LMFDB - Number field 32.0.613039365036788240314949190025216000000000000000000000000.2

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456)

gp: K = bnfinit(y^32 - 16*y^31 + 160*y^30 - 1160*y^29 + 6756*y^28 - 32872*y^27 + 137688*y^26 - 504816*y^25 + 1639376*y^24 - 4749552*y^23 + 12315372*y^22 - 28585976*y^21 + 59189458*y^20 - 108563512*y^19 + 174237344*y^18 - 239583744*y^17 + 271203819*y^16 - 229422992*y^15 + 95660524*y^14 + 97892432*y^13 - 263767222*y^12 + 302963088*y^11 - 176472000*y^10 - 53416448*y^9 + 268061612*y^8 - 376049408*y^7 + 358649568*y^6 - 258848640*y^5 + 145683560*y^4 - 64335936*y^3 + 22597024*y^2 - 5903488*y + 1225456, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456)

$ x^{32} - 16 x^{31} + 160 x^{30} - 1160 x^{29} + 6756 x^{28} - 32872 x^{27} + 137688 x^{26} + \cdots + 1225456 $ x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$32$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 16]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$613039365036788240314949190025216000000000000000000000000$ 613039365036788240314949190025216000000000000000000000000 $\medspace = 2^{88}\cdot 5^{24}\cdot 7^{16}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$59.51$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2^{11/4}5^{3/4}7^{1/2}\approx 59.512611935526614$
Ramified primes:	$2$, $5$, $7$ 2, 5, 7	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$32$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$560=2^{4}\cdot 5\cdot 7$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{560}(1,·)$, $\chi_{560}(517,·)$, $\chi_{560}(321,·)$, $\chi_{560}(393,·)$, $\chi_{560}(13,·)$, $\chi_{560}(533,·)$, $\chi_{560}(281,·)$, $\chi_{560}(153,·)$, $\chi_{560}(29,·)$, $\chi_{560}(197,·)$, $\chi_{560}(293,·)$, $\chi_{560}(41,·)$, $\chi_{560}(349,·)$, $\chi_{560}(433,·)$, $\chi_{560}(309,·)$, $\chi_{560}(57,·)$, $\chi_{560}(181,·)$, $\chi_{560}(449,·)$, $\chi_{560}(69,·)$, $\chi_{560}(461,·)$, $\chi_{560}(141,·)$, $\chi_{560}(337,·)$, $\chi_{560}(477,·)$, $\chi_{560}(421,·)$, $\chi_{560}(97,·)$, $\chi_{560}(209,·)$, $\chi_{560}(489,·)$, $\chi_{560}(237,·)$, $\chi_{560}(113,·)$, $\chi_{560}(169,·)$, $\chi_{560}(377,·)$, $\chi_{560}(253,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{7}$, $\frac{1}{164}a^{16}-\frac{2}{41}a^{15}-\frac{1}{41}a^{14}+\frac{1}{41}a^{13}-\frac{1}{41}a^{12}+\frac{9}{82}a^{11}-\frac{4}{41}a^{10}-\frac{17}{82}a^{9}+\frac{19}{164}a^{8}-\frac{27}{82}a^{7}-\frac{6}{41}a^{6}+\frac{17}{82}a^{5}+\frac{9}{41}a^{4}-\frac{19}{41}a^{3}+\frac{8}{41}a^{2}+\frac{19}{41}a+\frac{20}{41}$, $\frac{1}{164}a^{17}+\frac{7}{82}a^{15}-\frac{7}{41}a^{14}+\frac{7}{41}a^{13}-\frac{7}{82}a^{12}-\frac{9}{41}a^{11}+\frac{1}{82}a^{10}-\frac{7}{164}a^{9}+\frac{4}{41}a^{8}-\frac{23}{82}a^{7}+\frac{3}{82}a^{6}+\frac{31}{82}a^{5}-\frac{17}{82}a^{4}+\frac{20}{41}a^{3}+\frac{1}{41}a^{2}+\frac{8}{41}a-\frac{4}{41}$, $\frac{1}{164}a^{18}+\frac{1}{82}a^{15}+\frac{1}{82}a^{14}+\frac{3}{41}a^{13}+\frac{5}{41}a^{12}-\frac{1}{41}a^{11}-\frac{29}{164}a^{10}+\frac{4}{41}a^{8}-\frac{29}{82}a^{7}+\frac{35}{82}a^{6}+\frac{16}{41}a^{5}+\frac{17}{41}a^{4}-\frac{20}{41}a^{3}+\frac{19}{41}a^{2}+\frac{17}{41}a+\frac{7}{41}$, $\frac{1}{164}a^{19}+\frac{9}{82}a^{15}+\frac{5}{41}a^{14}+\frac{3}{41}a^{13}+\frac{1}{41}a^{12}+\frac{17}{164}a^{11}+\frac{8}{41}a^{10}+\frac{1}{82}a^{9}-\frac{7}{82}a^{8}-\frac{17}{41}a^{7}-\frac{13}{41}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{35}{82}a^{4}+\frac{16}{41}a^{3}+\frac{1}{41}a^{2}+\frac{10}{41}a+\frac{1}{41}$, $\frac{1}{164}a^{20}+\frac{1}{82}a^{14}+\frac{7}{82}a^{13}+\frac{7}{164}a^{12}+\frac{9}{41}a^{11}-\frac{19}{82}a^{10}+\frac{6}{41}a^{9}-\frac{16}{41}a^{7}-\frac{15}{41}a^{6}-\frac{13}{82}a^{5}+\frac{18}{41}a^{4}+\frac{15}{41}a^{3}-\frac{11}{41}a^{2}-\frac{13}{41}a+\frac{9}{41}$, $\frac{1}{164}a^{21}+\frac{1}{82}a^{15}+\frac{7}{82}a^{14}+\frac{7}{164}a^{13}+\frac{9}{41}a^{12}-\frac{19}{82}a^{11}+\frac{6}{41}a^{10}+\frac{9}{82}a^{8}-\frac{15}{41}a^{7}-\frac{13}{82}a^{6}+\frac{18}{41}a^{5}-\frac{11}{82}a^{4}-\frac{11}{41}a^{3}-\frac{13}{41}a^{2}+\frac{9}{41}a$, $\frac{1}{164}a^{22}+\frac{15}{82}a^{15}+\frac{15}{164}a^{14}+\frac{7}{41}a^{13}-\frac{15}{82}a^{12}-\frac{3}{41}a^{11}+\frac{8}{41}a^{10}+\frac{1}{41}a^{9}-\frac{4}{41}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{11}{41}a^{6}-\frac{2}{41}a^{5}-\frac{17}{82}a^{4}-\frac{16}{41}a^{3}-\frac{7}{41}a^{2}+\frac{3}{41}a+\frac{1}{41}$, $\frac{1}{164}a^{23}+\frac{9}{164}a^{15}-\frac{4}{41}a^{14}+\frac{7}{82}a^{13}+\frac{13}{82}a^{12}-\frac{4}{41}a^{11}-\frac{2}{41}a^{10}+\frac{5}{41}a^{9}+\frac{1}{41}a^{8}+\frac{9}{82}a^{7}+\frac{14}{41}a^{6}-\frac{35}{82}a^{5}-\frac{39}{82}a^{4}-\frac{11}{41}a^{3}+\frac{9}{41}a^{2}+\frac{5}{41}a+\frac{15}{41}$, $\frac{1}{13448}a^{24}-\frac{3}{3362}a^{23}+\frac{1}{6724}a^{22}-\frac{1}{1681}a^{21}-\frac{9}{13448}a^{20}+\frac{13}{6724}a^{19}-\frac{4}{1681}a^{18}+\frac{5}{3362}a^{17}+\frac{15}{13448}a^{16}-\frac{33}{1681}a^{15}+\frac{727}{6724}a^{14}-\frac{677}{3362}a^{13}-\frac{3055}{13448}a^{12}-\frac{935}{6724}a^{11}-\frac{248}{1681}a^{10}-\frac{143}{3362}a^{9}-\frac{368}{1681}a^{8}+\frac{111}{1681}a^{7}-\frac{411}{1681}a^{6}-\frac{829}{3362}a^{5}+\frac{163}{1681}a^{4}-\frac{692}{1681}a^{3}+\frac{688}{1681}a^{2}+\frac{326}{1681}a+\frac{550}{1681}$, $\frac{1}{13448}a^{25}+\frac{11}{6724}a^{23}+\frac{2}{1681}a^{22}-\frac{23}{13448}a^{21}+\frac{17}{6724}a^{19}-\frac{9}{3362}a^{18}+\frac{9}{13448}a^{17}-\frac{1}{6724}a^{16}-\frac{611}{6724}a^{15}+\frac{569}{3362}a^{14}+\frac{3235}{13448}a^{13}-\frac{469}{3362}a^{12}-\frac{1101}{6724}a^{11}+\frac{130}{1681}a^{10}+\frac{303}{6724}a^{9}+\frac{11}{164}a^{8}+\frac{593}{1681}a^{7}-\frac{201}{1681}a^{6}+\frac{669}{3362}a^{5}+\frac{649}{1681}a^{4}-\frac{31}{1681}a^{3}-\frac{233}{1681}a^{2}-\frac{663}{1681}a+\frac{450}{1681}$, $\frac{1}{13448}a^{26}+\frac{17}{6724}a^{23}+\frac{15}{13448}a^{22}+\frac{3}{3362}a^{21}-\frac{7}{6724}a^{20}-\frac{17}{6724}a^{19}-\frac{25}{13448}a^{18}-\frac{4}{1681}a^{17}+\frac{3}{6724}a^{16}-\frac{1657}{6724}a^{15}-\frac{463}{13448}a^{14}+\frac{58}{1681}a^{13}-\frac{1403}{6724}a^{12}+\frac{631}{6724}a^{11}+\frac{335}{1681}a^{10}+\frac{261}{1681}a^{9}-\frac{53}{6724}a^{8}+\frac{413}{3362}a^{7}-\frac{771}{1681}a^{6}+\frac{1537}{3362}a^{5}+\frac{729}{1681}a^{4}-\frac{794}{1681}a^{3}+\frac{68}{1681}a^{2}-\frac{39}{1681}a+\frac{815}{1681}$, $\frac{1}{13448}a^{27}+\frac{13}{13448}a^{23}+\frac{13}{6724}a^{22}+\frac{3}{3362}a^{21}+\frac{13}{6724}a^{20}-\frac{7}{13448}a^{19}-\frac{5}{6724}a^{18}-\frac{9}{6724}a^{17}+\frac{15}{6724}a^{16}-\frac{753}{13448}a^{15}-\frac{1239}{6724}a^{14}-\frac{459}{3362}a^{13}-\frac{611}{6724}a^{12}+\frac{1601}{6724}a^{11}-\frac{1185}{6724}a^{10}-\frac{251}{6724}a^{9}+\frac{239}{6724}a^{8}-\frac{281}{1681}a^{7}+\frac{413}{1681}a^{6}+\frac{431}{1681}a^{5}+\frac{101}{1681}a^{4}+\frac{759}{1681}a^{3}+\frac{267}{1681}a^{2}+\frac{473}{1681}a-\frac{660}{1681}$, $\frac{1}{1654104}a^{28}-\frac{7}{827052}a^{27}+\frac{19}{827052}a^{26}-\frac{11}{413526}a^{25}+\frac{7}{206763}a^{24}-\frac{743}{413526}a^{23}-\frac{337}{206763}a^{22}-\frac{253}{137842}a^{21}+\frac{149}{413526}a^{20}-\frac{289}{137842}a^{19}+\frac{539}{275684}a^{18}-\frac{1957}{827052}a^{17}+\frac{2477}{827052}a^{16}-\frac{13838}{68921}a^{15}-\frac{16981}{206763}a^{14}-\frac{20609}{413526}a^{13}-\frac{107831}{551368}a^{12}+\frac{23441}{275684}a^{11}-\frac{5159}{137842}a^{10}-\frac{98317}{827052}a^{9}+\frac{63839}{827052}a^{8}+\frac{70538}{206763}a^{7}-\frac{174245}{413526}a^{6}+\frac{29207}{206763}a^{5}+\frac{73642}{206763}a^{4}+\frac{22686}{68921}a^{3}-\frac{835}{1681}a^{2}-\frac{85130}{206763}a-\frac{35029}{206763}$, $\frac{1}{1654104}a^{29}-\frac{35}{1654104}a^{27}-\frac{1}{413526}a^{26}+\frac{55}{1654104}a^{25}+\frac{13}{827052}a^{24}-\frac{623}{551368}a^{23}-\frac{109}{413526}a^{22}+\frac{2495}{1654104}a^{21}-\frac{1241}{413526}a^{20}-\frac{469}{551368}a^{19}-\frac{53}{413526}a^{18}+\frac{1139}{551368}a^{17}+\frac{485}{413526}a^{16}+\frac{86245}{1654104}a^{15}-\frac{18005}{137842}a^{14}+\frac{36931}{206763}a^{13}+\frac{795}{68921}a^{12}+\frac{18187}{275684}a^{11}+\frac{18710}{206763}a^{10}-\frac{10030}{68921}a^{9}+\frac{6607}{275684}a^{8}-\frac{9926}{68921}a^{7}+\frac{2135}{68921}a^{6}-\frac{72928}{206763}a^{5}-\frac{1603}{10086}a^{4}-\frac{20236}{68921}a^{3}-\frac{2474}{206763}a^{2}-\frac{63884}{206763}a+\frac{7498}{206763}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!16}a^{30}-\frac{5}{91\!\cdots\!72}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!18}a^{28}-\frac{38\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!16}a^{27}-\frac{44\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!08}a^{26}-\frac{60\!\cdots\!21}{33\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!08}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!16}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!08}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!32}{34\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!07}{27\!\cdots\!16}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!36}a^{18}+\frac{85\!\cdots\!40}{34\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!59}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!73}{91\!\cdots\!72}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!65}{27\!\cdots\!16}a^{13}-\frac{82\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!59}a^{12}-\frac{89\!\cdots\!91}{13\!\cdots\!08}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!59}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!08}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!08}a^{8}+\frac{59\!\cdots\!50}{34\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!18}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!08}{11\!\cdots\!59}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!96}{34\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!59}a+\frac{41\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!47}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!96}a^{31}+\frac{21506825}{11\!\cdots\!96}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!69}{59\!\cdots\!48}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!32}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!48}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{20\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!48}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!49}{14\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!32}a^{22}-\frac{93\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!48}a^{21}+\frac{96\!\cdots\!69}{39\!\cdots\!32}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!74}a^{19}-\frac{21\!\cdots\!93}{39\!\cdots\!32}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!48}a^{17}+\frac{67\!\cdots\!95}{39\!\cdots\!32}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!27}{39\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{30\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!74}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!48}a^{12}+\frac{86\!\cdots\!31}{59\!\cdots\!48}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!48}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!85}{74\!\cdots\!63}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!56}{49\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!77}{49\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!45}{14\!