LMFDB - Number field 32.0.16911935728484512440926445363543525554439219897696256.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496)

gp: K = bnfinit(y^32 - 12*y^31 + 72*y^30 - 300*y^29 + 1035*y^28 - 3260*y^27 + 9600*y^26 - 26564*y^25 + 69933*y^24 - 174072*y^23 + 400688*y^22 - 851404*y^21 + 1702949*y^20 - 3206248*y^19 + 5512736*y^18 - 8563800*y^17 + 12691211*y^16 - 18904816*y^15 + 26519464*y^14 - 30813896*y^13 + 27904797*y^12 - 21762500*y^11 + 20377800*y^10 - 16601336*y^9 - 10360556*y^8 + 56257376*y^7 - 83781376*y^6 + 68810112*y^5 - 15839936*y^4 - 31786496*y^3 + 44255232*y^2 - 29503488*y + 9834496, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496);

oscar: Qx, x = polynomial_ring(QQ); K, a = number_field(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496)

$ x^{32} - 12 x^{31} + 72 x^{30} - 300 x^{29} + 1035 x^{28} - 3260 x^{27} + 9600 x^{26} - 26564 x^{25} + \cdots + 9834496 $ x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$32$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 16]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$16911935728484512440926445363543525554439219897696256$ 16911935728484512440926445363543525554439219897696256 $\medspace = 2^{64}\cdot 7^{16}\cdot 23^{8}\cdot 137^{4}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$42.87$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2^{2}7^{1/2}23^{1/2}137^{1/2}\approx 594.0639696194341$
Ramified primes:	$2$, $7$, $23$, $137$ 2, 7, 23, 137	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$8$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{2}a^{13}+\frac{1}{4}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{16}+\frac{1}{4}a^{4}$, $\frac{1}{4}a^{17}+\frac{1}{4}a^{5}$, $\frac{1}{4}a^{18}+\frac{1}{4}a^{6}$, $\frac{1}{4}a^{19}+\frac{1}{4}a^{7}$, $\frac{1}{8}a^{20}-\frac{1}{8}a^{18}-\frac{1}{8}a^{16}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{3}{8}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{3}{8}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{8}a^{21}-\frac{1}{8}a^{19}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{3}{8}a^{9}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{8}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}+\frac{3}{8}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{8}a^{22}-\frac{1}{8}a^{16}-\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{12}+\frac{1}{8}a^{10}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{8}a^{4}+\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{8}a^{23}-\frac{1}{8}a^{17}+\frac{1}{8}a^{11}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{8}a^{5}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{56}a^{24}+\frac{3}{56}a^{23}+\frac{3}{56}a^{22}-\frac{1}{28}a^{21}-\frac{1}{28}a^{20}+\frac{1}{14}a^{19}-\frac{3}{56}a^{18}-\frac{3}{56}a^{17}-\frac{1}{56}a^{16}+\frac{1}{28}a^{15}-\frac{1}{28}a^{14}+\frac{3}{8}a^{12}+\frac{11}{56}a^{11}+\frac{23}{56}a^{10}-\frac{3}{28}a^{9}-\frac{1}{28}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}-\frac{15}{56}a^{6}+\frac{13}{56}a^{5}+\frac{19}{56}a^{4}-\frac{9}{28}a^{3}-\frac{13}{28}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{112}a^{25}-\frac{3}{56}a^{23}-\frac{1}{28}a^{22}-\frac{3}{112}a^{21}-\frac{1}{28}a^{20}-\frac{1}{14}a^{19}-\frac{1}{14}a^{18}-\frac{13}{112}a^{17}+\frac{3}{28}a^{16}+\frac{3}{56}a^{15}-\frac{1}{14}a^{14}-\frac{1}{16}a^{13}+\frac{1}{28}a^{12}-\frac{19}{56}a^{11}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{37}{112}a^{9}-\frac{5}{14}a^{8}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{3}{28}a^{6}+\frac{43}{112}a^{5}+\frac{1}{7}a^{4}-\frac{3}{8}a^{3}-\frac{5}{28}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{224}a^{26}-\frac{1}{112}a^{24}+\frac{1}{28}a^{23}-\frac{5}{224}a^{22}-\frac{3}{56}a^{21}-\frac{1}{112}a^{20}-\frac{5}{56}a^{19}-\frac{11}{224}a^{18}-\frac{13}{112}a^{16}-\frac{15}{224}a^{14}+\frac{15}{56}a^{13}-\frac{5}{112}a^{12}+\frac{1}{56}a^{11}-\frac{53}{224}a^{10}+\frac{13}{28}a^{9}-\frac{37}{112}a^{8}-\frac{1}{2}a^{7}+\frac{53}{224}a^{6}+\frac{3}{56}a^{5}+\frac{31}{112}a^{4}-\frac{9}{56}a^{3}+\frac{2}{7}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{448}a^{27}-\frac{1}{224}a^{25}-\frac{1}{448}a^{23}-\frac{1}{56}a^{22}-\frac{1}{32}a^{21}+\frac{3}{56}a^{20}+\frac{41}{448}a^{19}+\frac{13}{112}a^{18}+\frac{27}{224}a^{17}+\frac{1}{56}a^{16}-\frac{31}{448}a^{15}+\frac{19}{112}a^{14}+\frac{107}{224}a^{13}+\frac{15}{112}a^{12}-\frac{113}{448}a^{11}+\frac{43}{112}a^{10}+\frac{29}{224}a^{9}+\frac{11}{112}a^{8}-\frac{55}{448}a^{7}+\frac{5}{14}a^{6}-\frac{15}{32}a^{5}+\frac{9}{112}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}+\frac{13}{28}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{6272}a^{28}+\frac{1}{3136}a^{27}+\frac{1}{3136}a^{26}-\frac{5}{1568}a^{25}-\frac{1}{6272}a^{24}-\frac{97}{3136}a^{23}+\frac{187}{3136}a^{22}-\frac{47}{1568}a^{21}+\frac{185}{6272}a^{20}+\frac{135}{3136}a^{19}+\frac{137}{3136}a^{18}-\frac{23}{1568}a^{17}-\frac{151}{6272}a^{16}-\frac{313}{3136}a^{15}-\frac{743}{3136}a^{14}+\frac{1}{16}a^{13}-\frac{153}{6272}a^{12}+\frac{23}{448}a^{11}+\frac{1347}{3136}a^{10}-\frac{309}{784}a^{9}-\frac{2719}{6272}a^{8}-\frac{667}{3136}a^{7}+\frac{785}{3136}a^{6}-\frac{27}{196}a^{5}-\frac{19}{49}a^{4}+\frac{1}{28}a^{3}+\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{43904}a^{29}+\frac{1}{21952}a^{28}+\frac{1}{21952}a^{27}-\frac{19}{10976}a^{26}+\frac{167}{43904}a^{25}+\frac{127}{21952}a^{24}+\frac{355}{21952}a^{23}-\frac{677}{10976}a^{22}-\frac{1103}{43904}a^{21}+\frac{695}{21952}a^{20}+\frac{305}{21952}a^{19}-\frac{653}{10976}a^{18}-\frac{4911}{43904}a^{17}-\frac{2273}{21952}a^{16}-\frac{1471}{21952}a^{15}+\frac{5}{56}a^{14}-\frac{1553}{43904}a^{13}-\frac{57}{3136}a^{12}+\frac{9691}{21952}a^{11}+\frac{439}{1372}a^{10}-\frac{1991}{43904}a^{9}+\frac{8293}{21952}a^{8}-\frac{2295}{21952}a^{7}+\frac{501}{5488}a^{6}-\frac{2271}{5488}a^{5}+\frac{101}{392}a^{4}-\frac{5}{56}a^{3}-\frac{3}{28}a^{2}+\frac{5}{14}a$, $\frac{1}{16\!\cdots\!20}a^{30}-\frac{52\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!84}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!84}a^{28}+\frac{80\!\cdots\!97}{82\!\cdots\!36}a^{27}+\frac{41\!\cdots\!03}{32\!\cdots\!44}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!81}{41\!\cdots\!68}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!41}{41\!\cdots\!68}a^{24}-\frac{98\!\cdots\!61}{41\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{68\!\cdots\!81}{32\!\cdots\!44}a^{22}+\frac{24\!\cdots\!89}{41\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!83}{41\!\cdots\!68}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!79}{41\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{35\!\cdots\!63}{41\!\cdots\!80}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{88\!\cdots\!81}{58\!\cdots\!24}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!49}{32\!\cdots\!44}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!51}{83\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!64}a^{11}+\frac{42\!\cdots\!53}{16\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!55}{82\!\cdots\!36}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{72\!\cdots\!83}{14\!\cdots\!56}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!21}{52\!\cdots\!20}a^{2}-\frac{56\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!40}a+\frac{26\!\cdots\!73}{93\!\cdots\!70}$, $\frac{1}{27\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{24\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!48}a^{29}+\frac{24\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!92}a^{28}-\frac{41\!\cdots\!21}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{85\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!96}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!67}{68\!\cdots\!96}a^{25}+\frac{54\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!60}a^{24}-\frac{16\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!29}{68\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!77}{14\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!61}{55\!\cdots\!68}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!13}{68\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!80}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!51}{49\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!43}{55\!\cdots\!68}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!23}{98\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!48}a^{13}-\frac{60\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{83\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!63}{68\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{78\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!60}a^{6}+\frac{40\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!20}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!67}{87\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!09}{44\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!40}a-\frac{19\!\cdots\!78}{56\!\cdots\!55}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, 1/2*a^14 - 1/2*a^2, 1/4*a^15 - 1/2*a^13 + 1/4*a^3 - 1/2*a, 1/4*a^16 + 1/4*a^4, 1/4*a^17 + 1/4*a^5, 1/4*a^18 + 1/4*a^6, 1/4*a^19 + 1/4*a^7, 1/8*a^20 - 1/8*a^18 - 1/8*a^16 - 1/4*a^14 - 1/2*a^11 - 1/2*a^10 - 1/2*a^9 - 3/8*a^8 - 1/2*a^7 - 1/8*a^6 - 1/2*a^5 + 3/8*a^4 - 1/2*a^3 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/8*a^21 - 1/8*a^19 - 1/8*a^17 - 1/2*a^13 - 1/2*a^12 - 1/2*a^11 - 1/2*a^10 - 3/8*a^9 - 1/2*a^8 - 1/8*a^7 - 1/2*a^6 + 3/8*a^5 - 1/2*a^4 - 1/2*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/8*a^22 - 1/8*a^16 - 1/4*a^14 - 1/2*a^13 - 1/2*a^12 + 1/8*a^10 - 1/2*a^8 - 1/2*a^6 - 1/8*a^4 + 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/8*a^23 - 1/8*a^17 + 1/8*a^11 - 1/2*a^9 - 1/2*a^7 - 1/8*a^5 - 1/2*a^3 - 1/2*a, 1/56*a^24 + 3/56*a^23 + 3/56*a^22 - 1/28*a^21 - 1/28*a^20 + 1/14*a^19 - 3/56*a^18 - 3/56*a^17 - 1/56*a^16 + 1/28*a^15 - 1/28*a^14 + 3/8*a^12 + 11/56*a^11 + 23/56*a^10 - 3/28*a^9 - 1/28*a^8 + 3/7*a^7 - 15/56*a^6 + 13/56*a^5 + 19/56*a^4 - 9/28*a^3 - 13/28*a^2 - 1/2*a, 1/112*a^25 - 3/56*a^23 - 1/28*a^22 - 3/112*a^21 - 1/28*a^20 - 1/14*a^19 - 1/14*a^18 - 13/112*a^17 + 3/28*a^16 + 3/56*a^15 - 1/14*a^14 - 1/16*a^13 + 1/28*a^12 - 19/56*a^11 + 1/7*a^10 + 37/112*a^9 - 5/14*a^8 + 2/7*a^7 - 3/28*a^6 + 43/112*a^5 + 1/7*a^4 - 3/8*a^3 - 5/28*a^2 - 1/2*a, 1/224*a^26 - 1/112*a^24 + 1/28*a^23 - 5/224*a^22 - 3/56*a^21 - 1/112*a^20 - 5/56*a^19 - 11/224*a^18 - 13/112*a^16 - 15/224*a^14 + 15/56*a^13 - 5/112*a^12 + 1/56*a^11 - 53/224*a^10 + 13/28*a^9 - 37/112*a^8 - 1/2*a^7 + 53/224*a^6 + 3/56*a^5 + 31/112*a^4 - 9/56*a^3 + 2/7*a^2 - 1/2*a, 1/448*a^27 - 1/224*a^25 - 1/448*a^23 - 1/56*a^22 - 1/32*a^21 + 3/56*a^20 + 41/448*a^19 + 13/112*a^18 + 27/224*a^17 + 1/56*a^16 - 31/448*a^15 + 19/112*a^14 + 107/224*a^13 + 15/112*a^12 - 113/448*a^11 + 43/112*a^10 + 29/224*a^9 + 11/112*a^8 - 55/448*a^7 + 5/14*a^6 - 15/32*a^5 + 9/112*a^4 - 2/7*a^3 + 13/28*a^2 - 1/2*a, 1/6272*a^28 + 1/3136*a^27 + 1/3136*a^26 - 5/1568*a^25 - 1/6272*a^24 - 97/3136*a^23 + 187/3136*a^22 - 47/1568*a^21 + 185/6272*a^20 + 135/3136*a^19 + 137/3136*a^18 - 23/1568*a^17 - 151/6272*a^16 - 313/3136*a^15 - 743/3136*a^14 + 1/16*a^13 - 153/6272*a^12 + 23/448*a^11 + 1347/3136*a^10 - 309/784*a^9 - 2719/6272*a^8 - 667/3136*a^7 + 785/3136*a^6 - 27/196*a^5 - 19/49*a^4 + 1/28*a^3 + 1/7*a^2, 1/43904*a^29 + 1/21952*a^28 + 1/21952*a^27 - 19/10976*a^26 + 167/43904*a^25 + 127/21952*a^24 + 355/21952*a^23 - 677/10976*a^22 - 1103/43904*a^21 + 695/21952*a^20 + 305/21952*a^19 - 653/10976*a^18 - 4911/43904*a^17 - 2273/21952*a^16 - 1471/21952*a^15 + 5/56*a^14 - 1553/43904*a^13 - 57/3136*a^12 + 9691/21952*a^11 + 439/1372*a^10 - 1991/43904*a^9 + 8293/21952*a^8 - 2295/21952*a^7 + 501/5488*a^6 - 2271/5488*a^5 + 101/392*a^4 - 5/56*a^3 - 3/28*a^2 + 5/14*a, 1/16409851861112015709268640158720*a^30 - 524936305917717692487745/205123148263900196365858001984*a^29 - 15938644139104027447914777/205123148263900196365858001984*a^28 + 801263988994223995399533597/820492593055600785463432007936*a^27 + 4100242170385135460142635903/3281970372222403141853728031744*a^26 - 131417863369700865723332281/410246296527800392731716003968*a^25 - 3534557416000299619877019841/410246296527800392731716003968*a^24 - 98831702266257390949414967461/4102462965278003927317160039680*a^23 + 68369931448114989493251800281/3281970372222403141853728031744*a^22 + 24378441291958376045094139189/4102462965278003927317160039680*a^21 - 23511516395920565740008908183/410246296527800392731716003968*a^20 - 84608631265895857216471296679/4102462965278003927317160039680*a^19 - 1016388717163206719234251859563/16409851861112015709268640158720*a^18 - 358795664812938705026721107263/4102462965278003927317160039680*a^17 + 155194101076172737056345347611/2051231482639001963658580019840*a^16 + 886382462394899507073459681/58606613789685770390245143424*a^15 - 292525229779666686495817528849/3281970372222403141853728031744*a^14 - 14923150063841344921310572351/83723733985265386271778776320*a^13 - 136363884366578879210161195903/1025615741319500981829290009920*a^12 + 186927987014526692041543/396646478712195350740864*a^11 + 422756128260274040409142424253/16409851861112015709268640158720*a^10 + 567628439359854105499004172157/2051231482639001963658580019840*a^9 + 82332400297925586678127669111/1025615741319500981829290009920*a^8 - 25443545311319853511601822297/2051231482639001963658580019840*a^7 - 236031101589411221104661937655/820492593055600785463432007936*a^6 - 61205069749924594800151367771/146516534474214425975612858560*a^5 + 7290147365084851620070256183/14651653447421442597561285856*a^4 - 295057759008632644590248321/1308183343519771660496543380*a^3 + 1819305256950556200435644421/5232733374079086641986173520*a^2 - 56737978839176666963963547/186883334788538808642363340*a + 26777966407086135295595973/93441667394269404321181670, 1/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840*a^31 - 27940618872226572727456347522857450307322993/1077502631666760650002182060653422550390780154881046275754266752499393247640*a^30 + 2493110315316787005231786935758815075506844901233332186904297825069175/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448*a^29 + 241297846254171700395162317170848445769315452659374573652217725505792345/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792*a^28 - 41087393823864199951085387228389305655451165654214664498298570441932941121/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168*a^27 - 8582405424474793077754912615729953235558942287699288920497217859134048599/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896*a^26 + 24457779636577855884283130743828315986026479391048830747384960107057122367/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896*a^25 + 544591608965468497953873996526918568788331657813279041963422849221219673199/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960*a^24 - 16158472867890867256072020775576490840839578621633614995342617225157879846403/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840*a^23 + 4307143399548323597622400674657354008099237035070734674189216680415030460929/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960*a^22 - 60734045058634221393383621808781956738430198835697604239373007456222949677/1499134096232014817394340258300413983152389780704064383658110264346981909760*a^21 - 3781881492979354722553666577178984295714661969717359886207699295306967551259/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960*a^20 + 3978469738698805797104185013204426703215750681324411696191810236568657870161/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168*a^19 + 4534365773507976582957121390844952041594853567727120951020476925220372642813/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960*a^18 - 