LMFDB - Number field 32.0.133516116647406931991162570051420160000000000000000.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536)

gp: K = bnfinit(y^32 - 2*y^31 - 16*y^30 + 24*y^29 + 141*y^28 - 120*y^27 - 852*y^26 - 70*y^25 + 4216*y^24 + 4978*y^23 - 15640*y^22 - 47344*y^21 + 45797*y^20 + 270436*y^19 - 110380*y^18 - 986938*y^17 + 284105*y^16 + 1973876*y^15 - 441520*y^14 - 2163488*y^13 + 732752*y^12 + 1515008*y^11 - 1000960*y^10 - 637184*y^9 + 1079296*y^8 + 35840*y^7 - 872448*y^6 + 245760*y^5 + 577536*y^4 - 196608*y^3 - 262144*y^2 + 65536*y + 65536, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536)

$ x^{32} - 2 x^{31} - 16 x^{30} + 24 x^{29} + 141 x^{28} - 120 x^{27} - 852 x^{26} - 70 x^{25} + \cdots + 65536 $ x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$32$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 16]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$133516116647406931991162570051420160000000000000000$ 133516116647406931991162570051420160000000000000000 $\medspace = 2^{48}\cdot 3^{16}\cdot 5^{16}\cdot 13^{8}\cdot 97^{4}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$36.85$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2^{3/2}3^{1/2}5^{1/2}13^{1/2}97^{1/2}\approx 388.99871465083277$
Ramified primes:	$2$, $3$, $5$, $13$, $97$ 2, 3, 5, 13, 97	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$8$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{14}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{5}+\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{4}a^{15}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{6}+\frac{1}{4}a^{3}$, $\frac{1}{4}a^{16}-\frac{1}{2}a^{7}+\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{4}a^{17}-\frac{1}{2}a^{8}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{8}a^{18}-\frac{1}{8}a^{17}-\frac{1}{8}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{4}a^{13}+\frac{1}{4}a^{12}-\frac{1}{2}a^{11}+\frac{1}{4}a^{9}+\frac{1}{4}a^{8}+\frac{1}{4}a^{7}-\frac{1}{8}a^{6}+\frac{3}{8}a^{5}+\frac{3}{8}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{8}a^{19}-\frac{1}{8}a^{15}-\frac{1}{4}a^{12}+\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{3}{8}a^{7}+\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}-\frac{1}{8}a^{3}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{16}a^{20}+\frac{1}{16}a^{16}-\frac{1}{8}a^{15}+\frac{1}{8}a^{13}+\frac{1}{4}a^{12}-\frac{3}{8}a^{11}-\frac{1}{4}a^{10}-\frac{1}{2}a^{9}+\frac{5}{16}a^{8}+\frac{3}{8}a^{7}-\frac{1}{2}a^{6}-\frac{1}{8}a^{5}-\frac{7}{16}a^{4}-\frac{3}{8}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{32}a^{21}-\frac{3}{32}a^{17}+\frac{1}{16}a^{16}+\frac{1}{16}a^{14}-\frac{1}{8}a^{13}+\frac{5}{16}a^{12}+\frac{3}{8}a^{11}+\frac{1}{4}a^{10}+\frac{5}{32}a^{9}+\frac{7}{16}a^{8}+\frac{7}{16}a^{6}+\frac{5}{32}a^{5}-\frac{1}{16}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{64}a^{22}-\frac{3}{64}a^{18}+\frac{1}{32}a^{17}+\frac{1}{32}a^{15}-\frac{1}{16}a^{14}+\frac{5}{32}a^{13}+\frac{3}{16}a^{12}+\frac{1}{8}a^{11}+\frac{5}{64}a^{10}-\frac{9}{32}a^{9}-\frac{9}{32}a^{7}+\frac{5}{64}a^{6}-\frac{1}{32}a^{5}+\frac{3}{16}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}$, $\frac{1}{128}a^{23}-\frac{3}{128}a^{19}+\frac{1}{64}a^{18}+\frac{1}{64}a^{16}-\frac{1}{32}a^{15}+\frac{5}{64}a^{14}+\frac{3}{32}a^{13}+\frac{1}{16}a^{12}-\frac{59}{128}a^{11}+\frac{23}{64}a^{10}+\frac{23}{64}a^{8}-\frac{59}{128}a^{7}-\frac{1}{64}a^{6}+\frac{3}{32}a^{5}-\frac{1}{4}a^{4}+\frac{3}{8}a^{3}$, $\frac{1}{768}a^{24}+\frac{1}{384}a^{23}+\frac{1}{192}a^{22}-\frac{19}{768}a^{20}-\frac{1}{192}a^{19}-\frac{1}{96}a^{18}-\frac{43}{384}a^{17}+\frac{1}{16}a^{16}+\frac{37}{384}a^{15}+\frac{1}{48}a^{14}-\frac{11}{96}a^{13}+\frac{133}{768}a^{12}-\frac{41}{96}a^{11}-\frac{5}{48}a^{10}+\frac{115}{384}a^{9}+\frac{91}{256}a^{8}-\frac{1}{24}a^{7}+\frac{55}{192}a^{6}-\frac{13}{48}a^{5}-\frac{19}{48}a^{4}+\frac{1}{8}a^{3}-\frac{5}{12}a^{2}-\frac{1}{3}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{1536}a^{25}-\frac{1}{192}a^{22}-\frac{19}{1536}a^{21}+\frac{17}{768}a^{20}-\frac{35}{768}a^{18}-\frac{41}{384}a^{17}-\frac{11}{768}a^{16}-\frac{11}{128}a^{15}-\frac{5}{64}a^{14}+\frac{103}{512}a^{13}+\frac{29}{256}a^{12}-\frac{1}{8}a^{11}-\frac{63}{256}a^{10}+\frac{581}{1536}a^{9}-\frac{289}{768}a^{8}-\frac{121}{384}a^{7}+\frac{5}{64}a^{6}+\frac{31}{96}a^{5}-\frac{1}{24}a^{4}+\frac{1}{6}a^{3}-\frac{1}{4}a^{2}-\frac{1}{2}a-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{3072}a^{26}-\frac{1}{384}a^{23}-\frac{19}{3072}a^{22}+\frac{17}{1536}a^{21}-\frac{35}{1536}a^{19}-\frac{41}{768}a^{18}-\frac{11}{1536}a^{17}+\frac{21}{256}a^{16}+\frac{11}{128}a^{15}+\frac{103}{1024}a^{14}-\frac{99}{512}a^{13}+\frac{3}{16}a^{12}-\frac{63}{512}a^{11}+\frac{581}{3072}a^{10}+\frac{479}{1536}a^{9}-\frac{121}{768}a^{8}+\frac{37}{128}a^{7}+\frac{79}{192}a^{6}-\frac{1}{48}a^{5}-\frac{7}{24}a^{4}-\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{3}a$, $\frac{1}{6144}a^{27}-\frac{1}{2048}a^{23}-\frac{5}{1024}a^{22}+\frac{27}{1024}a^{20}-\frac{49}{1536}a^{19}+\frac{101}{3072}a^{18}-\frac{157}{1536}a^{17}+\frac{11}{256}a^{16}+\frac{709}{6144}a^{15}-\frac{41}{3072}a^{14}+\frac{19}{96}a^{13}+\frac{1303}{3072}a^{12}-\frac{681}{2048}a^{11}+\frac{229}{1024}a^{10}-\frac{255}{512}a^{9}-\frac{3}{16}a^{8}-\frac{55}{128}a^{7}+\frac{43}{96}a^{6}-\frac{1}{96}a^{5}+\frac{17}{48}a^{4}-\frac{1}{4}a^{3}+\frac{1}{4}a^{2}+\frac{1}{6}a+\frac{1}{3}$, $\frac{1}{81051648}a^{28}-\frac{2383}{40525824}a^{27}+\frac{491}{10131456}a^{26}+\frac{2869}{10131456}a^{25}+\frac{10559}{27017216}a^{24}-\frac{39089}{20262912}a^{23}-\frac{109073}{20262912}a^{22}+\frac{619693}{40525824}a^{21}-\frac{74795}{5065728}a^{20}-\frac{89927}{40525824}a^{19}+\frac{2753}{5065728}a^{18}+\frac{139373}{1688576}a^{17}-\frac{9262459}{81051648}a^{16}+\frac{106269}{3377152}a^{15}-\frac{138745}{6754304}a^{14}+\frac{563041}{13508608}a^{13}-\frac{14338159}{81051648}a^{12}+\frac{1307137}{3377152}a^{11}-\frac{1692349}{5065728}a^{10}-\frac{2227573}{5065728}a^{9}-\frac{608027}{1266432}a^{8}-\frac{245039}{633216}a^{7}-\frac{45479}{316608}a^{6}+\frac{72257}{158304}a^{5}-\frac{1895}{6596}a^{4}-\frac{11275}{79152}a^{3}-\frac{1019}{19788}a^{2}-\frac{181}{9894}a-\frac{4943}{19788}$, $\frac{1}{162103296}a^{29}+\frac{483}{13508608}a^{27}+\frac{465}{6754304}a^{26}-\frac{6641}{54034432}a^{25}-\frac{16709}{27017216}a^{24}+\frac{44743}{13508608}a^{23}+\frac{137563}{27017216}a^{22}-\frac{547081}{40525824}a^{21}+\frac{52025}{81051648}a^{20}+\frac{2063771}{40525824}a^{19}+\frac{19997}{3377152}a^{18}+\frac{8013733}{162103296}a^{17}+\frac{7283239}{81051648}a^{16}+\frac{710461}{40525824}a^{15}+\frac{3029455}{81051648}a^{14}-\frac{588633}{3178496}a^{13}-\frac{10759767}{27017216}a^{12}+\frac{1627743}{3377152}a^{11}-\frac{870521}{3377152}a^{10}-\frac{102157}{1688576}a^{9}-\frac{122875}{1266432}a^{8}-\frac{22225}{158304}a^{7}+\frac{75265}{158304}a^{6}-\frac{25219}{52768}a^{5}+\frac{10545}{52768}a^{4}+\frac{5039}{79152}a^{3}+\frac{3817}{19788}a^{2}-\frac{2893}{13192}a+\frac{429}{6596}$, $\frac{1}{59\!\cdots\!88}a^{30}+\frac{32\!\cdots\!51}{29\!\cdots\!44}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!39}{49\!\cdots\!24}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!68}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!88}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!56}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!56}a^{24}-\frac{42\!\cdots\!67}{29\!\cdots\!44}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!12}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!19}{29\!\cdots\!44}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!13}{74\!\cdots\!36}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!83}{74\!\cdots\!36}a^{19}-\frac{25\!\cdots\!67}{59\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{53\!\cdots\!23}{14\!\cdots\!72}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!11}{74\!\cdots\!36}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!75}{29\!\cdots\!44}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!72}a^{13}-\frac{39\!\cdots\!71}{14\!\cdots\!72}a^{12}-\frac{55\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!56}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!01}{93\!\cdots\!92}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!24}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!95}{58\!\cdots\!12}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!79}{19\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{30\!\cdots\!49}{73\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!07}{14\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{33\!\cdots\!35}{14\!\cdots\!28}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!44}a-\frac{31\!\cdots\!31}{21\!\cdots\!96}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!52}a^{31}+\frac{73171}{77\!\cdots\!72}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!16}a^{29}-\frac{68\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!44}a^{28}-\frac{96\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!92}a^{26}+\frac{63\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!24}a^{25}+\frac{88\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!88}a^{23}-\frac{34\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!92}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!44}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!31}{62\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!24}a^{17}+\frac{84\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{82\!\cdots\!19}{73\!