↑

Properties

Label 32.0.35709714407...0625.1
Degree $32$
Signature $[0, 16]$
Discriminant $5^{28}\cdot 7^{16}\cdot 19^{16}$
Root discriminant $47.15$
Ramified primes $5, 7, 19$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_8.A_4$ (as 32T402)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1916071, 5994407, 18318673, 32957519, 83319621, 154026757, 341439909, 561801072, 881072238, 1126974132, 1284857142, 1261930239, 1086373418, 810649893, 521805347, 284677470, 128084070, 44064917, 9325990, -816295, -1736093, -807831, -179369, 14963, 30252, 10506, 1702, -325, -221, -34, 10, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 + 10*x^30 - 34*x^29 - 221*x^28 - 325*x^27 + 1702*x^26 + 10506*x^25 + 30252*x^24 + 14963*x^23 - 179369*x^22 - 807831*x^21 - 1736093*x^20 - 816295*x^19 + 9325990*x^18 + 44064917*x^17 + 128084070*x^16 + 284677470*x^15 + 521805347*x^14 + 810649893*x^13 + 1086373418*x^12 + 1261930239*x^11 + 1284857142*x^10 + 1126974132*x^9 + 881072238*x^8 + 561801072*x^7 + 341439909*x^6 + 154026757*x^5 + 83319621*x^4 + 32957519*x^3 + 18318673*x^2 + 5994407*x + 1916071)
 
gp: K = bnfinit(x^32 + 10*x^30 - 34*x^29 - 221*x^28 - 325*x^27 + 1702*x^26 + 10506*x^25 + 30252*x^24 + 14963*x^23 - 179369*x^22 - 807831*x^21 - 1736093*x^20 - 816295*x^19 + 9325990*x^18 + 44064917*x^17 + 128084070*x^16 + 284677470*x^15 + 521805347*x^14 + 810649893*x^13 + 1086373418*x^12 + 1261930239*x^11 + 1284857142*x^10 + 1126974132*x^9 + 881072238*x^8 + 561801072*x^7 + 341439909*x^6 + 154026757*x^5 + 83319621*x^4 + 32957519*x^3 + 18318673*x^2 + 5994407*x + 1916071, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $32$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 16]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(357097144070652207046431305343854464590549468994140625=5^{28}\cdot 7^{16}\cdot 19^{16}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $47.15$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{5} a^{24} - \frac{1}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} + \frac{2}{5} a^{18} - \frac{2}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{15} - \frac{2}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{25} - \frac{2}{5} a^{23} - \frac{1}{5} a^{21} - \frac{1}{5} a^{20} - \frac{2}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{17} - \frac{2}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{26} - \frac{2}{5} a^{23} + \frac{2}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{2}{5} a^{19} + \frac{2}{5} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{12} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{2}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{27} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} - \frac{2}{5} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} - \frac{2}{5} a^{18} + \frac{2}{5} a^{17} + \frac{2}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} - \frac{2}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} + \frac{2}{5} a^{3} - \frac{2}{5} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{505} a^{28} + \frac{23}{505} a^{27} - \frac{1}{101} a^{26} + \frac{3}{101} a^{25} - \frac{2}{101} a^{24} - \frac{86}{505} a^{23} + \frac{208}{505} a^{22} - \frac{154}{505} a^{21} + \frac{43}{505} a^{20} - \frac{33}{101} a^{19} + \frac{91}{505} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} - \frac{198}{505} a^{16} - \frac{152}{505} a^{15} + \frac{22}{101} a^{14} - \frac{39}{101} a^{13} - \frac{1}{505} a^{12} - \frac{14}{505} a^{11} + \frac{249}{505} a^{10} - \frac{39}{101} a^{9} - \frac{6}{101} a^{8} - \frac{81}{505} a^{7} - \frac{29}{101} a^{6} - \frac{27}{505} a^{5} + \frac{32}{101} a^{4} - \frac{94}{505} a^{3} + \frac{68}{505} a^{2} + \frac{151}{505} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{505} a^{29} - \frac{29}{505} a^{27} + \frac{29}{505} a^{26} + \frac{49}{505} a^{25} + \frac{43}{505} a^{24} + \frac{166}{505} a^{23} + \frac{11}{505} a^{22} - \frac{51}{505} a^{21} - \frac{49}{101} a^{20} + \frac{50}{101} a^{19} + \frac{129}{505} a^{18} + \frac{4}{505} a^{17} - \frac{42}{505} a^{16} + \frac{172}{505} a^{15} + \frac{2}{505} a^{14} + \frac{242}{505} a^{13} + \frac{9}{505} a^{12} + \frac{167}{505} a^{11} + \frac{239}{505} a^{10} - \frac{191}{505} a^{9} + \frac{3}{505} a^{8} + \frac{1}{505} a^{7} + \frac{177}{505} a^{6} + \frac{35}{101} a^{5} + \frac{64}{505} a^{4} + \frac{109}{505} a^{3} - \frac{201}{505} a^{2} - \frac{241}{505} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{380898775} a^{30} + \frac{228801}{380898775} a^{29} + \frac{130622}{380898775} a^{28} + \frac{36950664}{380898775} a^{27} - \frac{3154534}{76179755} a^{26} - \frac{32399436}{380898775} a^{25} + \frac{14633206}{380898775} a^{24} + \frac{70365376}{380898775} a^{23} + \frac{87851604}{380898775} a^{22} + \frac{75188133}{380898775} a^{21} - \frac{85253712}{380898775} a^{20} - \frac{7810701}{76179755} a^{19} - \frac{13484262}{76179755} a^{18} - \frac{5913655}{15235951} a^{17} - \frac{26119569}{76179755} a^{16} - \frac{19674493}{380898775} a^{15} + \frac{66158967}{380898775} a^{14} + \frac{41985434}{380898775} a^{13} + \frac{82193728}{380898775} a^{12} + \frac{23790547}{76179755} a^{11} - \frac{118190474}{380898775} a^{10} + \frac{804982}{15235951} a^{9} - \frac{142960667}{380898775} a^{8} - \frac{23598436}{76179755} a^{7} - \frac{133020984}{380898775} a^{6} + \frac{159562073}{380898775} a^{5} - \frac{44689897}{380898775} a^{4} - \frac{146376787}{380898775} a^{3} + \frac{79296112}{380898775} a^{2} - \frac{87152111}{380898775} a + \frac{5649}{3771275}$, $\frac{1}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{31} - \frac{1097426640064140173188018414141161301050996897152517257447504825360520014670875675069713186247843408632234556676677865579103}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{30} + \frac{925257885282294448450399292923098114477501235280605595476346410411049309334532217588224133784446488363623361991153603988419839663}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{29} - \frac{45415303996692072134979010206281075401493998247083263491998374990027449799625234364781561928401816795346239929482435702091673439}{125326310796890495191998385376408315221978812943470188554689692029026304076899507106346887694114740949525184528168091218170750925025} a^{28} - \frac{307413027463085665589049140748913721153559887677998020767061731624480413217442681852611925274503446430856145688808603722103529734611}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{27} - \frac{293956765018648520199406794408531534887055933082003690770980441577634145524673655811545017269339971136956969414913545650380036530481}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{26} - \frac{110924759216370245491399343150961212010108333559366866356343012643887098980106923589476437190933180216246459691981098342524917572352}{1528980991722064041342380301592181445708141517910336300367214242754120909738173986697432029868199839584207251243650712861683161285305} a^{25} + \frac{60484591934137347815669523536809495395353857529682121152151656027512357270867741024230119790479489677065517669202880704509543246697}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{24} + \frac{567440664938624379251359645104613820436270843173293295002256642186790096615846184174252749771897104717185114487196307322671944908006}{1528980991722064041342380301592181445708141517910336300367214242754120909738173986697432029868199839584207251243650712861683161285305} a^{23} + \frac{2393341733997411729392702488853982082323849265583533270448779225786400335722896379584480268425533818918326700626001041590794064111342}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{22} + \frac{2838447632984433932021176399846596044251020528220287182769644492326297309356356207628722003009802096238641168833753450835695300384986}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{21} - \frac{252642090623867989618702986603532269272989173272721628529530657694152396888018292897328194251913079398963322027205674806051091844942}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{20} - \frac{61277335963382992321511979232330245977770239823501846408949896602674747130212820712117006309334121616460000828521484001230886215949}{1528980991722064041342380301592181445708141517910336300367214242754120909738173986697432029868199839584207251243650712861683161285305} a^{19} - \frac{692149687044403797086049857582038207055037374094109940791071047996365767476048840524305224394536940952417314968711612838847379938259}{1528980991722064041342380301592181445708141517910336300367214242754120909738173986697432029868199839584207251243650712861683161285305} a^{18} - \frac{739013309520373245774181894356777571485596790372094979017752188962200645511933863014108829608474766625141864247324558219861685419912}{1528980991722064041342380301592181445708141517910336300367214242754120909738173986697432029868199839584207251243650712861683161285305} a^{17} + \frac{2325899747616786079255123956946046596799151268901662120292821931702531467672683876812270937538642655508660675929958583938285509340537}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{16} - \frac{929201038700526725067336004993969696008631728400761785701636431369925588235698048609398778659298173794518523284039824604712226664226}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{15} + \frac{2035653567299556336191516560908274516554494552838885000178121745183178410294587277950881868632020412032804619709160521309858510707141}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{14} + \frac{875479445215701807251599394646815889016281380954147220225448169846467587745723689484255532996086352215892685902092863907235692421177}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{13} - \frac{2640747827086576167036321492705550824683763747631053688807044604469077612263548124982128926208690405954750235499082120623