↑

Properties

Label 32.0.23633348359...9169.1
Degree $32$
Signature $[0, 16]$
Discriminant $17^{30}\cdot 19^{16}$
Root discriminant $62.08$
Ramified primes $17, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_2\times C_{16}$ (as 32T32)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![152587890625, -30517578125, -24414062500, 10986328125, 2685546875, -2734375000, 9765625, 544921875, -110937500, -86796875, 39546875, 9450000, -9799375, 69875, 1945900, -403155, -308549, -80631, 77836, 559, -15679, 3024, 2531, -1111, -284, 279, 1, -56, 11, 9, -4, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - x^31 - 4*x^30 + 9*x^29 + 11*x^28 - 56*x^27 + x^26 + 279*x^25 - 284*x^24 - 1111*x^23 + 2531*x^22 + 3024*x^21 - 15679*x^20 + 559*x^19 + 77836*x^18 - 80631*x^17 - 308549*x^16 - 403155*x^15 + 1945900*x^14 + 69875*x^13 - 9799375*x^12 + 9450000*x^11 + 39546875*x^10 - 86796875*x^9 - 110937500*x^8 + 544921875*x^7 + 9765625*x^6 - 2734375000*x^5 + 2685546875*x^4 + 10986328125*x^3 - 24414062500*x^2 - 30517578125*x + 152587890625)
 
gp: K = bnfinit(x^32 - x^31 - 4*x^30 + 9*x^29 + 11*x^28 - 56*x^27 + x^26 + 279*x^25 - 284*x^24 - 1111*x^23 + 2531*x^22 + 3024*x^21 - 15679*x^20 + 559*x^19 + 77836*x^18 - 80631*x^17 - 308549*x^16 - 403155*x^15 + 1945900*x^14 + 69875*x^13 - 9799375*x^12 + 9450000*x^11 + 39546875*x^10 - 86796875*x^9 - 110937500*x^8 + 544921875*x^7 + 9765625*x^6 - 2734375000*x^5 + 2685546875*x^4 + 10986328125*x^3 - 24414062500*x^2 - 30517578125*x + 152587890625, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{32} - x^{31} - 4 x^{30} + 9 x^{29} + 11 x^{28} - 56 x^{27} + x^{26} + 279 x^{25} - 284 x^{24} - 1111 x^{23} + 2531 x^{22} + 3024 x^{21} - 15679 x^{20} + 559 x^{19} + 77836 x^{18} - 80631 x^{17} - 308549 x^{16} - 403155 x^{15} + 1945900 x^{14} + 69875 x^{13} - 9799375 x^{12} + 9450000 x^{11} + 39546875 x^{10} - 86796875 x^{9} - 110937500 x^{8} + 544921875 x^{7} + 9765625 x^{6} - 2734375000 x^{5} + 2685546875 x^{4} + 10986328125 x^{3} - 24414062500 x^{2} - 30517578125 x + 152587890625 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $32$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 16]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2363334835971866136037396877870723194706308201196277819169=17^{30}\cdot 19^{16}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $62.08$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $17, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(323=17\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{323}(1,·)$, $\chi_{323}(132,·)$, $\chi_{323}(134,·)$, $\chi_{323}(265,·)$, $\chi_{323}(267,·)$, $\chi_{323}(18,·)$, $\chi_{323}(20,·)$, $\chi_{323}(151,·)$, $\chi_{323}(284,·)$, $\chi_{323}(286,·)$, $\chi_{323}(37,·)$, $\chi_{323}(39,·)$, $\chi_{323}(172,·)$, $\chi_{323}(303,·)$, $\chi_{323}(305,·)$, $\chi_{323}(56,·)$, $\chi_{323}(58,·)$, $\chi_{323}(189,·)$, $\chi_{323}(191,·)$, $\chi_{323}(322,·)$, $\chi_{323}(75,·)$, $\chi_{323}(77,·)$, $\chi_{323}(208,·)$, $\chi_{323}(210,·)$, $\chi_{323}(94,·)$, $\chi_{323}(96,·)$, $\chi_{323}(227,·)$, $\chi_{323}(229,·)$, $\chi_{323}(113,·)$, $\chi_{323}(