Properties

Label 32.0.59353158033...0625.1
Degree $32$
Signature $[0, 16]$
Discriminant $5^{16}\cdot 97^{31}$
Root discriminant $188.01$
Ramified primes $5, 97$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{32}$ (as 32T33)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![73651979561, -9076955370, -161102822545, 286794915794, 1178198932512, 1742678971704, 2043970195671, 2010198542396, 1747465221173, 1417722437928, 1044251596422, 705402557166, 441515729309, 251976154626, 133385029876, 65009104064, 28991395516, 12105474106, 4592804568, 1604710009, 531776968, 154641664, 43066027, 11252767, 2396881, 576079, 103817, 16492, 3924, 157, 99, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - x^31 + 99*x^30 + 157*x^29 + 3924*x^28 + 16492*x^27 + 103817*x^26 + 576079*x^25 + 2396881*x^24 + 11252767*x^23 + 43066027*x^22 + 154641664*x^21 + 531776968*x^20 + 1604710009*x^19 + 4592804568*x^18 + 12105474106*x^17 + 28991395516*x^16 + 65009104064*x^15 + 133385029876*x^14 + 251976154626*x^13 + 441515729309*x^12 + 705402557166*x^11 + 1044251596422*x^10 + 1417722437928*x^9 + 1747465221173*x^8 + 2010198542396*x^7 + 2043970195671*x^6 + 1742678971704*x^5 + 1178198932512*x^4 + 286794915794*x^3 - 161102822545*x^2 - 9076955370*x + 73651979561)
 
gp: K = bnfinit(x^32 - x^31 + 99*x^30 + 157*x^29 + 3924*x^28 + 16492*x^27 + 103817*x^26 + 576079*x^25 + 2396881*x^24 + 11252767*x^23 + 43066027*x^22 + 154641664*x^21 + 531776968*x^20 + 1604710009*x^19 + 4592804568*x^18 + 12105474106*x^17 + 28991395516*x^16 + 65009104064*x^15 + 133385029876*x^14 + 251976154626*x^13 + 441515729309*x^12 + 705402557166*x^11 + 1044251596422*x^10 + 1417722437928*x^9 + 1747465221173*x^8 + 2010198542396*x^7 + 2043970195671*x^6 + 1742678971704*x^5 + 1178198932512*x^4 + 286794915794*x^3 - 161102822545*x^2 - 9076955370*x + 73651979561, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{32} - x^{31} + 99 x^{30} + 157 x^{29} + 3924 x^{28} + 16492 x^{27} + 103817 x^{26} + 576079 x^{25} + 2396881 x^{24} + 11252767 x^{23} + 43066027 x^{22} + 154641664 x^{21} + 531776968 x^{20} + 1604710009 x^{19} + 4592804568 x^{18} + 12105474106 x^{17} + 28991395516 x^{16} + 65009104064 x^{15} + 133385029876 x^{14} + 251976154626 x^{13} + 441515729309 x^{12} + 705402557166 x^{11} + 1044251596422 x^{10} + 1417722437928 x^{9} + 1747465221173 x^{8} + 2010198542396 x^{7} + 2043970195671 x^{6} + 1742678971704 x^{5} + 1178198932512 x^{4} + 286794915794 x^{3} - 161102822545 x^{2} - 9076955370 x + 73651979561 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $32$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 16]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(5935315803327378381589507037815252283484449810801350950039360504150390625=5^{16}\cdot 97^{31}\)
magma: Discriminant(K);
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $188.01$
magma: Abs(Discriminant(K))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 97$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(K));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(485=5\cdot 97\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{485}(1,·)$, $\chi_{485}(139,·)$, $\chi_{485}(396,·)$, $\chi_{485}(19,·)$, $\chi_{485}(149,·)$, $\chi_{485}(406,·)$, $\chi_{485}(161,·)$, $\chi_{485}(34,·)$, $\chi_{485}(164,·)$, $\chi_{485}(421,·)$, $\chi_{485}(369,·)$, $\chi_{485}(174,·)$, $\chi_{485}(176,·)$, $\chi_{485}(434,·)$, $\chi_{485}(439,·)$, $\chi_{485}(186,·)$, $\chi_{485}(319,·)$, $\chi_{485}(96,·)$, $\chi_{485}(69,·)$, $\chi_{485}(206,·)$, $\chi_{485}(341,·)$, $\chi_{485}(214,·)$, $\chi_{485}(216,·)$, $\chi_{485}(221,·)$, $\chi_{485}(224,·)$, $\chi_{485}(354,·)$, $\chi_{485}(361,·)$, $\chi_{485}(366,·)$, $\chi_{485}(239,·)$, $\chi_{485}(241,·)$, $\chi_{485}(376,·)$, $\chi_{485}(249,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{61} a^{25} + \frac{7}{61} a^{24} + \frac{20}{61} a^{23} + \frac{6}{61} a^{22} + \frac{29}{61} a^{21} + \frac{24}{61} a^{20} - \frac{23}{61} a^{19} + \frac{26}{61} a^{18} - \frac{21}{61} a^{17} + \frac{28}{61} a^{16} + \frac{9}{61} a^{15} - \frac{27}{61} a^{14} + \frac{5}{61} a^{13} + \frac{27}{61} a^{12} + \frac{4}{61} a^{11} + \frac{27}{61} a^{10} + \frac{30}{61} a^{9} + \frac{25}{61} a^{8} - \frac{19}{61} a^{7} + \frac