↑

Properties

Label 32.0.17061596101...0625.1
Degree $32$
Signature $[0, 16]$
Discriminant $5^{28}\cdot 127^{16}$
Root discriminant $46.08$
Ramified primes $5, 127$
Class number $3$ (GRH)
Class group $[3]$ (GRH)
Galois group $C_8.A_4$ (as 32T402)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![313809121, 711827200, -2153549419, -2839464368, 11658561303, -10922257252, 1497324960, 2050419221, 2111159122, -3917503795, 1322753872, 420160443, -27697040, -382818671, 195460786, -597015, -16834230, -8139429, 11453717, -3368948, -1004401, 473336, 338537, -173128, -27449, 19766, 4402, -2631, -221, 200, 0, -9, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 9*x^31 + 200*x^29 - 221*x^28 - 2631*x^27 + 4402*x^26 + 19766*x^25 - 27449*x^24 - 173128*x^23 + 338537*x^22 + 473336*x^21 - 1004401*x^20 - 3368948*x^19 + 11453717*x^18 - 8139429*x^17 - 16834230*x^16 - 597015*x^15 + 195460786*x^14 - 382818671*x^13 - 27697040*x^12 + 420160443*x^11 + 1322753872*x^10 - 3917503795*x^9 + 2111159122*x^8 + 2050419221*x^7 + 1497324960*x^6 - 10922257252*x^5 + 11658561303*x^4 - 2839464368*x^3 - 2153549419*x^2 + 711827200*x + 313809121)
 
gp: K = bnfinit(x^32 - 9*x^31 + 200*x^29 - 221*x^28 - 2631*x^27 + 4402*x^26 + 19766*x^25 - 27449*x^24 - 173128*x^23 + 338537*x^22 + 473336*x^21 - 1004401*x^20 - 3368948*x^19 + 11453717*x^18 - 8139429*x^17 - 16834230*x^16 - 597015*x^15 + 195460786*x^14 - 382818671*x^13 - 27697040*x^12 + 420160443*x^11 + 1322753872*x^10 - 3917503795*x^9 + 2111159122*x^8 + 2050419221*x^7 + 1497324960*x^6 - 10922257252*x^5 + 11658561303*x^4 - 2839464368*x^3 - 2153549419*x^2 + 711827200*x + 313809121, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $32$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 16]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(170615961014359235699341036323165930807590484619140625=5^{28}\cdot 127^{16}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $46.08$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 127$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is not Galois over $\Q$.
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{38} a^{29} + \frac{3}{38} a^{28} + \frac{1}{38} a^{27} + \frac{3}{19} a^{26} + \frac{7}{38} a^{25} - \frac{4}{19} a^{24} - \frac{3}{38} a^{23} - \frac{1}{38} a^{22} - \frac{5}{38} a^{21} - \frac{7}{38} a^{20} - \frac{3}{38} a^{19} - \frac{1}{2} a^{18} + \frac{5}{19} a^{17} - \frac{15}{38} a^{16} + \frac{3}{19} a^{15} - \frac{7}{19} a^{14} + \frac{7}{19} a^{13} - \frac{1}{19} a^{12} - \frac{8}{19} a^{11} + \frac{1}{38} a^{10} - \frac{2}{19} a^{9} - \frac{15}{38} a^{8} - \frac{11}{38} a^{7} + \frac{13}{38} a^{6} + \frac{2}{19} a^{5} - \frac{8}{19} a^{4} + \frac{5}{38} a^{3} + \frac{5}{19} a^{2} - \frac{2}{19} a + \frac{4}{19}$, $\frac{1}{418} a^{30} + \frac{3}{418} a^{29} + \frac{10}{209} a^{28} - \frac{35}{209} a^{27} - \frac{25}{209} a^{26} - \frac{65}{418} a^{25} - \frac{1}{19} a^{24} + \frac{85}{209} a^{23} + \frac{83}{209} a^{22} + \frac{82}{209} a^{21} + \frac{149}{418} a^{20} - \frac{1}{11} a^{19} + \frac{29}{418} a^{18} + \frac{175}{418} a^{17} + \frac{63}{418} a^{16} + \frac{50}{209} a^{15} + \frac{109}{418} a^{14} + \frac{169}{418} a^{13} + \frac{79}{418} a^{12} + \frac{7}{38} a^{11} + \frac{15}{418} a^{10} + \frac{40}{209} a^{9} + \frac{27}{418} a^{8} + \frac{203}{418} a^{7} + \frac{59}{209} a^{6} - \frac{35}{418} a^{5} + \frac{50}{209} a^{4} - \frac{52}{209} a^{3} - \frac{61}{418} a^{2} - \frac{53}{209} a + \frac{3}{22}$, $\frac{1}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{31} - \frac{508233567615725045247971164012377612808680873806441491988436971274714806677319039194435688924088089649959994358586587133388611328759433501}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{30} + \frac{4103622756286713375493355210725922070815762538769869437943005220674470556051208995698397335431097546262919325331662537148277339645544629770}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{29} + \frac{72783416486305098111606812721019744211650533590644965931072902212354956825922731252499145420022313652909144755102931174288981382144291450970}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{28} + \frac{2378555339854277237387773529269788710717068618008345227088103266105781503854509130280721986420136742672978115116674903721887455236115305452}{11351452106778888154462712340585271435110533208118312780020431506447338184096617199111310710222741423901931888930212833724947813836963285209} a^{27} - \frac{63095161365970822538636191175626924363869579806334259794449167894139565158612951496232868858498156715852107253858853315733183685038331401521}