Number field 32.0.1689856796077948861582881651286068022251129150390625.1

• Label: 32.0.168...625.1
• Degree: $32$
• Signature: $[0, 16]$
• Discriminant: $1.690\times 10^{51}$
• Root discriminant: \(39.89\)
• Ramified primes: $5,17$
• Class number: $365$ (GRH)
• Class group: [365] (GRH)
• Galois group: $C_4\times C_8$ (as 32T43)

Normalized defining polynomial

x^32 - x^31 + 8*x^30 - 9*x^29 + 44*x^28 - 38*x^27 + 192*x^26 - 145*x^25 + 766*x^24 - 556*x^23 + 2257*x^22 - 1493*x^21 + 5640*x^20 - 2513*x^19 + 11628*x^18 - 4801*x^17 + 21029*x^16 - 8919*x^15 + 26197*x^14 - 7798*x^13 + 27196*x^12 - 90*x^11 + 19367*x^10 - 2094*x^9 + 12428*x^8 - 3657*x^7 + 3055*x^6 - 664*x^5 + 741*x^4 + 134*x^3 + 26*x^2 + 4*x + 1

Invariants

Degree:		$32$
Signature:		$[0, 16]$
Discriminant:		\(1689856796077948861582881651286068022251129150390625\) \(\medspace = 5^{24}\cdot 17^{28}\)
Root discriminant:		\(39.89\)
Galois root discriminant:		$5^{3/4}17^{7/8}\approx 39.89057619356904$
Ramified primes:		\(5\), \(17\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$32$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(85=5\cdot 17\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{85}(1,·)$, $\chi_{85}(2,·)$, $\chi_{85}(4,·)$, $\chi_{85}(8,·)$, $\chi_{85}(9,·)$, $\chi_{85}(13,·)$, $\chi_{85}(16,·)$, $\chi_{85}(18,·)$, $\chi_{85}(19,·)$, $\chi_{85}(21,·)$, $\chi_{85}(26,·)$, $\chi_{85}(32,·)$, $\chi_{85}(33,·)$, $\chi_{85}(36,·)$, $\chi_{85}(38,·)$, $\chi_{85}(42,·)$, $\chi_{85}(43,·)$, $\chi_{85}(47,·)$, $\chi_{85}(49,·)$, $\chi_{85}(52,·)$, $\chi_{85}(53,·)$, $\chi_{85}(59,·)$, $\chi_{85}(64,·)$, $\chi_{85}(66,·)$, $\chi_{85}(67,·)$, $\chi_{85}(69,·)$, $\chi_{85}(72,·)$, $\chi_{85}(76,·)$, $\chi_{85}(77,·)$, $\chi_{85}(81,·)$, $\chi_{85}(83,·)$, $\chi_{85}(84,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:		unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{20}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{21}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{2}a^{22}-\frac{1}{2}a^{7}$, $\frac{1}{2}a^{23}-\frac{1}{2}a^{8}$, $\frac{1}{2}a^{24}-\frac{1}{2}a^{9}$, $\frac{1}{2}a^{25}-\frac{1}{2}a^{10}$, $\frac{1}{1084}a^{26}+\frac{33}{542}a^{25}-\frac{111}{542}a^{24}+\frac{239}{1084}a^{23}-\frac{165}{1084}a^{22}+\frac{115}{542}a^{21}-\frac{253}{1084}a^{20}-\frac{113}{542}a^{19}-\frac{109}{1084}a^{18}-\frac{247}{1084}a^{17}+\frac{189}{1084}a^{16}+\frac{41}{1084}a^{15}+\frac{267}{542}a^{14}+\frac{81}{542}a^{13}-\frac{181}{542}a^{12}+\frac{297}{1084}a^{11}-\frac{117}{542}a^{10}-\frac{175}{542}a^{9}-\frac{519}{1084}a^{8}+\frac{183}{1084}a^{7}+\frac{227}{542}a^{6}-\frac{339}{1084}a^{5}-\frac{110}{271}a^{4}+\frac{391}{1084}a^{3}-\frac{73}{1084}a^{2}+\frac{489}{1084}a-\frac{105}{1084}$, $\frac{1}{1084}a^{27}-\frac{121}{542}a^{25}+\frac{257}{1084}a^{24}-\frac{221}{1084}a^{23}-\frac{131}{542}a^{22}-\frac{257}{1084}a^{21}+\frac{53}{271}a^{20}+\frac{173}{1084}a^{19}-\frac{99}{1084}a^{18}+\frac{231}{1084}a^{17}+\frac{33}{1084}a^{16}-\frac{1}{271}a^{15}-\frac{197}{542}a^{14}-\frac{107}{542}a^{13}+\frac{341}{1084}a^{12}-\frac{81}{271}a^{11}-\frac{41}{542}a^{10}+\frac{359}{1084}a^{9}+\frac{291}{1084}a^{8}-\frac{121}{542}a^{7}+\frac{49}{1084}a^{6}+\frac{127}{542}a^{5}-\frac{379}{1084}a^{4}-\frac{405}{1084}a^{3}-\frac{113}{1084}a^{2}-\frac{401}{1084}a+\frac{213}{542}$, $\frac{1}{1084}a^{28}-\frac{31}{1084}a^{25}+\frac{255}{1084}a^{24}+\frac{31}{271}a^{23}-\frac{79}{1084}a^{22}+\frac{23}{542}a^{21}+\frac{193}{1084}a^{20}-\frac{49}{1084}a^{19}-\frac{131}{1084}a^{18}-\frac{121}{1084}a^{17}+\frac{103}{542}a^{16}-\frac{57}{271}a^{15}+\frac{9}{542}a^{14}+\frac{521}{1084}a^{13}-\frac{31}{271}a^{12}+\frac{62}{271}a^{11}+\frac{99}{1084}a^{10}+\frac{143}{1084}a^{9}-\frac{24}{271}a^{8}-\frac{109}{1084}a^{7}+\frac{24}{271}a^{6}+\frac{509}{1084}a^{5}-\frac{111}{1084}a^{4}+\frac{201}{1084}a^{3}+\frac{361}{1084}a^{2}-\frac{119}{271}a-\frac{239}{542}$, $\frac{1}{69\!