Normalized defining polynomial
\( x^{32} + 20 x^{30} + 236 x^{28} + 1948 x^{26} + 12276 x^{24} + 58148 x^{22} + 212422 x^{20} + 567784 x^{18} + 1013620 x^{16} + 772588 x^{14} + 788932 x^{12} + 1345276 x^{10} + \cdots + 4096 \)
Invariants
Degree: | $32$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[0, 16]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(480960519379403029833827263813614000556122650443776\) \(\medspace = 2^{48}\cdot 3^{16}\cdot 13^{8}\cdot 17^{16}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(38.35\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{2}3^{1/2}13^{1/2}17^{1/2}\approx 102.99514551666987$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(3\), \(13\), \(17\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $16$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is not Galois over $\Q$. | |||
This is a CM field. | |||
Reflex fields: | unavailable$^{32768}$ |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{4}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{4}a^{5}$, $\frac{1}{8}a^{18}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{1}{4}a^{9}-\frac{1}{4}a^{8}+\frac{1}{8}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{8}a^{19}-\frac{1}{8}a^{16}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}+\frac{1}{8}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{3}{8}a^{4}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{136}a^{20}+\frac{3}{68}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}+\frac{5}{68}a^{16}+\frac{3}{34}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}+\frac{2}{17}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{11}{68}a^{10}+\frac{9}{136}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{21}{68}a^{6}+\frac{3}{8}a^{5}+\frac{3}{17}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{27}{68}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{8}{17}$, $\frac{1}{136}a^{21}+\frac{3}{68}a^{19}+\frac{5}{68}a^{17}-\frac{5}{136}a^{15}+\frac{2}{17}a^{13}-\frac{3}{34}a^{11}-\frac{25}{136}a^{9}+\frac{13}{68}a^{7}+\frac{29}{68}a^{5}-\frac{3}{136}a^{3}-\frac{8}{17}a$, $\frac{1}{136}a^{22}+\frac{1}{17}a^{18}+\frac{3}{136}a^{16}+\frac{3}{34}a^{14}+\frac{7}{34}a^{12}-\frac{21}{136}a^{10}-\frac{7}{34}a^{8}+\frac{1}{34}a^{6}+\frac{57}{136}a^{4}+\frac{7}{17}a^{2}-\frac{3}{17}$, $\frac{1}{272}a^{23}-\frac{1}{272}a^{22}+\frac{1}{34}a^{19}-\frac{1}{34}a^{18}+\frac{3}{272}a^{17}-\frac{3}{272}a^{16}+\frac{3}{68}a^{15}-\frac{3}{68}a^{14}+\frac{7}{68}a^{13}-\frac{7}{68}a^{12}+\frac{47}{272}a^{11}-\frac{47}{272}a^{10}+\frac{5}{34}a^{9}-\frac{5}{34}a^{8}+\frac{1}{68}a^{7}+\frac{33}{68}a^{6}-\frac{11}{272}a^{5}+\frac{11}{272}a^{4}-\frac{3}{68}a^{3}+\frac{3}{68}a^{2}-\frac{3}{34}a-\frac{7}{17}$, $\frac{1}{272}a^{24}-\frac{1}{272}a^{22}+\frac{15}{272}a^{18}-\frac{3}{272}a^{16}-\frac{3}{68}a^{14}+\frac{27}{272}a^{12}-\frac{47}{272}a^{10}+\frac{7}{68}a^{8}-\frac{19}{272}a^{6}-\frac{125}{272}a^{4}-\frac{7}{34}a^{2}+\frac{8}{17}$, $\frac{1}{1088}a^{25}+\frac{1}{1088}a^{23}-\frac{1}{272}a^{22}+\frac{31}{1088}a^{19}-\frac{1}{34}a^{18}+\frac{71}{1088}a^{17}-\frac{3}{272}a^{16}-\frac{7}{136}a^{15}-\frac{3}{68}a^{14}-\frac{189}{1088}a^{13}-\frac{7}{68}a^{12}+\frac{183}{1088}a^{11}-\frac{47}{272}a^{10}-\frac{7}{272}a^{9}-\frac{5}{34}a^{8}+\frac{261}{1088}a^{7}+\frac{33}{68}a^{6}-\frac{351}{1088}a^{5}+\frac{11}{272}a^{4}-\frac{37}{272}a^{3}+\frac{3}{68}a^{2}-\frac{29}{68}a-\frac{7}{17}$, $\frac{1}{1088}a^{26}+\frac{1}{1088}a^{24}-\frac{1}{272}a^{22}-\frac{1}{1088}a^{20}-\frac{1}{64}a^{18}-\frac{29}{272}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{77}{1088}a^{14}-\frac{169}{1088}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{21}{136}a^{10}-\frac{1}{4}a^{9}+\frac{5}{64}a^{8}+\frac{25}{1088}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}+\frac{61}{136}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}+\frac{31}{68}a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{8}{17}$, $\frac{1}{1088}a^{27}-\frac{1}{1088}a^{23}-\frac{1}{1088}a^{21}-\frac{1}{68}a^{19}+\frac{97}{1088}a^{17}-\frac{1}{8}a^{16}+\frac{27}{1088}a^{15}+\frac{33}{272}a^{13}-\frac{1}{4}a^{12}+\frac{173}{1088}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{271}{1088}a^{9}-\frac{55}{272}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}+\frac{523}{1088}a^{5}+\frac{3}{8}a^{4}+\frac{13}{272}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{13}{68}a$, $\frac{1}{239206592}a^{28}+\frac{12879}{239206592}a^{26}-\frac{193411}{119603296}a^{24}+\frac{181391}{239206592}a^{22}-\frac{725967}{239206592}a^{20}+\frac{173463}{119603296}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{28584061}{239206592}a^{16}+\frac{21811377}{239206592}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}+\frac{23518525}{119603296}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}+\frac{2659581}{239206592}a^{10}+\frac{46079727}{239206592}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{28592741}{119603296}a^{6}+\frac{3}{8}a^{5}-\frac{1159657}{29900824}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{326555}{14950412}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{958939}{3737603}$, $\frac{1}{239206592}a^{29}+\frac{12879}{239206592}a^{27}+\frac{1653}{7475206}a^{25}-\frac{258327}{239206592}a^{23}-\frac{1}{272}a^{22}-\frac{725967}{239206592}a^{21}+\frac{867837}{29900824}a^{19}-\frac{1}{34}a^{18}-\frac{2391}{239206592}a^{17}-\frac{3}{272}a^{16}+\frac{972633}{14070976}a^{15}-\frac{3}{68}a^{14}+\frac{14727359}{59801648}a^{13}-\frac{7}{68}a^{12}-\frac{1059245}{14070976}a^{11}-\frac{47}{272}a^{10}+\frac{58391831}{239206592}a^{9}-\frac{5}{34}a^{8}+\frac{13515793}{59801648}a^{7}+\frac{33}{68}a^{6}-\frac{47071415}{119603296}a^{5}+\frac{11}{272}a^{4}+\frac{2804819}{7475206}a^{3}+\frac{3}{68}a^{2}-\frac{79503}{3737603}a-\frac{7}{17}$, $\frac{1}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!28}a^{28}-\frac{54\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!44}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!84}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!28}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!56}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!28}a^{14}-\frac{1}{4}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!03}{21\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{1}{4}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!75}{21\!