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{26} - \frac{122331075444185425519185908234275870505540318881007628218838913177604641311703179276846754581678580986574734620380163140605058156829624356303}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{25} + \frac{6084614368626546464080038245977338657478619974156272404438155807242814326334867817980714549271051946603882090621494461044244142046455128345}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{24} - \frac{795042789497400057844332141176486019061702666970321964984920630721470688770483624676922649428795646030414181505920883940588058615518954271}{37041580558962687661930956058751938367202792573859757492698250178933419337578435070784277054411050962206304058614378720576145497783774930682} a^{23} + \frac{78202007979231363720930318502598372854508836551303344538672541365677185716019969799267110965063912910681298426850090332966761359160217702835}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{22} + \frac{86995301703488088089982253525735040318920120557505212369919425659852829261949201980591682792578036615670560743376181532105148172967650132666}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{21} + \frac{167043683216519031491391340254583290080781920981884505941190323891067541680391749684546764674877901447378318758445122599500714732990940105985}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{20} + \frac{161134106183068582690233774812529543058134801397194245101598742083892853044965157591589232157860961082806144272182769203915161898052550217127}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{19} + \frac{121471244283800104919593226611607163847752915241208349849430441387729439312261777776038697138060405490467900912228732432502785490463172165754}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{18} - \frac{124229560476461067429266871198272980063818569227326817503806967078191431242802911368716099891071139794445844004411169123713881567016070733545}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{17} + \frac{53611079875592109227617826906200570793892314729050329629732856982582995744568391102334903091589575893557633248078113006687189061073605653175}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{16} + \frac{309021987397223621926546813786433253419426431629444401565929847165959250584749363438410426227819737002521902839952209601821423313429158871239}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{15} - \frac{259541460292594213951896194315259078607672354872498719854499199021108713647787323807027123435173342906000084235127077095999779104057989033783}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{14} + \frac{2254228706765338008127550137844460430078304522436300977175919747393527065773241217806192377544194825513527112430787763253317468226812432043}{31990455937285957526213098414376674044402411768333426925512125154533407609726830288404602910627725830996353505166963440497580202631441985589} a^{13} - \frac{87985124323433683472779373151218989749635809830409226021050257376000905647373779382857088655686085633405612626361738482179545312196446848533}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{12} + \frac{54056434076600704903899098875751575378311979936529545853413948563084468564804478020602136199656783069003556155248617020672875874768615041687}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{11} + \frac{76729331824708601161676044670211892183201824671617632058530918509734592254022763602643162177926685544175332372961746370855852584171428451520}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{10} - \frac{91879331463687453699918018213252284374914632188136222294994963958243681763027810078167925986981558724256002911982449180877061680348644870184}{351895015310145532788344082558143414488426529451667696180633376699867483706995133172450632016904984140959888556836597845473382228945861841479} a^{9} - \frac{172382665224718608559069125244161197279136187536171524906956061779371155474320641301884705048430709398102889989565509252707772950795033419579}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{8} + \frac{4058940041203099947732686183761520094403024244352274794841748315109672140708897599579924862094865993011740387015887280059045554173695233837}{31990455937285957526213098414376674044402411768333426925512125154533407609726830288404602910627725830996353505166963440497580202631441985589} a^{7} - \frac{55885476303495587573538239008306719399920087919939301764297507768504177133049461730431670063386929109640255154917331346566229283613721913291}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{6} - \frac{299152073282367227788855064953164552927547563830839