1030932411595480843466902076307429060231110226076252523599284100441002391597/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480*a^17 + 93763255623918343339710914981592890228946114349831166023443993034177186751/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640*a^16 + 1667138580542925547118314993324560582586813938391881340896115914731011508143/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168*a^15 + 1401003284281474806618074867606044209309547482570604794115067009146034094323/9851452632381811657162807411688434746429989987483851664039010308565881121280*a^14 + 1626455176110383815532778171366585328922738875177886843708503024358267651789/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448*a^13 - 6069428438453312346899945648954293540640549431126897946438557796857543273017/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480*a^12 + 16627651369021218416639673543768143607365894191316643594132512548452448349693/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840*a^11 - 13619556366048611589592743847493244251689156965652649746032069888333759711021/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480*a^10 + 7253313917229951808655961387971478041537927371568945732107370829025649045403/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240*a^9 + 8311399089749743026047714298124357680007861796309127705276151705058095420797/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480*a^8 - 30384760667260521473330317522155611755608586578063441689016222871036804061363/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960*a^7 + 789828244130737162694340689333665163875857323375439144356622477890239637/351837594013636130612957407560301240943928213838708988001393225305924325760*a^6 + 404224600673115207455919565819962035277132462376438456352197436147805509509/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160*a^5 - 12255486109081431589562309270812968298806010342062406300022122193813464877/43979699251704516326619675945037655117991026729838623500174153163240540720*a^4 - 15606645560444889450473346242725214600365164279003430575265310689923855067/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440*a^3 - 13963962158787326276855672401989358002856219456925956444243408650585209/448772441343923635985915060663649542020316599284067586736470950645311640*a^2 + 198737383097192286151969711183892946845181951429627004785414629436250191/1570703544703732725950702712322773397071108097494236553577648327258590740*a - 1956723326064906268149641124933822019501486244931767276646855366098878/56096555167990454498239382582956192752539574910508448342058868830663955

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$

Class group and class number

$C_{2}\times C_{2}\times C_{48}$, which has order $192$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Relative class number: $192$ (assuming GRH)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$15$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( \frac{1834234786666185239840490229350512693743481954125462116003146559}{8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968} a^{31} - \frac{106968831333244876219666131053647636909711182830963665380121536299}{44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840} a^{30} + \frac{7807375111372872227456060614236664477458984047504666804971987309}{552651715401351762279397873015908598754115866101431230197414405389248} a^{29} - \frac{127146286818626357655911506337456275576157245039270816527097561111}{2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992} a^{28} + \frac{1727354457751442472473825578279543005789886190710661147622013394841}{8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968} a^{27} - \frac{5391461930598584047128835973676964484529019937817713980803735496397}{8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968} a^{26} + \frac{984916125776605353799632687690455828630101878308166075795070695725}{552651715401351762279397873015908598754115866101431230197414405389248} a^{25} - \frac{10825338285213608636746213556583828010211438478071726520812532562755}{2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992} a^{24} + \frac{566606159043635236610612614754060117000940242131017308828354595836251}{44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840} a^{23} - \frac{279985244533273471381311235380363134764317511891812413735166951769639}{8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968} a^{22} + \frac{796854708114817976733810201486815266638308650277091400232726135147379}{11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960} a^{21} - \frac{334631705209207282848700844074554377736238914697709242082853558872673}{2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992} a^{20} + \frac{13254445194363609484432502966094940462667131827508514182228035751747899}{44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840} a^{19} - \frac{24687675720754556511522723326614521172747307715185017811510543669640603}{44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840} a^{18} + \frac{10434105342829808945709392964754028835317979565040586362953720240510147}{11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960} a^{17} - \frac{162018462408449108997926081660651080819829751794569805337468454283821}{112786064367622808628448545513450734439615482877843108203553960283520} a^{16} + \frac{18630074762329311321120489130665000982369536761991883689465685276317917}{8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968} a^{15} - \frac{3971648432922643321997444578225376384876892994187017826415023249464431}{1263203920917375456638623709750648225723693408231842811879804355175424} a^{14} + \frac{48186691831530071093403800443148118758937165589917090132457860861210781}{11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960} a^{13} - \frac{13329906300025228892664948979032895851579062565186067608093919684932273}{2763258577006758811396989365079542993770579330507156150987072026946240} a^{12} + \frac{35169386764001748975502515070860838550913073680843791391781265446655291}{8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968} a^{11} - \frac{127957290234778682321094666298876977528300704853874826112605222798981607}{44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840} a^{10} + \frac{17295168885882418022429560409036641490581701435216270399887968509778477}{5526517154013517622793978730159085987541158661014312301974144053892480} a^{9} - \frac{7279225799268695347519299525284606592137399423553368283112523074695409}{2763258577006758811396989365079542993770579330507156150987072026946240} a^{8} - \frac{30714339084067963167163067907529713669175536268057475669901479152142519}{11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960} a^{7} + \frac{3422504066565390860099689115617662746062504424615273486547807308171043}{315800980229343864159655927437662056430923352057960702969951088793856} a^{6} - \frac{5429591680522015931494182987312469375905067108466464854287726060156161}{394751225286679830199569909297077570538654190072450878712438860992320} a^{5} + \frac{46102829968510006098451067241489701824130852368923186308382738357519}{5639303218381140431422427275672536721980774143892155410177698014176} a^{4} + \frac{25882879939427281552252013261317931888865563048507636556853933766391}{14098258045952851078556068189181341804951935359730388525444245035440} a^{3} - \frac{13771713629858802455864737463799879922620092546212555568355422994877}{2014036863707550154079438312740191686421705051390055503634892147920} a^{2} + \frac{3155094807804750722599829162165541772320772978352146865745336508343}{503509215926887538519859578185047921605426262847513875908723036980} a - \frac{115770707473297544727400298425920793832034891135699236796933361181}{35964943994777681322847112727503422971816161631965276850623074070} \) (1834234786666185239840490229350512693743481954125462116003146559)/(8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968)a^(31) - (106968831333244876219666131053647636909711182830963665380121536299)/(44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840)a^(30) + (7807375111372872227456060614236664477458984047504666804971987309)/(552651715401351762279397873015908598754115866101431230197414405389248)a^(29) - (127146286818626357655911506337456275576157245039270816527097561111)/(2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992)a^(28) + (1727354457751442472473825578279543005789886190710661147622013394841)/(8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968)a^(27) - (5391461930598584047128835973676964484529019937817713980803735496397)/(8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968)a^(26) + (984916125776605353799632687690455828630101878308166075795070695725)/(552651715401351762279397873015908598754115866101431230197414405389248)a^(25) - (10825338285213608636746213556583828010211438478071726520812532562755)/(2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992)a^(24) + (566606159043635236610612614754060117000940242131017308828354595836251)/(44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840)a^(23) - (279985244533273471381311235380363134764317511891812413735166951769639)/(8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968)a^(22) + (796854708114817976733810201486815266638308650277091400232726135147379)/(11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960)a^(21) - (334631705209207282848700844074554377736238914697709242082853558872673)/(2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992)a^(20) + (13254445194363609484432502966094940462667131827508514182228035751747899)/(44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840)a^(19) - (24687675720754556511522723326614521172747307715185017811510543669640603)/(44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840)a^(18) + (10434105342829808945709392964754028835317979565040586362953720240510147)/(11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960)a^(17) - (162018462408449108997926081660651080819829751794569805337468454283821)/(112786064367622808628448545513450734439615482877843108203553960283520)a^(16) + (18630074762329311321120489130665000982369536761991883689465685276317917)/(8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968)a^(15) - (3971648432922643321997444578225376384876892994187017826415023249464431)/(1263203920917375456638623709750648225723693408231842811879804355175424)a^(14) + (48186691831530071093403800443148118758937165589917090132457860861210781)/(11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960)a^(13) - (13329906300025228892664948979032895851579062565186067608093919684932273)/(2763258577006758811396989365079542993770579330507156150987072026946240)a^(12) + (35169386764001748975502515070860838550913073680843791391781265446655291)/(8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968)a^(11) - (127957290234778682321094666298876977528300704853874826112605222798981607)/(44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840)a^(10) + (17295168885882418022429560409036641490581701435216270399887968509778477)/(5526517154013517622793978730159085987541158661014312301974144053892480)a^(9) - (7279225799268695347519299525284606592137399423553368283112523074695409)/(2763258577006758811396989365079542993770579330507156150987072026946240)a^(8) - (30714339084067963167163067907529713669175536268057475669901479152142519)/(11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960)a^(7) + (3422504066565390860099689115617662746062504424615273486547807308171043)/(315800980229343864159655927437662056430923352057960702969951088793856)a^(6) - (5429591680522015931494182987312469375905067108466464854287726060156161)/(394751225286679830199569909297077570538654190072450878712438860992320)a^(5) + (46102829968510006098451067241489701824130852368923186308382738357519)/(5639303218381140431422427275672536721980774143892155410177698014176)a^(4) + (25882879939427281552252013261317931888865563048507636556853933766391)/(14098258045952851078556068189181341804951935359730388525444245035440)a^(3) - (13771713629858802455864737463799879922620092546212555568355422994877)/(2014036863707550154079438312740191686421705051390055503634892147920)a^(2) + (3155094807804750722599829162165541772320772978352146865745336508343)/(503509215926887538519859578185047921605426262847513875908723036980)*a - (115770707473297544727400298425920793832034891135699236796933361181)/(35964943994777681322847112727503422971816161631965276850623074070) (order $8$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{41\!\cdots\!13}{88\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!31}{55\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{57\!\cdots\!87}{44\!\cdots\!84}a^{28}+\frac{78\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!36}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!39}{88\!\cdots\!68}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!92}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!20}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!77}{88\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!91}{44\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!67}{55\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{75\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!09}{88\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{55\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{73\!\cdots\!35}{34\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{73\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{84\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!36}a^{15}-\frac{44\!\cdots\!67}{63\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!60}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!60}a^{12}+\frac{79\!\cdots\!69}{88\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{78\!\cdots\!51}{11\!\cdots\!96}a^{9}-\frac{66\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!60}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!03}{22\!\cdots\!20}a^{7}+\frac{38\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!47}{49\!\cdots\!40}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!33}{28\!\cdots\!80}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!05}{56\!\cdots\!76}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!20}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!90}a-\frac{13\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!70}$, $\frac{50\!\cdots\!61}{52\!\cdots\!60}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{51\!\cdots\!91}{81\!\cdots\!64}a^{29}-\frac{65\!\cdots\!35}{26\!\cdots\!48}a^{28}+\frac{88\!\cdots\!31}{10\!\cdots\!92}a^{27}-\frac{68\!\cdots\!49}{26\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{98\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!24}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!40}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!29}{52\!\cdots\!60}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!95}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!73}{65\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!13}{52\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!99}{32\!\cdots\!60}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!24}a^{17}-\frac{50\!\cdots\!33}{93\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{83\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!92}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!71}{93\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!63}{32\!\cdots\!60}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!49}{65\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!73}{52\!\cdots\!60}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{37\!\cdots\!61}{32\!\cdots\!56}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!79}{65\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!19}{29\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!40}a^{5}+\frac{92\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!81}{33\!