\cdots\!16}a^{29}+\frac{238992580538113}{69\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{11176854233145}{25\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{677989716707749}{34\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!29}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{69\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!15}{34\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!29}a^{21}+\frac{81\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!16}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!25}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!58}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{42\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!58}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!16}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!16}a^{14}-\frac{23\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!16}a^{13}-\frac{23\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!16}a^{12}-\frac{36\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!58}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!85}{34\!\cdots\!58}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{42\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!58}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{525234219424847}{78\!\cdots\!44}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!58}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!16}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!29}a+\frac{24\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!16}$, $\frac{1}{69\!\cdots\!16}a^{30}-\frac{768783998027255}{17\!\cdots\!29}a^{28}-\frac{261369195419286}{17\!\cdots\!29}a^{27}-\frac{561238360446757}{34\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!09}{34\!\cdots\!58}a^{25}+\frac{46\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{40\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!29}a^{23}-\frac{28\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!29}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!58}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{42\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!58}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!62}{17\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!72}{17\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!29}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!58}a^{11}-\frac{97\!\cdots\!99}{34\!\cdots\!58}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!14}{17\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{82\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{55\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!29}a^{6}+\frac{19\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!61}{34\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!58}a+\frac{35\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!16}$, $\frac{1}{13\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{43\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{50\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!32}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!29}a^{24}-\frac{40\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!58}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{28\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!09}{17\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!55}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!32}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!32}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!23}{69\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{60\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{67\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!32}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!25}{13\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{22\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!16}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!16}a^{7}-\frac{59\!\cdots\!97}{15\!\cdots\!88}a^{6}+\frac{62\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!29}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!16}a^{4}-\frac{24\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!32}a-\frac{63\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!32}$