018970437035727929079459707755698944576616311742447417355530433230411292387595996969550391}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{5} - \frac{13158858201754367669597041167738542339166493113871562133132041428646835659989453936394865291458001648166874546414212921062876369418217023645}{63980911874571915052426196828753348088804823536666853851024250309066815219453660576809205821255451661992707010333926880995160405262883971178} a^{4} + \frac{36142238678945315553528829117476000417911566111018426395374195642900498191894784496626669714676203540370621153579370726880610607862021943289}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{3} + \frac{116441404960054252547819541342411529568196198337438215885494069569506866694780670333433749752605920247802408788807482945238107337765330330183}{703790030620291065576688165116286828976853058903335392361266753399734967413990266344901264033809968281919777113673195690946764457891723682958} a^{2} + \frac{8766739256752836880474083248844957674791293267990577749835413676520514319482802535964691319342774074807534684082200707445160036348166638339}{63980911874571915052426196828753348088804823536666853851024250309066815219453660576809205821255451661992707010333926880995160405262883971178} a + \frac{10451637407323606589811940314312389967868836974674444090442890093888545227154274436912996244364428429313469354086965600347821437333730993}{183374161182983602286786911181940288946548478088414641052961634549175343255338787479130084427777480010922297319873161983050225236553341241}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{3}$, which has order $3$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $15$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{2251233301023753864290121373880450245147972155516126734819246581451868446821382038261525463262190275902944857340481}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{31} - \frac{16835458649938533614106570967064377242975920578647151241149123628557657031707751528018003338135924819882433810229809}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{30} - \frac{25636892373650060057736403579186663646059872128402564326161056237188586398361502310508926541978782337989079623537779}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{29} + \frac{411348222381656123189828499719676040394000560913680153209057029289699094376252465627268958071915264325129208154696970}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{28} + \frac{4154689629891382659459474002283323958298956626047513759192006035828691627491854518734616166686534001139502591011033}{32149374026425062715409208228376207384171074320307444206347384291618387326239214977364542718757566472757497694757900029} a^{27} - \frac{5729852957340056528004095201572254248795721113537082172752115172413651068170505470227824908263865447663662798513914899}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{26} + \frac{5672938350678071402026379075639741823904477516092253812255992879504827909805011021268206301261784749048355762074056}{4768567439326205474534380167845274779470350736504931915774013937991244053174237628221535044409017036629102528887535411} a^{25} + \frac{46341307209608985297240138152544386310966468903098329097833803625556347921015239194426798788463840721001218046473594797}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{24} + \frac{8771176401782551765340761894641006741922301108883483159760168754260194045587454977884694790196822116624721165192373821}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{23} - \frac{376709060720830953521040561120479198924483869528599616932132445560805811489126960828918212239027671632047137202488682147}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{22} + \frac{188366973240082804968981161622946393665897766847327522341247598622257132036319111743045815899586358365992292096300634628}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{21} + \frac{1354493869336536344289724588451015090368110278110408007165006419821999182301156149529888564310611649988961660975749569862}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{20} - \frac{198260853335725962685529206207380165108061303507490856015351506475737701185416953100951518696758944916730525385584308510}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{19} - \frac{7893965327105933746980337059842570259758632950597247924090774036492486083760426704357216484811773174314691543718600676097}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{18} + \frac{13762675699941323442524675349948435396012782354856823757021941840014668207079654004422677371187858959707621803645462869269}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