218951468117}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{12} + \frac{1744583921514836591050315613766415054192040641109432275383673875649020620203837587124819710344587499611982865993208647731727502913086}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{11} + \frac{745351354293968401964001119657223117348164876512643267921044464777314482972600672121485088149137568565421530637908011825983106397131}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{10} + \frac{304304115276280494158096975290505704384269949231852337737818083767155025586374522663835150710970353658946305350954014179260647307163}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{9} + \frac{2959014059819130610523082387256574332566515133134689093526458953068518434393523191201634557902724938103976375046448193067903346610168}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{8} + \frac{3638311593732956011214124783485825759807451539902251719682958534145188917665233191995685202950039156996626025204390418600693655359671}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{7} + \frac{493567242564614390507986674431784191749494786503545336663296760675632935742681236032523106973512987883247838752885795619295993844944}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{6} + \frac{1508809533183307665005593037391159937625812757250378592492190355481009023531643386895186620515655296592826409482428161042726941861101}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{5} + \frac{2569834672644388774156710752328813382002179767457201241358178741388510080044702318038360740750198402028367681517640110561611526719991}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{4} + \frac{595788648760475010401344244077989552110722441319976190829119786953553860053337283124115855718993741584777382597465911153959884213797}{1528980991722064041342380301592181445708141517910336300367214242754120909738173986697432029868199839584207251243650712861683161285305} a^{3} - \frac{3586802424331764227381269276375723576682779031397192011405372230836467899493775554222203603280437722757254783724703429527217834842569}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a^{2} + \frac{1745177696343307247533959811106506386399131147166156345446437847947470137835567637207596752400755037887485457647558239886460292178008}{7644904958610320206711901507960907228540707589551681501836071213770604548690869933487160149340999197921036256218253564308415806426525} a - \frac{544797382534338201999819556959177026055063233164649855156789740678895851356529250507469795437473706228105564409496222833309549501}{1240854562345450447445528568083250645762166464786833550046432594346795089870292149567790967268462781678467173546218724932383672525}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $15$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{17744737762119674435944449310995304456082184401820807724337980731553090770156409782492546132676927387292234}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{31} - \frac{724385289151799218169684112548078767351321391763532192412043646896916932173958419309602261429216085542850}{6469554398826123158384181432470953597995461789309218112698801343119530168224757259248171324463353697356355010411} a^{30} - \frac{174627231221375851009530790222616937661204296504269922832235381582229522709795341576183229488027447693912297}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{29} + \frac{9354295605958868098903076207700776960240222082770815626179187954005233666108621455391042047331680283513157}{530291344166075668720014871514012589999628015517149025631049290419633620346291578626899288890438827652160246755} a^{28} + \frac{4071410836531990081735834329758947134658504638445323177998515825820989054059635908858583012841361120064094443}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{27} + \frac{6505132488438350173532441250024595624610282752605636413954049458898785222264740324369277631516288662473625998}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{26} - \frac{29780434953540658328138087825770931813531558696416761898385493851787750772509059751601141770579998373065864898}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{25} - \frac{194248239532177600082911125461063413562703328758380584312028719014732191251061173736087822240249564252917027322}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{24} - \frac{570800110976294329369949170498092110829706818008163879440173454220491806766962812020913764861724826731717103798}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{23} - \frac{338710217358482176637958101924026421907462663093541288337521614631880915538537709880874726421245983956551755689}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{22} + \frac{3248400912279788728887294283212575281818232958216392780476954939393190337205941144294485852984933794597691094549}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{21} + \frac{3022782585514272954224588