\cdots\!28}a^{8}-\frac{1}{4}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{3}{8}a^{5}+\frac{58\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!65}{52\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{1}{2}a+\frac{73\!\cdots\!68}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{1}{33\!\cdots\!48}a^{31}+\frac{41\!\cdots\!65}{84\!\cdots\!12}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!27}{61\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!03}{84\!\cdots\!12}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!71}{84\!\cdots\!12}a^{23}-\frac{1}{272}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{73\!\cdots\!35}{16\!\cdots\!24}a^{19}-\frac{1}{34}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!93}{42\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{31}{272}a^{16}+\frac{41\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!12}a^{15}-\frac{3}{68}a^{14}-\frac{79\!\cdots\!05}{84\!\cdots\!12}a^{13}+\frac{5}{34}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{21}{272}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!12}a^{9}-\frac{5}{34}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!53}{33\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{4}{17}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!35}{84\!\cdots\!12}a^{5}-\frac{91}{272}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!33}{21\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{31}{68}a^{2}-\frac{24\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!08}a-\frac{7}{17}$
Monogenic: | No | |
Index: | Not computed | |
Inessential primes: | $2$ |
Class group and class number
$C_{2}\times C_{2}\times C_{4}$, which has order $16$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $15$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( \frac{31733846347289050006707609339}{338268464032869881049690213045248} a^{31} + \frac{159066371668502704786194320775}{84567116008217470262422553261312} a^{29} + \frac{13722982620419582052588929353}{617278219038083724543230315776} a^{27} + \frac{15544719819385212136664947501213}{84567116008217470262422553261312} a^{25} + \frac{98127949168048442982113604227447}{84567116008217470262422553261312} a^{23} + \frac{465912278340159774396442411472379}{84567116008217470262422553261312} a^{21} + \frac{3413485261243466901479279119063505}{169134232016434940524845106522624} a^{19} + \frac{2291173245929342645683680194076411}{42283558004108735131211276630656} a^{17} + \frac{8247282890832293527114323360526327}{84567116008217470262422553261312} a^{15} + \frac{151071612981110777014047569238667}{1966677116470173727033082633984} a^{13} + \frac{6552031141224874223212789373396867}{84567116008217470262422553261312} a^{11} + \frac{11119375391339031974950856247776221}{84567116008217470262422553261312} a^{9} + \frac{13520292253964077881824453407256171}{338268464032869881049690213045248} a^{7} - \frac{1617629871718382246042141050801871}{84567116008217470262422553261312} a^{5} + \frac{18716742129237302188519841608487}{1243634058944374562682684606784} a^{3} - \frac{3516851695558134935161606145415}{1321361187628397972850352394708} a \) (order $12$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{82\!\cdots\!07}{82\!\cdots\!24}a^{31}-\frac{52\!\cdots\!73}{16\!\cdots\!24}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!56}a^{29}-\frac{61\!\cdots\!95}{96\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!56}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!88}a^{26}+\frac{40\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!63}{41\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!56}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!29}{41\!\cdots\!56}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!65}{41\!\cdots\!12}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!36}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!83}{10\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{39\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!56}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!85}{41\!\cdots\!56}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!71}{47\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{71\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!68}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!56}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!56}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!56}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!15}{41\!\cdots\!56}a^{8}+\frac{43\!\cdots\!03}{82\!\cdots\!24}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!21}{16\!\cdots\!24}a^{6}-\frac{31\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!56}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!56}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!19}{80\!\cdots\!01}a+\frac{70\!\cdots\!73}{64\!\cdots\!29}$, $\frac{57\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!96}a^{31}-\frac{11\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!24}a^{29}-\frac{47\!\cdots\!11}{58\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!24}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!24}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!24}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{64\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!48}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!24}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!12}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!61}{58\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!24}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!91}{73\!\cdots\!02}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!24}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!59}{73\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!99}{44\!