{17} + \frac{2666812507278624337999709929964969393842352531400387992376160860165115398590815005251688471246818840980726462102530338208}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{16} - \frac{33884329902622160651807032983467231665367067609459267186603171398798146616043033853337278252922277173173770179543605937738}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{15} - \frac{52980545116736754474704970528341621991596339654793072738818087139388109109308599437089599147725274766889180357094968784918}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{14} + \frac{359562841782018965426963305132127151740712297820276767828422317080662697221134900670026402611616322998908200034662496496182}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{13} - \frac{28546466905352062524755309750282558591015487034568163899089071263459702870795242052623537288894154575193020065285876458962}{90602781347197904016153223189060220809936663993593706399706264821833637010310514936209165843771323695952948048863172809} a^{12} - \frac{542144925796005455505092022204476101303194543635157108139166173101576570001716483810062545301645647011374579524024013935901}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{11} + \frac{120738629273373348254800480170498357550430457316046690845801899412946495846449988657483371840360033385446914559351600207833}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{10} + \frac{3165202330116868036570234090141594486774450051424064051860554956408700286516825433173272133443866446110023334130538949311074}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{9} - \frac{3998113549028306643642103335473462707786701624485925637297912435044138140947228291310523221298036476893003340487934680491552}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{8} - \frac{1349530479843105243775649375215173506649856865238021395200072450676522472829458521973503674660794377968045144311602122367949}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{7} + \frac{2569301802897729828113871552631769692158270375725780767964504860528836358969336871964662118706731061774045127798960934954657}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{6} + \frac{7295790454282644771660072320839886468704473582041051643989635256682140570700964394254810244627396029989037927920198616566459}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{5} - \frac{13481025598585115306440225562049721562627364177235931126685025384903833826281255764352443268261253018146113364457023381734280}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{4} + \frac{5684416368387016013052656777984778653344947414515965604606989011872754072066092786896081478253719917523304177604572532984711}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{3} + \frac{2298331428341924843942439847276976592165013318736886029986276284937317921370809277818076401964586135784877438108393545763604}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a^{2} - \frac{1353956921343978693232465822880583045862985245936820698948338029528100094929279745598193980443911963033371322160506082642512}{996630594819176944177685455079662428909303303929530770396768913040170007113415664298300824281484560655482428537494900899} a - \frac{416687890933487919487196092734471869326479372701430947081006869794606671425936527358733966822277683603035250151071831854}{897057241061365386298546764248120998118184792015779271284220443780531059508024900358506592512587363326266812364981909} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 103154016774940.02 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_8.A_4$ (as 32T402):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A solvable group of order 96
The 28 conjugacy class representatives for $C_8.A_4$
Character table for $C_8.A_4$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{5})\), 4.0.403225.1, 8.0.162590400625.1, Deg 16

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.8.0.1}{8} }^{4}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/3.8.0.1}{8} }$ R $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/7.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{8}{,}\,{\href{/LocalNumberField/11.1.0.1}{1} }^{8}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/13.8.0.1}{8} }$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/17.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/19.2.0.1}{2} }^{16}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/23.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/29.4.0.1}{4} }^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{8}{,}\,{\href{/LocalNumberField/31.1.0.1}{1} }^{8}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/37.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{8}{,}\,{\href{/LocalNumberField/41.1.0.1}{1} }^{8}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/47.8.0.1}{8} }^{4}$ $24{,}\,{\href{/LocalNumberField/53.8.0.1}{8} }$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{2}{,}\,{\href{/LocalNumberField/59.4.0.1}{4} }^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