\cdots\!37}a+\frac{34\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!07}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, 1/2*a^8 - 1/2*a^4, 1/2*a^9 - 1/2*a^5, 1/2*a^10 - 1/2*a^6, 1/2*a^11 - 1/2*a^7, 1/2*a^12 - 1/2*a^4, 1/2*a^13 - 1/2*a^5, 1/2*a^14 - 1/2*a^6, 1/2*a^15 - 1/2*a^7, 1/164*a^16 - 2/41*a^15 - 1/41*a^14 + 1/41*a^13 - 1/41*a^12 + 9/82*a^11 - 4/41*a^10 - 17/82*a^9 + 19/164*a^8 - 27/82*a^7 - 6/41*a^6 + 17/82*a^5 + 9/41*a^4 - 19/41*a^3 + 8/41*a^2 + 19/41*a + 20/41, 1/164*a^17 + 7/82*a^15 - 7/41*a^14 + 7/41*a^13 - 7/82*a^12 - 9/41*a^11 + 1/82*a^10 - 7/164*a^9 + 4/41*a^8 - 23/82*a^7 + 3/82*a^6 + 31/82*a^5 - 17/82*a^4 + 20/41*a^3 + 1/41*a^2 + 8/41*a - 4/41, 1/164*a^18 + 1/82*a^15 + 1/82*a^14 + 3/41*a^13 + 5/41*a^12 - 1/41*a^11 - 29/164*a^10 + 4/41*a^8 - 29/82*a^7 + 35/82*a^6 + 16/41*a^5 + 17/41*a^4 - 20/41*a^3 + 19/41*a^2 + 17/41*a + 7/41, 1/164*a^19 + 9/82*a^15 + 5/41*a^14 + 3/41*a^13 + 1/41*a^12 + 17/164*a^11 + 8/41*a^10 + 1/82*a^9 - 7/82*a^8 - 17/41*a^7 - 13/41*a^6 - 1/2*a^5 - 35/82*a^4 + 16/41*a^3 + 1/41*a^2 + 10/41*a + 1/41, 1/164*a^20 + 1/82*a^14 + 7/82*a^13 + 7/164*a^12 + 9/41*a^11 - 19/82*a^10 + 6/41*a^9 - 16/41*a^7 - 15/41*a^6 - 13/82*a^5 + 18/41*a^4 + 15/41*a^3 - 11/41*a^2 - 13/41*a + 9/41, 1/164*a^21 + 1/82*a^15 + 7/82*a^14 + 7/164*a^13 + 9/41*a^12 - 19/82*a^11 + 6/41*a^10 + 9/82*a^8 - 15/41*a^7 - 13/82*a^6 + 18/41*a^5 - 11/82*a^4 - 11/41*a^3 - 13/41*a^2 + 9/41*a, 1/164*a^22 + 15/82*a^15 + 15/164*a^14 + 7/41*a^13 - 15/82*a^12 - 3/41*a^11 + 8/41*a^10 + 1/41*a^9 - 4/41*a^8 - 1/2*a^7 - 11/41*a^6 - 2/41*a^5 - 17/82*a^4 - 16/41*a^3 - 7/41*a^2 + 3/41*a + 1/41, 1/164*a^23 + 9/164*a^15 - 4/41*a^14 + 7/82*a^13 + 13/82*a^12 - 4/41*a^11 - 2/41*a^10 + 5/41*a^9 + 1/41*a^8 + 9/82*a^7 + 14/41*a^6 - 35/82*a^5 - 39/82*a^4 - 11/41*a^3 + 9/41*a^2 + 5/41*a + 15/41, 1/13448*a^24 - 3/3362*a^23 + 1/6724*a^22 - 1/1681*a^21 - 9/13448*a^20 + 13/6724*a^19 - 4/1681*a^18 + 5/3362*a^17 + 15/13448*a^16 - 33/1681*a^15 + 727/6724*a^14 - 677/3362*a^13 - 3055/13448*a^12 - 935/6724*a^11 - 248/1681*a^10 - 143/3362*a^9 - 368/1681*a^8 + 111/1681*a^7 - 411/1681*a^6 - 829/3362*a^5 + 163/1681*a^4 - 692/1681*a^3 + 688/1681*a^2 + 326/1681*a + 550/1681, 1/13448*a^25 + 11/6724*a^23 + 2/1681*a^22 - 23/13448*a^21 + 17/6724*a^19 - 9/3362*a^18 + 9/13448*a^17 - 1/6724*a^16 - 611/6724*a^15 + 569/3362*a^14 + 3235/13448*a^13 - 469/3362*a^12 - 1101/6724*a^11 + 130/1681*a^10 + 303/6724*a^9 + 11/164*a^8 + 593/1681*a^7 - 201/1681*a^6 + 669/3362*a^5 + 649/1681*a^4 - 31/1681*a^3 - 233/1681*a^2 - 663/1681*a + 450/1681, 1/13448*a^26 + 17/6724*a^23 + 15/13448*a^22 + 3/3362*a^21 - 7/6724*a^20 - 17/6724*a^19 - 25/13448*a^18 - 4/1681*a^17 + 3/6724*a^16 - 1657/6724*a^15 - 463/13448*a^14 + 58/1681*a^13 - 1403/6724*a^12 + 631/6724*a^11 + 335/1681*a^10 + 261/1681*a^9 - 53/6724*a^8 + 413/3362*a^7 - 771/1681*a^6 + 1537/3362*a^5 + 729/1681*a^4 - 794/1681*a^3 + 68/1681*a^2 - 39/1681*a + 815/1681, 1/13448*a^27 + 13/13448*a^23 + 13/6724*a^22 + 3/3362*a^21 + 13/6724*a^20 - 7/13448*a^19 - 5/6724*a^18 - 9/6724*a^17 + 15/6724*a^16 - 753/13448*a^15 - 1239/6724*a^14 - 459/3362*a^13 - 611/6724*a^12 + 1601/6724*a^11 - 1185/6724*a^10 - 251/6724*a^9 + 239/6724*a^8 - 281/1681*a^7 + 413/1681*a^6 + 431/1681*a^5 + 101/1681*a^4 + 759/1681*a^3 + 267/1681*a^2 + 473/1681*a - 660/1681, 1/1654104*a^28 - 7/827052*a^27 + 19/827052*a^26 - 11/413526*a^25 + 7/206763*a^24 - 743/413526*a^23 - 337/206763*a^22 - 253/137842*a^21 + 149/413526*a^20 - 289/137842*a^19 + 539/275684*a^18 - 1957/827052*a^17 + 2477/827052*a^16 - 13838/68921*a^15 - 16981/206763*a^14 - 20609/413526*a^13 - 107831/551368*a^12 + 23441/275684*a^11 - 5159/137842*a^10 - 98317/827052*a^9 + 63839/827052*a^8 + 70538/206763*a^7 - 174245/413526*a^6 + 29207/206763*a^5 + 73642/206763*a^4 + 22686/68921*a^3 - 835/1681*a^2 - 85130/206763*a - 35029/206763, 1/1654104*a^29 - 35/1654104*a^27 - 1/413526*a^26 + 55/1654104*a^25 + 13/827052*a^24 - 623/551368*a^23 - 109/413526*a^22 + 2495/1654104*a^21 - 1241/413526*a^20 - 469/551368*a^19 - 53/413526*a^18 + 1139/551368*a^17 + 485/413526*a^16 + 86245/1654104*a^15 - 18005/137842*a^14 + 36931/206763*a^13 + 795/68921*a^12 + 18187/275684*a^11 + 18710/206763*a^10 - 10030/68921*a^9 + 6607/275684*a^8 - 9926/68921*a^7 + 2135/68921*a^6 - 72928/206763*a^5 - 1603/10086*a^4 - 20236/68921*a^3 - 2474/206763*a^2 - 63884/206763*a + 7498/206763, 1/275869401107218635542460514725574640616*a^30 - 5/91956467035739545180820171575191546872*a^29 + 2274588137655162792204623583303/22989116758934886295205042893797886718*a^28 - 382130807126067349090376761993889/275869401107218635542460514725574640616*a^27 - 4472056404392826386424429413207141/137934700553609317771230257362787320308*a^26 - 60590084167791108994811619404321/3364260989112422384664152618604568788*a^25 - 4090092021787040296081802037850711/137934700553609317771230257362787320308*a^24 - 123130406785655108501288245490700455/275869401107218635542460514725574640616*a^23 + 167027692798292078960824126976581469/137934700553609317771230257362787320308*a^22 + 1334880689419981043141527515996323/137934700553609317771230257362787320308*a^21 + 80888509521425739760785889810379732/34483675138402329442807564340696830077*a^20 + 555017656187102806852166951638145707/275869401107218635542460514725574640616*a^19 + 27193150972535029630781656681086835/45978233517869772590410085787595773436*a^18 + 85749906420465622574069245478872640/34483675138402329442807564340696830077*a^17 + 11401678671627672080973465351311691/11494558379467443147602521446898943359*a^16 + 13015151484915578540428820478206809273/91956467035739545180820171575191546872*a^15 - 5310381313474221180891813252097321/1444342414173919557813929396468977176*a^14 + 15713944892792960590240386944556028565/275869401107218635542460514725574640616*a^13 - 821359693063671868184391878148394282/11494558379467443147602521446898943359*a^12 - 8983672775609579363762675889722073991/137934700553609317771230257362787320308*a^11 + 1516775418324650431300566377951605801/11494558379467443147602521446898943359*a^10 - 1349825068589122719224962220827859069/137934700553609317771230257362787320308*a^9 - 960837829915907659386727214792924567/137934700553609317771230257362787320308*a^8 + 5998713255673019544202988363776168750/34483675138402329442807564340696830077*a^7 + 5966425520554814212076998349347688989/22989116758934886295205042893797886718*a^6 + 1847617502053203116908929106496978508/11494558379467443147602521446898943359*a^5 + 12664018253167306808794330053440091296/34483675138402329442807564340696830077*a^4 - 11236070882281084267962387655654217648/34483675138402329442807564340696830077*a^3 - 11974159304303126982072459306409439657/34483675138402329442807564340696830077*a^2 + 1622794157382574365683376436991936982/11494558379467443147602521446898943359*a + 41479107863282928996275302898518331/180542801771739944726741174558622147, 1/11866158416886949186478658535501670133146267496*a^31 + 21506825/11866158416886949186478658535501670133146267496*a^30 - 1322530974717338811601056988349818949669/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^29 + 1023862832483755151219123845887677945593/3955386138962316395492886178500556711048755832*a^28 - 166532341140745211239437625757599495144289/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^27 + 134007874984081192827829574203990023186133/11866158416886949186478658535501670133146267496*a^26 + 203966141534689779137597768206332168397853/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^25 + 409995014602099609787515941406867202633687/11866158416886949186478658535501670133146267496*a^24 + 3174950639686584842930210430207966556180849/1483269802110868648309832316937708766643283437*a^23 - 9807208563439860588267077044670769198354271/3955386138962316395492886178500556711048755832*a^22 - 9324330191418073725603178118141434000443757/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^21 + 965893642464396627335553376609483427789969/3955386138962316395492886178500556711048755832*a^20 - 6745510203181581211782845948931995074446997/2966539604221737296619664633875417533286566874*a^19 - 2188179628296464349481781153456214315117193/3955386138962316395492886178500556711048755832*a^18 - 12577332397609112464844624052603127023469381/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^17 + 678591358155028092741795829095597631030295/3955386138962316395492886178500556711048755832*a^16 - 273019181803947225694478143194366072525834427/3955386138962316395492886178500556711048755832*a^15 - 28898228968453110952384749131523935665711223/494423267370289549436610772312569588881094479*a^14 - 300755243863924411020238554604980760269844529/2966539604221737296619664633875417533286566874*a^13 - 1433082538393647487096497134652579188035902949/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^12 + 863105530453898971159670142824928449188641331/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^11 - 1391712760610725230143136407870466925212710299/5933079208443474593239329267750835066573133748*a^10 - 351109280169775508363948675604322560301085/7453617096034515820652423703204566666549163*a^9 + 131168674405591239529731389667280789657806283/1483269802110868648309832316937708766643283437*a^8 - 45541792587384744943332791788106645085057456/494423267370289549436610772312569588881094479*a^7 - 607073223500052251192075253224390864310493460/1483269802110868648309832316937708766643283437*a^6 + 326707193845087724375679910059428087566965514/1483269802110868648309832316937708766643283437*a^5 + 398914993885965338687841394719411942527615687/1483269802110868648309832316937708766643283437*a^4 - 94228760674429794312680944009355390116651077/494423267370289549436610772312569588881094479*a^3 - 429380116184866813195883142143577953215417514/1483269802110868648309832316937708766643283437*a^2 + 349693483438662198830406149933750801934490745/1483269802110868648309832316937708766643283437*a + 3427935375743553288429843853408714846119757/7765810482255856797433677052029888830593107

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{2}\times C_{8}\times C_{40}$, which has order $640$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$15$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( \frac{9989108554088054390736347731}{12311201406070092625065178272294477} a^{30} - \frac{49945542770440271953681738655}{4103733802023364208355059424098159} a^{29} + \frac{5770338199713173015710351857211}{49244805624280370500260713089177908} a^{28} - \frac{20114477033193460696777677106547}{24622402812140185250130356544588954} a^{27} + \frac{226332322718695684873799648440999}{49244805624280370500260713089177908} a^{26} - \frac{531714508497849880752582599092475}{24622402812140185250130356544588954} a^{25} + \frac{2869437231621686061329973513342823}{32829870416186913666840475392785272} a^{24} - \frac{3808437095859389083589364993831676}{12311201406070092625065178272294477} a^{23} + \frac{23846355689597413046421249465726067}{24622402812140185250130356544588954} a^{22} - \frac{33224371809840443018941674361560323}{12311201406070092625065178272294477} a^{21} + \frac{220131048255308178867350311304543633}{32829870416186913666840475392785272} a^{20} - \frac{8908567118715279330458673521936957}{600546410052199640247081866941194} a^{19} + \frac{476626698281379309460471784867731285}{16414935208093456833420237696392636} a^{18} - \frac{1224767986943708709952985567717550323}{24622402812140185250130356544588954} a^{17} + \frac{7202165005636213902405409365429196967}{98489611248560741000521426178355816} a^{16} - \frac{364926629132769442151532471734711561}{4103733802023364208355059424098159} a^{15} + \frac{5302397780000184085545077575168876}{64456551864241322644320305090547} a^{14} - \frac{4202472243042333142223485443577913}{100091068342033273374513644490199} a^{13} - \frac{853656844494405986537101533358452563}{32829870416186913666840475392785272} a^{12} + \frac{1141139200533098540302876075835388955}{12311201406070092625065178272294477} a^{11} - \frac{479963512589257869275951154354431814}{4103733802023364208355059424098159} a^{10} + \frac{310171906318240906144107296591893634}{4103733802023364208355059424098159} a^{9} + \frac{104150683091439591826749148569328809}{8207467604046728416710118848196318} a^{8} - \frac{392904170663331119856822863746469396}{4103733802023364208355059424098159} a^{7} + \frac{1641020268603704356754624989266407854}{12311201406070092625065178272294477} a^{6} - \frac{1494683107540650099825064861048425092}{12311201406070092625065178272294477} a^{5} + \frac{327816035847392232039850517177757127}{4103733802023364208355059424098159} a^{4} - \frac{453979084081130324499557327800258432}{12311201406070092625065178272294477} a^{3} + \frac{148619981891638384826428463250417650}{12311201406070092625065178272294477} a^{2} - \frac{35685299116755840617648403955640992}{12311201406070092625065178272294477} a + \frac{27937786494084824863810300489786}{21485517288080440881440101696849} \) (9989108554088054390736347731)/(12311201406070092625065178272294477)a^(30) - (49945542770440271953681738655)/(4103733802023364208355059424098159)a^(29) + (5770338199713173015710351857211)/(49244805624280370500260713089177908)a^(28) - (20114477033193460696777677106547)/(24622402812140185250130356544588954)a^(27) + (226332322718695684873799648440999)/(49244805624280370500260713089177908)a^(26) - (531714508497849880752582599092475)/(24622402812140185250130356544588954)a^(25) + (2869437231621686061329973513342823)/(32829870416186913666840475392785272)a^(24) - (3808437095859389083589364993831676)/(12311201406070092625065178272294477)a^(23) + (23846355689597413046421249465726067)/(24622402812140185250130356544588954)a^(22) - (33224371809840443018941674361560323)/(12311201406070092625065178272294477)a^(21) + (220131048255308178867350311304543633)/(32829870416186913666840475392785272)a^(20) - (8908567118715279330458673521936957)/(600546410052199640247081866941194)a^(19) + (476626698281379309460471784867731285)/(16414935208093456833420237696392636)a^(18) - (1224767986943708709952985567717550323)/(24622402812140185250130356544588954)a^(17) + (7202165005636213902405409365429196967)/(98489611248560741000521426178355816)a^(16) - (364926629132769442151532471734711561)/(4103733802023364208355059424098159)a^(15) + (5302397780000184085545077575168876)/(64456551864241322644320305090547)a^(14) - (4202472243042333142223485443577913)/(100091068342033273374513644490199)a^(13) - (853656844494405986537101533358452563)/(32829870416186913666840475392785272)a^(12) + (1141139200533098540302876075835388955)/(12311201406070092625065178272294477)a^(11) - (479963512589257869275951154354431814)/(4103733802023364208355059424098159)a^(10) + (310171906318240906144107296591893634)/(4103733802023364208355059424098159)a^(9) + (104150683091439591826749148569328809)/(8207467604046728416710118848196318)a^(8) - (392904170663331119856822863746469396)/(4103733802023364208355059424098159)a^(7) + (1641020268603704356754624989266407854)/(12311201406070092625065178272294477)a^(6) - (1494683107540650099825064861048425092)/(12311201406070092625065178272294477)a^(5) + (327816035847392232039850517177757127)/(4103733802023364208355059424098159)a^(4) - (453979084081130324499557327800258432)/(12311201406070092625065178272294477)a^(3) + (148619981891638384826428463250417650)/(12311201406070092625065178272294477)a^(2) - (35685299116755840617648403955640992)/(12311201406070092625065178272294477)a + (27937786494084824863810300489786)/(21485517288080440881440101696849) (order $10$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{93\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!78}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!78}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!08}a^{28}-\frac{23\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{53\!\cdots\!83}{49\!\cdots\!08}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!19}{49\!\cdots\!08}a^{24}-\frac{89\!\cdots\!72}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!87}{49\!\cdots\!08}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!33}{82\!\cdots\!18}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!57}{49\!\cdots\!08}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!99}{41\!\cdots\!59}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!36}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!60}{41\!\cdots\!59}a^{15}+\frac{48\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!88}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!07}{41\!\cdots\!59}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!76}{41\!\cdots\!59}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!96}{41\!\cdots\!59}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!08}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{37\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{44\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!32}{41\!\cdots\!59}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!56}{10\!\cdots\!99}a^{2}-\frac{76\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!77}a+\frac{96\!\cdots\!99}{64\!\cdots\!47}$, $\frac{82\!\cdots\!31}{76\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!65}{76\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{23\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!02}a^{28}-\frac{84\!\cdots\!80}{76\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{47\!\cdots\!05}{76\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!02}a^{25}+\frac{36\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!04}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!80}{76\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!95}{76\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!55}{76\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!02}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!15}{30\!\cdots\!04}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!02}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!75}{30\!\cdots\!04}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!58}{76\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{23\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!02}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!75}{76\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{87\!\cdots\!60}{76\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{57\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!04}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!61}a^{9}-\frac{34\!\cdots\!90}{76\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{78\!\cdots\!00}{76\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!28}{76\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!70}{76\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{81\!\cdots\!60}{76\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!40}{76\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!60}{76\!\cdots\!01}a+\frac{18\!\cdots\!73}{76\!\cdots\!01}$, $\frac{11\!\cdots\!00}{49\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!74}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!74}a^{29}-\frac{77\!\cdots\!53}{29\!\cdots\!74}a^{28}+\frac{44\!\cdots\!77}{29\!\cdots\!74}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!94}{14\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{42\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!24}{49\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{59\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!48}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!33}{29\!\cdots\!74}a^{21}-\frac{69\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!74}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!64}{49\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!51}{14\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{82\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!97}{59\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{88\!\cdots\!60}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!53}{29\!\cdots\!74}a^{6}+\frac{86\!\cdots\!34}{14\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!15}{29\!\cdots\!74}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!06}{49\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!37}a+\frac{16\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{36\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!37}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!05}{49\!\cdots\!79}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!77}{49\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!74}a^{27}-\frac{37\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!48}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!43}{14\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{45\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!48}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!48}a^{19}-\frac{83\!\cdots\!93}{59\!\cdots\!48}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!74}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!74}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!48}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!74}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!90}{49\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!74}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!89}{29\!\cdots\!74}a^{4}+\frac{99\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!74}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!15}{49\!\cdots\!79}a-\frac{10\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{18\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{94\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!36}a^{29}+\frac{52\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!16}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!74}{34\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!53}{27\!\cdots\!16}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!08}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!18}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!16}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!36}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!59}{34\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!71}{91\!\cdots\!72}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!59}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!19}{14\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!59}a^{13}-\frac{26\!\cdots\!67}{91\!\cdots\!72}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!65}{11\!\cdots\!96}a^{10}-\frac{44\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!59}a^{9}+\frac{97\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!18}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!59}a^{7}-\frac{97\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!54}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!16}{34\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{87\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!18}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!88}{34\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{46\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{98\!\cdots\!48}{34\!\cdots\!77}a-\frac{79\!\cdots\!72}{60\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!17}{29\!\cdots\!74}a^{31}-\frac{21\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!16}a^{30}+\frac{67\!\cdots\!59}{59\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{40\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!76}a^{28}+\frac{98\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!16}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!15}{98\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!45}{19\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!81}{29\!\cdots\!74}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!57}{59\!\cdots\!48}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!58}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!38}{49\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{71\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!16}a^{15}-\frac{92\!\cdots\!85}{59\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!19}{19\!\cdots\!16}a^{11}+\frac{66\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!74}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{34\!\cdots\!02}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!04}{14\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!74}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!74}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!71}{36\!\cdots\!57}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!72}{14\!\cdots\!37}a-\frac{60\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{14\!\cdots\!84}{49\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!21}{29\!\cdots\!74}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!37}{59\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{37\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!48}a^{27}-\frac{50\!\cdots\!79}{59\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{36\!\cdots\!79}{29\!\cdots\!74}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!74}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!09}{19\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!96}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!99}{59\!\cdots\!48}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!15}{59\!\cdots\!48}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!77}{59\!\cdots\!48}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!37}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!55}{59\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{76\!