\cdots\!56}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!92}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!83}{31\!\cdots\!88}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!53}{76\!\cdots\!36}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!68}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!33}{32\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!48}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!65}{60\!\cdots\!24}a^{7}-\frac{90\!\cdots\!23}{40\!\cdots\!16}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!24}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!12}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!04}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!56}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!51}{75\!\cdots\!28}a+\frac{15\!\cdots\!61}{71\!\cdots\!88}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, 1/2*a^13 - 1/2*a, 1/4*a^14 - 1/2*a^11 - 1/2*a^5 + 1/4*a^2, 1/4*a^15 - 1/2*a^12 - 1/2*a^6 + 1/4*a^3, 1/4*a^16 - 1/2*a^7 + 1/4*a^4 - 1/2*a, 1/4*a^17 - 1/2*a^8 + 1/4*a^5 - 1/2*a^2, 1/8*a^18 - 1/8*a^17 - 1/8*a^16 - 1/8*a^15 - 1/4*a^13 + 1/4*a^12 - 1/2*a^11 + 1/4*a^9 + 1/4*a^8 + 1/4*a^7 - 1/8*a^6 + 3/8*a^5 + 3/8*a^4 + 1/8*a^3 - 1/4*a^2, 1/8*a^19 - 1/8*a^15 - 1/4*a^12 + 1/4*a^10 - 1/2*a^9 - 3/8*a^7 + 1/4*a^6 - 1/2*a^5 - 1/4*a^4 - 1/8*a^3 - 1/2*a^2 - 1/2*a, 1/16*a^20 + 1/16*a^16 - 1/8*a^15 + 1/8*a^13 + 1/4*a^12 - 3/8*a^11 - 1/4*a^10 - 1/2*a^9 + 5/16*a^8 + 3/8*a^7 - 1/2*a^6 - 1/8*a^5 - 7/16*a^4 - 3/8*a^3 - 1/4*a^2 - 1/2*a, 1/32*a^21 - 3/32*a^17 + 1/16*a^16 + 1/16*a^14 - 1/8*a^13 + 5/16*a^12 + 3/8*a^11 + 1/4*a^10 + 5/32*a^9 + 7/16*a^8 + 7/16*a^6 + 5/32*a^5 - 1/16*a^4 + 3/8*a^3 - 1/2*a, 1/64*a^22 - 3/64*a^18 + 1/32*a^17 + 1/32*a^15 - 1/16*a^14 + 5/32*a^13 + 3/16*a^12 + 1/8*a^11 + 5/64*a^10 - 9/32*a^9 - 9/32*a^7 + 5/64*a^6 - 1/32*a^5 + 3/16*a^4 - 1/2*a^3 - 1/4*a^2, 1/128*a^23 - 3/128*a^19 + 1/64*a^18 + 1/64*a^16 - 1/32*a^15 + 5/64*a^14 + 3/32*a^13 + 1/16*a^12 - 59/128*a^11 + 23/64*a^10 + 23/64*a^8 - 59/128*a^7 - 1/64*a^6 + 3/32*a^5 - 1/4*a^4 + 3/8*a^3, 1/768*a^24 + 1/384*a^23 + 1/192*a^22 - 19/768*a^20 - 1/192*a^19 - 1/96*a^18 - 43/384*a^17 + 1/16*a^16 + 37/384*a^15 + 1/48*a^14 - 11/96*a^13 + 133/768*a^12 - 41/96*a^11 - 5/48*a^10 + 115/384*a^9 + 91/256*a^8 - 1/24*a^7 + 55/192*a^6 - 13/48*a^5 - 19/48*a^4 + 1/8*a^3 - 5/12*a^2 - 1/3*a + 1/3, 1/1536*a^25 - 1/192*a^22 - 19/1536*a^21 + 17/768*a^20 - 35/768*a^18 - 41/384*a^17 - 11/768*a^16 - 11/128*a^15 - 5/64*a^14 + 103/512*a^13 + 29/256*a^12 - 1/8*a^11 - 63/256*a^10 + 581/1536*a^9 - 289/768*a^8 - 121/384*a^7 + 5/64*a^6 + 31/96*a^5 - 1/24*a^4 + 1/6*a^3 - 1/4*a^2 - 1/2*a - 1/3, 1/3072*a^26 - 1/384*a^23 - 19/3072*a^22 + 17/1536*a^21 - 35/1536*a^19 - 41/768*a^18 - 11/1536*a^17 + 21/256*a^16 + 11/128*a^15 + 103/1024*a^14 - 99/512*a^13 + 3/16*a^12 - 63/512*a^11 + 581/3072*a^10 + 479/1536*a^9 - 121/768*a^8 + 37/128*a^7 + 79/192*a^6 - 1/48*a^5 - 7/24*a^4 - 1/4*a^2 + 1/3*a, 1/6144*a^27 - 1/2048*a^23 - 5/1024*a^22 + 27/1024*a^20 - 49/1536*a^19 + 101/3072*a^18 - 157/1536*a^17 + 11/256*a^16 + 709/6144*a^15 - 41/3072*a^14 + 19/96*a^13 + 1303/3072*a^12 - 681/2048*a^11 + 229/1024*a^10 - 255/512*a^9 - 3/16*a^8 - 55/128*a^7 + 43/96*a^6 - 1/96*a^5 + 17/48*a^4 - 1/4*a^3 + 1/4*a^2 + 1/6*a + 1/3, 1/81051648*a^28 - 2383/40525824*a^27 + 491/10131456*a^26 + 2869/10131456*a^25 + 10559/27017216*a^24 - 39089/20262912*a^23 - 109073/20262912*a^22 + 619693/40525824*a^21 - 74795/5065728*a^20 - 89927/40525824*a^19 + 2753/5065728*a^18 + 139373/1688576*a^17 - 9262459/81051648*a^16 + 106269/3377152*a^15 - 138745/6754304*a^14 + 563041/13508608*a^13 - 14338159/81051648*a^12 + 1307137/3377152*a^11 - 1692349/5065728*a^10 - 2227573/5065728*a^9 - 608027/1266432*a^8 - 245039/633216*a^7 - 45479/316608*a^6 + 72257/158304*a^5 - 1895/6596*a^4 - 11275/79152*a^3 - 1019/19788*a^2 - 181/9894*a - 4943/19788, 1/162103296*a^29 + 483/13508608*a^27 + 465/6754304*a^26 - 6641/54034432*a^25 - 16709/27017216*a^24 + 44743/13508608*a^23 + 137563/27017216*a^22 - 547081/40525824*a^21 + 52025/81051648*a^20 + 2063771/40525824*a^19 + 19997/3377152*a^18 + 8013733/162103296*a^17 + 7283239/81051648*a^16 + 710461/40525824*a^15 + 3029455/81051648*a^14 - 588633/3178496*a^13 - 10759767/27017216*a^12 + 1627743/3377152*a^11 - 870521/3377152*a^10 - 102157/1688576*a^9 - 122875/1266432*a^8 - 22225/158304*a^7 + 75265/158304*a^6 - 25219/52768*a^5 + 10545/52768*a^4 + 5039/79152*a^3 + 3817/19788*a^2 - 2893/13192*a + 429/6596, 1/598402848352660034974740185088*a^30 + 326776950826175549251/299201424176330017487370092544*a^29 + 158218030228950058239/49866904029388336247895015424*a^28 + 2969427242425070657756047/37400178022041252185921261568*a^27 + 13955385684264217753300925/598402848352660034974740185088*a^26 - 1704016182371137552507467/12466726007347084061973753856*a^25 - 5388129617577487362777799/12466726007347084061973753856*a^24 - 427271228343043661791050467/299201424176330017487370092544*a^23 - 157028167863589510945366393/24933452014694168123947507712*a^22 - 1921084837330397278289538019/299201424176330017487370092544*a^21 - 1093189392261517330167651013/74800356044082504371842523136*a^20 + 590087980565331676139811683/74800356044082504371842523136*a^19 - 25986524818727712383379542267/598402848352660034974740185088*a^18 + 5395426288012479615807019723/149600712088165008743685046272*a^17 + 1285530843192322617504396811/74800356044082504371842523136*a^16 + 19874165932262520156471595675/299201424176330017487370092544*a^15 + 4462854213217792021100121683/199467616117553344991580061696*a^14 + 18436073132524687021092301213/149600712088165008743685046272*a^13 - 39802758537167495577023850871/149600712088165008743685046272*a^12 - 5531388674347704395499175429/12466726007347084061973753856*a^11 - 1388786748997080835247866001/9350044505510313046480315392*a^10 + 1198630364576102253551123087/3116681501836771015493438464*a^9 - 68271250132769506479929095/146094445398598641351254928*a^8 + 407002032361370486853134455/1168755563188789130810039424*a^7 - 162661519246349830237865695/584377781594394565405019712*a^6 + 61532709872252597077400279/194792593864798188468339904*a^5 - 30893090842487416852445149/73047222699299320675627464*a^4 - 14101993637201260406596607/146094445398598641351254928*a^3 - 33118316700284851791528935/146094445398598641351254928*a^2 + 3333018920653225974891755/12174537116549886779271244*a - 312148130864346702907331/2148447726449980019871396, 1/12434334860100986809387261152941309952*a^31 + 73171/777145928756311675586703822058831872*a^30 + 29477130191122850739523505/45714466397430098563923754238754816*a^29 - 6824284370529659194782074789/1554291857512623351173407644117663744*a^28 - 967674834811546390325602135249187/12434334860100986809387261152941309952*a^27 - 320557083149055446369122210179309/2072389143350164468231210192156884992*a^26 + 63615569273365910854525357213849/259048642918770558528901274019610624*a^25 + 881689787942793104202308654813343/2072389143350164468231210192156884992*a^24 + 4433501758661806296808687266301931/3108583715025246702346815288235327488*a^23 - 3479216098785400890778815642709481/2072389143350164468231210192156884992*a^22 + 39707675432421183825714734644184807/3108583715025246702346815288235327488*a^21 - 43468549124274763282533561858252679/1554291857512623351173407644117663744*a^20 - 267070758095842630687405346494535627/12434334860100986809387261152941309952*a^19 + 211274765151909098065987395850807231/6217167430050493404693630576470654976*a^18 - 6468100326318932274876305609802575/259048642918770558528901274019610624*a^17 + 84985746751804137246553491743520611/6217167430050493404693630576470654976*a^16 - 8242218207398968603693269832081019/731431462358881577022780067820077056*a^15 + 256988163054841813172219564249679405/2072389143350164468231210192156884992*a^14 + 758477515494939438046406343507817283/3108583715025246702346815288235327488*a^13 + 569596929385992126957412021220503507/1554291857512623351173407644117663744*a^12 + 2055139382673627499520922727675053/7619077732905016427320625706459136*a^11 - 46185784680388740482242192644997253/194286482189077918896675955514707968*a^10 + 11307952817233586900611399102397533/32381080364846319816112659252451328*a^9 + 4586730622439270414920686862143763/12142905136817369931042247219669248*a^8 - 1719254338278055710461972536704665/6071452568408684965521123609834624*a^7 - 902720704492500713063455530042323/4047635045605789977014082406556416*a^6 + 2377595239436245230780419243143549/6071452568408684965521123609834624*a^5 + 1074150274413796427738442133586641/3035726284204342482760561804917312*a^4 - 18390655613899566595244306335043/1011908761401447494253520601639104*a^3 - 27828908776553173167465074004949/1517863142102171241380280902458656*a^2 + 18956989136110083353868247209851/758931571051085620690140451229328*a + 1543893723390298823524563826061/7159731802368732270661702370088

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$

Class group and class number