\cdots\!24}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!47}{58\!\cdots\!16}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!55}{44\!\cdots\!24}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!81}{73\!\cdots\!02}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!96}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!62}{36\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!43}{44\!\cdots\!24}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!56}a^{3}+\frac{13\!\cdots\!32}{36\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!80}{70\!\cdots\!91}a-\frac{73\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!53}$, $\frac{31\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!36}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!53}{61\!\cdots\!84}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!75}{61\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!35}{61\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{97\!\cdots\!93}{61\!\cdots\!84}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!41}{61\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!68}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!41}{61\!\cdots\!84}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!03}{61\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!88}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!07}{61\!\cdots\!84}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!52}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!93}{61\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!96}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!07}{96\!\cdots\!31}$, $\frac{50\!\cdots\!91}{84\!\cdots\!12}a^{31}-\frac{58\!\cdots\!17}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{19\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!28}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!24}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!28}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!28}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!28}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!68}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!56}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!94}{33\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!64}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{37\!\cdots\!55}{49\!\cdots\!96}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!91}{21\!\cdots\!28}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!28}a^{12}-\frac{51\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!28}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!01}{21\!\cdots\!28}a^{9}-\frac{12\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!84}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!12}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!01}{84\!\cdots\!12}a^{6}-\frac{45\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{53\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!24}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!69}{52\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!97}{66\!\cdots\!54}a+\frac{18\!\cdots\!75}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{12\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!24}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!56}a^{30}+\frac{62\!\cdots\!79}{42\!\cdots\!56}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{53\!\cdots\!87}{30\!\cdots\!88}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!72}a^{26}+\frac{59\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!49}{42\!\cdots\!56}a^{23}-\frac{75\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!64}a^{22}+\frac{17\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!56}a^{21}-\frac{35\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!64}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!23}{49\!\cdots\!36}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{81\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{87\!\cdots\!07}{26\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{27\!\cdots\!37}{42\!\cdots\!56}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!27}{42\!\cdots\!56}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!64}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!56}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{34\!\cdots\!67}{42\!\cdots\!56}a^{9}-\frac{80\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!24}a^{7}-\frac{83\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!56}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!56}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!67}{62\!\cdots\!92}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{31\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!08}a+\frac{28\!\cdots\!74}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{11\!\cdots\!71}{42\!\cdots\!56}a^{31}+\frac{37\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!28}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!59}{31\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{55\!\cdots\!43}{77\!\cdots\!72}a^{27}+\frac{82\!\cdots\!45}{77\!\cdots\!72}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!69}{21\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!65}{21\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!64}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!64}a^{21}+\frac{28\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!64}a^{20}+\frac{85\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!64}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!21}{42\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!64}a^{15}+\frac{54\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!64}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{96\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!83}{21\!\cdots\!28}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!96}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!97}{10\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!07}{10\!