\cdots\!75}{14\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!40}{14\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{47\!\cdots\!31}{98\!\cdots\!58}a^{9}-\frac{16\!\cdots\!10}{49\!\cdots\!79}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!86}{49\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!46}{14\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!74}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!36}{49\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!02}{49\!\cdots\!79}a-\frac{20\!\cdots\!32}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{11\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!57}a^{31}-\frac{15\!\cdots\!69}{29\!\cdots\!74}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{43\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!74}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{21\!\cdots\!46}{49\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!67}{39\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!09}{49\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!11}{98\!\cdots\!58}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!74}a^{19}-\frac{94\!\cdots\!61}{29\!\cdots\!74}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!61}{14\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!83}{59\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!98}{14\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{16\!\cdots\!64}{49\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!06}{49\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!36}{14\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!65}{29\!\cdots\!74}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!48}{49\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!36}{36\!\cdots\!57}a-\frac{19\!\cdots\!42}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{11\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!37}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!74}a^{30}+\frac{57\!\cdots\!88}{49\!\cdots\!79}a^{29}-\frac{47\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!48}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!74}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!74}a^{25}-\frac{88\!\cdots\!61}{28\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!74}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!48}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!09}{98\!\cdots\!58}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!96}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!37}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!65}{14\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!54}{14\!\cdots\!37}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!06}{14\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!37}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!84}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!78}{36\!\cdots\!57}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!07}{49\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!60}{49\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!34}{36\!\cdots\!57}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!37}a-\frac{10\!\cdots\!01}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{95\!\cdots\!92}{14\!\cdots\!37}a^{31}-\frac{39\!\cdots\!85}{39\!\cdots\!32}a^{30}+\frac{57\!\cdots\!41}{59\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{81\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{57\!\cdots\!18}{14\!\cdots\!37}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!76}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!25}{29\!\cdots\!74}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!25}{14\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!48}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!17}{49\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{52\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!85}{49\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!74}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!74}a^{13}+\frac{97\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!71}{49\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!48}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!92}{49\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!39}{98\!\cdots\!58}a^{6}+\frac{45\!\cdots\!92}{49\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{80\!\cdots\!12}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!04}{49\!\cdots\!79}a+\frac{27\!\cdots\!25}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{60\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!37}a^{31}-\frac{90\!\cdots\!05}{14\!\cdots\!37}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!16}a^{29}-\frac{81\!\cdots\!07}{19\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!48}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!74}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!57}{19\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{44\!\cdots\!39}{59\!\cdots\!48}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{30\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!71}{59\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{27\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!87}{14\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!32}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!18}{49\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{63\!\cdots\!86}{14\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!74}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{24\!\cdots\!01}{59\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!52}{49\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!27}{29\!\cdots\!74}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{76\!\cdots\!83}{29\!\cdots\!74}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!56}{49\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!20}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!12}{49\!\cdots\!79}a-\frac{11\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{64\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!58}a^{31}-\frac{41\!\cdots\!81}{39\!\cdots\!32}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!59}{39\!\cdots\!32}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!16}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!32}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!47}{49\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!07}{98\!\cdots\!58}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!13}{39\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!58}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{54\!\cdots\!75}{39\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{39\!\cdots\!03}{39\!\cdots\!32}a^{14}+\frac{71\!\cdots\!41}{39\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{34\!\cdots\!01}{39\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!38}a^{11}+\frac{73\!\cdots\!30}{49\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!26}{49\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!55}{19\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!58}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!21}{98\!\cdots\!58}a^{6}+\frac{81\!\cdots\!16}{49\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!83}{98\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!86}{49\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!34}{49\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!12}{49\!\cdots\!79}a-\frac{34\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{12\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!96}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!96}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!96}a^{29}-\frac{48\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{84\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{40\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!24}{49\!\cdots\!79}a^{25}-\frac{77\!\cdots\!14}{14\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!96}a^{23}-\frac{57\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!96}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!27}{59\!\cdots\!48}a^{20}+\frac{70\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!96}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!57}{39\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{83\!\cdots\!77}{49\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!37}{98\!\cdots\!58}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!58}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!49}{59\!\cdots\!48}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!29}{59\!\cdots\!48}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!31}{29\!\cdots\!74}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!79}{49\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{55\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!79}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!21}{29\!\cdots\!74}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!75}{29\!\cdots\!74}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!76}{14\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!87}{49\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!37}{14\!\cdots\!37}a-\frac{17\!\cdots\!92}{77\!\cdots\!07}$, $\frac{13\!\cdots\!91}{39\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!79}a^{30}+\frac{72\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!96}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{81\!\cdots\!75}{29\!\cdots\!74}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{70\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!52}{14\!\cdots\!37}a^{23}-\frac{86\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{68\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!96}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!07}{39\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{56\!\cdots\!85}{19\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!21}{39\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{94\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!16}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!38}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!61}{19\!\cdots\!16}a^{11}+\frac{53\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!74}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!17}{59\!\cdots\!48}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!41}{29\!\cdots\!74}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!42}{14\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!79}{14\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!62}{14\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!69}{98\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!40}{49\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!68}{14\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{94\!\cdots\!96}{14\!\cdots\!37}a+\frac{21\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!69}$, $\frac{48\!\cdots\!65}{59\!\cdots\!48}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!89}{49\!\cdots\!79}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!96}a^{29}-\frac{38\!\cdots\!55}{39\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{65\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!48}{14\!\cdots\!37}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!99}{39\!\cdots\!32}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!48}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!29}{39\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!16}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!63}{39\!\cdots\!32}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!63}{14\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{93\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!43}{59\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!96}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!87}{59\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!11}{59\!\cdots\!48}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!96}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!16}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!16}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!35}{29\!\cdots\!74}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!05}{59\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!35}{29\!