$C_{20}$, which has order $20$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$15$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( \frac{6280699354319001510588492377}{126794282073490438265545608134656} a^{31} - \frac{9666981736606408222611246545}{95095711555117828699159206100992} a^{30} - \frac{792684464762217849236039051}{932310897599194399011364765696} a^{29} + \frac{3776509980154824485176227601}{2796932692797583197034094297088} a^{28} + \frac{991231811694610691032390474229}{126794282073490438265545608134656} a^{27} - \frac{1419743233517758053587809909967}{190191423110235657398318412201984} a^{26} - \frac{389217338599865810255463165941}{7924642629593152391596600508416} a^{25} + \frac{163873099324473363393333622925}{63397141036745219132772804067328} a^{24} + \frac{23626843745437979365889952194855}{95095711555117828699159206100992} a^{23} + \frac{16379170780041305952300553922989}{63397141036745219132772804067328} a^{22} - \frac{30643988209742607661689418981999}{31698570518372609566386402033664} a^{21} - \frac{125000682581242613497601485871161}{47547855777558914349579603050496} a^{20} + \frac{1113020852071040759576079056392967}{380382846220471314796636824403968} a^{19} + \frac{3005008846211023299312023226307939}{190191423110235657398318412201984} a^{18} - \frac{28810609678747878190473689318623}{3962321314796576195798300254208} a^{17} - \frac{11577031543418779028247072928613735}{190191423110235657398318412201984} a^{16} + \frac{6659902887413078207172578036770159}{380382846220471314796636824403968} a^{15} + \frac{25268200394982357586660559524821971}{190191423110235657398318412201984} a^{14} - \frac{2623129379045932299512595663183163}{95095711555117828699159206100992} a^{13} - \frac{2271658881534620108179115289352629}{15849285259186304783193201016832} a^{12} + \frac{2033582569420434774760692371797}{74760779524463701807515099136} a^{11} + \frac{464448343730734343162312167692421}{5943481972194864293697450381312} a^{10} - \frac{59214493029518640273303198564893}{990580328699144048949575063552} a^{9} - \frac{255403408873581749831009551823}{7283678887493706242276287232} a^{8} + \frac{87795450643314410778669672941}{1451045403367886790453479097} a^{7} - \frac{844333857272749798470419049659}{371467623262179018356090648832} a^{6} - \frac{9400875130023257148110769082211}{185733811631089509178045324416} a^{5} + \frac{417484008346877247147965935805}{30955635271848251529674220736} a^{4} + \frac{2848138562285835296864712607325}{92866905815544754589022662208} a^{3} - \frac{475593885459481042048592501521}{46433452907772377294511331104} a^{2} - \frac{346738523038436140883932360955}{23216726453886188647255665552} a - \frac{6306616162422131411344170487}{3869454408981031441209277592} \) (6280699354319001510588492377)/(126794282073490438265545608134656)a^(31) - (9666981736606408222611246545)/(95095711555117828699159206100992)a^(30) - (792684464762217849236039051)/(932310897599194399011364765696)a^(29) + (3776509980154824485176227601)/(2796932692797583197034094297088)a^(28) + (991231811694610691032390474229)/(126794282073490438265545608134656)a^(27) - (1419743233517758053587809909967)/(190191423110235657398318412201984)a^(26) - (389217338599865810255463165941)/(7924642629593152391596600508416)a^(25) + (163873099324473363393333622925)/(63397141036745219132772804067328)a^(24) + (23626843745437979365889952194855)/(95095711555117828699159206100992)a^(23) + (16379170780041305952300553922989)/(63397141036745219132772804067328)a^(22) - (30643988209742607661689418981999)/(31698570518372609566386402033664)a^(21) - (125000682581242613497601485871161)/(47547855777558914349579603050496)a^(20) + (1113020852071040759576079056392967)/(380382846220471314796636824403968)a^(19) + (3005008846211023299312023226307939)/(190191423110235657398318412201984)a^(18) - (28810609678747878190473689318623)/(3962321314796576195798300254208)a^(17) - (11577031543418779028247072928613735)/(190191423110235657398318412201984)a^(16) + (6659902887413078207172578036770159)/(380382846220471314796636824403968)a^(15) + (25268200394982357586660559524821971)/(190191423110235657398318412201984)a^(14) - (2623129379045932299512595663183163)/(95095711555117828699159206100992)a^(13) - (2271658881534620108179115289352629)/(15849285259186304783193201016832)a^(12) + (2033582569420434774760692371797)/(74760779524463701807515099136)a^(11) + (464448343730734343162312167692421)/(5943481972194864293697450381312)a^(10) - (59214493029518640273303198564893)/(990580328699144048949575063552)a^(9) - (255403408873581749831009551823)/(7283678887493706242276287232)a^(8) + (87795450643314410778669672941)/(1451045403367886790453479097)a^(7) - (844333857272749798470419049659)/(371467623262179018356090648832)a^(6) - (9400875130023257148110769082211)/(185733811631089509178045324416)a^(5) + (417484008346877247147965935805)/(30955635271848251529674220736)a^(4) + (2848138562285835296864712607325)/(92866905815544754589022662208)a^(3) - (475593885459481042048592501521)/(46433452907772377294511331104)a^(2) - (346738523038436140883932360955)/(23216726453886188647255665552)*a - (6306616162422131411344170487)/(3869454408981031441209277592) (order $12$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{10\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!12}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!44}a^{30}-\frac{89\!\cdots\!95}{64\!\cdots\!56}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!67}{97\!\cdots\!84}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!36}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!44}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!24}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!17}{64\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!72}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!12}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!24}a^{21}-\frac{55\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!12}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!57}{38\!\cdots\!36}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!13}{51\!\cdots\!48}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!72}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!61}{64\!\cdots\!56}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!72}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!85}{51\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!24}a^{13}-\frac{90\!\cdots\!47}{38\!\cdots\!36}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!77}{30\!\cdots\!88}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!92}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!65}{80\!\cdots\!32}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!71}{40\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!77}{50\!\cdots\!52}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!56}a^{6}-\frac{38\!\cdots\!37}{47\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!55}{75\!\cdots\!28}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!47}{37\!\cdots\!64}a^{3}-\frac{62\!\cdots\!49}{37\!\cdots\!64}a^{2}-\frac{45\!\cdots\!63}{18\!\cdots\!32}a-\frac{25\!\cdots\!11}{94\!\cdots\!66}$, $\frac{62\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!56}a^{31}-\frac{96\!\cdots\!45}{95\!\cdots\!92}a^{30}-\frac{79\!\cdots\!51}{93\!\cdots\!96}a^{29}+\frac{37\!\cdots\!01}{27\!\cdots\!88}a^{28}+\frac{99\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!56}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!84}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!41}{79\!\cdots\!16}a^{25}+\frac{16\!\cdots\!25}{63\!\cdots\!28}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!55}{95\!\cdots\!92}a^{23}+\frac{16\!\cdots\!89}{63\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!99}{31\!\cdots\!64}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!61}{47\!\cdots\!96}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!67}{38\!\cdots\!68}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!23}{39\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!35}{19\!\cdots\!84}a^{16}+\frac{66\!\cdots\!59}{38\!\cdots\!68}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!84}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!63}{95\!\cdots\!92}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!32}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!97}{74\!\cdots\!36}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!21}{59\!\cdots\!12}a^{10}-\frac{59\!\cdots\!93}{99\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!23}{72\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{87\!\cdots\!41}{14\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!59}{37\!\cdots\!32}a^{6}-\frac{94\!\cdots\!11}{18\!\cdots\!16}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!36}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!25}{92\!\cdots\!08}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!04}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!55}{23\!\cdots\!52}a-\frac{10\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!92}$, $\frac{61\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!96}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{63\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!12}a^{29}+\frac{52\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!12}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!17}{36\!\cdots\!96}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!21}{18\!\cdots\!48}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!61}{76\!\cdots\!52}a^{25}+\frac{67\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!48}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!47}{18\!\cdots\!24}a^{23}-\frac{72\!\cdots\!57}{61\!\cdots\!16}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!19}{92\!\cdots\!24}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!04}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!45}{36\!\cdots\!96}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!48}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!75}{57\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!25}{18\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!89}{38\!\cdots\!68}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!97}{18\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!89}{92\!