026825493004245373612883294429186901245614337661132717951487378186919804589610170750578}{6469554398826123158384181432470953597995461789309218112698801343119530168224757259248171324463353697356355010411} a^{20} + \frac{6644042170898364780267656721005429857284060994422529863920559752091086837463362938256182526827771333328667660951}{6469554398826123158384181432470953597995461789309218112698801343119530168224757259248171324463353697356355010411} a^{19} + \frac{17811152663228098010584675929647491102954991357828924703628142748555839137892278736208181708681136107064663949044}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{18} - \frac{169975773677020740226024366406003001327546217422290935386886628419118380884871363476816057060538604322395068764996}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{17} - \frac{164520294788302810055324291319620297734961755047917597478134042969489574902295023925422682242250137113320776480600}{6469554398826123158384181432470953597995461789309218112698801343119530168224757259248171324463353697356355010411} a^{16} - \frac{2405407021724991652669310897657885441640055482571000038637200927172431978410424242585065249607694384380285963694958}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{15} - \frac{5355580873874206074015827617685401497861705245615850411335076668398543593387135494785100685855731355689743570732409}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{14} - \frac{9789234216666649227222702278692414081230562651762070216396177661170662980299758702553380637358229637179906593761514}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{13} - \frac{15103101265598689483430096636615197680028289379181069642917334517600771790878690619683439279135436290999147121315147}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{12} - \frac{19990373581506939670120730483146573603572024802747427356501779181057453318804320115070819298606297686670418414198782}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{11} - \frac{4556430444333458615181814873240264237847528175428942915997940047362873662474039165700413178567327535475398484846252}{6469554398826123158384181432470953597995461789309218112698801343119530168224757259248171324463353697356355010411} a^{10} - \frac{4507905247982056943080532779228424944391652781068361354676256265270200048973069067601098674419114617764615504974480}{6469554398826123158384181432470953597995461789309218112698801343119530168224757259248171324463353697356355010411} a^{9} - \frac{18994148946305616804883743253327496395542089030060150951990803887332438273977818799805971899119008114368195224409649}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{8} - \frac{13997597526561544686321139897843800294271174209757612275685170502131278769965652831148360799289207883279626995710923}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{7} - \frac{8207821185463487373784316661030068408672422040251726591025340575297614607179543756752437842617318414079342376104016}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{6} - \frac{4425866259253028555964291385861204964066953763159555029835749533634310212482883209049596889001713763276804839373136}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{5} - \frac{1696767476185607730674847143363185555995324717110805971026515380174787812265123894749315862565107557041611989865156}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{4} - \frac{883855314076062570938951241316962630436218207215679389517774774414218977394327426409862347015490436829718243167173}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{3} - \frac{362173931505294396406762558195480290604807597080281393379901372807520163715012070560399095556477128329737203101631}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a^{2} - \frac{212704984997769957225454181935940186863688427274337908349035135399113960693283176819804222194567159695378288547321}{32347771994130615791920907162354767989977308946546090563494006715597650841123786296240856622316768486781775052055} a - \frac{7544403264614408438271723456166688141384966041344268905500848354397921233237166854930116336893246764590602672}{5250409348178967017029850213010025643560673420961871540901478122966669508379124540860388998915235917348121255} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 222856567124688.0 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_8.A_4$ (as 32T402):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A solvable group of order 96
The 28 conjugacy class representatives for $C_8.A_4$
Character table for $C_8.A_4$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\), 4.0.442225.1, 8.0.195562950625.7, Deg 16