\cdots\!72}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!39}{29\!\cdots\!60}a-\frac{99\!\cdots\!86}{10\!\cdots\!95}$, $\frac{22\!\cdots\!19}{89\!\cdots\!60}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!80}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!27}{11\!\cdots\!32}a^{29}-\frac{30\!\cdots\!37}{44\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{40\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!12}a^{27}-\frac{62\!\cdots\!55}{89\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{45\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!64}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!40}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!11}{89\!\cdots\!60}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!80}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!11}{55\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{36\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!49}{38\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!63}{44\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{54\!\cdots\!03}{55\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!47}{15\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!12}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!31}{63\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!27}{89\!\cdots\!60}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!49}{44\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!08}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!60}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!61}{49\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!83}{56\!\cdots\!92}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{48\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!65}a-\frac{78\!\cdots\!83}{36\!\cdots\!90}$, $\frac{42\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!68}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!87}{68\!\cdots\!60}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!12}a^{29}-\frac{89\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{94\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{81\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!24}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!39}{34\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{61\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!17}{70\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{61\!\cdots\!97}{98\!\cdots\!28}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!40}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{64\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!68}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!21}{68\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{29\!\cdots\!27}{37\!\cdots\!40}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!80}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{19\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!16}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{21\!\cdots\!23}{87\!\cdots\!44}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!93}{87\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!40}a-\frac{39\!\cdots\!58}{56\!\cdots\!55}$, $\frac{29\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!24}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{47\!\cdots\!19}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{73\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!35}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!49}{68\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!83}{53\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!20}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!17}{49\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{42\!\cdots\!87}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{54\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!48}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!19}{68\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!57}{49\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!19}{61\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!69}{87\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!88}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!27}{62\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!90}a-\frac{10\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!10}$, $\frac{88\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!17}{71\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{48\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!28}a^{28}+\frac{73\!\cdots\!77}{43\!\cdots\!56}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!59}{17\!\cdots\!24}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!40}a^{24}+\frac{87\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!20}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!27}{14\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!39}{17\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!20}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!80}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!96}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{76\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!57}{86\!\cdots\!20}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!33}{27\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!27}{86\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{88\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!33}{49\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{43\!\cdots\!91}{87\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!90}a^{3}-\frac{31\!\cdots\!07}{62\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!61}{44\!\cdots\!64}a+\frac{43\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!10}$, $\frac{12\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{70\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{98\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!15}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{31\!\cdots\!55}{27\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{61\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{77\!\cdots\!07}{13\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!87}{43\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!93}{29\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!20}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!80}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{93\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!84}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!27}{86\!\cdots\!20}a^{9}-\frac{87\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!60}a^{8}-\frac{74\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{93\!\cdots\!43}{49\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{80\!\cdots\!07}{61\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!61}{87\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{82\!\cdots\!69}{87\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{88\!\cdots\!71}{89\!\cdots\!80}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!74}a-\frac{33\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!10}$, $\frac{50\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{21\!\cdots\!63}{19\!\cdots\!60}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!32}a^{29}+\frac{23\!\cdots\!47}{98\!\cdots\!28}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!11}{93\!\cdots\!84}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!12}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!32}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!27}{49\!\cdots\!40}a^{24}-\frac{27\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!60}a^{23}+\frac{74\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{48\!\cdots\!37}{49\!\cdots\!40}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{98\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!60}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!25}{98\!\cdots\!28}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!60}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!12}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!60}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!80}a^{13}+\frac{39\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{33\!\cdots\!41}{19\!\cdots\!60}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!60}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!91}{49\!\cdots\!64}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!73}{24\!\cdots\!20}a^{8}-\frac{73\!\cdots\!03}{49\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{69\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!60}a^{5}-\frac{52\!\cdots\!43}{87\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!92}a^{3}+\frac{18\!\cdots\!69}{62\!\cdots\!60}a^{2}-\frac{54\!\cdots\!67}{15\!\cdots\!40}a+\frac{14\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!10}$, $\frac{18\!\cdots\!87}{39\!\cdots\!20}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!01}{42\!\cdots\!60}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!49}{49\!\cdots\!64}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!33}{19\!\cdots\!56}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{38\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!28}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!67}{98\!\cdots\!80}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!89}{56\!\cdots\!60}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{75\!\cdots\!21}{49\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!93}{98\!\cdots\!80}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{40\!\cdots\!49}{35\!\cdots\!60}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!27}{49\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!29}{78\!\cdots\!24}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!59}{49\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!13}{49\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!31}{39\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{41\!\cdots\!81}{98\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!99}{49\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!43}{49\!\cdots\!40}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!17}{98\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!60}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{18\!\cdots\!11}{21\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!84}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!59}{78\!\cdots\!70}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!40}a-\frac{17\!\cdots\!14}{56\!\cdots\!55}$, $\frac{26\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!12}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!63}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{59\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!37}{68\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!79}{86\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!23}{68\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!20}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!23}{70\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!95}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!79}{28\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{38\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!48}a^{9}-\frac{94\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!07}{68\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!81}{49\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!57}{61\!\cdots\!80}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!77}{87\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!88}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!93}{89\!\cdots\!80}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!95}a-\frac{58\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!10}$, $\frac{46\!\cdots\!29}{44\!\cdots\!28}a^{31}-\frac{56\!\cdots\!59}{44\!\cdots\!80}a^{30}+\frac{90\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{51\!\cdots\!05}{44\!\cdots\!28}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!69}{89\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!32}a^{25}-\frac{85\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!08}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{18\!\cdots\!07}{89\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!52}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!03}{44\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{78\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!67}{79\!\cdots\!80}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!71}{44\!\cdots\!28}a^{15}-\frac{32\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!97}{44\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!07}{44\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!27}{55\!\cdots\!60}a^{9}-\frac{74\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!67}{31\!\cdots\!52}a^{6}-\frac{78\!\cdots\!73}{56\!\cdots\!20}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!47}{56\!\cdots\!92}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!57}{71\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!40}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!43}{31\!\cdots\!60}a-\frac{91\!\cdots\!61}{36\!\cdots\!90}$, $\frac{11\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!68}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!97}{68\!\cdots\!96}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!24}a^{29}-\frac{75\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!23}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!48}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!65}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{62\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!89}{55\!\cdots\!68}a^{23}-\frac{39\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!92}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!79}{68\!\cdots\!96}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!05}{55\!\cdots\!68}a^{19}-\frac{67\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!92}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!17}{68\!\cdots\!96}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!05}{98\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!15}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{75\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!13}{43\!\cdots\!56}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!96}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!73}{55\!\cdots\!68}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!48}a^{10}+\frac{42\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!24}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!75}{68\!\cdots\!96}a^{8}-\frac{51\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!71}{21\!\cdots\!68}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!84}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!81}{87\!\cdots\!44}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!47}{76\!\cdots\!56}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!41}{89\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!48}a-\frac{27\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!91}$, $\frac{35\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{43\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!84}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{55\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{77\!\cdots\!85}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!91}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!39}{68\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{51\!\cdots\!79}{55\!