\cdots\!24}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!04}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!28}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!88}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!48}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!63}{36\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!91}{60\!\cdots\!84}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!41}{36\!\cdots\!04}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!31}{18\!\cdots\!52}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!05}{90\!\cdots\!76}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!53}{52\!\cdots\!28}a^{3}-\frac{23\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!96}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!44}a+\frac{20\!\cdots\!45}{37\!\cdots\!24}$, $\frac{79\!\cdots\!69}{41\!\cdots\!84}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!96}a^{30}-\frac{43\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!44}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!41}{16\!\cdots\!52}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!51}{73\!\cdots\!56}a^{27}-\frac{78\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!72}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{82\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!99}{62\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!48}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!13}{41\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!95}{62\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!45}{11\!\cdots\!28}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!92}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!21}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!92}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{45\!\cdots\!87}{15\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{26\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{79\!\cdots\!51}{64\!\cdots\!56}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!71}{97\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{98\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{97\!\cdots\!89}{59\!\cdots\!12}a^{7}-\frac{29\!\cdots\!81}{40\!\cdots\!16}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!24}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!45}{10\!\cdots\!04}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!12}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!56}a^{2}-\frac{17\!\cdots\!39}{75\!\cdots\!28}a+\frac{68\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!88}$, $\frac{94\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!32}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!93}{15\!\cdots\!44}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!44}a^{29}+\frac{67\!\cdots\!95}{51\!\cdots\!48}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!63}{62\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!48}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!39}{62\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!41}{10\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!13}{62\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{61\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!44}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!55}{62\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!92}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!53}{41\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!47}{62\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!96}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!75}{51\!\cdots\!48}a^{12}-\frac{60\!\cdots\!65}{38\!\cdots\!36}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!47}{64\!\cdots\!56}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{14\!\cdots\!57}{30\!\cdots\!12}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!71}{60\!\cdots\!24}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!08}a^{5}-\frac{57\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!04}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!04}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!56}a^{2}-\frac{91\!\cdots\!15}{75\!\cdots\!28}a-\frac{56\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!88}$, $\frac{18\!\cdots\!43}{62\!\cdots\!76}a^{31}-\frac{83\!\cdots\!51}{97\!\cdots\!84}a^{30}-\frac{76\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!68}a^{29}+\frac{52\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!92}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!96}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!81}{64\!\cdots\!56}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!93}{10\!\cdots\!96}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!44}a^{23}+\frac{51\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!96}a^{22}-\frac{79\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!44}a^{21}-\frac{74\!\cdots\!93}{77\!\cdots\!72}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!03}{62\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!88}a^{18}-\frac{49\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!64}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!88}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!59}{62\!\cdots\!76}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!65}{31\!\cdots\!88}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!19}{15\!\cdots\!44}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!37}{64\!\cdots\!56}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!85}{64\!\cdots\!56}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!45}{97\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!47}{40\!\cdots\!16}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!45}{75\!\cdots\!28}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!72}a^{7}-\frac{92\!\cdots\!91}{60\!\cdots\!24}a^{6}-\frac{99\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!04}a^{5}+\frac{68\!\cdots\!57}{50\!\cdots\!52}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!52}a^{3}-\frac{51\!\cdots\!47}{75\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{43\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!64}a+\frac{36\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!22}$, $\frac{31\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!44}a^{31}-\frac{58\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!72}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!35}{77\!\cdots\!72}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!64}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!44}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!75}{38\!\cdots\!36}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!24}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!71}{77\!\cdots\!72}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!81}{19\!\cdots\!68}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!85}{77\!\cdots\!72}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!97}{64\!\cdots\!56}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!19}{38\!\cdots\!36}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!44}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!95}{97\!\cdots\!84}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!24}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!72}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!55}{51\!\cdots\!48}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!36}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!24}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!12}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{55\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!92}a^{10}-\frac{91\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{53\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!08}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!05}{30\!\cdots\!12}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!56}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!28}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!25}{75\!\cdots\!28}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!88}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!35}{94\!\cdots\!66}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!93}{18\!\cdots\!32}a+\frac{13\!\cdots\!27}{31\!\cdots\!22}$, $\frac{60\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!52}a^{31}-\frac{60\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!64}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!67}{58\!\cdots\!44}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!47}{17\!\cdots\!32}a^{28}+\frac{31\!\cdots\!53}{14\!\cdots\!56}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!15}{29\!\cdots\!72}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!88}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!09}{70\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!31}{35\!\cdots\!64}a^{21}-\frac{51\!\cdots\!49}{58\!\cdots\!44}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!69}{70\!\cdots\!28}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!93}{36\!\cdots\!84}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!76}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!95}{14\!\cdots\!48}a^{15}+\frac{53\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!32}a^{12}-\frac{59\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!09}{73\!\cdots\!68}a^{10}+\frac{80\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!52}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!93}{13\!