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$

Class group and class number

$C_{365}$, which has order $365$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$15$
Torsion generator:		\( \frac{2528535812253219747}{13989380207557777832} a^{31} - \frac{312543835478787294}{1748672525944722229} a^{30} + \frac{5054686180429912637}{3497345051889444458} a^{29} - \frac{22568921454126168423}{13989380207557777832} a^{28} + \frac{111163504319626792311}{13989380207557777832} a^{27} - \frac{95154251627665944351}{13989380207557777832} a^{26} + \frac{485341708327626640635}{13989380207557777832} a^{25} - \frac{181343349173891893349}{6994690103778888916} a^{24} + \frac{968372845836137320311}{6994690103778888916} a^{23} - \frac{173780009551890319743}{1748672525944722229} a^{22} + \frac{5706837683947301957631}{13989380207557777832} a^{21} - \frac{933720007854356298855}{3497345051889444458} a^{20} + \frac{6580160458217253382}{6452666147397499} a^{19} - \frac{6260090957345399045841}{13989380207557777832} a^{18} + \frac{29447006459793751382859}{13989380207557777832} a^{17} - \frac{1493687120986818596160}{1748672525944722229} a^{16} + \frac{53257777602069764852469}{13989380207557777832} a^{15} - \frac{11118721754867681199515}{6994690103778888916} a^{14} + \frac{66381899029907353452729}{13989380207557777832} a^{13} - \frac{19483948346692734930555}{13989380207557777832} a^{12} + \frac{69039029160797434893801}{13989380207557777832} a^{11} + \frac{6734749476955779405}{13989380207557777832} a^{10} + \frac{12350937480213690861817}{3497345051889444458} a^{9} - \frac{644220557806567902507}{1748672525944722229} a^{8} + \frac{15756081767730935265735}{6994690103778888916} a^{7} - \frac{9248046756838033425741}{13989380207557777832} a^{6} + \frac{968592671135134576767}{1748672525944722229} a^{5} - \frac{234013867799071988415}{1748672525944722229} a^{4} + \frac{1883705248718057242449}{13989380207557777832} a^{3} + \frac{340667106240790505331}{13989380207557777832} a^{2} + \frac{66085789685343354441}{13989380207557777832} a + \frac{10172392514420249871}{13989380207557777832} \)  (order $10$)
Fundamental units:		$\frac{25\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!29}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{22\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!11}{13\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{95\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{48\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!32}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{93\!\cdots\!55}{34\!\cdots\!58}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!82}{64\!\cdots\!99}a^{19}-\frac{62\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{66\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!55}{13\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!32}a^{11}+\frac{67\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!58}a^{9}-\frac{64\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!16}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!32}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!29}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!32}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!41}{13\!\cdots\!32}a-\frac{38\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!32}$, $\frac{14\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{42\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!16}a^{30}+\frac{52\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!16}a^{29}-\frac{79\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{55\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!32}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!27}{34\!\cdots\!58}a^{23}-\frac{83\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{37\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!16}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!09}{13\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!32}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!58}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!58}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!32}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!49}{13\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{58\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!58}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!16}a^{7}+\frac{21\!\cdots\!95}{13\!\cdots\!32}a^{6}+\frac{24\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!16}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!73}{13\!\cdots\!32}a^{3}+\frac{64\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!32}a+\frac{14\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!32}$, 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$\frac{34\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!21}{69\!\cdots\!16}a^{30}+\frac{54\!\cdots\!79}{34\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!58}a^{27}-\frac{55\!\cdots\!13}{69\!\cdots\!16}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!16}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!67}{34\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{77\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{55\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{19\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!58}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!29}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!51}{69\!\cdots\!16}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!98}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!16}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!16}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!99}{69\!\cdots\!16}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!16}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!29}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!29}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!75}{34\!\cdots\!58}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!58}a^{5}-\frac{38\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!96}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!87}{34\!\cdots\!58}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{52\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!16}a+\frac{29\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!29}$, $\frac{13\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!16}a^{31}-\frac{72\!\cdots\!21}{34\!\cdots\!58}a^{30}+\frac{54\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{60\!\cdots\!81}{69\!\cdots\!16}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!58}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!58}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!65}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!93}{69\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{30\!\cdots\!39}{69\!\cdots\!16}a^{21}-\frac{55\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{39\!\cdots\!11}{69\!\cdots\!16}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!79}{69\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!09}{69\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{71\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!29}a^{15}-\frac{35\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!29}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!03}{34\!\cdots\!58}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!27}{69\!\cdots\!16}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!83}{34\!\cdots\!58}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!58}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!25}{69\!\cdots\!16}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!31}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!97}{34\!\cdots\!58}a^{7}-\frac{60\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!16}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!58}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{92\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!16}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{26\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!58}a+\frac{15\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!29}$, $\frac{38\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!32}a^{31}+\frac{79\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!58}a^{30}+\frac{62\!