127Data not computed

Artin representations

Label Dimension Conductor Defining polynomial of Artin field $G$ Ind $\chi(c)$
* 1.1.1t1.1c1$1$ $1$ $x$ $C_1$ $1$ $1$
* 1.5.2t1.1c1$1$ $ 5 $ $x^{2} - x - 1$ $C_2$ (as 2T1) $1$ $1$
1.5_127.6t1.1c1$1$ $ 5 \cdot 127 $ $x^{6} - x^{5} - 88 x^{4} + 247 x^{3} + 1688 x^{2} - 7841 x + 7999$ $C_6$ (as 6T1) $0$ $1$
1.5_127.6t1.1c2$1$ $ 5 \cdot 127 $ $x^{6} - x^{5} - 88 x^{4} + 247 x^{3} + 1688 x^{2} - 7841 x + 7999$ $C_6$ (as 6T1) $0$ $1$
1.127.3t1.1c1$1$ $ 127 $ $x^{3} - x^{2} - 42 x - 80$ $C_3$ (as 3T1) $0$ $1$
1.127.3t1.1c2$1$ $ 127 $ $x^{3} - x^{2} - 42 x - 80$ $C_3$ (as 3T1) $0$ $1$
* 1.5.4t1.1c1$1$ $ 5 $ $x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$ $C_4$ (as 4T1) $0$ $-1$
* 1.5.4t1.1c2$1$ $ 5 $ $x^{4} - x^{3} + x^{2} - x + 1$ $C_4$ (as 4T1) $0$ $-1$
1.5_127.12t1.1c1$1$ $ 5 \cdot 127 $ $x^{12} - x^{11} + 43 x^{10} - 165 x^{9} + 2051 x^{8} + 13810 x^{7} + 85532 x^{6} + 330408 x^{5} + 2157136 x^{4} + 4877440 x^{3} + 10777600 x^{2} + 21504000 x + 40960000$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
1.5_127.12t1.1c2$1$ $ 5 \cdot 127 $ $x^{12} - x^{11} + 43 x^{10} - 165 x^{9} + 2051 x^{8} + 13810 x^{7} + 85532 x^{6} + 330408 x^{5} + 2157136 x^{4} + 4877440 x^{3} + 10777600 x^{2} + 21504000 x + 40960000$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
1.5_127.12t1.1c3$1$ $ 5 \cdot 127 $ $x^{12} - x^{11} + 43 x^{10} - 165 x^{9} + 2051 x^{8} + 13810 x^{7} + 85532 x^{6} + 330408 x^{5} + 2157136 x^{4} + 4877440 x^{3} + 10777600 x^{2} + 21504000 x + 40960000$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
1.5_127.12t1.1c4$1$ $ 5 \cdot 127 $ $x^{12} - x^{11} + 43 x^{10} - 165 x^{9} + 2051 x^{8} + 13810 x^{7} + 85532 x^{6} + 330408 x^{5} + 2157136 x^{4} + 4877440 x^{3} + 10777600 x^{2} + 21504000 x + 40960000$ $C_{12}$ (as 12T1) $0$ $-1$
2.5e2_127e2.48.1c1$2$ $ 5^{2} \cdot 127^{2}$ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
2.5e2_127e2.48.1c2$2$ $ 5^{2} \cdot 127^{2}$ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
2.5e2_127e2.48.1c3$2$ $ 5^{2} \cdot 127^{2}$ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
2.5e2_127e2.48.1c4$2$ $ 5^{2} \cdot 127^{2}$ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c1$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c2$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c3$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c4$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c5$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c6$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c7$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 2.5e2_127.32.1c8$2$ $ 5^{2} \cdot 127 $ $x^{32} - 9 x^{31} + 200 x^{29} - 221 x^{28} - 2631 x^{27} + 4402 x^{26} + 19766 x^{25} - 27449 x^{24} - 173128 x^{23} + 338537 x^{22} + 473336 x^{21} - 1004401 x^{20} - 3368948 x^{19} + 11453717 x^{18} - 8139429 x^{17} - 16834230 x^{16} - 597015 x^{15} + 195460786 x^{14} - 382818671 x^{13} - 27697040 x^{12} + 420160443 x^{11} + 1322753872 x^{10} - 3917503795 x^{9} + 2111159122 x^{8} + 2050419221 x^{7} + 1497324960 x^{6} - 10922257252 x^{5} + 11658561303 x^{4} - 2839464368 x^{3} - 2153549419 x^{2} + 711827200 x + 313809121$ $C_8.A_4$ (as 32T402) $0$ $0$
* 3.5e2_127e2.4t4.1c1$3$ $ 5^{2} \cdot 127^{2}$ $x^{4} - x^{3} + 2 x^{2} + 11 x + 71$ $A_4$ (as 4T4) $1$ $-1$
* 3.5_127e2.6t6.1c1$3$ $ 5 \cdot 127^{2}$ $x^{6} - 3 x^{5} - 4 x^{4} + 13 x^{3} - 33 x^{2} + 26 x - 8$ $A_4\times C_2$ (as 6T6) $1$ $-1$
* 3.5e3_127e2.12t29.1c1$3$ $ 5^{3} \cdot 127^{2}$ $x^{12} - 3 x^{11} + 41 x^{10} - 115 x^{9} + 80 x^{8} + 607 x^{7} - 6096 x^{6} + 10007 x^{5} + 8760 x^{4} - 16795 x^{3} - 2519 x^{2} + 6032 x - 1159$ C4*A4 $0$ $1$
* 3.5e3_127e2.12t29.1c2$3$ $ 5^{3} \cdot 127^{2}$ $x^{12} - 3 x^{11} + 41 x^{10} - 115 x^{9} + 80 x^{8} + 607 x^{7} - 6096 x^{6} + 10007 x^{5} + 8760 x^{4} - 16795 x^{3} - 2519 x^{2} + 6032 x - 1159$ C4*A4 $0$ $1$

Data is given for all irreducible representations of the Galois group for the Galois closure of this field. Those marked with * are summands in the permutation representation coming from this field. Representations which appear with multiplicity greater than one are indicated by exponents on the *.