\cdots\!44}a^{8}+\frac{58\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!24}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!24}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!12}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!36}a^{3}+\frac{91\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!68}a^{2}-\frac{67\!\cdots\!03}{28\!\cdots\!28}a-\frac{77\!\cdots\!69}{42\!\cdots\!92}$, $\frac{21\!\cdots\!27}{41\!\cdots\!84}a^{31}-\frac{85\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!72}a^{30}-\frac{71\!\cdots\!29}{91\!\cdots\!32}a^{29}+\frac{39\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!44}a^{28}+\frac{82\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!07}{51\!\cdots\!48}a^{25}-\frac{91\!\cdots\!39}{62\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!15}{31\!\cdots\!88}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!73}{62\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!33}{31\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!44}a^{20}+\frac{92\!\cdots\!87}{41\!\cdots\!84}a^{19}+\frac{76\!\cdots\!27}{62\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{96\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!81}{62\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!99}{62\!\cdots\!76}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!96}a^{13}-\frac{31\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!48}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!95}{38\!\cdots\!36}a^{11}+\frac{60\!\cdots\!77}{19\!\cdots\!68}a^{10}-\frac{41\!\cdots\!95}{97\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{26\!\cdots\!57}{71\!\cdots\!44}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!35}{30\!\cdots\!12}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!43}{40\!\cdots\!16}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!19}{62\!\cdots\!92}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!47}{30\!\cdots\!12}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!83}{30\!\cdots\!12}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!83}{50\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!76}a+\frac{21\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!88}$, $\frac{99\!\cdots\!45}{41\!\cdots\!84}a^{31}+\frac{71\!\cdots\!15}{32\!\cdots\!28}a^{30}-\frac{71\!\cdots\!21}{15\!\cdots\!44}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!44}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!93}{41\!\cdots\!84}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!11}{62\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{34\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!44}a^{25}-\frac{86\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!25}{31\!\cdots\!88}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!95}{36\!\cdots\!28}a^{22}-\frac{33\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!96}a^{21}-\frac{84\!\cdots\!93}{51\!\cdots\!48}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{43\!\cdots\!93}{62\!\cdots\!76}a^{18}+\frac{51\!\cdots\!69}{51\!\cdots\!48}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!92}a^{16}-\frac{43\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!37}{62\!\cdots\!76}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!75}{31\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!43}{51\!\cdots\!48}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!21}{76\!\cdots\!36}a^{11}+\frac{58\!\cdots\!91}{19\!\cdots\!68}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!23}{97\!\cdots\!84}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!55}{40\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{67\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{62\!\cdots\!73}{60\!\cdots\!24}a^{5}-\frac{46\!\cdots\!03}{30\!\cdots\!12}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!12}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!13}{15\!\cdots\!56}a^{2}-\frac{59\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!76}a-\frac{10\!\cdots\!87}{37\!\cdots\!64}$, $\frac{37\!\cdots\!37}{41\!\cdots\!84}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!96}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!24}a^{29}+\frac{50\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!44}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{40\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!09}{51\!\cdots\!48}a^{25}+\frac{96\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{35\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!96}a^{23}+\frac{32\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!92}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!96}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!91}{29\!\cdots\!48}a^{20}+\frac{84\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!75}{62\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!19}{62\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!39}{18\!\cdots\!48}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!41}{31\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{17\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!81}{64\!\cdots\!56}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!79}{32\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!07}{60\!\cdots\!24}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!23}{60\!\cdots\!24}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!12}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!04}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!56}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!61}{75\!\cdots\!28}a+\frac{14\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!92}$, $\frac{95\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!68}a^{31}+\frac{35\!\cdots\!89}{31\!\cdots\!88}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!44}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!12}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!12}a^{27}+\frac{66\!\cdots\!53}{31\!\cdots\!88}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!72}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!33}{77\!\cdots\!72}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!47}{51\!\cdots\!48}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!33}{64\!\cdots\!56}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!35}{51\!\cdots\!48}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!52}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!36}a^{17}-\frac{55\!\cdots\!95}{77\!\cdots\!72}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!44}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!96}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!07}{38\!\cdots\!36}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!13}{97\!\cdots\!84}a^{12}-\frac{38\!\cdots\!69}{19\!\cdots\!68}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!19}{80\!\cdots\!32}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!19}{80\!\cdots\!32}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!04}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!69}{31\!\cdots\!22}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!23}{30\!\cdots\!12}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!36}a^{5}-\frac{89\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!88}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!03}{37\!\cdots\!64}a^{3}+\frac{97\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!76}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!53}{94\!\cdots\!66}a-\frac{63\!\cdots\!17}{47\!\cdots\!33}$, $\frac{79\!\cdots\!75}{41\!\cdots\!84}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!07}{31\!\cdots\!88}a^{30}-\frac{41\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!44}a^{29}+\frac{32\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!48}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{75\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!92}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!61}{38\!\cdots\!36}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!76}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!88}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!89}{62\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!44}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{26\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!16}a^{17}-\frac{92\!\cdots\!33}{62\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{32\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!84}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!25}{62\!\cdots\!76}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!09}{31\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!37}{38\!\cdots\!36}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!59}{19\!\cdots\!68}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!43}{97\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!69}{30\!\cdots\!12}a^{7}-\frac{91\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!61}{60\!\cdots\!24}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!63}{10\!\cdots\!04}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!99}{30\!\cdots\!12}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!53}{50\!\cdots\!52}a^{2}-\frac{88\!\cdots\!57}{75\!\cdots\!28}a+\frac{32\!\cdots\!67}{37\!\cdots\!64}$, $\frac{71\!\cdots\!65}{62\!\cdots\!76}a^{31}-\frac{24\!\cdots\!03}{15\!\cdots\!44}a^{30}-\frac{94\!\cdots\!99}{50\!\cdots\!52}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!72}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!45}{62\!\cdots\!76}a^{27}-\frac{61\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!88}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!75}{77\!