↑

Properties

Label 32.0.56158893576...0625.3
Degree $32$
Signature $[0, 16]$
Discriminant $5^{24}\cdot 7^{16}\cdot 17^{28}$
Root discriminant $105.54$
Ramified primes $5, 7, 17$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_4\times C_8$ (as 32T43)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1791981145201, -1310299091478, 183684061184, -110147425102, 163663111613, -276022878046, 130340525677, 13428234259, -6043816216, -5205488012, 18801912335, -8181879192, -3048724550, 715528798, 958307527, -731908967, 71438063, 133745895, 12321838, -23080013, 4462190, -566845, -1239627, -34760, 243900, -2967, -12048, 166, 554, 25, -26, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - x^31 - 26*x^30 + 25*x^29 + 554*x^28 + 166*x^27 - 12048*x^26 - 2967*x^25 + 243900*x^24 - 34760*x^23 - 1239627*x^22 - 566845*x^21 + 4462190*x^20 - 23080013*x^19 + 12321838*x^18 + 133745895*x^17 + 71438063*x^16 - 731908967*x^15 + 958307527*x^14 + 715528798*x^13 - 3048724550*x^12 - 8181879192*x^11 + 18801912335*x^10 - 5205488012*x^9 - 6043816216*x^8 + 13428234259*x^7 + 130340525677*x^6 - 276022878046*x^5 + 163663111613*x^4 - 110147425102*x^3 + 183684061184*x^2 - 1310299091478*x + 1791981145201)
 
gp: K = bnfinit(x^32 - x^31 - 26*x^30 + 25*x^29 + 554*x^28 + 166*x^27 - 12048*x^26 - 2967*x^25 + 243900*x^24 - 34760*x^23 - 1239627*x^22 - 566845*x^21 + 4462190*x^20 - 23080013*x^19 + 12321838*x^18 + 133745895*x^17 + 71438063*x^16 - 731908967*x^15 + 958307527*x^14 + 715528798*x^13 - 3048724550*x^12 - 8181879192*x^11 + 18801912335*x^10 - 5205488012*x^9 - 6043816216*x^8 + 13428234259*x^7 + 130340525677*x^6 - 276022878046*x^5 + 163663111613*x^4 - 110147425102*x^3 + 183684061184*x^2 - 1310299091478*x + 1791981145201, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{32} - x^{31} - 26 x^{30} + 25 x^{29} + 554 x^{28} + 166 x^{27} - 12048 x^{26} - 2967 x^{25} + 243900 x^{24} - 34760 x^{23} - 1239627 x^{22} - 566845 x^{21} + 4462190 x^{20} - 23080013 x^{19} + 12321838 x^{18} + 133745895 x^{17} + 71438063 x^{16} - 731908967 x^{15} + 958307527 x^{14} + 715528798 x^{13} - 3048724550 x^{12} - 8181879192 x^{11} + 18801912335 x^{10} - 5205488012 x^{9} - 6043816216 x^{8} + 13428234259 x^{7} + 130340525677 x^{6} - 276022878046 x^{5} + 163663111613 x^{4} - 110147425102 x^{3} + 183684061184 x^{2} - 1310299091478 x + 1791981145201 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $32$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 16]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(56158893576626869963359344621945280012905849018156528472900390625=5^{24}\cdot 7^{16}\cdot 17^{28}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $105.54$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(595=5\cdot 7\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{595}(1,·)$, $\chi_{595}(526,·)$, $\chi_{595}(407,·)$, $\chi_{595}(111,·)$, $\chi_{595}(288,·)$, $\chi_{595}(421,·)$, $\chi_{595}(552,·)$, $\chi_{595}(169,·)$, $\chi_{595}(302,·)$, $\chi_{595}(559,·)$, $\chi_{595}(433,·)$, $\chi_{595}(183,·)$, $\chi_{595}(314,·)$, $\chi_{595}(64,·)$, $\chi_{595}(321,·)$, $\chi_{595}(582,·)$, $\chi_{595}(202,·)$, $\chi_{595}(587,·)$, $\chi_{595}(76,·)$, $\chi_{595}(461,·)$, $\chi_{595}(463,·)$, $\chi_{595}(83,·)$, $\chi_{595}(468,·)$, $\chi_{595}(342,·)$, $\chi_{595}(344,·)$, $\chi_{595}(349,·)$, $\chi_{595}(223,·)$, $\chi_{595}(358,·)$, $\chi_{595}(104,·)$, $\chi_{595}(106,·)$, $\chi_{595}(239,·)$, $\chi_{595}(477,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{4} a^{20} - \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{4} a^{5} + \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{21} - \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{6} + \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{4} a^{7} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{4} a^{8} + \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{19} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{4} a^{4}$, $\frac{1}{104} a^{25} + \frac{1}{26} a^{24} + \frac{1}{13} a^{23} + \frac{3}{26} a^{22} - \frac{5}{52} a^{21} + \frac{3}{52} a^{20} + \frac{5}{26} a^{19} + \frac{3}{13} a^{18} - \frac{2}{13} a^{17} + \frac{11}{52} a^{16} - \frac{19}{104} a^{15} + \frac{2}{13} a^{14} + \frac{3}{13} a^{13} + \frac{4}{13} a^{12} - \frac{3}{13} a^{11} + \frac{7}{104} a^{10} + \frac{1}{26} a^{9} + \frac{5}{13} a^{8} - \frac{5}{26} a^{7} - \frac{19}{52} a^{6} - \frac{19}{52} a^{5} - \frac{11}{26} a^{4} - \frac{3}{13} a^{3} - \frac{3}{13} a^{2} - \frac{19}{52} a - \frac{1}{8}$, $\frac{1}{104} a^{26} - \frac{1}{13} a^{24} + \frac{3}{52} a^{23} - \frac{3}{52} a^{22} - \frac{3}{52} a^{21} - \frac{1}{26} a^{20} - \frac{1}{26} a^{19} + \frac{9}{52} a^{18} - \frac{9}{52} a^{17} - \frac{3}{104} a^{16} - \frac{3}{26} a^{15} - \frac{5}{13} a^{14} + \frac{5}{13} a^{13} - \frac{6}{13} a^{12} - \frac{1}{104} a^{11} - \frac{3}{13} a^{10} + \frac{3}{13} a^{9} + \frac{1}{52} a^{8} - \frac{5}{52} a^{7} - \frac{21}{52} a^{6} + \frac{1}{26} a^{5} - \frac{1}{26} a^{4} + \frac{23}{52} a^{3} - \frac{23}{52} a^{2} + \frac{35}{104} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{104} a^{27} + \frac{3}{26} a^{24} + \frac{3}{52} a^{23} + \frac{3}{26} a^{22} - \frac{3}{52} a^{21} - \frac{1}{13} a^{20} - \frac{1}{26} a^{19} + \frac{9}{52} a^{18} - \frac{1}{104} a^{17} - \frac{9}{52} a^{16} + \frac{2}{13} a^{15} - \frac{5}{13} a^{14} + \frac{5}{13} a^{13} + \frac{47}{104} a^{12} - \frac{1}{13} a^{11} - \frac{3}{13} a^{10} - \frac{11}{26} a^{9} + \frac{25}{52} a^{8} - \frac{5}{26} a^{7} + \frac{19}{52} a^{6} - \frac{6}{13} a^{5} - \frac{5}{26} a^{4} + \frac{11}{52} a^{3} + \frac{25}{104} a^{2} + \frac{17}{52} a$, $\frac{1}{5542216888} a^{28} + \frac{4366233}{1385554222} a^{27} - \frac{17464959}{5542216888} a^{26} + \frac{12763345}{2771108444} a^{25} + \frac{138376119}{2771108444} a^{24} + \frac{84345494}{692777111} a^{23} - \frac{77153811}{2771108444} a^{22} - \frac{209948013}{2771108444} a^{21} - \frac{178708267}{2771108444} a^{20} + \frac{35856101}{213162188} a^{19} - \frac{692272005}{5542216888} a^{18} + \frac{245421705}{2771108444} a^{17} - \frac{139775371}{5542216888} a^{16} - \frac{240290561}{1385554222} a^{15} + \frac{2706322}{53290547} a^{14} - \frac{654307585}{5542216888} a^{13} - \frac{46344903}{106581094} a^{12} + \frac{1307865199}{5542216888} a^{11} + \frac{17435371}{2771108444} a^{10} - \frac{34609123}{2771108444} a^{9} - \frac{123867842}{692777111} a^{8} + \frac{1366293567}{2771108444} a^{7} - \frac{202714195}{2771108444} a^{6} + \frac{23524103}{2771108444} a^{5} - \frac{73999329}{213162188} a^{4} + \frac{1347371301}{5542216888} a^{3} + \frac{202472603}{2771108444} a^{2} - \frac{2249808085}{5542216888} a + \frac{39722775}{106581094}$, $\frac{1}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{29} - \frac{1037973810127114341610022368383875015795834677270624}{11853219433228962882676002974841986414923880168657474910522029} a^{28} + \frac{285401005654791836841279786615848746522886438888342317173185}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{27} - \frac{285400781452448849384581998851017175605883026988052026718429}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{26} - \frac{126137256733743195209588657690666053340121027094853652632077}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{25} - \frac{5397069622762828967829865181616482278712536586192684968796731}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{24} + \frac{2280092723239094028340364100760414486662512627067632886171597}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{23} + \frac{3352224445537015901552938478468656520611929900478073036924103}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{22} + \frac{800539150343613319224554211534134598107020892433923184890187}{11853219433228962882676002974841986414923880168657474910522029} a^{21} + \frac{242469696879590495041306457500468888840846573868483867192677}{11853219433228962882676002974841986414923880168657474910522029} a^{20} - \frac{22936562562940028172830863637190065254168104425917889809995279}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{19} - \frac{11037340699022735174945341851644646251280259456397271867529331}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{18} - \frac{14548982723815339237185769190282380991705688776628434243578679}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{17} - \frac{9334277175065004606167094127057434090217638733192781778502443}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{16} - \frac{376032315765110820933888804921790052440638745478219086003275}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{15} - \frac{27478652558001230090477953924448180237762227620921099637859337}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{14} - \frac{2468291058042296231784882167008340813682542906632958740768799}{11853219433228962882676002974841986414923880168657474910522029} a^{13} + \frac{47001067307967014383017579395500758981897507066179076497623231}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{12} - \frac{42206555514906277831870263859710962086130301929298981250782003}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{11} - \frac{26195052715460142093238619854570541653945842862529172450347315}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{10} + \frac{16673538565710751658045788259595099639044712962390939736706211}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{9} - \frac{9523996020173688346806378554846627159429397073119470581889497}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{8} - \frac{18122780946667761945067021702603179795440350763102242251735735}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{7} - \frac{5068913951154491462393387125558430146351879475125954293706874}{11853219433228962882676002974841986414923880168657474910522029} a^{6} - \frac{3716905714932861309343781762124768212440107992123752174684715}{11853219433228962882676002974841986414923880168657474910522029} a^{5} + \frac{38511430276170791263637394575411737778860999705521298124907991}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{4} + \frac{6568455351314930856802521789871249268199515590125968544059687}{47412877732915851530704011899367945659695520674629899642088116} a^{3} - \frac{26432471495090926749609254610097734919413201446352362022312593}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a^{2} - \frac{36211086542747041012888719720674726439855736000407264012459389}{94825755465831703061408023798735891319391041349259799284176232} a + \frac{9327595640754010238105826889608037120828780372164545332087}{81958302044798360467941247881362049541392429861071563771976}$, $\frac{1}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{30} - \frac{1}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{29} - \frac{639480664215917080745369921503894529277624668384326809}{8439492236459021572465314118087494327425802680084122136291684648} a^{28} + \frac{238183979755027292188702862156086762410811898585471886051380203}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{27} - \frac{238183867526170722295255191343665538477322010362342584602025285}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{26} + \frac{75443426741398565960386983002657840164353536679484842055919907}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{25} - \frac{1475485566459362779372486433707940835013737634413562007807135695}{27428349768491820110512270883784356564133858710273396942947975106} a^{24} + \frac{1154796207263705450240840588648384434635974835933908060932496994}{13714174884245910055256135441892178282066929355136698471473987553} a^{23} - \frac{1621454388714786553311220718606570973415308346722660106795621699}{13714174884245910055256135441892178282066929355136698471473987553} a^{22} + \frac{6417565474900784363555698437972032293935686234716384228241295021}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{21} - \frac{7236951915841625179216064559353270488148313064277991554579658367}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{20} - \frac{24834046920355210624343460735396612375983923501830328264020795535}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{19} + \frac{23284337678858763808512145952372116026207927694575627701453878109}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{18} + \frac{9838652094421870172596453179439102677796755510662225835858687235}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{17} + \frac{1693885710852145552504188029822364726462424408870309531765292271}{27428349768491820110512270883784356564133858710273396942947975106} a^{16} - \frac{6535589971167940943458385814328170774839768427636095358389921565}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{15} + \frac{35397738061871396805808647981388249816107304329648951743216839033}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{14} + \frac{15948557226496478557055753561485069604839546054702662041515598677}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{13} - \frac{16613711015866178720149466018722458402427961994071530494870795447}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{12} + \frac{14766156154276158546761747768165391902467045590526109942634477913}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{11} - \frac{25495364481684209848143952212615188131689962787817724465089227143}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{10} - \frac{5930093641139255750266875080793864521283287777888608576145210777}{27428349768491820110512270883784356564133858710273396942947975106} a^{9} + \frac{4231155669453377807924325876860146752640481170520823825021834882}{13714174884245910055256135441892178282066929355136698471473987553} a^{8} - \frac{5028707491990871645407064361132577362251920872386070610164155752}{13714174884245910055256135441892178282066929355136698471473987553} a^{7} - \frac{22544932348751173814317814701698519991648442258965290179093049385}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{6} + \frac{41588913481664539158779777734600351292637739244508007674071147495}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{5} - \frac{4596962673362478332382345378070610191823410535030010449021825529}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{4} - \frac{45439390213371320818294400822973235894643671114000556476671809077}{109713399073967280442049083535137426256535434841093587771791900424} a^{3} + \frac{990090457912595151659775562209150320110219798377111282750770165}{54856699536983640221024541767568713128267717420546793885895950212} a^{2} - \frac{8336614126844175747360618274811583631002362382140667571035}{99190120780158685210677849161857626903128704340229915569222} a - \frac{9175777654258439586232022510285412116768405427581706529815}{20489575511199590116985311970340512385348107465267890942994}$, $\frac{1}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{31} - \frac{1}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{30} - \frac{1}{4882246258791543979671184217313615468415826850428664655844739568868} a^{29} - \frac{3555843159464094944851164741063831466638620015289514531471}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{28} - \frac{88694049178011945654832146018197879132107830707053189150720059411}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{27} - \frac{170354213105570408418801210704237710251545892967124000565609920623}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{26} + \frac{30992615324481295940251568113769771876046107445976998441471295692}{15867300341072517933931348706269250272351437263893160131495403598821} a^{25} - \frac{2195184797231176100462375566131211347973825673212005757624795223629}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{24} + \frac{1709943042968663353983793240655680697126109910896493958233388035117}{15867300341072517933931348706269250272351437263893160131495403598821} a^{23} + \frac{997561767607155196588984104123708362675868212892554493822395403063}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{22} + \frac{10938292548491691386290507171378281037253746338576630868189709079033}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{21} + \frac{5693316674553430224042780790754980452356065333640959768377007071303}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{20} + \frac{1974903371093254170177139870084315161966903819694703287605031094003}{15867300341072517933931348706269250272351437263893160131495403598821} a^{19} - \frac{8840173602983694148201862607218642059187017095348622210554817758329}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{18} + \frac{2779442020294596692969946927408735081116971786683054920221676422887}{31734600682145035867862697412538500544702874527786320262990807197642} a^{17} - \frac{29308975969217786263208331634929798426982021345404247366855956721821}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{16} - \frac{20953319941903120607669410681808387060063158019942071521202167265345}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{15} - \frac{12469744488019509509220696119360173158286231487557647545867641442383}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{14} - \frac{47972942093415170836784775188085981571575808403209163807091506651713}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{13} + \frac{31053556445412470140192756141657276807867322653929285894161332097643}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{12} + \frac{28907522475709925662400939462245063415671561501798139752078756709847}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{11} - \frac{6066570350954500962632897830317947477786674123073396365689799768309}{15867300341072517933931348706269250272351437263893160131495403598821} a^{10} - \frac{9226410861529930657063503893131017449924850046164265098269677268715}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{9} - \frac{6416355593384322822039387591753778196493189134018875409241740150904}{15867300341072517933931348706269250272351437263893160131495403598821} a^{8} - \frac{11060019897991424196733329306760206163474647140716450119873136237919}{63469201364290071735725394825077001089405749055572640525981614395284} a^{7} + \frac{1348886720261352310945474865732641676239227919379782108923498486495}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{6} - \frac{34768533643476260283780601739287876353396342988934651150135091920487}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{5} + \frac{4766782498697280621640805263692568232726092617364324012614857859226}{15867300341072517933931348706269250272351437263893160131495403598821} a^{4} + \frac{26936273155966943237474503328014035387037105769920749224363418689145}{126938402728580143471450789650154002178811498111145281051963228790568} a^{3} - \frac{12744518385809414012411451912048907806191021939155579217315727069}{27428349768491820110512270883784356564133858710273396942947975106} a^{2} - \frac{8185121083780703534049673753869827877311917114468935781472689}{23706438866457925765352005949683972829847760337314949821044058} a - \frac{9421772968444650683485970949643736416936552407006011761875}{40979151022399180233970623940681024770696214930535781885988}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $15$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{2031066250808897851442650390125961760941419}{1779410435885218124359054220230388915305955507442244856} a^{31} + \frac{201473855882953097466308418464741482488075}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{30} - \frac{11758014229329142768133759301602312918004057}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{29} - \frac{813954377767130513763886010597555589251823}{68438862918662235552271316162707265973305981055470956} a^{28} + \frac{492259728919780083352114916778779765886563727}{889705217942609062179527110115194457652977753721122428} a^{27} + \frac{235668424957115769212039046427579879619605077}{222426304485