\cdots\!68}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!81}{59\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!48}a^{21}-\frac{79\!\cdots\!81}{68\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{63\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!20}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!91}{86\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!61}{98\!\cdots\!28}a^{16}+\frac{95\!\cdots\!53}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!51}{19\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!67}{14\!\cdots\!60}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!59}{68\!\cdots\!96}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!67}{27\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{38\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!57}{86\!\cdots\!20}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!92}a^{7}+\frac{52\!\cdots\!87}{49\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!25}{43\!\cdots\!72}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!39}{87\!\cdots\!40}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!59}{87\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{67\!\cdots\!43}{89\!\cdots\!80}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!10}a-\frac{50\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!82}$, $\frac{15\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!20}a^{31}-\frac{96\!\cdots\!49}{68\!\cdots\!60}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!13}{34\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!33}{68\!\cdots\!96}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!84}a^{27}-\frac{22\!\cdots\!75}{59\!\cdots\!24}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!93}{74\!\cdots\!88}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!21}{14\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!20}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!51}{68\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{74\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!80}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!77}{29\!\cdots\!20}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{96\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!84}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!87}{98\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!29}{86\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{85\!\cdots\!53}{68\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!48}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!80}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!43}{34\!\cdots\!80}a^{7}+\frac{71\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!63}{30\!\cdots\!40}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!20}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!81}{87\!\cdots\!44}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!60}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!66}{39\!\cdots\!85}a-\frac{15\!\cdots\!26}{56\!\cdots\!55}$, $\frac{39\!\cdots\!91}{27\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{34\!\cdots\!11}{34\!\cdots\!48}a^{29}-\frac{55\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{76\!\cdots\!41}{55\!\cdots\!68}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!84}a^{26}+\frac{88\!\cdots\!63}{68\!\cdots\!96}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!31}{68\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{91\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{78\!\cdots\!89}{68\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!23}{27\!\cdots\!84}a^{18}+\frac{64\!\cdots\!33}{86\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{57\!\cdots\!67}{49\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!25}{55\!\cdots\!68}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!57}{34\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{62\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!80}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!99}{68\!\cdots\!96}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!51}{68\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!29}{70\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!23}{76\!\cdots\!60}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!20}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!47}{87\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!92}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!43}{39\!\cdots\!85}a+\frac{16\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!10}$ 41769241396462368326865112507962127245662217703690256695136706213/88424274464216281964703659682545375800658538576228996831586304862279680a^31 - 242683271350680690929934486258940922944004856060459085715931390129/44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840a^30 + 17693847740128245609877077911500734454936147427552368409060530231/552651715401351762279397873015908598754115866101431230197414405389248a^29 - 576203918428055315680400082673904490299659654285335171919528564487/4421213723210814098235182984127268790032926928811449841579315243113984a^28 + 7826696640760409288289720515215886923174115694626740478816488685555/17684854892843256392940731936509075160131707715245799366317260972455936a^27 - 12210126752688681859156614598643946223519575682825352816950655756939/8842427446421628196470365968254537580065853857622899683158630486227968a^26 + 8920036229740571686014484903708672004979273752391997419206624835123/2210606861605407049117591492063634395016463464405724920789657621556992a^25 - 245086897743308497607083875847784816695619811906425098063527353408133/22106068616054070491175914920636343950164634644057249207896576215569920a^24 + 2565129731114333781579458078306009303759483283708366433362730397161977/88424274464216281964703659682545375800658538576228996831586304862279680a^23 - 3168068245029582062439064317506948607590548049350488814784527742005491/44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840a^22 + 901509522779182599474484674760001901411244520793017160026412928179067/5526517154013517622793978730159085987541158661014312301974144053892480a^21 - 7570026482943475711150659129328967791252237127112276196535136874416167/22106068616054070491175914920636343950164634644057249207896576215569920a^20 + 59944826523276109415625035956411103510973700658742524272758552803321409/88424274464216281964703659682545375800658538576228996831586304862279680a^19 - 55807997581461271689181428393994886171856863306187524551667379819831251/44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840a^18 + 73694105624563490754670160351740516604066475234108482214770429996335/34540732212584485142462367063494287422132241631339451887338400336828a^17 - 732050699276737971281999832198403805211640848459119492817002646350927/225572128735245617256897091026901468879230965755686216407107920567040a^16 + 84130886663503996328810771319924664700237274735164707185133637046783195/17684854892843256392940731936509075160131707715245799366317260972455936a^15 - 44837709996904818360218953655409236430322605720431258899735635210353567/6316019604586877283193118548753241128618467041159214059399021775877120a^14 + 108899656464127549204689370368505200394778419226869372929710780036929183/11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960a^13 - 120458974461338621724839665513420632808978395840278615556919662627933627/11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960a^12 + 793120983655039452690435425159155731688999749116082500568728706364411969/88424274464216281964703659682545375800658538576228996831586304862279680a^11 - 288486036876272908988579210936441198494974813039718263012553459090679713/44212137232108140982351829841272687900329269288114498415793152431139840a^10 + 7866698132578767539304467616998758916639990832999515679747971886857851/1105303430802703524558795746031817197508231732202862460394828810778496a^9 - 66406281051604020696003910976519051316731750762776635773243134427203657/11053034308027035245587957460318171975082317322028624603948288107784960a^8 - 131991170357973150039807013337248395962825825118995595671508081185629003/22106068616054070491175914920636343950164634644057249207896576215569920a^7 + 38639572560227152700218241128431100899216463228554018446271578674805479/1579004901146719320798279637188310282154616760289803514849755443969280a^6 - 1534663148581759898725159891500712591019367267771150458871980514193247/49343903160834978774946238662134696317331773759056359839054857624040a^5 + 522269977754792288780608136734927010589789327522899201653693078913533/28196516091905702157112136378362683609903870719460777050888490070880a^4 + 23412377925918031840894793095537554056150664006249070037354446796205/5639303218381140431422427275672536721980774143892155410177698014176a^3 - 31048984389063283302287159669009636847980090145323707601254593802809/2014036863707550154079438312740191686421705051390055503634892147920a^2 + 3566404639951807010198558947510141457682984986015013830591699743931/251754607963443769259929789092523960802713131423756937954361518490a - 139164903189821863965608091759897277223017060338896344262886166091/35964943994777681322847112727503422971816161631965276850623074070, 509615614937275388695632281712580541716465905805704945340666748345361/521437946515483414745857481147970081096483401984022394315864439772863272960a^31 - 1457486573147907607100759561303376585996652205048239935197949042490949/130359486628870853686464370286992520274120850496005598578966109943215818240a^30 + 51892077742718062681394189517453842468058183202376346457765523978891/814746791430442835540402314293703251713255315600034991118538187145098864a^29 - 6593359066465660278145555560901287635913083654368817189921731022568535/26071897325774170737292874057398504054824170099201119715793221988643163648a^28 + 88012400121138821888100586554932899476393860002428662098614959658807231/104287589303096682949171496229594016219296680396804478863172887954572654592a^27 - 68087950914448307393909167095105110429548832460590541513624953451340649/26071897325774170737292874057398504054824170099201119715793221988643163648a^26 + 98836380119905292737990896777129606332510107119323882696090520074773641/13035948662887085368646437028699252027412085049600559857896610994321581824a^25 - 2695024610188229938389786538075588032990905292767384536493216535500364041/130359486628870853686464370286992520274120850496005598578966109943215818240a^24 + 28031163304279370205173643246781116163847362324554799603773390175685357629/521437946515483414745857481147970081096483401984022394315864439772863272960a^23 - 33567164554621849819158652177316155119416036568757619297880666247290708/254608372322013386106375723216782266160392286125010934724543183482843395a^22 + 19330354048124490897834112915383474404223900572577633380437605403344976773/65179743314435426843232185143496260137060425248002799289483054971607909120a^21 - 80076705589550023153210710605981712236104109887854078287415289494635739699/130359486628870853686464370286992520274120850496005598578966109943215818240a^20 + 628198162607455596844944341254420363988672099732295579662834667540706959413/521437946515483414745857481147970081096483401984022394315864439772863272960a^19 - 72386055582942053197930028574159956567573105571482608973068807171135295799/32589871657217713421616092571748130068530212624001399644741527485803954560a^18 + 47980974248169305371149578052737285878299398390911957566722704843078383503/13035948662887085368646437028699252027412085049600559857896610994321581824a^17 - 50861777475496013965506840820766770906005521513098275384492454676624651333/9311391902062203834747455020499465733865775035428971327069007853086844160a^16 + 830475498362863700949409154198479669187551427865230444438666210282527355615/104287589303096682949171496229594016219296680396804478863172887954572654592a^15 - 111790801382880659836465435886738286981955955365856077779013558082701905071/9311391902062203834747455020499465733865775035428971327069007853086844160a^14 + 531380864445777340467180295290291821811124560259246521800715941245360271963/32589871657217713421616092571748130068530212624001399644741527485803954560a^13 - 1086748805075898373020954673736602752675360643568386242939452346838636898049/65179743314435426843232185143496260137060425248002799289483054971607909120a^12 + 6375375915410011632256731840172988166691501430455412280641978281300508520973/521437946515483414745857481147970081096483401984022394315864439772863272960a^11 - 1170960426084097579502132622906978275042872057537720570318352919946426953083/130359486628870853686464370286992520274120850496005598578966109943215818240a^10 + 37563235382020776987210044526524532487114645116056316027298884942001447661/3258987165721771342161609257174813006853021262400139964474152748580395456a^9 - 503166334764033919139711751590255878102528201574751620048802928541517894979/65179743314435426843232185143496260137060425248002799289483054971607909120a^8 - 2316041027953378461901435911751386481754702642073595195557897525911679328211/130359486628870853686464370286992520274120850496005598578966109943215818240a^7 + 13577279863396310506182716741873961865719283967329761990682838539367876119/290980996939443869835857969390608304183305469857155353970906495408963880a^6 - 110044965528869988569229409659248284677320982511616676856326023244881884097/2327847975515550958686863755124866433466443758857242831767251963271711040a^5 + 921903552095323928843778203671522651054816369398398467444562799929583169/41568713848491981405122567055801186311900781408165050567272356486994840a^4 + 404627583680535481269346233489030939583905293470250773794066353690809881/33254971078793585124098053644640949049520625126532040453817885189595872a^3 - 78420299608462381287533775396001765117485624941840989503818342362059367/2969193846320855814651611932557227593707198672011789326233739749071060a^2 + 54456530424355495726612477353585437565856680300999408469595934830030139/2969193846320855814651611932557227593707198672011789326233739749071060a - 998646181155527045490528396116619505460875784324654705545898949787886/106042637368601993380414711877043842632399952571849618794062133895395, 22455789889898358250016769146350222885744497912944364735789993380519/89297725382547985238121918914624853641968183764826107670149656406553794560a^31 - 130742683934552360115460475240936948170542731011431065123587120237097/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^30 + 18841236160911767519849524653426283576541696666299145237965398735227/1116221567281849815476523986432810670524602297060326345876870705081922432a^29 - 301064924401310969049483617861739592982522300566776945999005028142837/4464886269127399261906095945731242682098409188241305383507482820327689728a^28 + 4024728181560974241237494201669660009112403930857212530529148577126193/17859545076509597047624383782924970728393636752965221534029931281310758912a^27 - 6228479188036966558609166942588670624713514275953280252231963121234155/8929772538254798523812191891462485364196818376482610767014965640655379456a^26 + 4524280688646880204644546412083816582710409097150601285755398099633499/2232443134563699630953047972865621341049204594120652691753741410163844864a^25 - 123385311411697880429345844592244085781563198031383227468577874308285639/22324431345636996309530479728656213410492045941206526917537414101638448640a^24 + 1282871946155363510318290088689225727841174662894427877540345059872338611/89297725382547985238121918914624853641968183764826107670149656406553794560a^23 - 1573941745271139137338134355701491740905258369567204898148686992454310503/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^22 + 442874554370757768599752996532539470371340071639448691576931762234349211/5581107836409249077382619932164053352623011485301631729384353525409612160a^21 - 3665599725002020318158812109616656249283306223918376263062486354327479981/22324431345636996309530479728656213410492045941206526917537414101638448640a^20 + 1247612727696416025380626863808647320732786362829728559559338106931633549/3882509799241216749483561691940211027911660163688091637832593756806686720a^19 - 26409617410525002707839792700720861291923547653765108323365002182241170263/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^18 + 545534626876243721843709835888318005822617564388453589726965540787124903/558110783640924907738261993216405335262301148530163172938435352540961216a^17 - 2294914425870174565169530418505388612660006228362064065101857761044415747/1594602238974071164966462837761158100749431852943323351252672435831317760a^16 + 37046721085983940756556377494867463444994021393254951051582474541536561849/17859545076509597047624383782924970728393636752965221534029931281310758912a^15 - 19858407245231292353700130837982491598397796476874650587261465596725135531/6378408955896284659865851351044632402997727411773293405010689743325271040a^14 + 47102447854543369803451742128321082667819485768145542507311261075663738669/11162215672818498154765239864328106705246022970603263458768707050819224320a^13 - 47372787831911150694821027163767037825227819952282247927721308143733170181/11162215672818498154765239864328106705246022970603263458768707050819224320a^12 + 263717133923873124824695200651104705931905044919848402062971447017398029627/89297725382547985238121918914624853641968183764826107670149656406553794560a^11 - 92098163030516429345252116622403041476938478605486933266879801845911815649/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^10 + 774916965100952002309535707847414166850375686805669754299405948052790883/279055391820462453869130996608202667631150574265081586469217676270480608a^9 - 20426441040419898282614118749731617943143659885761463907439805946179949871/11162215672818498154765239864328106705246022970603263458768707050819224320a^8 - 111631459379958296855705740197361735573644821316343257469772378657353334129/22324431345636996309530479728656213410492045941206526917537414101638448640a^7 + 19528396780941211546817099467411993369291165567502280884523009851645456187/1594602238974071164966462837761158100749431852943323351252672435831317760a^6 - 555687125514747840429423823474331123014232308766309942318816826503841961/49831319967939723905201963680036190648419745404478854726646013619728680a^5 + 126327107468921830274206775086027873449293157520591763992855438070719129/28475039981679842231543979245734966084811283088273631272369150639844960a^4 + 17232436368929929909220201933802466247441983246952377132426799929963483/5695007996335968446308795849146993216962256617654726254473830127968992a^3 - 13161417981437956252973460687850594981059252606285936067698239556735757/2033931427262845873681712803266783291772234506305259376597796474274640a^2 + 482338054596610647006577775816222893306402433689375067761834979187299/127120714203927867105107050204173955735764656644078711037362279642165a - 78466246579346205879376756190900706728693411219182164002892484186183/36320204058265104887173442915478273067361330469736774582103508469190, 4208417137888108107435462296918886098417110965129446055734911729528195/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^31 - 109572438395073202907950888891753169498672623552280092701091149013522787/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^30 + 11255377473748096358355015032808798338301610140631719217437343311259717/862002105333408520001745648522738040312624123904837020603413401999514598112a^29 - 897614998281525642059012540133980206885556544005296372763092419873365241/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 13419362833781603118728617230900931364274632808066896469359242803591470689/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 10901744861329068747756392405132161870027723342810330393706326699199057311/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^26 + 16560782573948444654120033382671685326181588042458747268800615254479148191/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 94537660310115462508496250581251389091942142692542199233428014804498998427/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^24 + 5085664883692872009853785802337275384615104925248602796123957834219037998627/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^23 - 81411253340305036674509407575212451609583809071092988611147740755718301211/1724004210666817040003491297045476080625248247809674041206826803999029196224a^22 + 3911075786783211745187325137784506921163684993308024506303142085059455952739/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^21 - 3446276051928822465099309151433126316572973603102780274753094696377468044633/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^20 + 140664558049762138385782796108171905541877901880962817634897488215311622806443/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^19 - 17021352570094400243417952366717842072140604760309913448683751473109223501151/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^18 + 61524559775012955341558774296066032166383684688474739481247287131938776456797/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^17 - 2032059574206312903231303377686870395784310463228296872971278191583742716917/703675188027272261225914815120602481887856427677417976002786450611848651520a^16 + 234245915882521741486026237056046886292805788789040218760812066671005282026689/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 6165513398421349833498864610335710816877072159602426026057398511071743816297/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^14 + 161891045063714131141153097197134602756328036058490626680968462309617723024993/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^13 - 420363752897102527447129263515967457899415746055080156562828553707026494702007/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^12 + 644921813187737236404050101302316991848760133057965612136321159943844716636919/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^11 - 593927391114853364970055107024858531192108893198973293297167071720699348603421/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^10 + 2989695488571591560160399689966205023880528023405995526526200016953628365627/374783524058003704348585064575103495788097445176016095914527566086745477440a^9 - 359354504339269359023993758957001940348409891239717267491418293536481165029061/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^8 + 321884908304756335292215506642630671895070890261370926094089212409718574554307/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^7 + 1975726864662846332268670897395940255364986488965572792879924576997297900917/123143157904772645714535092646105434330374874843548145800487628857073514016a^6 - 39514748423393075968198165683486462872570266381647907606006607448328029843351/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^5 + 216064189072596362561336792900301963363861793728117084862608350600525406323/8795939850340903265323935189007531023598205345967724700034830632648108144a^4 - 526738532070666407310670353801817643242032986950761063275846430991201675893/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^3 - 18295889996398702061707472845168110869638115613656497296221867208763708253/1570703544703732725950702712322773397071108097494236553577648327258590740a^2 + 25739088605938046772054526226452358710341340284138980777445423368015343923/1570703544703732725950702712322773397071108097494236553577648327258590740a - 398899320824631754820022571855018346754179138873485841452929266944700358/56096555167990454498239382582956192752539574910508448342058868830663955, 29651685803198524577069663152602493860153179520715696249921852603736909/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^31 - 164924607781671995652529146003550002505504345628996476968569984084523487/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^30 + 11496799997899108643911497606725377025289997015249358668416950146019639/1724004210666817040003491297045476080625248247809674041206826803999029196224a^29 - 360442875355053368091554689893153065506253184426613019216597666449287687/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 4781994586263062268520929686215879332464197481258091824518631018389889819/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 7368305902195624175076499114147856783800165203610754537244202418891585533/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^26 + 5319961704292745181406368244801215961122714197566748119267304169982913535/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 144454243747044333818530006159364294930789582639755535696664913263092685949/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^24 + 1497972733094344997316905704555988660064893624964867881440625075137834360241/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^23 - 1827874727356163522450417498127722099148757450584449079345893469747303309273/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^22 + 15952369792530120807538507865482270825002569524851500696557950037937918583/538751315833380325001091030326711275195390077440523137877133376249696623820a^21 - 4203926944505087308612111004663569318053937021637289762420179737793206360591/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^20 + 32802396245675180213401415284114777660857846223280004624650705175130848419097/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^19 - 29990532030350565938287140121845303301704535423655782389470768110864264432073/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^18 + 1228140650117703260296509890238751308818845948028958550775334334369418788597/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^17 - 2578205884012739062590270878938318067518500675641783736077464578461940294417/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^16 + 42031915738604764459633718039741329805085467877014157128278833825992669059987/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 22624315036222537487367952678253143819226081635432234723153202897359724274021/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^14 + 53443606306539859811564216927054317120293889662996853867674984599793214923529/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^13 - 54194298998279887155995468410110591744940574676330890080457306591651909601391/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^12 + 315552163846279532145788486783677345001386041072279912655766686277209291651817/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^11 - 114880259956265667631055910838500495967644230667251854935356993766118755834359/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^10 + 3828967765982220523475867872790399940315571050173262937600971482921143336321/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^9 - 26942287180146658544198994597653091433679740010779330637074638905518400936341/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^8 - 105931948066669646882500390450982737989044978159640198924204839659712140784619/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^7 + 20831234047766671338056337766516060182293581427696234627676296895324403022957/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^6 - 2814374216685381743116943430013014508967566497818869900417790349488790560719/615715789523863228572675463230527171651874374217740729002438144285367570080a^5 + 199343421880818273046018856951123309226028528245565936114821514112822027869/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^4 + 18186067574950513401083983366542804654740231502295365778773159363926000765/17591879700681806530647870378015062047196410691935449400069661265296216288a^3 - 15555646793433221466766141622606042510103156097798649289499996209274585627/6282814178814930903802810849291093588284432389976946214310593309034362960a^2 + 63903154345894479379019895071007411572235575020261004257257711995412791/34145729232689841868493537224408117327632784728135577251688007114317190a - 109683329058898661299088154301144823826688690318332160406984643457582653/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910, 8894707060890577054621707855679022577572153237347009909615865006319047/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^31 - 1920503268388954351957673295954494977703130075925816199505709061589517/714613144317851622799374630899679204404247978366704265785213183004778941440a^30 + 48516252222593550979927012390906966037114077481102111330429764838273505/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^29 - 11304704982775736032555898964509286132537913563503182714361164835665297/215500526333352130000436412130684510078156030976209255150853350499878649528a^28 + 73076329156175064548146407677476637372089841415222991888587810198350477/431001052666704260000872824261369020156312061952418510301706700999757299056a^27 - 14257958427002939299941936131966892806823901062934363352120762148986296819/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^26 + 2540261232214571568749528137173027831081209077208909211803563449417411959/1724004210666817040003491297045476080625248247809674041206826803999029196224a^25 - 68072870550154150817597055457846837433241254896340271310181177005324562909/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^24 + 87397509636456047253469913161225431977926482910589591127821201517577917019/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^23 - 3360949468026179447565321722818156282111284308869947887976240132100442785097/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^22 + 79654046173918215585278439132088172315496971277765090596836041904693065027/1499134096232014817394340258300413983152389780704064383658110264346981909760a^21 - 1846036677052192586135081971890955260271175563335739994782021503663727068991/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^20 + 3555456355473953208336953809469637661931074082833879095414859192334691240439/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^19 - 50890871968103308636088819941033620202986504210471491203662494540120943908033/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^18 + 19958268626309741597495647776000601947184716781286255556933296526510856016009/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^17 - 2010536408603583867701580828797601351357370412279573807221449866076212461433/2462863158095452914290701852922108686607497496870962916009752577141470280320a^16 + 8242743457120560724081239114765763189732332046885417439614138821386523169491/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^15 - 35533658293743057102125162965863281105436118790988941615815565893695940660169/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^14 + 76500326423836938817044670881089070521923900139681072701591090516175657509573/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^13 - 15334586322796695330528381469807769226139036535114103406365841224487491265857/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^12 + 29294127120137846413846428832773074361436216529830689344812085555756729776841/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^11 - 15670698709008897866726549414594717969954061244941678230266650334881807724133/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^10 + 10231353153910716407242279272099998461071312483719130352695547001073983993327/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^9 + 2691809871964845419619239820520095462472350389950279634966358926149210317531/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^8 - 88937966010536313380216808113007438738159448272290779140179566938679592247133/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^7 + 39788210981687122938807675926940879921466409776102169766907260647398092254833/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^6 - 1101642382153055695649920513442723493450110540650328812405450563030479586577/175918797006818065306478703780150620471964106919354494000696612652962162880a^5 + 4341435232720103693625676307670772844146460358575946282809800198507008591/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^4 + 30610675046419900363572925797816587638435600989349995629495937113108851739/5497462406463064540827459493129706889748878341229827937521769145405067590a^3 - 31729402975039976786643764692271782340079987032038154192469487686610552307/6282814178814930903802810849291093588284432389976946214310593309034362960a^2 + 40328950638182281182999809835660527759791137238736869393656990792375661/44877244134392363598591506066364954202031659928406758673647095064531164a + 43821592640988608240719608209335321864433752208414212881346870419265921/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910, 125934349850211868401884115992484649470783824183307717606352737555584361/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^31 - 703957925777507296480635221761609385224153610150842990083206005250393361/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^30 + 98024908041324226903265521590349967911926598807819828783858495028556909/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^29 - 1529198411151260712413120864311627605822423957851298636462415086112818951/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 20230137869991968506952427518363402743814961043035512045604274016096920015/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 31210008179555780610787785173034720902806594000635671910620860712615063755/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^26 + 22565360857181576378968296534330282532568367394951162820538903500445090889/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 612241411791941399023139259436861951003917489001810729781724168643831892661/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^24 + 6342828349170142049337314240236802957876599325932442233799211271451764716813/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^23 - 7736713721527354163621623783890304754423468946115549710054862515573139943707/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^22 + 539292514353626767950852157519448401665766592153758399859293711968277389487/4310010526667042600008728242613690201563120619524185103017067009997572990560a^21 - 770781519860813105658841851787331764487105831569995782857300202178531936993/2998268192464029634788680516600827966304779561408128767316220528693963819520a^20 + 138317220987947224510717002195341783021896146491087041478842298234234575824949/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^19 - 126378232586223294761917694495910060624582808222272561102779349981690919034683/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^18 + 25698215046068524282270979735700642850682382422237501652522177835492144918037/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^17 - 463257340115992932751246430640358826800951199354822832288189596101040801197/214162013747430688199191465471487711878912825814866340522587180620997415680a^16 + 172187724510661166938174287941128516778281915610866328719801751644941697630263/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 91785573299284731165953715507945387626922166562404293671550057022245583070039/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^14 + 208068629662200061635567802078883777297815844528531870575117562583676959173073/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^13 - 190544197064366830936085829619926073210373090805070605007630490222009364582013/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^12 + 938232138805120641421227611112074509847741831179301281612401488103801884282773/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^11 - 67180543889899923861748258018940605260637564786628781124514792858701159151821/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^10 + 30221911252386757223744771221026319487240617148945945616927445638608086030427/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^9 - 87862719955256469013807489194541030229170483952131653089122915088086227487/178653286079462905699843657724919801101061994591676066446303295751194735360a^8 - 744092174760145239831784383073542443968294928701036113575593067215606551745007/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^7 + 93613402284848381777208857986876821777904045598647716177706758031801406131043/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^6 - 8046424467403918453699602286983203472373215069124527109228644519791190306307/615715789523863228572675463230527171651874374217740729002438144285367570080a^5 + 118240101966599614371759375449920805699286593123723074944372683125661505261/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^4 + 821934296876407928979330593300995264457288686613535166442549521716859251669/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^3 - 8893601548863178924631731629012136073838633125197144412178807402835256671/897544882687847271971830121327299084040633198568135173472941901290623280a^2 + 535649452765572438358054584463606102303244463330503567331220404336552839/157070354470373272595070271232277339707110809749423655357764832725859074a - 33961941847839399923071040326322951964437000376911825563234290236682919/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910, 509132482002693002419887112609626507178171698088788433644045211937349/2814700752109089044903659260482409927551425710709671904011145802447394606080a^31 - 21374147286577157595619054124428204246423506910605221812846396481782763/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^30 - 21411223928516502119837028904876791623105290741217126748666560640061/246286315809545291429070185292210868660749749687096291600975257714147028032a^29 + 23465967818572722202584174530988864269346846240150659875014152613534647/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^28 - 124002349427153764855609563573702411163937533440059028066009304214511/939799917231749263740787733049218673639875028617586612357644675274589184a^27 + 1917336720545254349859196057657411886210174909718606218933611264483540611/3940581052952724662865122964675373898571995994993540665615604123426352448512a^26 - 393820956727865852403589925230791903501100010466873000084492225042101677/246286315809545291429070185292210868660749749687096291600975257714147028032a^25 + 24235929374307900471922532866146286476624503496709123016554894802279640027/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^24 - 275778640810402422686913380378078459250416096129849629582457935695548161053/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^23 + 747832107086285814092319289884342157832429610134776091439750882213707054413/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^22 - 485660466915806797984522575451264612233801332501597778021546203029770018437/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^21 + 1151692873349205221051302032648714000071965587922823478432524276616486454913/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^20 - 9818326408071398940254867665088930072833616943571194010599385959748944201181/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^19 + 2811494468745594857748897663174365620102195948045263438428727566222992548739/2814700752109089044903659260482409927551425710709671904011145802447394606080a^18 - 1891566761681047211858639442055570279161522260452836482321861629978852645025/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^17 + 4092885817917408438650613694629836254954127635504709449491494576829779036381/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^16 - 19388932931248734503659742191656067950759226290804363385692581419005455271083/3940581052952724662865122964675373898571995994993540665615604123426352448512a^15 + 135166521907253007399930259420784484765960210949992155328091967886803859327747/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^14 - 269917653130832538140997073436370692836665152429285515262811873100554002483/25521898011351843671406236817845685871580284941668009492329042250170676480a^13 + 39097536242754288715412827829859660038112368028197379612092511994993967320543/2462863158095452914290701852922108686607497496870962916009752577141470280320a^12 - 339020829132783354144409762594060402482266289141742394204620204396932472320241/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^11 + 208014149702009914776101345454341561127154511531122435003978976740144498494089/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^10 - 1930781807494161945682933332904964150499485981204020305698969502016170264191/492572631619090582858140370584421737321499499374192583201950515428294056064a^9 + 23054429408219374364032064863757403730379278864259172943895661237835424119173/2462863158095452914290701852922108686607497496870962916009752577141470280320a^8 - 73236464761814183221074055854731192427581794677467661809678762968606575615103/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^7 - 55104657387957870345411374004415340344851578883722618872855599719369682064499/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^6 + 69100737936899707826414057769487096858153457887483949025259992580599723849311/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^5 - 5265483397798789514782924733336186787682694967124853994834899001482960711443/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^4 + 19429863773133840785883624058643455169015478079963624253575044198969182969/1256562835762986180760562169858218717656886477995389242862118661806872592a^3 + 180024766649124102608227017345747545722616101680708748109573383665408680569/6282814178814930903802810849291093588284432389976946214310593309034362960a^2 - 54607312953426782639051965393450170548423413017489335396146694054218809167/1570703544703732725950702712322773397071108097494236553577648327258590740a + 1428554705179371541550390750498150272133617336882550313018135110766828801/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910, 18105743535373267785200635694787068265487241456866216930616950533145787/39405810529527246628651229646753738985719959949935406656156041234263524485120a^31 - 2339433962606347802979519597782999365192853369086083844287013070207601/428324027494861376398382930942975423757825651629732681045174361241994831360a^30 + 15766819028440127909014802999357569576396060995219540301966507045632449/492572631619090582858140370584421737321499499374192583201950515428294056064a^29 - 254315994523939500989973440705514629891098167526870027139947161379629233/1970290526476362331432561482337686949285997997496770332807802061713176224256a^28 + 486629677405765227279994354844972999938424951880064262631834477007766403/1125880300843635617961463704192963971020570284283868761604458320978957842432a^27 - 2635346675278983784821190082623901203641305165835146555771994128265664747/1970290526476362331432561482337686949285997997496770332807802061713176224256a^26 + 3836343832748625536709416233072490252606546599682966609764962904181380017/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^25 - 104851242020453433422990831489456354405369821365438059910912514771247341567/9851452632381811657162807411688434746429989987483851664039010308565881121280a^24 + 155886279144064110970343958064193007160100036905076921181753626918537332489/5629401504218178089807318520964819855102851421419343808022291604894789212160a^23 - 83849347085887810098603805022452105124388675552390324020751975381520910699/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^22 + 757508905495449451650766003352202827821642697762834470866819908780024220321/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^21 - 3140250692448382611417595412197296410385627241021963186975031472969702572293/9851452632381811657162807411688434746429989987483851664039010308565881121280a^20 + 24596709110894707685824943842211862312335246928431524291786277106004853702631/39405810529527246628651229646753738985719959949935406656156041234263524485120a^19 - 405787601245182074502566537848153697650354478563371258058345969656358545249/351837594013636130612957407560301240943928213838708988001393225305924325760a^18 + 1890580797504656614760839388756396083922578256153990854428423096895094014487/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^17 - 13973696432284334478496699953484274813382981275072872216081125688824545966027/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^16 + 32212772887658738572609012549488714621059147762235556671360657963885047375029/7881162105905449325730245929350747797143991989987081331231208246852704897024a^15 - 30473674902603098190311918303822327059138224025418564283278889957542462541759/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^14 + 1316265200758619380973811885503153698003962943074316582065814131900141532171/153928947380965807143168865807631792912968593554435182250609536071341892520a^13 - 42945272267077294489962479663557629796253146758816898801119989830478481689713/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^12 + 235885181975953581260626008284458989378161749274026928026697498111816556274031/39405810529527246628651229646753738985719959949935406656156041234263524485120a^11 - 41354563574632975915741482890485505075334688048696440948235254978443805832881/9851452632381811657162807411688434746429989987483851664039010308565881121280a^10 + 3030912025970957351704771195845692072103862157348930796540862575783186123099/492572631619090582858140370584421737321499499374192583201950515428294056064a^9 - 23594762406572641802853347349607874586849229590793009767140524286873505874643/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^8 - 92923913775936852384357448718508728894529014022770234415989804301238404005817/9851452632381811657162807411688434746429989987483851664039010308565881121280a^7 + 32103771945709573730997869704825782958664149245541205475222456427809772261203/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^6 - 29679861510211014287666916895255152791855397808102827697388523116909179053763/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^5 + 189375268342519312064259142252093445221281057451017875664498569995970527211/21989849625852258163309837972518827558995513364919311750087076581620270360a^4 + 13782023199655484019154755520999273641060482968709791905424636833457530755/2513125671525972361521124339716437435313772955990778485724237323613745184a^3 - 10564087223420836098981262247827840691448091159957536507582553853275736559/785351772351866362975351356161386698535554048747118276788824163629295370a^2 + 16977780945039614468645905213911133202345488555240342708927767316964950401/1570703544703732725950702712322773397071108097494236553577648327258590740a - 178514885779354229383204306634226187486807130852294357937217096474514414/56096555167990454498239382582956192752539574910508448342058868830663955, 266518936202240640993829672507985454803172420502509141366714456897255477/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^31 - 1426246933211441786041674044023339940794161451265816070361732777296245431/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^30 + 47910540127486737928180586160842568763118898468802740738614715676978219/862002105333408520001745648522738040312624123904837020603413401999514598112a^29 - 2923456466731281963569599165799488174910018239404460366593195104157191727/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 38369127525390402969694604263238050633592655588721837162086730514393443763/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 59019342847448630506855203591770858277319778072497258412746041165099064197/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^26 + 42439080940105754720407218219665888767446153053915907286986898501253127499/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 1146934609663204202755102541530804692865861109017935592923319137730547990837/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^24 + 11864637577568698905757213500798279834795727412885161402827385768213511073913/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^23 - 14404520209347141520637511988896490782047945859245160318457864724252596546049/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^22 + 1993901258637948549146728496985949921509854769643517619297925402788278603679/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^21 - 32682595850705876794682695260932815860206841571928395235796710581581120657623/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^20 + 255304638264236120489658854629873850973150815331459694031364606772392017286561/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^19 - 232666736358858189650519847465666756606200447825143598651974189002180394434289/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^18 + 9426534783151025504328315819303770103805025894386483258158910474408817246355/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^17 - 2821353704627092761349661190723938743591878422521680823540939706721861424423/703675188027272261225914815120602481887856427677417976002786450611848651520a^16 + 328275813867652555575273812081002090451904361951061960960873154327569130428395/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 25307162717739239640079264601484727905778838858396509051344198608169064561579/2814700752109089044903659260482409927551425710709671904011145802447394606080a^14 + 401199879047851890790781505443373290639036855154383017889377748598633852191157/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^13 - 384020920532380628699152856863285852128469518095744447458859271734019266301983/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^12 + 2285859021247160237625653432331253897558552569151725684874453308399788813160561/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^11 - 975416795351023910843658403951087010456547239834417029330923879651739475012687/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^10 + 30325205753204907975802621711278059848602637168506141053593222945403718013263/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^9 - 94557027103973959547967236792025376591409304026356421637793435453894201581333/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^8 - 1165947358423548020040273751631748257560561274349942092544673399473730506496307/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^7 + 155750321127077416420498857314637507451144811205345386658059592281412735966981/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^6 - 18145609767926924393382095440864844459714139253375968083462384782357327106457/615715789523863228572675463230527171651874374217740729002438144285367570080a^5 + 1293115255577905331458934332073278943389735719944674791788884999306820184277/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^4 + 199831900033145211356688525365414951494230952027413070607076992740132480609/17591879700681806530647870378015062047196410691935449400069661265296216288a^3 - 14155059742466017657721403449260213480656637747852524430000507759920384493/897544882687847271971830121327299084040633198568135173472941901290623280a^2 + 237274473900139507664451172214275313274032587638003029729110183443204234/17072864616344920934246768612204058663816392364067788625844003557158595a - 586276818517314454773179119923114352320201552111416934603759338081356109/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910, 461868354009813872964370300027868011771058941022963517502032901729/4464886269127399261906095945731242682098409188241305383507482820327689728a^31 - 56281749152839012741062842262177031500796358584318933181632616296459/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^30 + 902518611808983010426390476018888983056139352775195142328740207/116467191911712209461239981889900946423685548524658425070625073568648a^29 - 36961686208028468785094323711242886299838620420203576702539150361295/1116221567281849815476523986432810670524602297060326345876870705081922432a^28 + 519407323323675013901972162984945960088590517037812527088715441480205/4464886269127399261906095945731242682098409188241305383507482820327689728a^27 - 3305325085557628285004812040956580210265810361763134358824083787690469/8929772538254798523812191891462485364196818376482610767014965640655379456a^26 + 1227114251728090448592133033061260762025400883172625376536093811831203/1116221567281849815476523986432810670524602297060326345876870705081922432a^25 - 857017203113640688514115205327361097908226673992745186299265875176319/279055391820462453869130996608202667631150574265081586469217676270480608a^24 + 182000794476726160976225297468337367732281049429050122905737607366489423/22324431345636996309530479728656213410492045941206526917537414101638448640a^23 - 182809188457242870477060526714042141399802251734421322311015666001767307/8929772538254798523812191891462485364196818376482610767014965640655379456a^22 + 532884874272393069389477784023805580996031420140311167121458343286174169/11162215672818498154765239864328106705246022970603263458768707050819224320a^21 - 7186461700690494238473611725952778756278184871070348411660082239993721/69763847955115613467282749152050666907787643566270396617304419067620152a^20 + 4662945871380762599228613577864454770257412021190435427324602592269299187/22324431345636996309530479728656213410492045941206526917537414101638448640a^19 - 17824664820936233360664307972253030730364923585764963627998873231542966303/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^18 + 7847558469696411710517807038177694027198008737555054641693174504521413357/11162215672818498154765239864328106705246022970603263458768707050819224320a^17 - 898060062189037301346954235346456343501807790115835723035888207881627167/797301119487035582483231418880579050374715926471661675626336217915658880a^16 + 7610356272875003287808264072798275505393543897751767933234655074585925671/4464886269127399261906095945731242682098409188241305383507482820327689728a^15 - 3257549936212277576832853930268573101359102458450458999632906740544500539/1275681791179256931973170270208926480599545482354658681002137948665054208a^14 + 40754813844062578162191558407681954784697631396038742813593796171599595521/11162215672818498154765239864328106705246022970603263458768707050819224320a^13 - 12471499701983493759409660344428846650896638211789221895163996480963658723/2790553918204624538691309966082026676311505742650815864692176762704806080a^12 + 19334996468984973480159564125857603269633702387511919526785389379048207297/4464886269127399261906095945731242682098409188241305383507482820327689728a^11 - 153550819419554419924257969593895706217530496989115799177292210130465852207/44648862691273992619060959457312426820984091882413053835074828203276897280a^10 + 16605729707803224272393802826485925848631709456414885285127928320513183427/5581107836409249077382619932164053352623011485301631729384353525409612160a^9 - 7464760433843560554312610149564099638718623251849428468865795156319457189/2790553918204624538691309966082026676311505742650815864692176762704806080a^8 - 121262249433255271785541075075877383879457513255608262795127680244547137/348819239775578067336413745760253334538938217831351983086522095338100760a^7 + 2404978057263809783394585380478176256103325102236714124533216138250246067/318920447794814232993292567552231620149886370588664670250534487166263552a^6 - 783939517107002765892839833504287644860276205248471624330115372923904973/56950079963359684463087958491469932169622566176547262544738301279689920a^5 + 70837216797090642490618218778901074058284209658136208836141924087901647/5695007996335968446308795849146993216962256617654726254473830127968992a^4 - 19691427826257939062204862601514133545602721119416575185114551791785857/7118759995419960557885994811433741521202820772068407818092287659961240a^3 - 13892144744898124000158930398749859295872060710598409987640012687228537/2033931427262845873681712803266783291772234506305259376597796474274640a^2 + 22916767270385674756872544399125241136358763382726194121723783263743/3158278613762183033667255905693762875422724388672763007139435519060a - 91304266584195265759583481586242709003578988960293421614362258746261/36320204058265104887173442915478273067361330469736774582103508469190, 119906963837024820455459125477017138207286690150328910186701033934442525/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^31 - 169122570771270143088742012955242411307130187039972854404449249622878297/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^30 + 238884898506910451903848455963395456289578061854078549983086782920252807/1724004210666817040003491297045476080625248247809674041206826803999029196224a^29 - 7571707541775331284666210034230907740844137702561370887686675939283698831/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 101289632002600529093739392942530444535510040046287056550444008924753241423/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 19630145921462209788345554852631390295381985128020902404310382226210711293/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^26 + 114018373503235818278713421026532180146468764023397452949723511385865214465/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 622203608303756537897267067959323697456436838077553551994403760642533578021/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^24 + 6479004072177562159940082036881417407368581471234741960300166568222519198089/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^23 - 3974274486541662844651527825222241510183370501508937582639899838512281903725/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^22 + 4474123236912816769782365916761672728008162867874275038146164575536695746579/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^21 - 18587558781662696588604009338538685160696170348292550842790371684438154988551/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^20 + 146284629747561998678860335418947359327331436488571992148157070882070342735105/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^19 - 67529308518263422335298131836745677159086062576784751642842131202984839086993/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^18 + 56105609539203472671622911034817187331958961444025401633585799960628120060217/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^17 - 11986388265789579211532333257691718748842815630534109096291877634425960360305/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^16 + 985462666884413849058010969066500272145808542336257122187940925237002068570015/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 7545371051947586271759123727247248344772213844725900779446221337605185602549/281470075210908904490365926048240992755142571070967190401114580244739460608a^14 + 15606939151540346454169380551363152401372595770296969823615017286702433506213/431001052666704260000872824261369020156312061952418510301706700999757299056a^13 - 259645067530365733200844072158637841770965513324303761946741518873692535788481/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^12 + 1613233604066894574435408289906173561162704750840636665071343470810941006031273/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^11 - 75596913730764866477020440625409935167193988390460966106722859486306648193579/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^10 + 42967164909551980387004512327157535704030651824532054900872803112300225029907/1724004210666817040003491297045476080625248247809674041206826803999029196224a^9 - 101106859738216927032646456125825192706475464223297927975312530926352029099875/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^8 - 519505886700358099652401320652823226440035238816552441393582190517232449659239/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^7 + 2099127813122448745385480219703278715227281589224117669124535359532782034971/21416201374743068819919146547148771187891282581486634052258718062099741568a^6 - 1155580571245342188450215180110316752356254582428232601633543199528015247099/10708100687371534409959573273574385593945641290743317026129359031049870784a^5 + 557935046226495263210967894820593120440084013060454031814240979991085288681/8795939850340903265323935189007531023598205345967724700034830632648108144a^4 + 14095193167403216504922878882968388570092729327068631406135331483180265747/764864334812252457854255233826741828138974377910236930437811359360705056a^3 - 5250334056587462251947637896514382734382767991854697701246884582465104941/89754488268784727197183012132729908404063319856813517347294190129062328a^2 + 15394466088365810344638446971835512708402799870543226809412888327531979579/314140708940746545190140542464554679414221619498847310715529665451718148a - 277245818081498947508470752571500004035881155747952100973720107994578077/11219311033598090899647876516591238550507914982101689668411773766132791, 35453874768846308048748530705164175584620807593794671926368395771351059/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^31 - 43380719066554969586898258973233230518974573086946132969289669464078645/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^30 + 33230024806790099971196740077495325492121335942207652589739027334149889/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^29 - 559819229628945792491842236711360981214294359688971720225715477696917005/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 7707947206121942783427620057746394003910060485830146682244848249614136485/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 12066630038866941280716964095872277468160187691924848118490738751529057483/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^26 + 8878569442023316199299853009827525284517597056738379377121678883164193891/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 246187742590525187429598320813658857039176649787063021195769632703418607839/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^24 + 518580691344886802688903852724489237701328932375467913656890481694644210179/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^23 - 140405432420370792998722115621608958073522278419743369408520579927306648281/5996536384928059269577361033201655932609559122816257534632441057387927639040a^22 + 186211723167779568486355545894202863751619768935875195053247344743091816347/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^21 - 7907733431000785263459740196757052350213626525523834427143172236492166903781/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^20 + 63099942406816517417181279902037449701332040382864608221410337778955087515943/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^19 - 59590757417550220789184510000154607350192792947673501595576295505949276761839/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^18 + 6463946358306392391766160570243437081856865891852021782736326121764584662691/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^17 - 1154000212587176506725307239865028338208715346278781140024904213440409031761/985145263238181165716280741168843474642998998748385166403901030856588112128a^16 + 95895048401805512457046691348635573062630098968320636786829184869318205537453/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 52029171654398748960630126261054987281717030380156020353659303468156429538451/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^14 + 5783765369191043511954511695474818122449348133117350909767054766792189941367/1499134096232014817394340258300413983152389780704064383658110264346981909760a^13 - 31432886560806233685170361719957945019357539509274640096679582295485457840059/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^12 + 1074061011539890157299446913880320759408852960904599340892350326268498331284567/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^11 - 384760910912508089237575440300665516808624553654059844432224426692175648860033/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^10 + 28278008377745642020380772676584181362392813420473279311142130313579582437357/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^9 - 130375311775321197815681528071278935733939118548286803651937036763744126414173/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^8 - 9508934084773175394900387101048161248600848054356563282867004360276947397401/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^7 + 52006952588241842810779792517539234801817785389619791176536229269222951545087/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^6 - 67413587447091870645172537647938376720964871368432575374151297555800553725/4397969925170451632661967594503765511799102672983862350017415316324054072a^5 + 849495631668374378805197439214082032424922246805742582802513541354780418539/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^4 + 89197719923854968444542062393062807837281150297264392592808049324255073759/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^3 - 6751092178061650310224202245518800369107659438233888313248171692622877843/897544882687847271971830121327299084040633198568135173472941901290623280a^2 + 786640947701477301664991361401758907316027193200188235562638569381457333/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910a - 50732478976640534264361095140664238343057058837962580328533727756325867/22438622067196181799295753033182477101015829964203379336823547532265582, 15141903275861197260167909082671616174277398207689142269525254871876913/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^31 - 96140323646975573866024634413445087928142105407509508242945271117130749/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^30 + 29528114316510849686918359224532423700587739360088037391326534463663913/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^29 - 245238724982230022413240691568363326604267139498044525943428820094655433/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^28 + 3319763324397419140258334101387274119800212785599235461918909153107053927/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^27 - 22035432522171771479554464711254248170879566464211974218495772131208975/59193277619461529270506138954351110064386205933379366221693624171640487424a^26 + 81260568320696470592971270114286440401997143650361233508356915372070693/74956704811600740869717012915020699157619489035203219182905513217349095488a^25 - 4448644914628196849804846680982856050034280142945198422547232423144991421/1499134096232014817394340258300413983152389780704064383658110264346981909760a^24 + 1065605172557677801589992964020228912206026973820988465963318321361361595157/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^23 - 1313755135202053995401169108899895886822870504150957396945827924861254392351/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^22 + 745336928938214340787875803869717867793986595765800581618364507580257130619/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^21 - 3091234495450260207028345745509522379719175008474207287970702921475104600217/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^20 + 24067472145373558138261182802077742667365442346615498931750077981979330153309/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^19 - 962531395947109456559328305051875851548451704542314957913496087143096796777/2998268192464029634788680516600827966304779561408128767316220528693963819520a^18 + 1844039424602094420111447836365811654544318627030731917692696356050212449641/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^17 - 968670974306330988812101688738809558226855371338059500885741876847287478067/1231431579047726457145350926461054343303748748435481458004876288570735140160a^16 + 30603985561935196290190544251642441633179182513619804999013737642446872126799/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^15 - 16523412238489215450862615275894694365744240522282288965037681859505598313387/9851452632381811657162807411688434746429989987483851664039010308565881121280a^14 + 21003858852250300298408043339458892787362454972067014427871098591614616204629/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^13 - 5845381611251351416262006822244344406802382023045132688671830326123750181339/2155005263333521300004364121306845100781560309762092551508533504998786495280a^12 + 277547429596750655526869423237337102892773947173636130362886502116077651056029/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^11 - 85517455535097682863307738113055247662839370860053990577694033736860615659653/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^10 + 6004007179691997274712625865404099217759008159591795051679633866580839444571/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^9 - 5267104155050848412430545039671834582262266779014710663085092198233969323759/2155005263333521300004364121306845100781560309762092551508533504998786495280a^8 - 9530264687172339448257664679248479912330485557470188752216844690484874308343/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^7 + 71022815668746429530075900261007770716479946681930117326864291698979536453/12760949005675921835703118408922842935790142470834004746164521125085338240a^6 - 2460925572862544584554747395432735194746186999745958774888268540491552598763/307857894761931614286337731615263585825937187108870364501219072142683785040a^5 + 263731199894695293396552690585482139689930779428024581189807455160146762933/43979699251704516326619675945037655117991026729838623500174153163240540720a^4 + 1683063472289827508809335833150875692213043817622041884920141910227791081/8795939850340903265323935189007531023598205345967724700034830632648108144a^3 - 583030613500685086266894072776948361314401571812618078423335988709466733/136582916930759367473974148897632469310531138912542309006752028457268760a^2 + 1555191697394493915182176727198885324901527062565028883234327725192005166/392675886175933181487675678080693349267777024373559138394412081814647685a - 150007577235089653337147489806702332725455812189384217686494067673918626/56096555167990454498239382582956192752539574910508448342058868830663955, 39699572626395009185360916696127208691698443402301024408816437167361491/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^31 - 231646844075015383211784219959493772551850190687661890925824275196023597/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^30 + 34006897623473697981346363701175581311017659798052288432064659473623411/3448008421333634080006982594090952161250496495619348082413653607998058392448a^29 - 558309354357762826298603650870860014866379618928723740444301965489186809/13792033685334536320027930376363808645001985982477392329654614431992233569792a^28 + 7646552330689025876866300184623186581453972637657089828076536263782984741/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^27 - 12014427733620914035988158506309415577135274501403130134611245471483618423/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^26 + 8835084850007818640160204197233299158208347380679114959256417183218249663/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^25 - 244348846824960241917743840661314125111541992276752344421273040099668223731/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^24 + 111879238949604749467937783018461718824703317264852923611068902269613815497/11993072769856118539154722066403311865219118245632515069264882114775855278080a^23 - 3199800858604789150046044400259490306977892410519300810305469620239106601667/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^22 + 919290423721039975380178912734998231112202133134476428030782536738603760811/17240042106668170400034912970454760806252482478096740412068268039990291962240a^21 - 7817821941102200256477296010344637490795389625297900215328920029373229009489/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^20 + 62799590128874424265504867738926698189475896348751898654172448813597799851751/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^19 - 11891103203501025327794756794489051136090572109653144072577863013726579363223/27584067370669072640055860752727617290003971964954784659309228863984467139584a^18 + 6435796608350729546772408482680553137105739532939718136957571396269382240433/8620021053334085200017456485227380403126241239048370206034134019995145981120a^17 - 5793833057238485013122347219897755265534857702580583390856389461608609052767/4925726316190905828581403705844217373214994993741925832019505154282940560640a^16 + 98601605987930967422231344870397849977409034889732384328347340119698210565325/55168134741338145280111721505455234580007943929909569318618457727968934279168a^15 - 53867517863441098670129024738176362633574561190342184554529812487238182684759/19702905264763623314325614823376869492859979974967703328078020617131762242560a^14 + 135173834456136129043691857310134188496268164722009349555646609512004538048457/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^13 - 162510025811176748632418370957930199055462806113140488022139908231294881121321/34480084213336340800069825940909521612504964956193480824136536079980583924480a^12 + 1293671017418431100655713986889088505833509813845117805332990669951664313867703/275840673706690726400558607527276172900039719649547846593092288639844671395840a^11 - 629968325984333709567096904682412429662730681408176081338050375205025820898693/137920336853345363200279303763638086450019859824773923296546144319922335697920a^10 + 11750970541032212971569744013971892169982757401200585292100262727508704439129/2155005263333521300004364121306845100781560309762092551508533504998786495280a^9 - 39349468317051093307317761153021841117657432798273183333920987120166617636799/6896016842667268160013965188181904322500992991238696164827307215996116784896a^8 + 134708765854451487060180421255602665518880338499644392309099966300671068944651/68960168426672681600139651881819043225009929912386961648273072159961167848960a^7 + 3123059575151093537417245716094509207276703489017297874120242528208266290529/703675188027272261225914815120602481887856427677417976002786450611848651520a^6 - 510856536785033133205229383149282634080312573355549729436151830352215950823/76964473690482903571584432903815896456484296777217591125304768035670946260a^5 + 38914985138038890503420549157953921542240494019962541494440757061299960423/12565628357629861807605621698582187176568864779953892428621186618068725920a^4 + 137028128023770070939647245904366828476086003938774574892522360582105229847/87959398503409032653239351890075310235982053459677247000348306326481081440a^3 - 3472555324850908217051017006914072329643692578972904774755435683229425777/1256562835762986180760562169858218717656886477995389242862118661806872592a^2 + 399562618278787632213882773243897137720707984284128731625733678638973843/392675886175933181487675678080693349267777024373559138394412081814647685*a + 16672086653914114038364291204129176373103616568687910622109995666216557/112193110335980908996478765165912385505079149821016896684117737661327910 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 5074359259636.912 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 5074359259636.912 \cdot 192}{8\cdot\sqrt{16911935728484512440926445363543525554439219897696256}}\cr\approx \mathstrut & 5.52552676969832 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 12*x^31 + 72*x^30 - 300*x^29 + 1035*x^28 - 3260*x^27 + 9600*x^26 - 26564*x^25 + 69933*x^24 - 174072*x^23 + 400688*x^22 - 851404*x^21 + 1702949*x^20 - 3206248*x^19 + 5512736*x^18 - 8563800*x^17 + 12691211*x^16 - 18904816*x^15 + 26519464*x^14 - 30813896*x^13 + 27904797*x^12 - 21762500*x^11 + 20377800*x^10 - 16601336*x^9 - 10360556*x^8 + 56257376*x^7 - 83781376*x^6 + 68810112*x^5 - 15839936*x^4 - 31786496*x^3 + 44255232*x^2 - 29503488*x + 9834496);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_4^2:C_2^3$ (as 32T12882):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 512

The 80 conjugacy class representatives for $D_4^2:C_2^3$

Character table for $D_4^2:C_2^3$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-7}) $, $\Q(\sqrt{2}) $, $\Q(\sqrt{7}) $, $\Q(\sqrt{-2}) $, $\Q(\sqrt{-14}) $, $\Q(\sqrt{-1}) $, $\Q(\sqrt{14}) $, 4.4.10304.1, 4.0.10304.1, 4.0.41216.1, 4.4.41216.1, $\Q(i, \sqrt{14})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-7})$, $\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{7})$, $\Q(i, \sqrt{7})$, $\Q(\zeta_{8})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{7})$, $\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{-7})$, 8.8.712735428608.1, 8.0.14545620992.1, 8.0.11403766857728.1, 8.8.232729935872.1, 8.0.157351936.1, 8.0.5202448384.2, 8.0.83239174144.16, 8.0.1698758656.6, 8.0.1698758656.7, 8.0.83239174144.19, 8.8.83239174144.1, 16.0.6928760112175158132736.1, 16.0.507991791193029464817664.1, 16.0.130045898545415542993321984.2, 16.0.130045898545415542993321984.1, 16.0.54163223050985232400384.1, 16.16.130045898545415542993321984.1, 16.0.130045898545415542993321984.3

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Degree 32 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/5.2.0.1}{2} }^{8}$	R	${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/13.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{8}$	R	${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/31.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/41.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/43.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/53.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2	2.4.8.2	$x^{4} + 2 x^{2} + 4 x + 2$	$4$	$1$	$8$	$C_2^2$	$[2, 3]$
	2.4.8.2	$x^{4} + 2 x^{2} + 4 x + 2$	$4$	$1$	$8$	$C_2^2$	$[2, 3]$
	2.4.8.2	$x^{4} + 2 x^{2} + 4 x + 2$	$4$	$1$	$8$	$C_2^2$	$[2, 3]$
	2.4.8.2	$x^{4} + 2 x^{2} + 4 x + 2$	$4$	$1$	$8$	$C_2^2$	$[2, 3]$
	2.8.16.6	$x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$	$4$	$2$	$16$	$C_2^3$	$[2, 3]^{2}$
	2.8.16.6	$x^{8} + 4 x^{7} + 24 x^{6} + 48 x^{5} + 56 x^{4} + 56 x^{3} + 64 x^{2} + 48 x + 36$	$4$	$2$	$16$	$C_2^3$	$[2, 3]^{2}$
$7$ 7	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	7.4.2.1	$x^{4} + 12 x^{3} + 56 x^{2} + 120 x + 268$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
$23$ 23	23.4.2.1	$x^{4} + 42 x^{3} + 497 x^{2} + 1176 x + 10467$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	23.4.0.1	$x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	23.4.0.1	$x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	23.4.2.1	$x^{4} + 42 x^{3} + 497 x^{2} + 1176 x + 10467$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	23.4.2.1	$x^{4} + 42 x^{3} + 497 x^{2} + 1176 x + 10467$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	23.4.0.1	$x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	23.4.2.1	$x^{4} + 42 x^{3} + 497 x^{2} + 1176 x + 10467$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	23.4.0.1	$x^{4} + 3 x^{2} + 19 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
$137$ 137	137.2.0.1	$x^{2} + 131 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	137.2.0.1	$x^{2} + 131 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	137.2.1.1	$x^{2} + 137$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	137.2.0.1	$x^{2} + 131 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	137.2.1.1	$x^{2} + 137$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	137.2.1.1	$x^{2} + 137$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	137.2.1.1	$x^{2} + 137$	$2$	$1$	$1$	$C_2$	$[\ ]_{2}$
	137.2.0.1	$x^{2} + 131 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	137.4.0.1	$x^{4} + x^{2} + 95 x + 3$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	137.4.0.1	$x^{4} + x^{2} + 95 x + 3$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	137.4.0.1	$x^{4} + x^{2} + 95 x + 3$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	137.4.0.1	$x^{4} + x^{2} + 95 x + 3$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more