\cdots\!64}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!33}{42\!\cdots\!56}a^{7}+\frac{26\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!15}{66\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{93\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{52\!\cdots\!75}{52\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!39}{33\!\cdots\!77}a-\frac{57\!\cdots\!67}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{30\!\cdots\!33}{71\!\cdots\!84}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!37}{29\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!96}a^{29}+\frac{47\!\cdots\!11}{58\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{78\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!24}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!81}{10\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!17}{41\!\cdots\!72}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!39}{36\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{95\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!45}{58\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!96}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!92}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!24}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!48}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!61}{58\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!88}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!91}{73\!\cdots\!02}a^{14}+\frac{72\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!96}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!59}{73\!\cdots\!02}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!96}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!47}{58\!\cdots\!16}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!81}{73\!\cdots\!02}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!77}{71\!\cdots\!84}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!62}{36\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!96}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!12}{85\!\cdots\!07}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!81}{44\!\cdots\!24}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!32}{36\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{85\!\cdots\!09}{70\!\cdots\!91}a+\frac{51\!\cdots\!58}{21\!\cdots\!53}$, $\frac{27\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!48}a^{31}+\frac{13\!\cdots\!89}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!03}{84\!\cdots\!12}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!65}{61\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{60\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!12}a^{25}+\frac{69\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!71}{84\!\cdots\!12}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!63}{84\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!09}{16\!\cdots\!24}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!75}{42\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!12}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!12}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!84}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!31}{84\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{37\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!12}a^{9}+\frac{55\!\cdots\!13}{21\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!75}{33\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!15}{19\!\cdots\!84}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!85}{52\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!77}a+\frac{45\!\cdots\!10}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{14\!\cdots\!45}{33\!\cdots\!48}a^{31}+\frac{27\!\cdots\!01}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{73\!\cdots\!09}{84\!\cdots\!12}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{64\!\cdots\!67}{61\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!15}{38\!\cdots\!36}a^{26}+\frac{73\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!12}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!47}{21\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!17}{84\!\cdots\!12}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!23}{52\!\cdots\!32}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!11}{99\!\cdots\!72}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!15}{42\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!85}{84\!\cdots\!12}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!77}{52\!\cdots\!32}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!36}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!07}{21\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{31\!\cdots\!87}{10\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!12}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!19}{66\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!29}{33\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{16\!\cdots\!97}{84\!\cdots\!12}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!12}a^{5}-\frac{73\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!84}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!08}a-\frac{45\!\cdots\!75}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{39\!\cdots\!63}{33\!\cdots\!48}a^{31}+\frac{81\!\cdots\!77}{42\!\cdots\!56}a^{30}+\frac{21\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!12}a^{29}+\frac{83\!\cdots\!99}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!97}{61\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{73\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!61}{84\!\cdots\!12}a^{25}+\frac{21\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!36}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!53}{21\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{26\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!24}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{49\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!11}{84\!