{27}{61} a^{6} + \frac{22}{61} a^{5} + \frac{28}{61} a^{4} - \frac{17}{61} a^{3} - \frac{22}{61} a^{2} + \frac{28}{61} a$, $\frac{1}{61} a^{26} - \frac{29}{61} a^{24} - \frac{12}{61} a^{23} - \frac{13}{61} a^{22} + \frac{4}{61} a^{21} - \frac{8}{61} a^{20} + \frac{4}{61} a^{19} - \frac{20}{61} a^{18} - \frac{8}{61} a^{17} - \frac{4}{61} a^{16} - \frac{29}{61} a^{15} + \frac{11}{61} a^{14} - \frac{8}{61} a^{13} - \frac{2}{61} a^{12} - \frac{1}{61} a^{11} + \frac{24}{61} a^{10} - \frac{2}{61} a^{9} - \frac{11}{61} a^{8} - \frac{23}{61} a^{7} + \frac{16}{61} a^{6} - \frac{4}{61} a^{5} - \frac{30}{61} a^{4} - \frac{25}{61} a^{3} - \frac{1}{61} a^{2} - \frac{13}{61} a$, $\frac{1}{61} a^{27} + \frac{8}{61} a^{24} + \frac{18}{61} a^{23} - \frac{5}{61} a^{22} - \frac{21}{61} a^{21} + \frac{29}{61} a^{20} - \frac{16}{61} a^{19} + \frac{14}{61} a^{18} - \frac{3}{61} a^{17} - \frac{10}{61} a^{16} + \frac{28}{61} a^{15} + \frac{2}{61} a^{14} + \frac{21}{61} a^{13} - \frac{11}{61} a^{12} + \frac{18}{61} a^{11} - \frac{12}{61} a^{10} + \frac{5}{61} a^{9} - \frac{30}{61} a^{8} + \frac{14}{61} a^{7} - \frac{14}{61} a^{6} - \frac{2}{61} a^{5} - \frac{6}{61} a^{4} - \frac{6}{61} a^{3} + \frac{20}{61} a^{2} + \frac{19}{61} a$, $\frac{1}{61} a^{28} + \frac{23}{61} a^{24} + \frac{18}{61} a^{23} - \frac{8}{61} a^{22} - \frac{20}{61} a^{21} - \frac{25}{61} a^{20} + \frac{15}{61} a^{19} - \frac{28}{61} a^{18} - \frac{25}{61} a^{17} - \frac{13}{61} a^{16} - \frac{9}{61} a^{15} - \frac{7}{61} a^{14} + \frac{10}{61} a^{13} - \frac{15}{61} a^{12} + \frac{17}{61} a^{11} - \frac{28}{61} a^{10} - \frac{26}{61} a^{9} - \frac{3}{61} a^{8} + \frac{16}{61} a^{7} + \frac{26}{61} a^{6} + \frac{1}{61} a^{5} + \frac{14}{61} a^{4} - \frac{27}{61} a^{3} + \frac{12}{61} a^{2} + \frac{20}{61} a$, $\frac{1}{11773} a^{29} + \frac{82}{11773} a^{28} + \frac{67}{11773} a^{27} - \frac{9}{11773} a^{26} + \frac{16}{11773} a^{25} - \frac{1008}{11773} a^{24} + \frac{4289}{11773} a^{23} - \frac{2644}{11773} a^{22} + \frac{410}{11773} a^{21} - \frac{4580}{11773} a^{20} + \frac{3732}{11773} a^{19} - \frac{5228}{11773} a^{18} + \frac{2225}{11773} a^{17} + \frac{2548}{11773} a^{16} + \frac{719}{11773} a^{15} - \frac{1072}{11773} a^{14} + \frac{5665}{11773} a^{13} + \frac{3674}{11773} a^{12} - \frac{7}{61} a^{11} - \frac{4080}{11773} a^{10} + \frac{265}{11773} a^{9} - \frac{5610}{11773} a^{8} + \frac{4202}{11773} a^{7} - \frac{3896}{11773} a^{6} - \frac{644}{11773} a^{5} + \frac{21}{193} a^{4} - \frac{552}{11773} a^{3} - \frac{2861}{11773} a^{2} - \frac{4425}{11773} a + \frac{19}{193}$, $\frac{1}{233738901727603} a^{30} + \frac{7587679137}{233738901727603} a^{29} + \frac{912141923265}{233738901727603} a^{28} + \frac{843721366633}{233738901727603} a^{27} + \frac{402720388218}{233738901727603} a^{26} - \frac{1336962943874}{233738901727603} a^{25} + \frac{55444154779933}{233738901727603} a^{24} + \frac{2662509062784}{233738901727603} a^{23} + \frac{34553276143753}{233738901727603} a^{22} + \frac{108466256395335}{233738901727603} a^{21} + \frac{56038508837176}{233738901727603} a^{20} + \frac{56696397337976}{233738901727603} a^{19} + \frac{27355559096482}{233738901727603} a^{18} - \frac{65086612734985}{233738901727603} a^{17} - \frac{17951670643015}{233738901727603} a^{16} - \frac{51046403917466}{233738901727603} a^{15} - \frac{56529696844886}{233738901727603} a^{14} - \frac{4607333907140}{233738901727603} a^{13} + \frac{93292622047255}{233738901727603} a^{12} + \frac{66097646006355}{233738901727603} a^{11} - \frac{71290509979991}{233738901727603} a^{10} - \frac{44434355126861}{233738901727603} a^{9} - \frac{47101284714007}{233738901727603} a^{8} + \frac{55192465739064}{233738901727603} a^{7} - \frac{72286280515013}{233738901727603} a^{6} - \frac{25125868018517}{233738901727603} a^{5} + \frac{12609373570050}{233738901727603} a^{4} + \frac{88599043870268}{233738901727603} a^{3} + \frac{74577308537454}{233738901727603} a^{2} + \frac{47902432534573}{233738901727603} a - \frac{354514093151}{3831785274223}$, $\frac{1}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{31} - \frac{3678103075628031211592685466932026149039966892053883043838659454723064164713793433385555276107859584090617285208860538898692958824900418783813294350217139259314}{22476715291835681452843411474791564861647027111733242406965856086421099875889996071842581083958560901688211192921558747100281346087608715392860016860830825442153415642392026037} a^{30} - \frac{27344369884734720842727187975419782793175024938109580032882920165122596801760092279750917991156258238890010948656715867181236630608172144176940122679223261587522936397773502}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{29} + \frac{6047179463992524031825085324022224243876162523124046109948109284004108985537254224603318385540580050472463884113313135532132713442601935867180445071036518482084807468299474419}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{28} + \frac{4427103316812259249796105938112750430419799283889115892039360124672302850745334585721775027313164250999663118646987699405503940522614747293472114902292143565411421664524869877}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{27} + \frac{4763271913008740402318104026700636935993046233514036349288960557794313079862658119683311397291168609905695586090891952207770046940704628347323186977132977064130041731707547560}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{26} + \frac{9581391950565063724563133413735794294747484867503435393495628616288625227471422245382405417114977169163582123155984881787397582209953821504883534873990277294872998803621811603}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{25} + \frac{153739551554185499802248007246038707782213977021620305050379808390052217846477343688763547328450602922466875465508469058524498922087922769649653445704458830000300951008610652306}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{24} - \frac{629800253211248376852100837204209276497155594932246429948249860228447237341487169230206966204911259808716016765312750211980919135659507457069555000717495961164498262536227241162}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{23} - \frac{222579238095517606013574557556435128617998300373337782099300249701596021244287027331078652811322315810280065834000419673729461542481898064720058035556542050797555967961349806377}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{22} - \frac{183439836345352043339480663567765245521138544247257459982251129504332591336716901839993810021504693613604465602748731789191458328506186371435754925304060739387730207999718958788}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{21} + \frac{613434157114483239941662047463473962572144193341261951324264826973303909224585536996671079428240523934832648432995896294064103024390371224556605258883158892575392909811982509897}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{20} - \frac{143480685838142762081418653723814362024231157157083546031030899256610037301347374092010846675967028142421073455770610807726603854414861083894782755040754798029998529830491783717}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{19} + \frac{577094068878321621120592182671284020220963913803174395620039850418058069354284086776816772201523630758088304296641216926981733355408608601871606842631727034385184858383323123697}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{18} + \frac{671340137666848169747140885608265992975612272494886992994793284996969189394451183376180800589146072380140629562924125382452650509138916392955987567051779175118334365898337892275}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{17} + \frac{25001290873994647979763537797410947114870614759897668933334738974440171520947959830429113436701772476007415412168118046344260901884160022705126593190976783341967468306120962049}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{16} + \frac{127229538686528309121880631886322164874879790300907182437164062792420201311497574290765045663188212808006083883189762338310823439909567606211591434176984693381655273279207226803}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{15} - \frac{514883036154153811993836757917977264726551084270454246574534859588743099025549253122999806437274919341152742545759749622697465645002620047953618806352062410446765135179377324631}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{14} + \frac{654247526420320710196618010133711979358142147531862337384259355021860978272396036366958805756744793944248599