\cdots\!74}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{23\!\cdots\!41}{29\!\cdots\!74}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!74}a^{4}-\frac{77\!\cdots\!70}{14\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!44}{14\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!90}{14\!\cdots\!37}a+\frac{17\!\cdots\!68}{77\!\cdots\!07}$ 9393212231047468714359529/4882491138635769432903104609278a^30 - 140898183465712030715392935/4882491138635769432903104609278a^29 + 13669731029490189336530218131209/49244805624280370500260713089177908a^28 - 23803799193020677429149347800129/12311201406070092625065178272294477a^27 + 535077492310217358307161430585183/49244805624280370500260713089177908a^26 - 1255501264631556224605805732611595/24622402812140185250130356544588954a^25 + 10149071377137151141955927120147119/49244805624280370500260713089177908a^24 - 8966747399264196572348362748062672/12311201406070092625065178272294477a^23 + 112103128675112128379521534116233087/49244805624280370500260713089177908a^22 - 51967459896325136767120220846677733/8207467604046728416710118848196318a^21 + 773092558995109594757487890034210157/49244805624280370500260713089177908a^20 - 142182453285515141754180896090778799/4103733802023364208355059424098159a^19 + 1110009231678411471311854500364102887/16414935208093456833420237696392636a^18 - 2842112537991269863223671332778331177/24622402812140185250130356544588954a^17 + 2079381960451632549809711086261299002/12311201406070092625065178272294477a^16 - 837309933539420127464531727793961560/4103733802023364208355059424098159a^15 + 48113246048796125530130142038031901/257826207456965290577281220362188a^14 - 1130921678882736670905680881073063068/12311201406070092625065178272294477a^13 - 266456516817487049207918582095002207/4103733802023364208355059424098159a^12 + 884793951612513282821350498254713676/4103733802023364208355059424098159a^11 - 1093222567526474371726756533174136996/4103733802023364208355059424098159a^10 + 2059184837743538967893115332873594522/12311201406070092625065178272294477a^9 + 1729474602423171571478375472541605413/49244805624280370500260713089177908a^8 - 2719106459234014963557943016406985780/12311201406070092625065178272294477a^7 + 3727398729692715761417500827554227052/12311201406070092625065178272294477a^6 - 3396518602146956118703329609256146004/12311201406070092625065178272294477a^5 + 4485639996946791012702390270120207035/24622402812140185250130356544588954a^4 - 343053370648680227377911687077969132/4103733802023364208355059424098159a^3 + 2677425878348040057363161611585156/100091068342033273374513644490199a^2 - 76899856020803590772952757533842840/12311201406070092625065178272294477a + 96101822470490668826890612480099/64456551864241322644320305090547, 826255056444264631/761063473494640817945401a^30 - 12393825846663969465/761063473494640817945401a^29 + 239891267887155983435/1522126946989281635890802a^28 - 840589992919163283580/761063473494640817945401a^27 + 4761452210440567701605/761063473494640817945401a^26 - 45073112145520385313751/1522126946989281635890802a^25 + 367973030375153384248235/3044253893978563271781604a^24 - 328662263019391546146080/761063473494640817945401a^23 + 1040040327815126093670995/761063473494640817945401a^22 - 2933611061474015427122255/761063473494640817945401a^21 + 14786947413285721870177543/1522126946989281635890802a^20 - 16638409541549302096936370/761063473494640817945401a^19 + 133057045558301259814524715/3044253893978563271781604a^18 - 117133705886482007574599725/1522126946989281635890802a^17 + 357510080831940270185443975/3044253893978563271781604a^16 - 114963685716386637529845258/761063473494640817945401a^15 + 235189724242938383734948195/1522126946989281635890802a^14 - 80506840837664501016884275/761063473494640817945401a^13 + 6435854390145838678345765/1522126946989281635890802a^12 + 87666557275796088246791860/761063473494640817945401a^11 - 574625879640027415762893029/3044253893978563271781604a^10 + 3060827591768948809820445/18562523743771727266961a^9 - 34665091619792133955277890/761063473494640817945401a^8 - 78780951504461322926126400/761063473494640817945401a^7 + 158670407052224666970470570/761063473494640817945401a^6 - 175302788222438886007140428/761063473494640817945401a^5 + 139249654493125984433055770/761063473494640817945401a^4 - 81798596651043531041172960/761063473494640817945401a^3 + 35048026688391353036115540/761063473494640817945401a^2 - 9948187391349598265905960/761063473494640817945401a + 1845580078606595251384573/761063473494640817945401, 1154283564193288676295792882951554665200/494423267370289549436610772312569588881094479a^31 - 108695599754482027441545104760409222821047/2966539604221737296619664633875417533286566874a^30 + 1074580530161101133123213049509131837069529/2966539604221737296619664633875417533286566874a^29 - 7700539427322380305477277245052803360632253/2966539604221737296619664633875417533286566874a^28 + 44387676618484614462695693286829510082340677/2966539604221737296619664633875417533286566874a^27 - 106870064510707659629121083372899918522862140/1483269802110868648309832316937708766643283437a^26 + 443083443408715431656422652207392097073048394/1483269802110868648309832316937708766643283437a^25 - 4286723261703230681562389810589107054034609385/3955386138962316395492886178500556711048755832a^24 + 1721201803416028070247159745975459255398651724/494423267370289549436610772312569588881094479a^23 - 59146186801558000310086658329935923050489575367/5933079208443474593239329267750835066573133748a^22 + 75707173130566609691020077175642128926915599733/2966539604221737296619664633875417533286566874a^21 - 692851328805741973710618518994347204538342982817/11866158416886949186478658535501670133146267496a^20 + 352644118479456819845994443153057916421497790339/2966539604221737296619664633875417533286566874a^19 - 316831049054821355005982030544643000484610363518/1483269802110868648309832316937708766643283437a^18 + 165093129573589481813446815770382330142528296264/494423267370289549436610772312569588881094479a^17 - 1751041486347808478323527986842056032178003833677/3955386138962316395492886178500556711048755832a^16 + 701671726642003916397423949186155788003579766751/1483269802110868648309832316937708766643283437a^15 - 700803047740341289878238336471739380405124858559/1977693069481158197746443089250278355524377916a^14 + 102610941331123699464754893931089808338905831653/1483269802110868648309832316937708766643283437a^13 + 1167576640386129080524256770025487497709988011743/3955386138962316395492886178500556711048755832a^12 - 823622256129167830696070080006414353729118664323/1483269802110868648309832316937708766643283437a^11 + 795419157384129438360532351759340389420625929312/1483269802110868648309832316937708766643283437a^10 - 313527397746123986355160005050127776695094266816/1483269802110868648309832316937708766643283437a^9 - 1466986722626676432739495378932014221469048845597/5933079208443474593239329267750835066573133748a^8 + 889407351844010340736880310496023472940105707160/1483269802110868648309832316937708766643283437a^7 - 2095549035476513852692742760777708968156958587953/2966539604221737296619664633875417533286566874a^6 + 868610226144509440269140164748425764223007698034/1483269802110868648309832316937708766643283437a^5 - 1061611819377137928667346873475514951134426507215/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 + 236299605367180365385824604898833082563901546236/1483269802110868648309832316937708766643283437a^3 - 23273569020970762468951049266089971701345930506/494423267370289549436610772312569588881094479a^2 + 12137569183803599333565559485179462175377003947/1483269802110868648309832316937708766643283437a + 164219951374640404668449996058306436356179/7765810482255856797433677052029888830593107, 3627137177804341160342784576109654298423/1483269802110868648309832316937708766643283437a^31 - 53594045926129485782177178596454506038195/1483269802110868648309832316937708766643283437a^30 + 170774653527500905145234124761148365118905/494423267370289549436610772312569588881094479a^29 - 1181856339594474134815071383183943390244677/494423267370289549436610772312569588881094479a^28 + 39674333924416955412886233474013921211656613/2966539604221737296619664633875417533286566874a^27 - 370865341952203363094437109626930978476634867/5933079208443474593239329267750835066573133748a^26 + 1494402299129415521007786066820445999016515291/5933079208443474593239329267750835066573133748a^25 - 3511870607268268440898667062798705657578615429/3955386138962316395492886178500556711048755832a^24 + 4108627732359288056730385874383876927105864343/1483269802110868648309832316937708766643283437a^23 - 45657803757132170566823848294905990409044265339/5933079208443474593239329267750835066573133748a^22 + 28289996581551156984612680424416567651219877079/1483269802110868648309832316937708766643283437a^21 - 166605384538665239897486118689803537255314768421/3955386138962316395492886178500556711048755832a^20 + 488798928915298409589609381972893220472468436627/5933079208443474593239329267750835066573133748a^19 - 838215448252305561593319104973116344077319116793/5933079208443474593239329267750835066573133748a^18 + 412477529735134670181765899880367388783457590533/1977693069481158197746443089250278355524377916a^17 - 3042373238087875102868797019366400604330449214219/11866158416886949186478658535501670133146267496a^16 + 723954793407571885058966046703791781479539056063/2966539604221737296619664633875417533286566874a^15 - 830121632346185168504389320711872570037349100681/5933079208443474593239329267750835066573133748a^14 - 127172552882305007885497149956996362097814838781/2966539604221737296619664633875417533286566874a^13 + 2733700102654204848436586612603654508098414612347/11866158416886949186478658535501670133146267496a^12 - 1863703986582060320315570037335199511240389733963/5933079208443474593239329267750835066573133748a^11 + 675662708213382289144598527511825351921008482569/2966539604221737296619664633875417533286566874a^10 - 3992062768141814673350409141217428308787523990/494423267370289549436610772312569588881094479a^9 - 434949336571366051675323184667968957899486861169/1977693069481158197746443089250278355524377916a^8 + 525299437613883630484600760532379474899664065446/1483269802110868648309832316937708766643283437a^7 - 1069342248349490341054574944318907471181874105093/2966539604221737296619664633875417533286566874a^6 + 131737936159990710605479219507096884277286045716/494423267370289549436610772312569588881094479a^5 - 433987850880617687577944074046999637205321656689/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 + 99084472907582722240699130763433551645123957872/1483269802110868648309832316937708766643283437a^3 - 33747932984993748151714953612851556610562978774/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 + 3319504765025729361191125435014005587223035815/494423267370289549436610772312569588881094479a - 10040138359681880800898836602067477381244675/7765810482255856797433677052029888830593107, 18917859027884175524259760645043/137934700553609317771230257362787320308a^30 - 94589295139420877621298803225215/45978233517869772590410085787595773436a^29 + 5250104737200551519181886711243963/275869401107218635542460514725574640616a^28 - 4387276561775355619287387480997274/34483675138402329442807564340696830077a^27 + 186532158912225627897346470964990453/275869401107218635542460514725574640616a^26 - 410495352359671892857850178259283975/137934700553609317771230257362787320308a^25 + 255411231610444535223748152651432123/22989116758934886295205042893797886718a^24 - 1230413357110548416164794097510247579/34483675138402329442807564340696830077a^23 + 27248528062103420622678695135969633951/275869401107218635542460514725574640616a^22 - 32344894891477589391569468834487578935/137934700553609317771230257362787320308a^21 + 21372352953790309960526784323087843293/45978233517869772590410085787595773436a^20 - 24741621694386798275983081354323094759/34483675138402329442807564340696830077a^19 + 60087564802233256389440696332212368271/91956467035739545180820171575191546872a^18 + 74768346204318095340910458381000689851/137934700553609317771230257362787320308a^17 - 142503689032082209314638492187134158783/34483675138402329442807564340696830077a^16 + 128454891796305774644455967869290478073/11494558379467443147602521446898943359a^15 - 30179748355035303453150956116314200519/1444342414173919557813929396468977176a^14 + 