\cdots\!72}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!79}{31\!\cdots\!88}a^{24}+\frac{61\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!44}a^{23}+\frac{85\!\cdots\!15}{10\!\cdots\!96}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!31}{15\!\cdots\!44}a^{21}-\frac{15\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!24}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!49}{62\!\cdots\!76}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!88}a^{18}+\frac{66\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!72}a^{17}-\frac{97\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!96}a^{16}-\frac{74\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!92}a^{15}+\frac{49\!\cdots\!21}{31\!\cdots\!88}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!89}{15\!\cdots\!44}a^{13}-\frac{32\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!24}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!87}{19\!\cdots\!68}a^{11}+\frac{88\!\cdots\!25}{97\!\cdots\!84}a^{10}-\frac{34\!\cdots\!37}{16\!\cdots\!64}a^{9}-\frac{68\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!57}{31\!\cdots\!22}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!08}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!04}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!56}a^{4}+\frac{52\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!56}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!53}{75\!\cdots\!28}a^{2}-\frac{34\!\cdots\!55}{37\!\cdots\!64}a-\frac{76\!\cdots\!33}{18\!\cdots\!32}$, $\frac{43\!\cdots\!67}{41\!\cdots\!84}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!83}{60\!\cdots\!88}a^{30}-\frac{41\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!24}a^{29}+\frac{35\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!44}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!52}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!09}{62\!\cdots\!76}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!44}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!92}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!05}{31\!\cdots\!88}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!13}{62\!\cdots\!76}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!55}{31\!\cdots\!88}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!44}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!52}a^{19}+\frac{49\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!92}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!33}{15\!\cdots\!44}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!09}{62\!\cdots\!76}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!52}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!61}{62\!\cdots\!76}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!88}a^{13}-\frac{96\!\cdots\!53}{15\!\cdots\!44}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!12}a^{11}+\frac{28\!\cdots\!01}{19\!\cdots\!68}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!21}{97\!\cdots\!84}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!48}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!67}{62\!\cdots\!92}a^{7}-\frac{31\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!48}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!08}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!27}{30\!\cdots\!12}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!91}{30\!\cdots\!12}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!99}{89\!\cdots\!68}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!69}{75\!\cdots\!28}a-\frac{53\!\cdots\!61}{74\!\cdots\!64}$ 10381210402590395880733448690893/129524321459385279264450637009805312a^31 - 255652506931110115795309607092801/1554291857512623351173407644117663744a^30 - 89094178444459732361034942230295/64762160729692639632225318504902656a^29 + 212231086910617304801737678068067/97143241094538959448337977757353984a^28 + 4915145010736903545455647015450507/388572964378155837793351911029415936a^27 - 18773225794810811819910690478916021/1554291857512623351173407644117663744a^26 - 20586471199235489901008210651128951/259048642918770558528901274019610624a^25 + 270854925501759083592861451474417/64762160729692639632225318504902656a^24 + 312417463708555108678553267599540007/777145928756311675586703822058831872a^23 + 54145471630480690488432907687930669/129524321459385279264450637009805312a^22 - 405204928020747867027922620297016735/259048642918770558528901274019610624a^21 - 550961132307215560520782458807200469/129524321459385279264450637009805312a^20 + 1839680388307520611412921569834631657/388572964378155837793351911029415936a^19 + 13245069982343806357312347025433702913/518097285837541117057802548039221248a^18 - 9143084703796416348760414182628999211/777145928756311675586703822058831872a^17 - 6378456132702135213171277766241637461/64762160729692639632225318504902656a^16 + 22015926883896385253035245875539568831/777145928756311675586703822058831872a^15 + 111373667078508373879624811767678177185/518097285837541117057802548039221248a^14 - 11561859696029989186872386470092138185/259048642918770558528901274019610624a^13 - 90114315861709900221325714540386553747/388572964378155837793351911029415936a^12 + 13445013749730801737260490680010977/305481890234399243548232634457088a^11 + 6141392376461973307419162006337533979/48571620547269479724168988878676992a^10 - 782992215268891622674882542989127965/8095270091211579954028164813112832a^9 - 229649247802632617142157791211084271/4047635045605789977014082406556416a^8 + 49532489828239528187786129207913077/505954380700723747126760300819552a^7 - 5582300439241520887857859077846095/1517863142102171241380280902458656a^6 - 3884612738412875175612479898432737/47433223190692851293133778201833a^5 + 16561146524991629556448823932255355/758931571051085620690140451229328a^4 + 18830442273358595511263670093660547/379465785525542810345070225614664a^3 - 6288767519540301686848332323177249/379465785525542810345070225614664a^2 - 4584916660977447305002709000216863/189732892762771405172535112807332a - 250176818201122077595580034863011/94866446381385702586267556403666, 6280699354319001510588492377/126794282073490438265545608134656a^31 - 9666981736606408222611246545/95095711555117828699159206100992a^30 - 792684464762217849236039051/932310897599194399011364765696a^29 + 3776509980154824485176227601/2796932692797583197034094297088a^28 + 991231811694610691032390474229/126794282073490438265545608134656a^27 - 1419743233517758053587809909967/190191423110235657398318412201984a^26 - 389217338599865810255463165941/7924642629593152391596600508416a^25 + 163873099324473363393333622925/63397141036745219132772804067328a^24 + 23626843745437979365889952194855/95095711555117828699159206100992a^23 + 16379170780041305952300553922989/63397141036745219132772804067328a^22 - 30643988209742607661689418981999/31698570518372609566386402033664a^21 - 125000682581242613497601485871161/47547855777558914349579603050496a^20 + 1113020852071040759576079056392967/380382846220471314796636824403968a^19 + 3005008846211023299312023226307939/190191423110235657398318412201984a^18 - 28810609678747878190473689318623/3962321314796576195798300254208a^17 - 11577031543418779028247072928613735/190191423110235657398318412201984a^16 + 6659902887413078207172578036770159/380382846220471314796636824403968a^15 + 25268200394982357586660559524821971/190191423110235657398318412201984a^14 - 2623129379045932299512595663183163/95095711555117828699159206100992a^13 - 2271658881534620108179115289352629/15849285259186304783193201016832a^12 + 2033582569420434774760692371797/74760779524463701807515099136a^11 + 464448343730734343162312167692421/5943481972194864293697450381312a^10 - 59214493029518640273303198564893/990580328699144048949575063552a^9 - 255403408873581749831009551823/7283678887493706242276287232a^8 + 87795450643314410778669672941/1451045403367886790453479097a^7 - 844333857272749798470419049659/371467623262179018356090648832a^6 - 9400875130023257148110769082211/185733811631089509178045324416a^5 + 417484008346877247147965935805/30955635271848251529674220736a^4 + 2848138562285835296864712607325/92866905815544754589022662208a^3 - 475593885459481042048592501521/46433452907772377294511331104a^2 - 346738523038436140883932360955/23216726453886188647255665552a - 10176070571403162852553448079/3869454408981031441209277592, 6151884780574417801412830480793/36897136083385717535273771967184896a^31 - 2595849707123729821574612380929/3074761340282143127939480997265408a^30 - 6399591531354788121867792666415/4612142010423214691909221495898112a^29 + 52624759771000150323507198282553/4612142010423214691909221495898112a^28 + 292503778112767411144792109876117/36897136083385717535273771967184896a^27 - 1523946445742709315180022922440021/18448568041692858767636885983592448a^26 - 42175592480978854505604472576961/768690335070535781984870249316352a^25 + 6755701900889050880858460120508933/18448568041692858767636885983592448a^24 + 106059247505565210520956237106847/180868314134243713408204764545024a^23 - 7227176325740712992246121365167857/6149522680564286255878961994530816a^22 - 39349772309012947350672239265819719/9224284020846429383818442991796224a^21 + 555620179726877759312256129677287/1537380670141071563969740498632704a^20 + 1021105083323125209062652899672000845/36897136083385717535273771967184896a^19 + 267551976703457387517890782511359313/18448568041692858767636885983592448a^18 - 79186945146187163582030915376042775/576517751302901836488652686987264a^17 - 1142012061463524096311303005949261525/18448568041692858767636885983592448a^16 + 