734455/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^25 - 75791725661681237609173918260816893278230260445710515795/195753943420897492616163714659412077917998272290961632a^24 + 27209092873092704706846246725036075297754334440287753740929/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^23 - 37040227410898614372839993369398883909852224294281089950661/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^22 + 1074569737785705930436338745790013739965475814751517637651/136680268187372213779333244555092456771146722664695104a^21 - 201254419416902488026963242792902494543268079731107136717085/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^20 + 808529536774072870076485858946946279831975360182787808458585/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^19 - 736781365443999174958525216733788287850643336214780210492085/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^18 + 2437289280623239984140392757599553184038655779564815922995137/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^17 - 70342741159032500357014902316446915490547600630392493167287/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^16 + 4981006245141000836173712328238826281060420582459256839027427/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^15 - 3080428308223825964780743097821847479122683775513925764091275/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^14 + 6944662763810486847722397949291994144971449386849850733451101/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^13 - 60880143466957537351446695444093117414123205291895736548299/195753943420897492616163714659412077917998272290961632a^12 + 530507062416883582108839787528537414325850536693930733851279/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^11 - 3113003727235915143881181598816913843951184233091499945500919/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^10 + 5329114192436136541010764586003028130766118113823529547310509/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^9 - 2158207235618145431297305690626641369718305126471905461780009/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^8 + 1633754941326193809675623395256798843427316776727215631286077/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^7 - 2253903064528466688931233329602186375802401265680796482487561/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^6 + 682293402247183806115365172574206751660366355567359195711619/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^5 - 348317341847405602489426297077421748456612451248000621179953/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^4 + 35958065655536131127558882584293865905632960790627314544045/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a^3 - 65155914909743329633641692296412581040457977372590379/16741826088605121727012891297782025572163978768336a^2 + 2359305342670386443155370239199576649308437676412266185159/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072a - 264124437984719956005017981576792894557258301097837840175/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072, 97000839214796297094746125945423476213973261586/72488719257336764814430979896222337549971744233071a^31 - 190287341216045454154888305939603597189051430992771/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^30 + 1807778523737745620692307337337086394415399742200433/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^29 - 12377077742181175268233800031185884728158228193719889/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^28 + 67703786475755750661658826001293905467089822916191795/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^27 - 308465488440861551563422658133978436748804911891492011/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^26 + 1206834379869550997717420142458550281028719885416925533/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^25 - 4131444627526317748616690437288041233392624421412684301/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^24 + 12537887894142352862529794439599069831041303372138048147/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^23 - 577069231967210904558656523383460746621535051171574109/157263662117611964343172295368075579769430224776832a^22 + 83233692871610989745061916767445489527639774058029809561/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^21 - 183939791575360173234079833767867948402688206804791165921/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^20 + 368319640517620893284858085716951918395480002009593465183/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^19 - 668977458188218700999218899607405113446043316175717432111/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^18 + 84799493322114611043043847267600766968902446322583104169/713735081918392761249781955901266092799721789371776a^17 - 1647779286054667739280227071808252605597099003464438865779/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^16 + 2234109704803313574467454369099938637427187345880575642281/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^15 - 2750629917904786547034994015574650006639864738094911238525/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^14 + 99550924230742466822116094927548587797335450624884525773/299308260159325996653134368603756748593431718123648a^13 - 3178069796789505791853356468770345942316360424361791588895/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^12 + 3038928004414387246904030136422955970121922959576565254393/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^11 - 2734562409629882853786055278275297410963837107730408882197/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^10 + 2333730388337406925024758839792987847238324923336266119915/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^9 - 1883833943564060067225566124029692558295224667412137529247/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^8 + 1419787148236052337686133325008067168617738025631351568105/9278556064939105896247165426716459206396383261833088a^7 - 486414853979938911749171682195102748864304530257236449803/4639278032469552948123582713358229603198191630916544a^6 + 22428448568100445299083070375821965342626405780018117277/356867540959196380624890977950633046399860894685888a^5 - 73480016944404431121375980499451817374402088832541492113/2319639016234776474061791356679114801599095815458272a^4 + 29812687256152402232211480730687118134071158811417742623/2319639016234776474061791356679114801599095815458272a^3 - 11291061844617072016850391041077002694300255835145889/2877964039993519198587830467343814890321458828112a^2 + 929682980121593583179433369782624428904208364535461893/1159819508117388237030895678339557400799547907729136a - 12397640309375983396182038433551595077377948109910333/144977438514673529628861959792444675099943488466142, 327857172306653347641030827341248294173214277935731/60231982591045382343434989125972947051691776089526656a^31 - 146100514678538070551298942558895140517121545394354149/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^30 + 172280719201621257922879758996110224841285813374199369/222105435804479847391416522402025242253113424330129544a^29 - 2342286977742734030580635788686151102350280271844169779/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^28 + 410973956563644512700966931689398681390208361798516135/14329382955127732089768807896904854338910543505169648a^27 - 28866249197122348753020342633030430170753804503360903333/222105435804479847391416522402025242253113424330129544a^26 + 449541973509630705943450680353035320394967390642221688415/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^25 - 25962675462946885004174461819940492920672034384797286657/15057995647761345585858747281493236762922944022381664a^24 + 4627952106066745118782982999421019180494687513055535534733/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^23 - 6256591488656236203509972274297345295187615845241383562361/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^22 + 30460154398084556432600394582879875355786168698205108129265/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^21 - 67029566479379956706772134578442420006432921761180800287831/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^20 + 16705878472849429550080217905722378964732434463407591727071/111052717902239923695708261201012621126556712165064772a^19 - 241695773255569219529702896374296735004909133440955845283525/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^18 + 793087584269057843852626334675554169400674436802713615190747/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^17 - 590106697884412488552998554923342615185462824139430109267061/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^16 + 796562051447044855584771303392160887030886588988965443377265/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^15 - 488261304328008368913385370325591924618498996733161833665713/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^14 + 8800423966617808059609115365602283242378760729753971580963/7164691477563866044884403948452427169455271752584824a^13 - 18981064985857583243699524624576418737608119942813307203933/15057995647761345585858747281493236762922944022381664a^12 + 1067887049639734575398229787102513974317656885052857974869755/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^11 - 479407602586911055272188782256793200980061241374306878764765/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^10 + 408247009601732251098222225410413106821790508087125370934867/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a^9 - 50572536245609498954438760663267224098672928164238024390331/68340134093686106889666622277546228385573361332347552a^8 + 1975462836140972794835348667856669874606325552042410194124295/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^7 - 673546495840441682694798743223278138862796714082878131624029/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^6 + 12946479195973109681293228723955793129632133802228901201623/57317531820510928359075231587619417355642174020678592a^5 - 100466125551528704045550552007422994640797870538955684840211/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^4 + 3112327609244925797123604774558752493083646594094990298137/68340134093686106889666622277546228385573361332347552a^3 - 471360463240831784506819687075684025614800424355052822927/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^2 + 1242008062411587637790176654321830614182148979132727791819/444210871608959694782833044804050484506226848660259088a - 163060246692919732052955964370576858404920080082349147/551130113658758926529569534496340551496559365583448, 5614891524949646808795702044825977765409141082607869/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^31 - 85171839660907315132090390394709662111150080605772437/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^30 + 804917797426597934710493272536105502264876096168837785/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^29 - 5481490719525185984487380174674014983650735717689831371/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^28 + 962989024388328287047860326324503986843622293572373521/114635063641021856718150463175238834711284348041357184a^27 - 135430887899885859710802567125369507803257749536407728441/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^26 + 8944913515293681939082081220227843152011556961375134071/60231982591045382343434989125972947051691776089526656a^25 - 1799653668059589619178175619294430268778523488333172815155/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^24 + 5440546128611601615496411629221860205013930098982252357595/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^23 - 1132098883676348050646623516282996235122095032388782313305/273360536374744427558666489110184913542293445329390208a^22 + 1156058540358024596430199474249696454990817569409105001775/114635063641021856718150463175238834711284348041357184a^21 - 78878787536458380300370403586498493885379614987260616082623/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^20 + 157277731371307388767281502533077699330284078495861109790403/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^19 - 284384168449068683898442378804910874159174384878559657302217/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^18 + 466392772800213985074458461464234497061398683721124016706487/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^17 - 693565077805636204937446970835079683146514370719478751599225/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^16 + 935222736151337690670769761614606299765589140271396101345609/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^15 - 1144814322753543344063604316106222018303062332572239206029871/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^14 + 21641741936786570538749086345304514802777840660617159202477/60231982591045382343434989125972947051691776089526656a^13 - 1307380287916291518685310800917147142139867074053443820754817/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^12 + 40118214229868428773168667281103543599341915414321207332943/114635063641021856718150463175238834711284348041357184a^11 - 1114144951623118968426815400409793028187520213994300281373079/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^10 + 5603167520687994043752898945441297011337403086547047790439/21027733567288032889128191470014224118637957333030016a^9 - 760902138859152464708138055905559527500482370681537538102113/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^8 + 17811870591787441506065388900226752044146827115060242192957/111052717902239923695708261201012621126556712165064772a^7 - 193484844295775533924503567607155004940682998238485278059985/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^6 + 14297900372216244665728925823117864950270219035092903914323/222105435804479847391416522402025242253113424330129544a^5 - 28246735762756461231470252055432182005625060404261244292447/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^4 + 2783737487101897290055976922176943525163711168626317379093/222105435804479847391416522402025242253113424330129544a^3 - 125189300300926272293817569903200269470620810869087936793/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^2 + 154190751977837641261967484417999644558172539203245605381/222105435804479847391416522402025242253113424330129544a - 30585873174485285393347285023608964607257387562246676/470562363992542049558085852546663648841342000699427, 1107516691796997283156374819692283357649051863617242095/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152a^31 - 2087564791556183544883567216133687617810959472737403561/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a^30 + 78697103711635228703503026713775930508186152657029240917/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^29 - 534449105211917609181737156286266539325075977431523157075/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^28 + 2904572260162493509618819590893090322951310060004925701463/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^27 - 13151459790581334618964821557053207431568045729468165272099/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^26 + 51163560101942242908880969857975628605234933526941908287069/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^25 - 499158874862981981676999010179184371330482345871111973165/66186147059214625010622688624099212591185662264565824a^24 + 525928162228892698211322359536471890748938713299685447311661/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^23 - 1420950028623689851304292306363059626778028608297858615050699/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^22 + 265867811687829139525663169449683232517185093108022937744633/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^21 - 7599745983703689281262509356152374754725255575690817217662565/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^20 + 15140213074122491292482092465206944032250351547912099128837339/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^19 - 27356628422359675686264149392832173865083240241316263641743765/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^18 + 2802613402542419934344976757428699114178377305925666677950081/1443685332729119008044207395613164074645237258145842036a^17 - 5128067224624657029588072693706470591984244281321631292940315/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^16 + 89895681150294163809858570474422766566548501886141042035121251/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^15 - 110087944875672554579851416264538417347479181200858592027676789/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^14 + 122892040533240067130399107210846376340658822208450436735764521/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^13 - 125991363257293513610280234352114473293474723006052838915715899/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^12 + 9233772058914639279406690771786501141555735623884085015304239/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^11 - 107702797960624707855430243179830468212441874691401250287730429/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^10 + 91655591776380837701979426174507399334115289963005396227041893/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^9 - 73745409551088877775225857224118496538402822288064127526227163/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^8 + 110682545799189946745276340326888316162027330557796750797319067/46197930647331808257414636659621250388647592260666945152a^7 - 37681161878227986714710032205244123238886422402900967361492807/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^6 + 22404292490405415303389642609066972593331641483452369655302779/23098965323665904128707318329810625194323796130333472576a^5 - 5592703358783160585429404626587887685368725403464405517595711/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^4 + 2244253180921883817426360231271873739027461885678097471431817/11549482661832952064353659164905312597161898065166736288a^3 - 2001432673248813947955690806713081828013850528121929225545/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^2 + 68190116385226036550778106953705276989347985621089436560029/5774741330916476032176829582452656298580949032583368144a - 3604709662493387317580395275876240328968972707325233785879/2887370665458238016088414791226328149290474516291684072, 32125231665670316719188457294078734953317269890009/34170067046843053444833311138773114192786680666173776a^31 - 50256204148927769570907238831891816468443262961558053/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^30 + 473103017343705710554080383504885328253510751056897151/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^29 - 3209215997957488301073909552819812872396380824158850313/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^28 + 17425635910196734841362855920176628664608769901257511553/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^27 - 78833950568470120985213784234011886775677850761219918563/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^26 + 306462157693255956216335667144121477062191309072492232351/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^25 - 1042740250162200895245398252229657020906214435063526148845/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^24 + 3145959824137976563470212829056646525218512216520489937041/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^23 - 8494429808595265282464098510052370848299489552070645649887/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^22 + 20649116072344440692390473982599390238802258179713652717059/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^21 - 45377047329475904762081555194767423624698558220972684676321/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^20 + 90347871511752170135315833237040005041301166779889166915077/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^19 - 163155506719518143277150246530625523605885036509666320464071/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^18 + 267288411323001094212817224409728995061150976060580158640215/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^17 - 397153694712514388809456164160876662073768315942948460553007/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^16 + 535274973456290949433899638367464783135985623317629295834739/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^15 - 655198688550777153031381061019612199836829785028340496333629/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^14 + 731107672195099767787297761717630311001221778450162870304833/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^13 - 749306361696120001166671816990056896944336453378106133140455/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^12 + 713744301798650798766276255872188013339459231161963663155251/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^11 - 640280764723709938681745792880713078968735731900726166458277/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^10 + 