603231844406246984653826647286791882008711035413147731830009155863867}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{13} - \frac{563522668544516245292439618650025920200366253200237542863648168643374070308038831546793572637599849008167293177475239521539847220537648765786495261691929394639958307646952834796}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{12} - \frac{221402452880913399881312995442220558299285183256670415653360573262464373936707234377409903955639560861111256648806113311242337659778703843038658368482840356504760558412695080564}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{11} - \frac{272636720192806483147662036781942221855077229191662095252391475473978269871757781713488573407564375267679379150284074987812531922005761282645189762506463994234898164144764472511}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{10} - \frac{496651659469680305366493647931881129786836887419381739693928520557669049433174475445849430089922768778603267356247135256115543701240298025481287806863497649811156153306073610987}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{9} - \frac{681849896518336327388851934603724707745061424097350210617045715214415967780709453397919613749383871830202458221227058632621080736299227118188646461089376874707131945865817890389}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{8} - \frac{355490212356562389701167265952728433429068733239667338867263292214571677216169740305841978367815956281298164096339320593686232767555274707062183507455856783930246028298735521275}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{7} + \frac{451881947512030323964144172723484806758196920586219501576553511737292942147729050818425069400676569319356247393543664183734335261662207971273069906322740645435462962048532626406}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{6} - \frac{104613237394573398174511682501353587523784338725492718896165801660704491775610014923520928064687921248715857184858337364077293141571459050954084083436066178192485712087458503405}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{5} - \frac{645138783227823664045707625898859528735544252000966023755434642893168168434351459756540653071520988568894520445418592868321380648824255990248481932816865502909477597543944406631}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{4} - \frac{373448827602298513120979579223290915258926695072968738327427367833177265301010033211356391854453398514047614029428636702058987167379473009973239542581179092435243425220625262130}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{3} - \frac{399568745234791433702001040378941180468044465552981216916863627651594727276941027794287930191614112392805108365033803216412155382470925310022797776078899792340241816697019461407}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a^{2} + \frac{626992919235712528334420458044933294070345143751979328861783667624408330748922835203518534795386391611452285434369554181981222773143626640207924706732909048018722434261332685568}{1371079632801976568623448099962285456560468653815727786824917221271687092429289760382397446121472215002980882768215083573117162111344131638964461028510680351971358354185913588257} a + \frac{12250354830418414274880779774923506686128540278558709488495420854828791874836358592600349015684416611234576059349864501235920570758792495140062979687427552293453313150140383}{27714815403003306353691012915895887622252807782655046124495506888312083694069045711273219585645574478037251779188111895314773546347236393825967961603983755169116418794564767}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $15$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{32}$ (as 32T33):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 32
The 32 conjugacy class representatives for $C_{32}$
Character table for $C_{32}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{97}) \), 4.4.912673.1, 8.8.80798284478113.1, 16.16.633251189136789386043275954593.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $16^{2}$ $16^{2}$ R $32$ $16^{2}$ $32$ $32$ $32$ $32$ $32$ $16^{2}$ $32$ $32$ ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/47.8.0.1}{8} }^{4}$ $16^{2}$ $32$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
97Data not computed