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.8.0.1}{8} }^{4}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/3.8.0.1}{8} }$ R R ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/LocalNumberField/11.2.0.1}{2} }^{4}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.8.0.1}{8} }$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.8.0.1}{8} }$ R $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.4.0.1}{4} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.2.0.1}{2} }^{4}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.2.0.1}{2} }^{4}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/47.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/53.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.4.0.1}{4} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
7Data not computed
$19$19.4.0.1$x^{4} - 2 x + 10$$1$$4$$0$$C_4$$[\ ]^{4}$
19.4.0.1$x^{4} - 2 x + 10$$1$$4$$0$$C_4$$[\ ]^{4}$
19.12.8.2$x^{12} - 13718 x^{3} + 1303210$$3$$4$$8$$C_{12}$$[\ ]_{3}^{4}$
19.12.8.2$x^{12} - 13718 x^{3} + 1303210$$3$$4$$8$$C_{12}$$[\ ]_{3}^{4}$

Artin representations

Label Dimension Conductor Defining polynomial of Artin field $G$ Ind $\chi(c)$
* 1.1.1t1.1c1$1$ $1$ $x$ $C_1$ $1$ $1$
* 1.5.2t1.1c1$1$ $ 5 $ $x^{2} - x - 1$ $C_2$ (as 2T1) $1$ $1$
1.5_7_19.6t1.3c1$1$ $ 5 \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{6} - x^{5} - 92 x^{4} - 37 x^{3} + 2004 x^{2} + 3335 x - 505$ $C_6$ (as 6T1) $0$ $1$
1.5_7_19.6t1.3c2$1$ $ 5 \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{6} - x^{5} - 92 x^{4} - 37 x^{3} + 2004 x^{2} + 3335 x - 505$ $C_6$ (as 6T1) $0$ $1$
1.7_19.3t1.2c1$1$ $ 7 \cdot 19 $ $x^{3} - x^{2} - 44 x + 64$ $C_3$ (as 3T1) $0$ $1$
1.7_19.3t1.2c2$1$ $ 7 \cdot 19 $ $x^{3} - x^{2} - 44 x + 64$ $C_3$ (as 3T1) $0$ $1$
* 1.5.4t1.1c1$1$ $ 5 $ $x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$ $C_4$ (as 4T1) $0$ $-1$
* 1.5.4t1.1c2$1$ $ 5 $ $x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$ $C_4$ (as 4T1) $0$ $-1$
1.5_7_19.12t1.1c1$1$ $ 5 \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{12} - x^{11} + 45 x^{10} - 25 x^{9} + 1941 x^{8} - 4660 x^{7} + 88464 x^{6} - 169280 x^{5} + 3763456 x^{4} - 5550080 x^{3} + 8192000 x^{2} - 11534336 x + 16777216$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
1.5_7_19.12t1.1c2$1$ $ 5 \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{12} - x^{11} + 45 x^{10} - 25 x^{9} + 1941 x^{8} - 4660 x^{7} + 88464 x^{6} - 169280 x^{5} + 3763456 x^{4} - 5550080 x^{3} + 8192000 x^{2} - 11534336 x + 16777216$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
1.5_7_19.12t1.1c3$1$ $ 5 \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{12} - x^{11} + 45 x^{10} - 25 x^{9} + 1941 x^{8} - 4660 x^{7} + 88464 x^{6} - 169280 x^{5} + 3763456 x^{4} - 5550080 x^{3} + 8192000 x^{2} - 11534336 x + 16777216$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
1.5_7_19.12t1.1c4$1$ $ 5 \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{12} - x^{11} + 45 x^{10} - 25 x^{9} + 1941 x^{8} - 4660 x^{7} + 88464 x^{6} - 169280 x^{5} + 3763456 x^{4} - 5550080 x^{3} + 8192000 x^{2} - 11534336 x + 16777216$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
2.5e2_7e2_19e2.48.1c1$2$ $ 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
2.5e2_7e2_19e2.48.1c2$2$ $ 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
2.5e2_7e2_19e2.48.1c3$2$ $ 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
2.5e2_7e2_19e2.48.1c4$2$ $ 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c1$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c2$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c3$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c4$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c5$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c6$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c7$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_7_19.32.1c8$2$ $ 5^{2} \cdot 7 \cdot 19 $ $x^{32} + 10 x^{30} - 34 x^{29} - 221 x^{28} - 325 x^{27} + 1702 x^{26} + 10506 x^{25} + 30252 x^{24} + 14963 x^{23} - 179369 x^{22} - 807831 x^{21} - 1736093 x^{20} - 816295 x^{19} + 9325990 x^{18} + 44064917 x^{17} + 128084070 x^{16} + 284677470 x^{15} + 521805347 x^{14} + 810649893 x^{13} + 1086373418 x^{12} + 1261930239 x^{11} + 1284857142 x^{10} + 1126974132 x^{9} + 881072238 x^{8} + 561801072 x^{7} + 341439909 x^{6} + 154026757 x^{5} + 83319621 x^{4} + 32957519 x^{3} + 18318673 x^{2} + 5994407 x + 1916071$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 3.5e2_7e2_19e2.4t4.1c1$3$ $ 5^{2} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{4} - x^{3} - 3 x^{2} - 14 x + 36$ $A_4$ (as 4T4) $1$ $-1$
* 3.5_7e2_19e2.6t6.1c1$3$ $ 5 \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{6} - 2 x^{4} - 43 x^{2} - 20$ $A_4\times C_2$ (as 6T6) $1$ $-1$
* 3.5e3_7e2_19e2.12t29.1c1$3$ $ 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{12} + 10 x^{10} - 625 x^{8} - 1150 x^{6} + 49225 x^{4} - 107500 x^{2} + 50000$ C4*A4 $0$ $1$
* 3.5e3_7e2_19e2.12t29.1c2$3$ $ 5^{3} \cdot 7^{2} \cdot 19^{2}$ $x^{12} + 10 x^{10} - 625 x^{8} - 1150 x^{6} + 49225 x^{4} - 107500 x^{2} + 50000$ C4*A4 $0$ $1$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.