\cdots\!12}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!51}{21\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{29\!\cdots\!93}{84\!\cdots\!12}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!31}{84\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!73}{84\!\cdots\!12}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!71}{33\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!53}{42\!\cdots\!56}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!77}{84\!\cdots\!12}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{95\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!16}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!08}a+\frac{15\!\cdots\!20}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{21\!\cdots\!45}{33\!\cdots\!48}a^{31}+\frac{42\!\cdots\!63}{42\!\cdots\!56}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!53}{84\!\cdots\!12}a^{29}+\frac{44\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{62\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!28}a^{27}+\frac{38\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!83}{84\!\cdots\!12}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!64}a^{24}+\frac{85\!\cdots\!09}{84\!\cdots\!12}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!81}{84\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{83\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!84}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!95}{16\!\cdots\!24}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!63}{49\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!56}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!12}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!41}{21\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!12}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!64}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!41}{84\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!12}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!91}{42\!\cdots\!56}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!12}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!28}a^{3}+\frac{51\!\cdots\!67}{26\!\cdots\!16}a^{2}+\frac{85\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!08}a+\frac{83\!\cdots\!24}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{31\!\cdots\!75}{33\!\cdots\!48}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!56}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!79}{84\!\cdots\!12}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!99}{26\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!37}{61\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{47\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!72}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!49}{84\!\cdots\!12}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!67}{52\!\cdots\!32}a^{24}+\frac{81\!\cdots\!07}{84\!\cdots\!12}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{36\!\cdots\!71}{84\!\cdots\!12}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!64}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!53}{99\!\cdots\!72}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!11}{42\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!84}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!64}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!75}{84\!\cdots\!12}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!25}{26\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!12}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!12}a^{9}-\frac{38\!\cdots\!65}{10\!\cdots\!64}a^{8}-\frac{37\!\cdots\!33}{33\!\cdots\!48}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!56}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!99}{84\!\cdots\!12}a^{5}+\frac{63\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!55}{21\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!93}{26\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!08}a+\frac{60\!\cdots\!95}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{42\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!04}a^{31}+\frac{94\!\cdots\!35}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{22\!\cdots\!65}{61\!\cdots\!76}a^{29}+\frac{46\!\cdots\!67}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!71}{61\!\cdots\!76}a^{27}+\frac{39\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!35}{61\!\cdots\!76}a^{25}+\frac{43\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{89\!\cdots\!49}{36\!\cdots\!28}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!41}{61\!\cdots\!76}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!17}{21\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{58\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{88\!\cdots\!61}{42\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{42\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!88}a^{17}+\frac{32\!\cdots\!29}{62\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!57}{61\!\cdots\!76}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!09}{21\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!87}{61\!\cdots\!76}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!13}{61\!\cdots\!76}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!35}{21\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!93}{14\!\cdots\!12}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!69}{84\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!83}{61\!\cdots\!76}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!44}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{56\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!42}a-\frac{15\!\cdots\!96}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{73\!\cdots\!49}{21\!\cdots\!28}a^{31}+\frac{21\!\cdots\!27}{42\!\cdots\!56}a^{30}+\frac{74\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!64}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!44}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!53}{38\!\cdots\!36}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!87}{21\!\cdots\!28}a^{25}+\frac{26\!