115,·)$, $\chi_{323}(246,·)$, $\chi_{323}(248,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{1542745} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} - \frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{80631}{308549}$, $\frac{1}{7713725} a^{18} - \frac{1}{7713725} a^{17} + \frac{4}{25} a^{16} - \frac{9}{25} a^{15} - \frac{11}{25} a^{14} + \frac{6}{25} a^{13} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{4}{25} a^{11} + \frac{9}{25} a^{10} + \frac{11}{25} a^{9} - \frac{6}{25} a^{8} + \frac{1}{25} a^{7} + \frac{4}{25} a^{6} - \frac{9}{25} a^{5} - \frac{11}{25} a^{4} + \frac{6}{25} a^{3} - \frac{1}{25} a^{2} - \frac{80631}{1542745} a + \frac{77836}{308549}$, $\frac{1}{38568625} a^{19} - \frac{1}{38568625} a^{18} - \frac{4}{38568625} a^{17} + \frac{41}{125} a^{16} - \frac{61}{125} a^{15} - \frac{19}{125} a^{14} - \frac{51}{125} a^{13} + \frac{21}{125} a^{12} - \frac{16}{125} a^{11} + \frac{36}{125} a^{10} + \frac{44}{125} a^{9} + \frac{26}{125} a^{8} + \frac{4}{125} a^{7} - \frac{9}{125} a^{6} - \frac{11}{125} a^{5} + \frac{56}{125} a^{4} - \frac{1}{125} a^{3} - \frac{80631}{7713725} a^{2} + \frac{77836}{1542745} a + \frac{559}{308549}$, $\frac{1}{192843125} a^{20} - \frac{1}{192843125} a^{19} - \frac{4}{192843125} a^{18} + \frac{9}{192843125} a^{17} - \frac{311}{625} a^{16} + \frac{106}{625} a^{15} + \frac{199}{625} a^{14} - \frac{104}{625} a^{13} - \frac{266}{625} a^{12} + \frac{161}{625} a^{11} - \frac{81}{625} a^{10} - \frac{99}{625} a^{9} - \frac{121}{625} a^{8} - \frac{9}{625} a^{7} - \frac{11}{625} a^{6} + \frac{56}{625} a^{5} - \frac{1}{625} a^{4} - \frac{80631}{38568625} a^{3} + \frac{77836}{7713725} a^{2} + \frac{559}{1542745} a - \frac{15679}{308549}$, $\frac{1}{964215625} a^{21} - \frac{1}{964215625} a^{20} - \frac{4}{964215625} a^{19} + \frac{9}{964215625} a^{18} + \frac{11}{964215625} a^{17} + \frac{106}{3125} a^{16} + \frac{1449}{3125} a^{15} + \frac{1146}{3125} a^{14} + \frac{984}{3125} a^{13} - \frac{464}{3125} a^{12} - \frac{1331}{3125} a^{11} + \frac{526}{3125} a^{10} - \frac{121}{3125} a^{9} + \frac{616}{3125} a^{8} - \frac{11}{3125} a^{7} + \frac{56}{3125} a^{6} - \frac{1}{3125} a^{5} - \frac{80631}{192843125} a^{4} + \frac{77836}{38568625} a^{3} + \frac{559}{7713725} a^{2} - \frac{15679}{1542745} a + \frac{3024}{308549}$, $\frac{1}{4821078125} a^{22} - \frac{1}{4821078125} a^{21} - \frac{4}{4821078125} a^{20} + \frac{9}{4821078125} a^{19} + \frac{11}{4821078125} a^{18} - \frac{56}{4821078125} a^{17} - \frac{4801}{15625} a^{16} + \frac{4271}{15625} a^{15} + \frac{4109}{15625} a^{14} + \frac{5786}{15625} a^{13} + \frac{4919}{15625} a^{12} - \frac{2599}{15625} a^{11} - \frac{6371}{15625} a^{10} + \frac{3741}{15625} a^{9} - \frac{3136}{15625} a^{8} + \frac{56}{15625} a^{7} - \frac{1}{15625} a^{6} - \frac{80631}{964215625} a^{5} + \frac{77836}{192843125} a^{4} + \frac{559}{38568625} a^{3} - \frac{15679}{7713725} a^{2} + \frac{3024}{1542745} a + \frac{2531}{308549}$, $\frac{1}{24105390625} a^{23} - \frac{1}{24105390625} a^{22} - \frac{4}{24105390625} a^{21} + \frac{9}{24105390625} a^{20} + \frac{11}{24105390625} a^{19} - \frac{56}{24105390625} a^{18} + \frac{1}{24105390625} a^{17} + \frac{4271}{78125} a^{16} + \frac{19734}{78125} a^{15} + \frac{37036}{78125} a^{14} + \frac{20544}{78125} a^{13} + \frac{28651}{78125} a^{12} + \frac{24879}{78125} a^{11} - \frac{11884}{78125} a^{10} - \frac{34386}{78125} a^{9} + \frac{15681}{78125} a^{8} - \frac{1}{78125} a^{7} - \frac{80631}{4821078125} a^{6} + \frac{77836}{964215625} a^{5} + \frac{559}{192843125} a^{4} - \frac{15679}{38568625} a^{3} + \frac{3024}{7713725} a^{2} + \frac{2531}{1542745} a - \frac{1111}{308549}$, $\frac{1}{120526953125} a^{24} - \frac{1}{120526953125} a^{23} - \frac{4}{120526953125} a^{22} + \frac{9}{120526953125} a^{21} + \frac{11}{120526953125} a^{20} - \frac{56}{120526953125} a^{19} + \frac{1}{120526953125} a^{18} + \frac{279}{120526953125} a^{17} - \frac{136516}{390625} a^{16} + \frac{115161}{390625} a^{15} + \frac{176794}{390625} a^{14} + \frac{28651}{390625} a^{13} - \frac{131371}{390625} a^{12} - \frac{11884}{390625} a^{11} - \frac{112511}{390625} a^{10} + \frac{171931}{390625} a^{9} - \frac{1}{390625} a^{8} - \frac{80631}{24105390625} a^{7} + \frac{77836}{4821078125} a^{6} + \frac{559}{964215625} a^{5} - \frac{15679}{192843125} a^{4} + \frac{3024}{38568625} a^{3} + \frac{2531}{7713725} a^{2} - \frac{1111}{1542745} a - \frac{284}{308549}$, $\frac{1}{602634765625} a^{25} - \frac{1}{602634765625} a^{24} - \frac{4}{602634765625} a^{23} + \frac{9}{602634765625} a^{22} + \frac{11}{602634765625} a^{21} - \frac{56}{602634765625} a^{20} + \frac{1}{602634765625} a^{19} + \frac{279}{602634765625} a^{18} - \frac{284}{602634765625} a^{17} - \frac{275464}{1953125} a^{16} + \frac{958044}{1953125} a^{15} + \frac{419276}{1953125} a^{14} + \frac{649879}{1953125} a^{13} - \frac{793134}{1953125} a^{12} - \frac{503136}{1953125} a^{11} + \frac{562556}{1953125} a^{10} - \frac{1}{1953125} a^{9} - \frac{80631}{120526953125} a^{8} + \frac{77836}{24105390625} a^{7} + \frac{559}{4821078125} a^{6} - \frac{15679}{964215625} a^{5} + \frac{3024}{192843125} a^{4} + \frac{2531}{38568625} a^{3} - \frac{1111}{7713725} a^{2} - \frac{284}{1542745} a + \frac{279}{308549}$, $\frac{1}{3013173828125} a^{26} - \frac{1}{3013173828125} a^{25} - \frac{4}{3013173828125} a^{24} + \frac{9}{3013173828125} a^{23} + \frac{11}{3013173828125} a^{22} - \frac{56}{3013173828125} a^{21} + \frac{1}{3013173828125} a^{20} + \frac{279}{3013173828125} a^{19} - \frac{284}{3013173828125} a^{18} - \frac{1111}{3013173828125} a^{17} - \frac{995081}{9765625} a^{16} + \frac{2372401}{9765625} a^{15} + \frac{2603004}{9765625} a^{14} - \frac{4699384}{9765625} a^{13} + \frac{1449989}{9765625} a^{12} + \frac{2515681}{9765625} a^{11} - \frac{1}{9765625} a^{10} - \frac{80631}{602634765625} a^{9} + \frac{77836}{120526953125} a^{8} + \frac{559}{24105390625} a^{7} - \frac{15679}{4821078125} a^{6} + \frac{3024}{964215625} a^{5} + \frac{2531}{192843125} a^{4} - \frac{1111}{38568625} a^{3} - \frac{284}{7713725} a^{2} + \frac{279}{1542745} a + \frac{1}{308549}$, $\frac{1}{15065869140625} a^{27} - \frac{1}{15065869140625} a^{26} - \frac{4}{15065869140625} a^{25} + \frac{9}{15065869140625} a^{24} + \frac{11}{15065869140625} a^{23} - \frac{56}{15065869140625} a^{22} + \frac{1}{15065869140625} a^{21} + \frac{279}{15065869140625} a^{20} - \frac{284}{15065869140625} a^{19} - \frac{1111}{15065869140625} a^{18} + \frac{2531}{15065869140625} a^{17} + \frac{21903651}{48828125} a^{16} - \frac{16928246}{48828125} a^{15} + \frac{5066241}{48828125} a^{14} - \frac{18081261}{48828125} a^{13} - \frac{7249944}{48828125} a^{12} - \frac{1}{48828125} a^{11} - \frac{80631}{3013173828125} a^{10} + \frac{77836}{602634765625} a^{9} + \frac{559}{120526953125} a^{8} - \frac{15679}{24105390625} a^{7} + \frac{3024}{4821078125} a^{6} + \frac{2531}{964215625} a^{5} - \frac{1111}{192843125} a^{4} - \frac{284}{38568625} a^{3} + \frac{279}{7713725} a^{2} + \frac{1}{1542745} a - \frac{56}{308549}$, $\frac{1}{75329345703125} a^{28} - \frac{1}{75329345703125} a^{27} - \frac{4}{75329345703125} a^{26} + \frac{9}{75329345703125} a^{25} + \frac{11}{75329345703125} a^{24} - \frac{56}{75329345703125} a^{23} + \frac{1}{75329345703125} a^{22} + \frac{279}{75329345703125} a^{21} - \frac{284}{75329345703125} a^{20} - \frac{1111}{75329345703125} a^{19} + \frac{2531}{75329345703125} a^{18} + \frac{3024}{75329345703125} a^{17} - \frac{65756371}{244140625} a^{16} - \frac{43761884}{244140625} a^{15} - \frac{115737511}{244140625} a^{14} + \frac{90406306}{244140625} a^{13} - \frac{1}{244140625} a^{12} - \frac{80631}{15065869140625} a^{11} + \frac{77836}{3013173828125} a^{10} + \frac{559}{602634765625} a^{9} - \frac{15679}{120526953125} a^{8} + \frac{3024}{24105390625} a^{7} + \frac{2531}{4821078125} a^{6} - \frac{1111}{964215625} a^{5} - \frac{284}{192843125} a^{4} + \frac{279}{38568625} a^{3} + \frac{1}{7713725} a^{2} - \frac{56}{1542745} a + \frac{11}{308549}$, $\frac{1}{376646728515625} a^{29} - \frac{1}{376646728515625} a^{28} - \frac{4}{376646728515625} a^{27} + \frac{9}{376646728515625} a^{26} + \frac{11}{376646728515625} a^{25} - \frac{56}{376646728515625} a^{24} + \frac{1}{376646728515625} a^{23} + \frac{279}{376646728515625} a^{22} - \frac{284}{376646728515625} a^{21} - \frac{1111}{376646728515625} a^{20} + \frac{2531}{376646728515625} a^{19} + \frac{3024}{376646728515625} a^{18} - \frac{15679}{376646728515625} a^{17} - \frac{532043134}{1220703125} a^{16} - \frac{359878136}{1220703125} a^{15} + \frac{578687556}{1220703125} a^{14} - \frac{1}{1220703125} a^{13} - \frac{80631}{75329345703125} a^{12} + \frac{77836}{15065869140625} a^{11} + \frac{559}{3013173828125} a^{10} - \frac{15679}{602634765625} a^{9} + \frac{3024}{120526953125} a^{8} + \frac{2531}{24105390625} a^{7} - \frac{1111}{4821078125} a^{6} - \frac{284}{964215625} a^{5} + \frac{279}{192843125} a^{4} + \frac{1}{38568625} a^{3} - \frac{56}{7713725} a^{2} + \frac{11}{1542745} a + \frac{9}{308549}$, $\frac{1}{1883233642578125} a^{30} - \frac{1}{1883233642578125} a^{29} - \frac{4}{1883233642578125} a^{28} + \frac{9}{1883233642578125} a^{27} + \frac{11}{1883233642578125} a^{26} - \frac{56}{1883233642578125} a^{25} + \frac{1}{1883233642578125} a^{24} + \frac{279}{1883233642578125} a^{23} - \frac{284}{1883233642578125} a^{22} - \frac{1111}{1883233642578125} a^{21} + \frac{2531}{1883233642578125} a^{20} + \frac{3024}{1883233642578125} a^{19} - \frac{15679}{1883233642578125} a^{18} + \frac{559}{1883233642578125} a^{17} + \frac{860824989}{6103515625} a^{16} + \frac{1799390681}{6103515625} a^{15} - \frac{1}{6103515625} a^{14} - \frac{80631}{376646728515625} a^{13} + \frac{77836}{75329345703125} a^{12} + \frac{559}{15065869140625} a^{11} - \frac{15679}{3013173828125} a^{10} + \frac{3024}{602634765625} a^{9} + \frac{2531}{120526953125} a^{8} - \frac{1111}{24105390625} a^{7} - \frac{284}{4821078125} a^{6} + \frac{279}{964215625} a^{5} + \frac{1}{192843125} a^{4} - \frac{56}{38568625} a^{3} + \frac{11}{7713725} a^{2} + \frac{9}{1542745} a - \frac{4}{308549}$, $\frac{1}{9416168212890625} a^{31} - \frac{1}{9416168212890625} a^{30} - \frac{4}{9416168212890625} a^{29} + \frac{9}{9416168212890625} a^{28} + \frac{11}{9416168212890625} a^{27} - \frac{56}{9416168212890625} a^{26} + \frac{1}{9416168212890625} a^{25} + \frac{279}{9416168212890625} a^{24} - \frac{284}{9416168212890625} a^{23} - \frac{1111}{9416168212890625} a^{22} + \frac{2531}{9416168212890625} a^{21} + \frac{3024}{9416168212890625} a^{20} - \frac{15679}{9416168212890625} a^{19} + \frac{559}{9416168212890625} a^{18} + \frac{77836}{9416168212890625} a^{17} - \frac{4304124944}{30517578125} a^{16} - \frac{1}{30517578125} a^{15} - \frac{80631}{1883233642578125} a^{14} + \frac{77836}{376646728515625} a^{13} + \frac{559}{75329345703125} a^{12} - \frac{15679}{15065869140625} a^{11} + \frac{3024}{3013173828125} a^{10} + \frac{2531}{602634765625} a^{9} - \frac{1111}{120526953125} a^{8} - \frac{284}{24105390625} a^{7} + \frac{279}{4821078125} a^{6} + \frac{1}{964215625} a^{5} - \frac{56}{192843125} a^{4} + \frac{11}{38568625} a^{3} + \frac{9}{7713725} a^{2} - \frac{4}{1542745} a - \frac{1}{308549}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $15$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{3024}{75329345703125} a^{29} + \frac{6056880491}{75329345703125} a^{12} \) (order $34$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_2\times C_{16}$ (as 32T32):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 32
The 32 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{16}$
Character table for $C_2\times C_{16}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-323}) \), \(\Q(\sqrt{17}) \), \(\Q(\sqrt{-19}) \), \(\Q(\sqrt{17}, \sqrt{-19})\), 4.4.4913.1, 4.0.1773593.2, 8.0.3145632129649.3, \(\Q(\zeta_{17})^+\), 8.0.53475746204033.2, 16.0.2859655432078149808865465089.6, 16.16.48614142345328546750712906513.1, \(\Q(\zeta_{17})\)

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.8.0.1}{8} }^{4}$ $16^{2}$ $16^{2}$ $16^{2}$ $16^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/13.4.0.1}{4} }^{8}$ R R $16^{2}$ $16^{2}$ $16^{2}$ $16^{2}$ $16^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }^{8}$ ${\href{/LocalNumberField/53.8.0.1}{8} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/59.8.0.1}{8} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
17Data not computed
19Data not computed