334142206514248473444939757388480756198/11494558379467443147602521446898943359a^13 - 2614242550178011923143906076271429644967/91956467035739545180820171575191546872a^12 + 448996895023461677071030157302974723269/34483675138402329442807564340696830077a^11 + 15820781639529398470765153781868378065/1121420329704140794888050872868189596a^10 - 446458747874244205075231147835654672500/11494558379467443147602521446898943359a^9 + 977758200991318569744621872372297543555/22989116758934886295205042893797886718a^8 - 225482498303769139351264687077329386536/11494558379467443147602521446898943359a^7 - 971850917322690732539670919959306427919/68967350276804658885615128681393660154a^6 + 1195635192603315927596798541934828244516/34483675138402329442807564340696830077a^5 - 877999513174758791578793652742385476083/22989116758934886295205042893797886718a^4 + 1020479658291750587602302576896106186388/34483675138402329442807564340696830077a^3 - 468804185618820145340805949247436916211/34483675138402329442807564340696830077a^2 + 98007404545081023423349840261255274848/34483675138402329442807564340696830077a - 79113256862909725962424793694025072/60180933923913314908913724852874049, 1879206198646081332299963071142498456317/2966539604221737296619664633875417533286566874a^31 - 21756336983584566680703855487438136401079/1977693069481158197746443089250278355524377916a^30 + 670549144519897431818221184692051681330159/5933079208443474593239329267750835066573133748a^29 - 40592302438596184655210410474883146642373/48236416328808736530401050957323862329862876a^28 + 9851336388939673806166471793074630105895283/1977693069481158197746443089250278355524377916a^27 - 24313757975719120996447189941559351759900115/988846534740579098873221544625139177762188958a^26 + 154331985199039409485695469664952226159730635/1483269802110868648309832316937708766643283437a^25 - 1521881442110372422729785123322221332680825349/3955386138962316395492886178500556711048755832a^24 + 2486649059082557239788880777635980620163253345/1977693069481158197746443089250278355524377916a^23 - 10856898498709366418677265927182882930237220381/2966539604221737296619664633875417533286566874a^22 + 56471992008787437744687571771526671385122732957/5933079208443474593239329267750835066573133748a^21 - 262455405353405699721853229518176486058059459449/11866158416886949186478658535501670133146267496a^20 + 45242670019061930899497314003141175160626903893/988846534740579098873221544625139177762188958a^19 - 41320579184282088517753347100219570646381508338/494423267370289549436610772312569588881094479a^18 + 789098701274372050734375288659064584516963160241/5933079208443474593239329267750835066573133748a^17 - 711868243744655626283689750433853127639218972899/3955386138962316395492886178500556711048755832a^16 + 390718264346830117824970265404802386893901221983/1977693069481158197746443089250278355524377916a^15 - 922897586685007474683934933279443802559382701785/5933079208443474593239329267750835066573133748a^14 + 21349789087983369474717266005200108761962697013/494423267370289549436610772312569588881094479a^13 + 1269410561078097778720818954856506635536938351187/11866158416886949186478658535501670133146267496a^12 - 438217134229361855426615373299322949417569283519/1977693069481158197746443089250278355524377916a^11 + 665518259027008426751539914630899888342354869783/2966539604221737296619664633875417533286566874a^10 - 14485175199899758272477091353533758176997729835/144709248986426209591203152871971586989588628a^9 - 127520558854051871051582718909108860561206630588/1483269802110868648309832316937708766643283437a^8 + 343676958224402402986571035163727865516329791602/1483269802110868648309832316937708766643283437a^7 - 421941376586328767024714418935973274409792797304/1483269802110868648309832316937708766643283437a^6 + 724920151777936412364338637639171077184164530727/2966539604221737296619664633875417533286566874a^5 - 471013858906425485233433884219479759456566835925/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 + 2774548456367205351119510713897013696517283271/36177312246606552397800788217992896747397157a^3 - 43991052563671542439558957712405599283600157697/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 + 11564434388837944089555720015592321352396693672/1483269802110868648309832316937708766643283437a - 6073581317360263520704978524143317327040193/2588603494085285599144559017343296276864369, 1472808778082581062192767277409352137784/494423267370289549436610772312569588881094479a^31 - 135532161807822740812278954481636086723421/2966539604221737296619664633875417533286566874a^30 + 2639558337877648703276536585921895095464737/5933079208443474593239329267750835066573133748a^29 - 37248642241525684713711187800537002756072599/11866158416886949186478658535501670133146267496a^28 + 105832342747278691251819176999569272090444715/5933079208443474593239329267750835066573133748a^27 - 502286089772103298503372120822166099301335879/5933079208443474593239329267750835066573133748a^26 + 4105069488733144379152879261099846250385613397/11866158416886949186478658535501670133146267496a^25 - 3668037866614879362223992227325201031024491679/2966539604221737296619664633875417533286566874a^24 + 11599348214359517136237670406552901576343346125/2966539604221737296619664633875417533286566874a^23 - 21777863749124194328139396862186989447120217909/1977693069481158197746443089250278355524377916a^22 + 328448640976985264127201107661969531640309819219/11866158416886949186478658535501670133146267496a^21 - 368099050808039721350229016175188470703167431899/5933079208443474593239329267750835066573133748a^20 + 731723066595534649945328951647582853174865715615/5933079208443474593239329267750835066573133748a^19 - 1277528610503195358205103549354651612464536597877/5933079208443474593239329267750835066573133748a^18 + 3851326044343658153296740130930223470626801701551/11866158416886949186478658535501670133146267496a^17 - 607234005393199333887165193652184014802487654129/1483269802110868648309832316937708766643283437a^16 + 599634755452425593522650483384170721618778345984/1483269802110868648309832316937708766643283437a^15 - 1496530268735607037510258355691761001999027425155/5933079208443474593239329267750835066573133748a^14 - 447811060051186617154173613347871172133722178325/11866158416886949186478658535501670133146267496a^13 + 1402085017809865133706607237616599308621891536631/3955386138962316395492886178500556711048755832a^12 - 769458207310945024889177539866805994945431155875/1483269802110868648309832316937708766643283437a^11 + 597535057707503425090562478744498589301360862740/1483269802110868648309832316937708766643283437a^10 - 47601655324332456961967566190541938739181993831/988846534740579098873221544625139177762188958a^9 - 168840288318411579433624679017903574045964422210/494423267370289549436610772312569588881094479a^8 + 282933991284646595105552252883440683731004134186/494423267370289549436610772312569588881094479a^7 - 870951164448865077703388158606222315004225086046/1483269802110868648309832316937708766643283437a^6 + 218671910186911919995854502307052942384930480959/494423267370289549436610772312569588881094479a^5 - 734134685230090582934067751822302396212249912693/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 + 158121011045076438059403554761326556919361832121/1483269802110868648309832316937708766643283437a^3 - 18450332441226073966209511195077837498810363436/494423267370289549436610772312569588881094479a^2 + 5616322975500449349101675834104237278074973002/494423267370289549436610772312569588881094479a - 20327448103745241475347493931152813827128032/7765810482255856797433677052029888830593107, 115348073243312392224977909976709950163/36177312246606552397800788217992896747397157a^31 - 151111096553365524397845154345154869901869/2966539604221737296619664633875417533286566874a^30 + 502200306435971093255637095603813341797781/988846534740579098873221544625139177762188958a^29 - 43547168476118749047381317823845970551492771/11866158416886949186478658535501670133146267496a^28 + 63159224963354583165484024990775501817814783/2966539604221737296619664633875417533286566874a^27 - 152988644043896726755198502019896738317762712/1483269802110868648309832316937708766643283437a^26 + 212558049416375197852910234915185703056437646/494423267370289549436610772312569588881094479a^25 - 6200391938323750335547151434360176169375157067/3955386138962316395492886178500556711048755832a^24 + 2501303329285760430916738790429185320418967609/494423267370289549436610772312569588881094479a^23 - 28780799478125002341063303439591275281057615971/1977693069481158197746443089250278355524377916a^22 + 37004128197063970163262257699711808123241449311/988846534740579098873221544625139177762188958a^21 - 340163561077632104685461114477235511740056027275/3955386138962316395492886178500556711048755832a^20 + 521796053467021325180896682359386563705974164431/2966539604221737296619664633875417533286566874a^19 - 942101992432674495009052794495460203741147780461/2966539604221737296619664633875417533286566874a^18 + 740163688055812909476146766628275883937278085761/1483269802110868648309832316937708766643283437a^17 - 2632160670253421139122367825081737454718890462611/3955386138962316395492886178500556711048755832a^16 + 1062659158259458579559735479362011685623115191063/1483269802110868648309832316937708766643283437a^15 - 3227556732169238637909540533049985020386258583883/5933079208443474593239329267750835066573133748a^14 + 175596464243845076160916444567179649136921338565/1483269802110868648309832316937708766643283437a^13 + 640272009094744019717229147947239653067188087857/1483269802110868648309832316937708766643283437a^12 - 1230871471977532765131593044694527066110063481598/1483269802110868648309832316937708766643283437a^11 + 1199834658392599569376624222455299280371193942523/1483269802110868648309832316937708766643283437a^10 - 160770320835282107578483386383406273032138010864/494423267370289549436610772312569588881094479a^9 - 716263787118247965592724717259007728605210384333/1977693069481158197746443089250278355524377916a^8 + 1316980404546446148771513808542855409062205142912/1483269802110868648309832316937708766643283437a^7 - 518844637403868861130041179996980563545171148306/494423267370289549436610772312569588881094479a^6 + 1304699646029180439101007808701754703611851304736/1483269802110868648309832316937708766643283437a^5 - 1628310520108045779675211803000440519196543358865/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 + 125266676721122450014722216030395922196041870748/494423267370289549436610772312569588881094479a^3 - 127478541737778671583158185964758845146078696032/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 + 793911464844212846263118168318124052736983136/36177312246606552397800788217992896747397157a - 19589766843691317894979563146764603995937442/7765810482255856797433677052029888830593107, 1195237138711683072960764673097691044148/1483269802110868648309832316937708766643283437a^31 - 35575919281129809706548456318304682499163/2966539604221737296619664633875417533286566874a^30 + 57033061232815439750567518997312218639988/494423267370289549436610772312569588881094479a^29 - 4766837749404198414016689544945924330076189/5933079208443474593239329267750835066573133748a^28 + 13420041593218309463693643171898123498542137/2966539604221737296619664633875417533286566874a^27 - 126268371549343612840018557402296553678734011/5933079208443474593239329267750835066573133748a^26 + 256108512918343830294190983307117735292398963/2966539604221737296619664633875417533286566874a^25 - 88691617214319850885571740489068647766895361/289418497972852419182406305743943173979177256a^24 + 1428503160422554044286773131801796254807807690/1483269802110868648309832316937708766643283437a^23 - 3999600935938294355666134789482717993923215126/1483269802110868648309832316937708766643283437a^22 + 3332396466776208421537769393802377858856615168/494423267370289549436610772312569588881094479a^21 - 178301629029861496561840838207298915420822340933/11866158416886949186478658535501670133146267496a^20 + 88133641435364662447313259315987072154908885131/2966539604221737296619664633875417533286566874a^19 - 306148363618786260787501690580662558273886393611/5933079208443474593239329267750835066573133748a^18 + 76509678710013383908337641835994197870753047209/988846534740579098873221544625139177762188958a^17 - 1151953827177171332214454223104201775122051262531/11866158416886949186478658535501670133146267496a^16 + 141364565282474274342065513065019683604453123297/1483269802110868648309832316937708766643283437a^15 - 87253585986264224728962905006416067582365995827/1483269802110868648309832316937708766643283437a^14 - 14613985593568223114745464153978295980183274665/1483269802110868648309832316937708766643283437a^13 + 1004997734549782657684379290393773445324863814171/11866158416886949186478658535501670133146267496a^12 - 183279705858696038088336769243070759233644394601/1483269802110868648309832316937708766643283437a^11 + 143572645676077023208810530660516070452847423954/1483269802110868648309832316937708766643283437a^10 - 19947511896767127476739360540692189922970532806/1483269802110868648309832316937708766643283437a^9 - 118082285726414370802321715112080357915941532791/1483269802110868648309832316937708766643283437a^8 + 203382471742979518493306121058397632844485767484/1483269802110868648309832316937708766643283437a^7 - 5146441154985450162984290929078086804692825978/36177312246606552397800788217992896747397157a^6 + 159410585697552029901749128894344588548316977332/1483269802110868648309832316937708766643283437a^5 - 30193120335381804626851075342399468158570210307/494423267370289549436610772312569588881094479a^4 + 11906420586606482709172750013484837845047614160/494423267370289549436610772312569588881094479a^3 - 165124970964771670388932495827585113080822934/36177312246606552397800788217992896747397157a^2 + 1303898914888995259168775048090919750308086448/1483269802110868648309832316937708766643283437a - 1002789984700607171239930253550378634323601/7765810482255856797433677052029888830593107, 9585198479590657315119527578605220883992/1483269802110868648309832316937708766643283437a^31 - 393243770062356840708505496313894416079685/3955386138962316395492886178500556711048755832a^30 + 5754321800291722593849128549507097391409141/5933079208443474593239329267750835066573133748a^29 - 81335742664500387565835615237884534650875821/11866158416886949186478658535501670133146267496a^28 + 57849362623438011652472152847248739416968418/1483269802110868648309832316937708766643283437a^27 - 2198933452222348078310358472973253717334591253/11866158416886949186478658535501670133146267496a^26 + 36561825792322039917657619951110374879292771/48236416328808736530401050957323862329862876a^25 - 8042880930191559530025794313875798631183741725/2966539604221737296619664633875417533286566874a^24 + 12724663851593454250833122974656070961022123625/1483269802110868648309832316937708766643283437a^23 - 286805511865353433379567660906486111949313091777/11866158416886949186478658535501670133146267496a^22 + 360534645482296936136885246533954763450607425681/5933079208443474593239329267750835066573133748a^21 - 67336989033884578127178618599065408980559622549/494423267370289549436610772312569588881094479a^20 + 133787596735873286275067422970802698247200384817/494423267370289549436610772312569588881094479a^19 - 1866453301961206707614810767956076379908153693031/3955386138962316395492886178500556711048755832a^18 + 1403341926815966475569010091290953745512675158721/1977693069481158197746443089250278355524377916a^17 - 5285272613849391260122111842141008400511798259165/5933079208443474593239329267750835066573133748a^16 + 430315019451029070692989785483507156179667650085/494423267370289549436610772312569588881094479a^15 - 1554064802060552000464316640225468208944186289907/2966539604221737296619664633875417533286566874a^14 - 367676409224801423879161814393736339052378159897/2966539604221737296619664633875417533286566874a^13 + 9726037484176937850034751387073614030555000089949/11866158416886949186478658535501670133146267496a^12 - 573993912918107205840305210877409119209384536071/494423267370289549436610772312569588881094479a^11 + 5162586126224431211698441309619243497575697828729/5933079208443474593239329267750835066573133748a^10 - 81522613345361054913881680278466525834672153186/1483269802110868648309832316937708766643283437a^9 - 4806962171406644997185948891226173032392377965549/5933079208443474593239329267750835066573133748a^8 + 637569464328918923619926058133238036950603195892/494423267370289549436610772312569588881094479a^7 - 1262129239981977626048533685516950984174281163239/988846534740579098873221544625139177762188958a^6 + 458235833866726217799809760394966599947413405192/494423267370289549436610772312569588881094479a^5 - 720924274851305322923088129356888529899627888162/1483269802110868648309832316937708766643283437a^4 + 271506076384090658901251867211392599470712544312/1483269802110868648309832316937708766643283437a^3 - 80209911575103191171802912870806438491471051712/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 + 7401895517570998527464091136159571093769288004/494423267370289549436610772312569588881094479a + 2769825836951279071594858614596994319063925/7765810482255856797433677052029888830593107, 6062608727283950851249034826424158408839/1483269802110868648309832316937708766643283437a^31 - 90899310463627077649784125691938317721505/1483269802110868648309832316937708766643283437a^30 + 1166534855849950822434039067346662579023239/1977693069481158197746443089250278355524377916a^29 - 8131220170003917843777880852973117448142707/1977693069481158197746443089250278355524377916a^28 + 11436074164412247878285219927502798865165739/494423267370289549436610772312569588881094479a^27 - 429893456594304909408809762828607571652495599/3955386138962316395492886178500556711048755832a^26 + 2610551278510968121412645462812305030979055425/5933079208443474593239329267750835066573133748a^25 - 4621731292182325582563471494069429923667287439/2966539604221737296619664633875417533286566874a^24 + 7239486842481820696265431956471299761350023044/1483269802110868648309832316937708766643283437a^23 - 161541798215137083506490143358195887298188419303/11866158416886949186478658535501670133146267496a^22 + 66988033312946842215462727258385136882134895457/1977693069481158197746443089250278355524377916a^21 - 445493016867083742746035839686283768388341443539/5933079208443474593239329267750835066573133748a^20 + 218648553482571740066311341916823493280094404447/1483269802110868648309832316937708766643283437a^19 - 3010155884737290253553125785420881208968436116339/11866158416886949186478658535501670133146267496a^18 + 2228984486688532668496347492537633357321966619571/5933079208443474593239329267750835066573133748a^17 - 2746658028380219904029225204892836740351607128127/5933079208443474593239329267750835066573133748a^16 + 653784903412145451329975663103030789049676664287/1483269802110868648309832316937708766643283437a^15 - 991492557769115464061557416030028796277246283987/3955386138962316395492886178500556711048755832a^14 - 41569469680890059567183286868616311467101701118/494423267370289549436610772312569588881094479a^13 + 632382464920800780218882322759349965874014750386/1483269802110868648309832316937708766643283437a^12 - 852816402465870932900821930334212538877374383448/1483269802110868648309832316937708766643283437a^11 + 1208756784061803344995329053822361457255536584747/2966539604221737296619664633875417533286566874a^10 + 3475794145955260528921443985923624992173556671/1483269802110868648309832316937708766643283437a^9 - 2466612275016502490890961840464823398757883685601/5933079208443474593239329267750835066573133748a^8 + 316764797502701744485979533891081300156894057652/494423267370289549436610772312569588881094479a^7 - 1886275920038843727231897310796720206121652923827/2966539604221737296619664633875417533286566874a^6 + 230773256536738904695694869017098373073767168468/494423267370289549436610772312569588881094479a^5 - 764244159970448987472704864429349588281817233083/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 + 57839424012221541792944302121030975266873747556/494423267370289549436610772312569588881094479a^3 - 65781672744834469440096304585504840105844330020/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 + 7369066281700563791441812283796268000572883412/494423267370289549436610772312569588881094479a - 11012353546298703461367729369901825898053905/2588603494085285599144559017343296276864369, 6477932837462413456031786132981962560293/988846534740579098873221544625139177762188958a^31 - 415012179771655496400056477523353601797281/3955386138962316395492886178500556711048755832a^30 + 4129138273394040505455660076388829167496959/3955386138962316395492886178500556711048755832a^29 - 14891976606665840052521161313862360245803369/1977693069481158197746443089250278355524377916a^28 + 172315704729382115629638293759642268211527323/3955386138962316395492886178500556711048755832a^27 - 208114180705326116251729048744542143082094547/988846534740579098873221544625139177762188958a^26 + 1729283551370929172310077186663322320280725467/1977693069481158197746443089250278355524377916a^25 - 12568316321764069555638882844538473643406784273/3955386138962316395492886178500556711048755832a^24 + 40411020726135473756373776010262706808156970721/3955386138962316395492886178500556711048755832a^23 - 14472898470387616934662434722952248442919268647/494423267370289549436610772312569588881094479a^22 + 74106889291197433734028621729035454905833212707/988846534740579098873221544625139177762188958a^21 - 677900470905828217967549483085611971960258969183/3955386138962316395492886178500556711048755832a^20 + 1378775169547793838224358796291078774053133320113/3955386138962316395492886178500556711048755832a^19 - 618274783578063419592676485267119972757008476987/988846534740579098873221544625139177762188958a^18 + 1927772581283098358649539343740958276184928458683/1977693069481158197746443089250278355524377916a^17 - 5090518744433252439448934221697799561738559764073/3955386138962316395492886178500556711048755832a^16 + 5404339830798938684547419224072150548077068784175/3955386138962316395492886178500556711048755832a^15 - 3998946443673906405229526148805931999646236067603/3955386138962316395492886178500556711048755832a^14 + 710291455668612485469720430259630548205078434241/3955386138962316395492886178500556711048755832a^13 + 3408600889175540952401249537563597819089486690301/3955386138962316395492886178500556711048755832a^12 - 38141839311254921058832701000501099965965091075/24118208164404368265200525478661931164931438a^11 + 736930987440329538533526269417679355022125767130/494423267370289549436610772312569588881094479a^10 - 270644511524796139942202205227178389562628640426/494423267370289549436610772312569588881094479a^9 - 1452192958345498798630071841004687276345430897655/1977693069481158197746443089250278355524377916a^8 + 1667293759079818881233794057519357843569033256923/988846534740579098873221544625139177762188958a^7 - 1952198017311159172778051502900391541305741220021/988846534740579098873221544625139177762188958a^6 + 816172486476685353163105585897223318470177437316/494423267370289549436610772312569588881094479a^5 - 1023844834320999547734442570839472423228953905183/988846534740579098873221544625139177762188958a^4 + 247111564747347218259451351744884984012995420786/494423267370289549436610772312569588881094479a^3 - 94230602113685635108660987885076745096922038034/494423267370289549436610772312569588881094479a^2 + 25540383931510824675874491216978482366270215912/494423267370289549436610772312569588881094479a - 34239827363510683150022967013515831706898910/2588603494085285599144559017343296276864369, 126718042376432243907509547852405614505395/11866158416886949186478658535501670133146267496a^31 - 2021930612148383832347404416311444148961093/11866158416886949186478658535501670133146267496a^30 + 20155530090094648461825276142714677637556587/11866158416886949186478658535501670133146267496a^29 - 48542448183025102392823548029488101858079891/3955386138962316395492886178500556711048755832a^28 + 844958606198153554999068810634515967857532601/11866158416886949186478658535501670133146267496a^27 - 4094315268889852569024405597334148477558373401/11866158416886949186478658535501670133146267496a^26 + 711316041688368570846294062061815881991614824/494423267370289549436610772312569588881094479a^25 - 7784521996866432198177183686884623890769702614/1483269802110868648309832316937708766643283437a^24 + 201098804618371307322723189540859185041339488853/11866158416886949186478658535501670133146267496a^23 - 578887845798657324779640951240067593373215406373/11866158416886949186478658535501670133146267496a^22 + 