\cdots\!51}{26\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!39}{10\!\cdots\!64}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!64}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!23}{21\!\cdots\!28}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!87}{52\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!28}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{23\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!64}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!05}{52\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{86\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!28}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!01}{52\!\cdots\!32}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!05}{21\!\cdots\!28}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!25}{52\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!19}{10\!\cdots\!64}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!64}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!73}{21\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!39}{52\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!47}{52\!\cdots\!32}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!56}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!41}{52\!\cdots\!32}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!64}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!83}{66\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!16}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!87}{66\!\cdots\!54}a-\frac{84\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!77}$, $\frac{23\!\cdots\!31}{33\!\cdots\!48}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!12}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!47}{84\!\cdots\!12}a^{29}-\frac{82\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!77}{61\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{71\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!25}{84\!\cdots\!12}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!84}a^{24}+\frac{72\!\cdots\!95}{84\!\cdots\!12}a^{23}-\frac{52\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!28}a^{22}+\frac{34\!\cdots\!59}{84\!\cdots\!12}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!89}{21\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!69}{16\!\cdots\!24}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!05}{42\!\cdots\!56}a^{18}+\frac{16\!\cdots\!95}{42\!\cdots\!56}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!09}{26\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{57\!\cdots\!23}{84\!\cdots\!12}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!12}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!25}{21\!\cdots\!28}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!19}{84\!\cdots\!12}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!28}a^{10}+\frac{74\!\cdots\!13}{84\!\cdots\!12}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!19}{21\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{56\!\cdots\!03}{33\!\cdots\!48}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!87}{84\!\cdots\!12}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!03}{84\!\cdots\!12}a^{5}+\frac{56\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!27}{21\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!59}{52\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{93\!\cdots\!01}{66\!\cdots\!54}a-\frac{86\!\cdots\!89}{33\!\cdots\!77}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 2205277237958.931 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 2205277237958.931 \cdot 16}{12\cdot\sqrt{480960519379403029833827263813614000556122650443776}}\cr\approx \mathstrut & 0.791088572881245 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
$C_2^4:D_4$ (as 32T1369):
A solvable group of order 128 |
The 56 conjugacy class representatives for $C_2^4:D_4$ are not computed |
Character table for $C_2^4:D_4$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Sibling fields
Degree 32 siblings: | data not computed |
Minimal sibling: | This field is its own minimal sibling |
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | R | ${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{8}$ | R | R | ${\href{/padicField/19.2.0.1}{2} }^{16}$ | ${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{16}$ | ${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{16}$ | ${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{16}$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{16}$ | ${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{16}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | 2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ |
2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
2.4.4.1 | $x^{4} + 6 x^{3} + 17 x^{2} + 24 x + 13$ | $2$ | $2$ | $4$ | $C_2^2$ | $[2]^{2}$ | |
2.8.16.6 | $x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$ | $4$ | $2$ | $16$ | $C_2^3$ | $[2, 3]^{2}$ | |
2.8.16.6 | $x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$ | $4$ | $2$ | $16$ | $C_2^3$ | $[2, 3]^{2}$ | |
\(3\) | 3.8.4.1 | $x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ |
3.8.4.1 | $x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ | |
3.8.4.1 | $x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ | |
3.8.4.1 | $x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$ | $2$ | $4$ | $4$ | $C_4\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{4}$ | |
\(13\) | 13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.2.0.1 | $x^{2} + 12 x + 2$ | $1$ | $2$ | $0$ | $C_2$ | $[\ ]^{2}$ | |
13.4.2.1 | $x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
13.4.2.1 | $x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
13.4.2.1 | $x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
13.4.2.1 | $x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
\(17\) | 17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ | |
17.4.2.1 | $x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$ | $2$ | $2$ | $2$ | $C_2^2$ | $[\ ]_{2}^{2}$ |