652265544881777528798614413244438430280607} a^{26} - \frac{751381970766042160440116384046899277897226587}{68438862918662235552271316162707265973305981055470956} a^{25} - \frac{4218215139532133971657973211600353274003228819}{222426304485652265544881777528798614413244438430280607} a^{24} + \frac{99233871191273914520438992096042107263955164157}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{23} + \frac{125362918853283277913357747058693567051922016631}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{22} - \frac{769482581576713410771222008962834484405557663195}{1779410435885218124359054220230388915305955507442244856} a^{21} - \frac{759454235707438951440074661561668841117359299155}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{20} + \frac{254397328018138551394339627036417072497861422079}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{19} - \frac{20847732509436311607843602629407978697199960191419}{889705217942609062179527110115194457652977753721122428} a^{18} - \frac{848915800188739559845385399939711404138841174625}{68438862918662235552271316162707265973305981055470956} a^{17} + \frac{113425437385156008712798659836165351572679314001533}{1779410435885218124359054220230388915305955507442244856} a^{16} + \frac{203077505727568334348320821296280489107358748556337}{889705217942609062179527110115194457652977753721122428} a^{15} - \frac{124972504445948365013787936766048724448464356499487}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{14} + \frac{495984987937352736852259070094994972138844448610683}{889705217942609062179527110115194457652977753721122428} a^{13} + \frac{518587514715518179889328222675941450803110754298169}{889705217942609062179527110115194457652977753721122428} a^{12} + \frac{263793556451234760691884510233671696233635925654313}{222426304485652265544881777528798614413244438430280607} a^{11} - \frac{7183001840029707220337783627730020768807771833863873}{889705217942609062179527110115194457652977753721122428} a^{10} + \frac{495877911422316774987603542493530740857326228943369}{222426304485652265544881777528798614413244438430280607} a^{9} - \frac{3855146810196274854963962525286091914557405052470181}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{8} + \frac{2312790826455629565233667175509783299321849219971053}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{7} - \frac{14893648694221631723312956116775862721438637005994421}{1779410435885218124359054220230388915305955507442244856} a^{6} + \frac{55334771641339975192739886646446210014576893490557515}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{5} - \frac{36359521576656843293970190024789935332122603651216359}{444852608971304531089763555057597228826488876860561214} a^{4} + \frac{104655427389710278726362362072989933345776045137415}{768975987850137478115408046771991752509055966915404} a^{3} - \frac{91551692706128384384316593115726146479684577344551}{768975987850137478115408046771991752509055966915404} a^{2} + \frac{185468468803717967303397652859312280783518378594915709}{222426304485652265544881777528798614413244438430280607} a - \frac{628252837798588578672754540090826862350193718515963}{768975987850137478115408046771991752509055966915404} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_4\times C_8$ (as 32T43):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 32
The 32 conjugacy class representatives for $C_4\times C_8$
Character table for $C_4\times C_8$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{85}) \), \(\Q(\sqrt{17}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), 4.0.614125.2, \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{17})\), 4.0.614125.1, 4.4.4913.1, 4.4.122825.1, \(\Q(\zeta_{5})\), 4.0.36125.1, 8.0.377149515625.1, 8.8.15085980625.1, 8.0.1305015625.1, 8.0.615764471170625.1, 8.0.985223153873.1, 8.8.15394111779265625.1, 8.8.15394111779265625.2, 16.0.142241757136172119140625.1, 16.0.379165883956039466757862890625.2, 16.16.236978677472524666723664306640625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.4.0.1}{4} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/3.8.0.1}{8} }^{4}$ R R ${\href{/LocalNumberField/11.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/13.4.0.1}{4} }^{8}$ R ${\href{/LocalNumberField/19.4.0.1}{4} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/29.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/41.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/53.4.0.1}{4} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/59.4.0.1}{4} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
$7$7.8.4.2$x^{8} + 49 x^{4} - 1029 x^{2} + 12005$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.2$x^{8} + 49 x^{4} - 1029 x^{2} + 12005$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.2$x^{8} + 49 x^{4} - 1029 x^{2} + 12005$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
7.8.4.2$x^{8} + 49 x^{4} - 1029 x^{2} + 12005$$2$$4$$4$$C_8$$[\ ]_{2}^{4}$
17Data not computed