248313840561665993794131227637215052672426241147/1977693069481158197746443089250278355524377916a^21 - 1713871691168416106920607967035376063097324131427/5933079208443474593239329267750835066573133748a^20 + 7020592288969168059617321695802789368860957789329/11866158416886949186478658535501670133146267496a^19 - 4233199420647644378433948084842881354285644844057/3955386138962316395492886178500556711048755832a^18 + 833647056127894727525359105429593415224229723577/494423267370289549436610772312569588881094479a^17 - 2232306148790133592801470518648576083595985878637/988846534740579098873221544625139177762188958a^16 + 2419862750037921158871336561377535269339251865523/988846534740579098873221544625139177762188958a^15 - 11203979506140463645017551441694920023270621540549/5933079208443474593239329267750835066573133748a^14 + 5588382236572094533801184120434098050851642846291/11866158416886949186478658535501670133146267496a^13 + 16449289024099268789934334946582812060889740029203/11866158416886949186478658535501670133146267496a^12 - 16385920466563743440735194814898087069564525938729/5933079208443474593239329267750835066573133748a^11 + 8152620915043482051151660370178864415660363064231/2966539604221737296619664633875417533286566874a^10 - 579037727586276199490166447642439708971865434179/494423267370289549436610772312569588881094479a^9 - 558182017902511979998583939860613541515513981191/494423267370289549436610772312569588881094479a^8 + 8700352475311529571727238701485248563104139463921/2966539604221737296619664633875417533286566874a^7 - 10497624722429932730715872822013753469153496270075/2966539604221737296619664633875417533286566874a^6 + 4487005183735899944500112247099998406942720887585/1483269802110868648309832316937708766643283437a^5 - 962334445771690084200632287888355489517828385451/494423267370289549436610772312569588881094479a^4 + 1397067577116899331237252045707455344177954318076/1483269802110868648309832316937708766643283437a^3 - 171562974497968038276950317468516962323349860987/494423267370289549436610772312569588881094479a^2 + 155908806750087911530089596328918737326559697637/1483269802110868648309832316937708766643283437a - 173224517336933357967115972295580422856333092/7765810482255856797433677052029888830593107, 13343900864513388739549400403873846624691/3955386138962316395492886178500556711048755832a^31 - 28995229303347255645779143722773541519849/494423267370289549436610772312569588881094479a^30 + 7245638628341734591529681894124523500727429/11866158416886949186478658535501670133146267496a^29 - 54573211398563297595008418138600588100531967/11866158416886949186478658535501670133146267496a^28 + 81871682059138289809644780020339473310936975/2966539604221737296619664633875417533286566874a^27 - 1638046520252545956691442575114989706755813047/11866158416886949186478658535501670133146267496a^26 + 7030722879791982117169802055921155581100787173/11866158416886949186478658535501670133146267496a^25 - 26372787326254709556351017630819913765772022249/11866158416886949186478658535501670133146267496a^24 + 10936495220920826337552385921327558654123678952/1483269802110868648309832316937708766643283437a^23 - 86229974361043632052311984673610546353799368473/3955386138962316395492886178500556711048755832a^22 + 684192113922673179073160863220319483143528747681/11866158416886949186478658535501670133146267496a^21 - 539767917535887839676165219037760656192607526707/3955386138962316395492886178500556711048755832a^20 + 569780627419303666527218724971029686428436967685/1977693069481158197746443089250278355524377916a^19 - 6392645872943971218531057665580308493640309876601/11866158416886949186478658535501670133146267496a^18 + 10456945151104515322021780971870158934217502010517/11866158416886949186478658535501670133146267496a^17 - 4880493084730879265818139862068325431810276634121/3955386138962316395492886178500556711048755832a^16 + 16830384861261533962127629791559045363107738283555/11866158416886949186478658535501670133146267496a^15 - 14336164904018520423385901229513262712008607256593/11866158416886949186478658535501670133146267496a^14 + 942033987114528135247023616181996826325555410679/1977693069481158197746443089250278355524377916a^13 + 14914630214323524076962988681252069959057801813/24118208164404368265200525478661931164931438a^12 - 3122418949532077673983987815294712306619238900561/1977693069481158197746443089250278355524377916a^11 + 5333928712418987268851567565329591352353023294429/2966539604221737296619664633875417533286566874a^10 - 5980116869967231962033759300236710140582432431117/5933079208443474593239329267750835066573133748a^9 - 1236456142610985965206876844671064099179179859241/2966539604221737296619664633875417533286566874a^8 + 2494545337309591185511848024055273302411048682442/1483269802110868648309832316937708766643283437a^7 - 3246807057045933870479949260960984916474387153679/1483269802110868648309832316937708766643283437a^6 + 2819936155240381635824839195753293073573647956662/1483269802110868648309832316937708766643283437a^5 - 1171330637827378238528848355288306387242105340269/988846534740579098873221544625139177762188958a^4 + 253326357381850129648922812743028355199391099640/494423267370289549436610772312569588881094479a^3 - 188761659471219310379161667273384029782484305068/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 + 9489137407761739683024334983755441599316447096/1483269802110868648309832316937708766643283437a + 21669024088059324534846461854130430535321907/2588603494085285599144559017343296276864369, 489563934086409267660870872420568502765/5933079208443474593239329267750835066573133748a^31 - 668298049698154993389921657301152640789/494423267370289549436610772312569588881094479a^30 + 159473336558179502040885535519762224228647/11866158416886949186478658535501670133146267496a^29 - 382441495843482179901744082324744208222755/3955386138962316395492886178500556711048755832a^28 + 6581668828923852610407557548049678578488421/11866158416886949186478658535501670133146267496a^27 - 15718703981766447178850875927525252680524525/5933079208443474593239329267750835066573133748a^26 + 128621103436872930394044862651654477205471201/11866158416886949186478658535501670133146267496a^25 - 57328913937894054211892773060916894397594848/1483269802110868648309832316937708766643283437a^24 + 480151402029064981809400262758339117083915399/3955386138962316395492886178500556711048755832a^23 - 2004934852363112370224189226361533785443243045/5933079208443474593239329267750835066573133748a^22 + 3301348411155020769868281300997902985035019029/3955386138962316395492886178500556711048755832a^21 - 3605124242987444113949562599589047102464046363/1977693069481158197746443089250278355524377916a^20 + 13795172897238815410828223933643924907479040163/3955386138962316395492886178500556711048755832a^19 - 8515672996722749799958925881802325047683794463/1483269802110868648309832316937708766643283437a^18 + 93235550934524152621054261116027304965565985647/11866158416886949186478658535501670133146267496a^17 - 49030811846100647727176462805503419479561194543/5933079208443474593239329267750835066573133748a^16 + 59868690166845397500548485126219648010958148717/11866158416886949186478658535501670133146267496a^15 + 14949650692871496837266339690684170552836983887/5933079208443474593239329267750835066573133748a^14 - 71426597814504169746818790663748355148007057511/5933079208443474593239329267750835066573133748a^13 + 209664604625517892327580293451894839785814547783/11866158416886949186478658535501670133146267496a^12 - 26519335276762254773110984292386466804069463681/1977693069481158197746443089250278355524377916a^11 - 2504374773821569931199455756098141813632082359/1977693069481158197746443089250278355524377916a^10 + 54763569005934036934389750636801999128157471335/2966539604221737296619664633875417533286566874a^9 - 157469173603799662788872717269569993776690037905/5933079208443474593239329267750835066573133748a^8 + 62038815860035447189326778774781119530960437635/2966539604221737296619664633875417533286566874a^7 - 13299481008167539396535591176668287356914472735/1483269802110868648309832316937708766643283437a^6 - 2311842026523580464656828104656673732696221241/2966539604221737296619664633875417533286566874a^5 + 16945694622419206717259645366238009438128784947/2966539604221737296619664633875417533286566874a^4 - 7751266874449047176884082308845841381615101070/1483269802110868648309832316937708766643283437a^3 + 3464309441551979208841954470656644843480288544/1483269802110868648309832316937708766643283437a^2 - 1452601633589662457042297787328157457145560790/1483269802110868648309832316937708766643283437a + 1758398815544931236419000263049408835495168/7765810482255856797433677052029888830593107 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 11039633378602.484 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 11039633378602.484 \cdot 640}{10\cdot\sqrt{613039365036788240314949190025216000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.168371405507861 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 16*x^31 + 160*x^30 - 1160*x^29 + 6756*x^28 - 32872*x^27 + 137688*x^26 - 504816*x^25 + 1639376*x^24 - 4749552*x^23 + 12315372*x^22 - 28585976*x^21 + 59189458*x^20 - 108563512*x^19 + 174237344*x^18 - 239583744*x^17 + 271203819*x^16 - 229422992*x^15 + 95660524*x^14 + 97892432*x^13 - 263767222*x^12 + 302963088*x^11 - 176472000*x^10 - 53416448*x^9 + 268061612*x^8 - 376049408*x^7 + 358649568*x^6 - 258848640*x^5 + 145683560*x^4 - 64335936*x^3 + 22597024*x^2 - 5903488*x + 1225456);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2\times C_4^2$ (as 32T36):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

An abelian group of order 32

The 32 conjugacy class representatives for $C_2\times C_4^2$

Character table for $C_2\times C_4^2$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-35}) $, $\Q(\sqrt{2}) $, $\Q(\sqrt{-70}) $, $\Q(\sqrt{10}) $, $\Q(\sqrt{-14}) $, $\Q(\sqrt{5}) $, $\Q(\sqrt{-7}) $, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-35})$, 4.0.2508800.1, $\Q(\zeta_{16})^+$, $\Q(\sqrt{10}, \sqrt{-14})$, $\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-7})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{5})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-7})$, 4.0.100352.5, 4.4.51200.1, $\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{10})$, $\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-14})$, 4.0.256000.2, 4.4.12544000.1, 4.0.256000.4, 4.4.12544000.2, 4.4.6125.1, $\Q(\zeta_{5})$, 4.4.392000.1, 4.0.8000.2, 8.0.6294077440000.6, 8.0.6146560000.2, 8.0.6294077440000.2, 8.0.6294077440000.7, 8.0.6294077440000.5, 8.8.2621440000.1, 8.0.10070523904.2, 8.0.157351936000000.59, 8.0.157351936000000.61, 8.0.37515625.1, 8.0.153664000000.2, 8.0.65536000000.1, 8.8.157351936000000.4, 8.8.153664000000.1, 8.0.64000000.2, 8.0.157351936000000.37, 8.0.157351936000000.14, 8.0.153664000000.1, 8.0.153664000000.5, 16.0.39615410820716953600000000.1, 16.0.24759631762948096000000000000.6, 16.0.23612624896000000000000.2, 16.0.24759631762948096000000000000.3, 16.0.24759631762948096000000000000.4, 16.0.4294967296000000000000.1, 16.16.24759631762948096000000000000.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	${\href{/padicField/3.4.0.1}{4} }^{8}$	R	R	${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2		Deg $16$	$4$	$4$	$44$
$2$ 2		Deg $16$	$4$	$4$	$44$
$5$ 5	5.16.12.1	$x^{16} + 16 x^{14} + 16 x^{13} + 124 x^{12} + 192 x^{11} + 368 x^{10} - 16 x^{9} + 1462 x^{8} + 2688 x^{7} + 2544 x^{6} + 5232 x^{5} + 14108 x^{4} + 4800 x^{3} + 8592 x^{2} - 6512 x + 13041$	$4$	$4$	$12$	$C_4^2$	$[\ ]_{4}^{4}$
$5$ 5	5.16.12.1	$x^{16} + 16 x^{14} + 16 x^{13} + 124 x^{12} + 192 x^{11} + 368 x^{10} - 16 x^{9} + 1462 x^{8} + 2688 x^{7} + 2544 x^{6} + 5232 x^{5} + 14108 x^{4} + 4800 x^{3} + 8592 x^{2} - 6512 x + 13041$	$4$	$4$	$12$	$C_4^2$	$[\ ]_{4}^{4}$
$7$ 7	7.8.4.1	$x^{8} + 38 x^{6} + 8 x^{5} + 395 x^{4} - 72 x^{3} + 1026 x^{2} - 872 x + 401$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	7.8.4.1	$x^{8} + 38 x^{6} + 8 x^{5} + 395 x^{4} - 72 x^{3} + 1026 x^{2} - 872 x + 401$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	7.8.4.1	$x^{8} + 38 x^{6} + 8 x^{5} + 395 x^{4} - 72 x^{3} + 1026 x^{2} - 872 x + 401$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	7.8.4.1	$x^{8} + 38 x^{6} + 8 x^{5} + 395 x^{4} - 72 x^{3} + 1026 x^{2} - 872 x + 401$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more