544773680667357433473438739653622034912425269749069582527881/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^9 - 438221789265030609216954716321778403022783047785299271551399/3553686972871677558262664358432403876049814789282072704a^8 + 25289182308683266738892726022934558675551656834503800194039/273360536374744427558666489110184913542293445329390208a^7 - 55939465532379438155361996325431267524193790529498658556187/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^6 + 66499803526772743988858608899450118315367777493097905266265/1776843486435838779131332179216201938024907394641036352a^5 - 2074461200958657551703748489080995754814405010677219763893/111052717902239923695708261201012621126556712165064772a^4 + 6657769078311186020230481713453001773995095643595449695637/888421743217919389565666089608100969012453697320518176a^3 - 9649241784442329068309871610182216342516986461546549339/4271258380855381680604163892346639274098335083271722a^2 + 15555834730485513962150853842463609553623939300844271653/34170067046843053444833311138773114192786680666173776*a - 10694271572929532861800846678288184238057992413920522765/222105435804479847391416522402025242253113424330129544 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 233422630699.0076 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 233422630699.0076 \cdot 24}{24\cdot\sqrt{7790452574060543254749837160138952789467349385216}}\cr\approx \mathstrut & 0.493445859313154 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 156*x^30 - 1096*x^29 + 6134*x^28 - 28580*x^27 + 114266*x^26 - 399684*x^25 + 1239490*x^24 - 3440780*x^23 + 8605010*x^22 - 19473044*x^21 + 39982438*x^20 - 74587072*x^19 + 126485556*x^18 - 194983784*x^17 + 273242634*x^16 - 348358772*x^15 + 405080242*x^14 - 431986068*x^13 + 426399702*x^12 - 394223580*x^11 + 344722538*x^10 - 285681476*x^9 + 222647745*x^8 - 160135088*x^7 + 103163456*x^6 - 57484000*x^5 + 26721528*x^4 - 9914240*x^3 + 2744800*x^2 - 506176*x + 48016);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2\times D_4^2$ (as 32T1016):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 128

The 50 conjugacy class representatives for $C_2\times D_4^2$

Character table for $C_2\times D_4^2$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-3}) $, $\Q(\sqrt{6}) $, $\Q(\sqrt{-6}) $, $\Q(\sqrt{3}) $, $\Q(\sqrt{-2}) $, $\Q(\sqrt{2}) $, $\Q(\sqrt{-1}) $, 4.4.76032.1, 4.0.4752.1, 4.4.4752.1, 4.0.76032.2, $\Q(\zeta_{8})$, 4.0.39168.3, 4.4.9792.1, $\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$, $\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{3})$, 4.4.4352.1, 4.0.1088.2, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-3})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, $\Q(\zeta_{12})$, $\Q(i, \sqrt{6})$, 8.0.1534132224.8, 8.0.18939904.2, $\Q(\zeta_{24})$, 8.0.1534132224.10, 8.0.1534132224.4, 8.8.1534132224.1, 8.0.95883264.1, 8.0.5780865024.3, 8.0.5780865024.13, 8.0.1670669991936.5, 8.8.1670669991936.3, 8.8.5780865024.1, 8.0.5780865024.4, 8.0.5780865024.5, 8.0.22581504.2, 16.0.2353561680715186176.2, 16.0.2791138221955434305028096.4, 16.0.33418400425706520576.1, 16.0.2791138221955434305028096.2, 16.0.2791138221955434305028096.1, 16.16.2791138221955434305028096.1, 16.0.2791138221955434305028096.3

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Degree 32 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	not computed

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	R	${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{8}$	R	${\href{/padicField/13.2.0.1}{2} }^{16}$	R	${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{16}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2	2.8.16.6	$x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$	$4$	$2$	$16$	$C_2^3$	$[2, 3]^{2}$
	2.8.16.6	$x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$	$4$	$2$	$16$	$C_2^3$	$[2, 3]^{2}$
	2.8.16.6	$x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$	$4$	$2$	$16$	$C_2^3$	$[2, 3]^{2}$
	2.8.16.6	$x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$	$4$	$2$	$16$	$C_2^3$	$[2, 3]^{2}$
$3$ 3	3.16.12.1	$x^{16} + 8 x^{15} + 24 x^{14} + 32 x^{13} + 36 x^{12} + 120 x^{11} + 312 x^{10} + 352 x^{9} - 522 x^{8} - 2664 x^{7} - 3672 x^{6} - 1440 x^{5} + 4292 x^{4} + 7720 x^{3} + 6408 x^{2} + 2592 x + 433$	$4$	$4$	$12$	$C_4:C_4$	$[\ ]_{4}^{4}$
$3$ 3	3.16.12.1	$x^{16} + 8 x^{15} + 24 x^{14} + 32 x^{13} + 36 x^{12} + 120 x^{11} + 312 x^{10} + 352 x^{9} - 522 x^{8} - 2664 x^{7} - 3672 x^{6} - 1440 x^{5} + 4292 x^{4} + 7720 x^{3} + 6408 x^{2} + 2592 x + 433$	$4$	$4$	$12$	$C_4:C_4$	$[\ ]_{4}^{4}$
$11$ 11	11.4.0.1	$x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	11.4.0.1	$x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	11.4.0.1	$x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	11.4.0.1	$x^{4} + 8 x^{2} + 10 x + 2$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	11.8.4.1	$x^{8} + 60 x^{6} + 20 x^{5} + 970 x^{4} - 280 x^{3} + 4664 x^{2} - 5460 x + 2325$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	11.8.4.1	$x^{8} + 60 x^{6} + 20 x^{5} + 970 x^{4} - 280 x^{3} + 4664 x^{2} - 5460 x + 2325$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
$17$ 17	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more