\cdots\!17}{34\!\cdots\!58}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!32}a^{27}+\frac{15\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{51\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!32}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!29}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!16}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!32}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!83}{69\!\cdots\!16}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!85}{13\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{32\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!32}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!35}{69\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!32}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{57\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!32}a^{13}+\frac{13\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{84\!\cdots\!91}{15\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!95}{34\!\cdots\!58}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!32}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!37}{69\!\cdots\!16}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!69}{34\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!32}a^{3}+\frac{44\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!89}{13\!\cdots\!32}a+\frac{15\!\cdots\!81}{13\!\cdots\!32}$, $\frac{36\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{85\!\cdots\!91}{34\!\cdots\!58}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!77}{69\!\cdots\!16}a^{29}-\frac{30\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!13}{13\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!47}{13\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{68\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!32}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!09}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!29}a^{23}-\frac{46\!\cdots\!33}{34\!\cdots\!58}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!16}a^{20}+\frac{99\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{78\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!29}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!58}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!32}a^{11}+\frac{52\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!19}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!05}{69\!\cdots\!16}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!32}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!87}{69\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{77\!\cdots\!51}{69\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!32}a^{3}+\frac{70\!\cdots\!01}{13\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{84\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!32}a-\frac{36\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!32}$, $\frac{94\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!16}a^{31}-\frac{28\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!29}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!37}{34\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!43}{69\!\cdots\!16}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!29}a^{27}-\frac{44\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!16}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!16}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!91}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!03}{69\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{46\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!16}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!47}{34\!\cdots\!58}a^{18}+\frac{56\!\cdots\!65}{34\!\cdots\!58}a^{17}-\frac{68\!\cdots\!15}{69\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!61}{69\!\cdots\!16}a^{15}-\frac{62\!\cdots\!05}{34\!\cdots\!58}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!95}{69\!\cdots\!16}a^{13}-\frac{62\!\cdots\!41}{34\!\cdots\!58}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!01}{69\!\cdots\!16}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!67}{69\!\cdots\!16}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!49}{69\!\cdots\!16}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!07}{69\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!58}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!73}{34\!\cdots\!58}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!93}{34\!\cdots\!58}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!13}{69\!\cdots\!16}a^{4}+\frac{40\!\cdots\!01}{34\!\cdots\!58}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!25}{34\!\cdots\!58}a^{2}-\frac{68\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!29}a-\frac{59\!\cdots\!63}{69\!\cdots\!16}$, $\frac{10\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!29}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!29}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{51\!\cdots\!63}{13\!\cdots\!32}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!31}{13\!\cdots\!32}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!32}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!53}{69\!\cdots\!16}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!59}{69\!\cdots\!16}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!32}a^{21}-\frac{73\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!58}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!07}{34\!\cdots\!58}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!27}{13\!\cdots\!32}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!45}{34\!\cdots\!58}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!32}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!33}{69\!\cdots\!16}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!32}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{60\!\cdots\!19}{34\!\cdots\!58}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!29}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!71}{69\!\cdots\!16}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!69}{13\!\cdots\!32}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!29}a^{5}-\frac{81\!\cdots\!29}{34\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!32}a^{3}-\frac{40\!\cdots\!77}{13\!\cdots\!32}a^{2}+\frac{57\!\cdots\!21}{13\!\cdots\!32}a-\frac{53\!\cdots\!61}{13\!\cdots\!32}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 42597284566.379654 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 42597284566.379654 \cdot 365}{10\cdot\sqrt{1689856796077948861582881651286068022251129150390625}}\cr\approx \mathstrut & 0.223165842129309 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_4\times C_8$ (as 32T43):

An abelian group of order 32

The 32 conjugacy class representatives for $C_4\times C_8$

Character table for $C_4\times C_8$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{85}) \), \(\Q(\sqrt{17}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), 4.0.614125.2, \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{17})\), 4.0.614125.1, 4.4.122825.1, 4.4.4913.1, 4.0.36125.1, \(\Q(\zeta_{5})\), 8.0.377149515625.1, 8.8.15085980625.1, 8.0.1305015625.1, 8.0.6411541765625.1, 8.0.6411541765625.2, 8.8.256461670625.1, \(\Q(\zeta_{17})^+\), 16.0.142241757136172119140625.1, 16.0.41107867812353742431640625.1, 16.16.65772588499765987890625.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	${\href{/padicField/2.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/3.8.0.1}{8} }^{4}$	R	${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/11.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/13.4.0.1}{4} }^{8}$	R	${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/23.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/29.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/31.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/37.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/53.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(5\)		Deg $32$	$4$	$8$	$24$
\(17\)		Deg $32$	$8$	$4$	$28$