179199990161297474258050980494875589/380382846220471314796636824403968a^15 + 470157069354378156290874161426449697/18448568041692858767636885983592448a^14 - 7495832974369780053339370975701832889/9224284020846429383818442991796224a^13 + 108656488139789711542746774315206075/1537380670141071563969740498632704a^12 + 893858090841745117945789726112390357/1153035502605803672977305373974528a^11 - 40393880096028200795685080630850347/192172583767633945496217562329088a^10 - 814109440662253683849797226199729/1812948903468244768832241154048a^9 + 13284614752652727689361111208579463/36032359456431364780540792936704a^8 + 1091504668011659466451036663532791/6005393242738560796756798822784a^7 - 13067053633711182229320700879929341/36032359456431364780540792936704a^6 + 254630514590792734699157542294531/18016179728215682390270396468352a^5 + 2506363740296485925700931093942805/9008089864107841195135198234176a^4 - 39961317174502136928900496186453/529887639065167129125599896128a^3 - 233746370843877389416884221816969/1501348310684640199189199705696a^2 + 103020646274335821807839336470847/2252022466026960298783799558544a + 20751297059053365496692362256845/375337077671160049797299926424, 799135927254531264266931433434569/4144778286700328936462420384313769984a^31 - 533830407585034808224812927411661/1036194571675082234115605096078442496a^30 - 4324069405412592664647259400987359/1554291857512623351173407644117663744a^29 + 103328162676050700793453309562041/16023627397037354135808326228017152a^28 + 17326450222777401400211344936325951/731431462358881577022780067820077056a^27 - 78446604384624754720299611873799337/2072389143350164468231210192156884992a^26 - 113405186115989232805452407068220597/777145928756311675586703822058831872a^25 + 146236961693803662242989600560036173/2072389143350164468231210192156884992a^24 + 827550441813803302820601121005034377/1036194571675082234115605096078442496a^23 + 3302237278508738218425409425591960599/6217167430050493404693630576470654976a^22 - 10680558486881450794746648752058850409/3108583715025246702346815288235327488a^21 - 3860651332724701018676223147172535875/518097285837541117057802548039221248a^20 + 55660743407396448387130248330308805213/4144778286700328936462420384313769984a^19 + 286204398157033272829706322828486355895/6217167430050493404693630576470654976a^18 - 54346715890630240584896327602150045/1153035502605803672977305373974528a^17 - 350001794348687092721537715826567648077/2072389143350164468231210192156884992a^16 + 580056215767704660961263849806089075621/4144778286700328936462420384313769984a^15 + 640741072866206241541973057273411574557/2072389143350164468231210192156884992a^14 - 633092934954120615389419611628621474315/3108583715025246702346815288235327488a^13 - 458484416448015268282373279746025369087/1554291857512623351173407644117663744a^12 + 26640278038575607682189012714745501165/129524321459385279264450637009805312a^11 + 7990863643385255065379310944069577351/64762160729692639632225318504902656a^10 - 21098983817951003507886500709812075471/97143241094538959448337977757353984a^9 - 9836178527319523481839609219339933/12142905136817369931042247219669248a^8 + 9747144406710689356606114565901789/59524044788320440838442388331712a^7 - 296641293827809192415677842843534181/4047635045605789977014082406556416a^6 - 634227656960869221486932723282609375/6071452568408684965521123609834624a^5 + 79518304293915944181869669072766645/1011908761401447494253520601639104a^4 + 164464926829068617445465262086398741/3035726284204342482760561804917312a^3 - 69223781770057276549222093049287213/1517863142102171241380280902458656a^2 - 17356869602163381439732900188615739/758931571051085620690140451229328a + 688243121037306501927624591992425/126488595175180936781690075204888, 9412456896436401070431939788627/12299045361128572511757923989061632a^31 - 1938962959931959374431265129210593/1554291857512623351173407644117663744a^30 - 19431532805986846813855260325233611/1554291857512623351173407644117663744a^29 + 6788680107996725481116718870972395/518097285837541117057802548039221248a^28 + 1367376546982664024087299467522648517/12434334860100986809387261152941309952a^27 - 267084231266020168931156551131757963/6217167430050493404693630576470654976a^26 - 333825865113592737466845639269061787/518097285837541117057802548039221248a^25 - 2133071723729536457047546272900134539/6217167430050493404693630576470654976a^24 + 3055797915262998890408346245384981541/1036194571675082234115605096078442496a^23 + 31304791804774261225065851626131368213/6217167430050493404693630576470654976a^22 - 28654831551573363764144695870802560109/3108583715025246702346815288235327488a^21 - 61148774723003244379463886226526165021/1554291857512623351173407644117663744a^20 + 203062987184731258376737710717952887517/12434334860100986809387261152941309952a^19 + 1279723207444764771042992369475914766955/6217167430050493404693630576470654976a^18 + 15206855654232359199984367120604779651/1554291857512623351173407644117663744a^17 - 1458927394321482928273038166232727604695/2072389143350164468231210192156884992a^16 - 462406364497515858607196882769759155153/4144778286700328936462420384313769984a^15 + 8013781739294011258348023518276280684347/6217167430050493404693630576470654976a^14 + 353776842834122416774026686574158764991/1036194571675082234115605096078442496a^13 - 619196156303779310231187387357700967475/518097285837541117057802548039221248a^12 - 60153430651561487711630471400137705465/388572964378155837793351911029415936a^11 + 49334165750561536766746698152600812947/64762160729692639632225318504902656a^10 - 1503032667033800986243915640266993081/5714308299678762320490469279844352a^9 - 1405263524806001628451019526376499857/3035726284204342482760561804917312a^8 + 2550733216789714347232725356385296471/6071452568408684965521123609834624a^7 + 2254684497329548448906622217851579779/12142905136817369931042247219669248a^6 - 865042818410178828356463354632764597/2023817522802894988507041203278208a^5 - 57860307810434869632586248833921011/1011908761401447494253520601639104a^4 + 309139042900553236427024822202410709/1011908761401447494253520601639104a^3 + 76599603931633032885795214179012559/1517863142102171241380280902458656a^2 - 91082771516201422819645632618009515/758931571051085620690140451229328a - 5678825674767964385777994427814337/126488595175180936781690075204888, 1829038121352389400654036855461443/6217167430050493404693630576470654976a^31 - 83786837433722689332945032621051/97143241094538959448337977757353984a^30 - 765579132551169513987562305216793/194286482189077918896675955514707968a^29 + 520546461016696722874855983016669/48571620547269479724168988878676992a^28 + 3918680597864223733818024446328541/121905243726480262837130011303346176a^27 - 66919232421893462491546203594049023/1036194571675082234115605096078442496a^26 - 12680788919416231258096780088937181/64762160729692639632225318504902656a^25 + 158221154929151579280315524366566193/1036194571675082234115605096078442496a^24 + 1744881093552306478956115078246163441/1554291857512623351173407644117663744a^23 + 512798984823271690715446617789699813/1036194571675082234115605096078442496a^22 - 7947943477283559026295829623573732727/1554291857512623351173407644117663744a^21 - 7477288307922142916230796305232962993/777145928756311675586703822058831872a^20 + 137839363472409737579365209095698527503/6217167430050493404693630576470654976a^19 + 189844660977688743027777012236232170741/3108583715025246702346815288235327488a^18 - 49539678556564272285637226233800079/576517751302901836488652686987264a^17 - 677205030974598360022596853717286476123/3108583715025246702346815288235327488a^16 + 1661811507750709276334330007620767067359/6217167430050493404693630576470654976a^15 + 1077840619577120530743424758066259663565/3108583715025246702346815288235327488a^14 - 609575404251898427381355303535846336319/1554291857512623351173407644117663744a^13 - 17499657414486352672513542502222311537/64762160729692639632225318504902656a^12 + 23987384202207162693156554414194743585/64762160729692639632225318504902656a^11 + 5586907712320836788601406576061152045/97143241094538959448337977757353984a^10 - 1214475864488059102622604538896300047/4047635045605789977014082406556416a^9 + 68117146079833551381445513748220245/758931571051085620690140451229328a^8 + 68602234980093263773410224712604093/357144268729922645030654329990272a^7 - 929771377969642665543859703845458991/6071452568408684965521123609834624a^6 - 99260959513981535967562602167625173/1011908761401447494253520601639104a^5 + 68187669510811427081757125352902057/505954380700723747126760300819552a^4 + 18455667873005135356857808403684569/505954380700723747126760300819552a^3 - 51877280387561186617594996865310847/758931571051085620690140451229328a^2 - 4392921262696041971171055865770203/379465785525542810345070225614664a + 363641771276938808508846964066115/31622148793795234195422518801222, 313431146851167608200476244052701/1554291857512623351173407644117663744a^31 - 583763257107629011852787794331111/777145928756311675586703822058831872a^30 - 1761172439886587055989879337588335/777145928756311675586703822058831872a^29 + 157835321295202800081081163012037/16190540182423159908056329626225664a^28 + 25477003459291846497336826689918337/1554291857512623351173407644117663744a^27 - 25431330908006675854300025086122275/388572964378155837793351911029415936a^26 - 25924902010499879647694129720173563/259048642918770558528901274019610624a^25 + 185917219491837417771199544489799071/777145928756311675586703822058831872a^24 + 136026348428029636011730585124585581/194286482189077918896675955514707968a^23 - 314303145436404306082650329527264385/777145928756311675586703822058831872a^22 - 256986173206369740157210262816233197/64762160729692639632225318504902656a^21 - 1302804968901760564330036797355245919/388572964378155837793351911029415936a^20 + 34105665075552428188016049261010388729/1554291857512623351173407644117663744a^19 + 2851234649194063724021259250558200595/97143241094538959448337977757353984a^18 - 26378540414719693949440955233711158319/259048642918770558528901274019610624a^17 - 82989474858231594021869225970214904519/777145928756311675586703822058831872a^16 + 180212176050160327161346236556823876055/518097285837541117057802548039221248a^15 + 45481989211069604814189444999863644879/388572964378155837793351911029415936a^14 - 156325967518476495251065506087562386661/259048642918770558528901274019610624a^13 - 1969966389235897893606991167749113381/129524321459385279264450637009805312a^12 + 29899160129365243591253742923805164983/48571620547269479724168988878676992a^11 - 5513114252992276157045059324022620525/48571620547269479724168988878676992a^10 - 9169442678401672914545095966536912485/24285810273634739862084494439338496a^9 + 533911919877411143561505198612223179/2023817522802894988507041203278208a^8 + 540782324492367500140653144865513805/3035726284204342482760561804917312a^7 - 417088809974575552152809992812734371/1517863142102171241380280902458656a^6 - 13372225278242849854989734961927379/758931571051085620690140451229328a^5 + 166882515911811762726217441314144625/758931571051085620690140451229328a^4 - 5081798959771367528471756313948321/126488595175180936781690075204888a^3 - 11447641347643297244846713327530535/94866446381385702586267556403666a^2 + 6245398512152708809021187499884693/189732892762771405172535112807332a + 1394341279241869384511074340109927/31622148793795234195422518801222, 6001253858067298724003707/46933556733541963527430602752a^31 - 600345762057948481108681/35200167550156472645572952064a^30 - 14279233205629003707249367/5866694591692745440928825344a^29 - 13813392721954847014838047/17600083775078236322786476032a^28 + 3106981993406941131375829453/140800670200625890582291808256a^27 + 425711699788041854285422093/23466778366770981763715301376a^26 - 358006210269859540605937415/2933347295846372720464412672a^25 - 4758181691535092499787762193/23466778366770981763715301376a^24 + 5091570336894351926363504307/11733389183385490881857650688a^23 + 106770757170952168027278710309/70400335100312945291145904128a^22 - 16714857825989538451680751531/35200167550156472645572952064a^21 - 51472547269777986076190682849/5866694591692745440928825344a^20 - 281790894025344459278565298345/46933556733541963527430602752a^19 + 2770588453491721431461405011069/70400335100312945291145904128a^18 + 17401886714097825079747109193/366668411980796590058051584a^17 - 2905982627341452563515037426527/23466778366770981763715301376a^16 - 248031201119525419330372581395/1451553301037380315281358848a^15 + 5304852595952871236838364321279/23466778366770981763715301376a^14 + 3600921345373472701845601453749/11733389183385490881857650688a^13 - 3510614037335219035687016522927/17600083775078236322786476032a^12 - 5983659482744499110472391441/27673087696663893589286912a^11 + 137823260947870576378865137709/733336823961593180116103168a^10 + 80772899025029958140772683017/1100005235942389770174154752a^9 - 23478203623669810674596005193/137500654492798721271769344a^8 + 588726598759005744899397499/22916775748799786878628224a^7 + 5920745160511710975612764493/45833551497599573757256448a^6 - 1657434685150985497922976299/22916775748799786878628224a^5 - 952711833201607050015194313/11458387874399893439314112a^4 + 2352802415661496178733162163/34375163623199680317942336a^3 + 912932929086359186128844033/17187581811599840158971168a^2 - 67603168269409383723926803/2864596968599973359828528a - 77210897462986613797288769/4296895452899960039742792, 2136916533954470864390270868333427/4144778286700328936462420384313769984a^31 - 855120743568423945551475803034595/777145928756311675586703822058831872a^30 - 712864092880813332782211265989929/91428932794860197127847508477509632a^29 + 390932238358635911796093439219873/30476310931620065709282502825836544a^28 + 823198077917002757049599215249685749/12434334860100986809387261152941309952a^27 - 132606446307182896602679064168546261/2072389143350164468231210192156884992a^26 - 201789002956591451188960597283592907/518097285837541117057802548039221248a^25 - 91250091673256006366254960438179139/6217167430050493404693630576470654976a^24 + 6008570456460752969125085114123726315/3108583715025246702346815288235327488a^23 + 14018208726047275807166070480708515173/6217167430050493404693630576470654976a^22 - 22370212019637989015645922618943994633/3108583715025246702346815288235327488a^21 - 33983237926691816847108177357658547845/1554291857512623351173407644117663744a^20 + 92952160801601361975345204574770379887/4144778286700328936462420384313769984a^19 + 760975088187984668360109183251546126327/6217167430050493404693630576470654976a^18 - 96776758470969740280587360214640625225/1554291857512623351173407644117663744a^17 - 2634020649922015971615478580126384709181/6217167430050493404693630576470654976a^16 + 2243518213526449021425179511303307336301/12434334860100986809387261152941309952a^15 + 4519842783651041379360989528371727605399/6217167430050493404693630576470654976a^14 - 280301072461647005317255812409263557009/1036194571675082234115605096078442496a^13 - 312286982598545000596514913914437103677/518097285837541117057802548039221248a^12 + 154005358069575736163012570615401241695/388572964378155837793351911029415936a^11 + 60174620380927815936875488421727013777/194286482189077918896675955514707968a^10 - 41032934882991930051550344587904369895/97143241094538959448337977757353984a^9 - 26857928376178844613394864246496357/714288537459845290061308659980544a^8 + 1072483759267472794186398033383420435/3035726284204342482760561804917312a^7 - 454698455707218500970854760640832243/4047635045605789977014082406556416a^6 - 14519176578823705389625588629713719/62592294519677164593001274328192a^5 + 427008041148132373963353991599751547/3035726284204342482760561804917312a^4 + 372879169356654466570973959245264683/3035726284204342482760561804917312a^3 - 35017225722760208558244183661617783/505954380700723747126760300819552a^2 - 8214838183777769851269390634866769/252977190350361873563380150409776a + 2122079814523108991250865040257725/126488595175180936781690075204888, 992495817654170788284772949904945/4144778286700328936462420384313769984a^31 + 719617721477115476959990718715/32381080364846319816112659252451328a^30 - 7106035084176537906196807707714721/1554291857512623351173407644117663744a^29 - 3684789738282516803071330456760027/1554291857512623351173407644117663744a^28 + 169470352304405253041871134588122093/4144778286700328936462420384313769984a^27 + 257568296480754361970403717916303411/6217167430050493404693630576470654976a^26 - 341574946443931718693876411352907069/1554291857512623351173407644117663744a^25 - 862761630165793517928340324904026411/2072389143350164468231210192156884992a^24 + 2256289026626207622192726022096137425/3108583715025246702346815288235327488a^23 + 1077038817496882153622802469928100695/365715731179440788511390033910038528a^22 - 332627128868016726528095583063754857/1036194571675082234115605096078442496a^21 - 8447981508318118091926008006472433993/518097285837541117057802548039221248a^20 - 176683151238925396183655232696876745585/12434334860100986809387261152941309952a^19 + 437664184177519110384743557134601642693/6217167430050493404693630576470654976a^18 + 51934457260921695743957452770876095569/518097285837541117057802548039221248a^17 - 438427987314856019544172342676775197429/2072389143350164468231210192156884992a^16 - 4313262704483989732195337513871314250097/12434334860100986809387261152941309952a^15 + 2219533377834435218545290873636817802837/6217167430050493404693630576470654976a^14 + 1840899889605718241286447872034119725675/3108583715025246702346815288235327488a^13 - 134533183831064258347707590794906658743/518097285837541117057802548039221248a^12 - 2932696269655918070223827848125465321/7619077732905016427320625706459136a^11 + 58423666386309544490166617603844859591/194286482189077918896675955514707968a^10 + 15073781668437143316404594473801911023/97143241094538959448337977757353984a^9 - 1130237292077352990391842528427584055/4047635045605789977014082406556416a^8 + 67256386642608481342694066545930629/2023817522802894988507041203278208a^7 + 2796255827693890734706661588241343753/12142905136817369931042247219669248a^6 - 628291384024004942336693279735018773/6071452568408684965521123609834624a^5 - 463401673309036611113017865351298203/3035726284204342482760561804917312a^4 + 307938005784775424790930319056260729/3035726284204342482760561804917312a^3 + 158384098700425738830333989846413313/1517863142102171241380280902458656a^2 - 5999331341104140623257271363052863/252977190350361873563380150409776a - 10193979356409238392539531450590987/379465785525542810345070225614664, 3793495465528708918946230122453637/4144778286700328936462420384313769984a^31 - 2725712145724010698537576865823395/1036194571675082234115605096078442496a^30 - 3199025428541514031516698270602153/259048642918770558528901274019610624a^29 + 50894536261347931158574896106630117/1554291857512623351173407644117663744a^28 + 1250028702399768408196838062313329459/12434334860100986809387261152941309952a^27 - 409086105524077085045066647761611401/2072389143350164468231210192156884992a^26 - 315081925635456190532870331093330109/518097285837541117057802548039221248a^25 + 962590112651836616555847989519798065/2072389143350164468231210192156884992a^24 + 3581785650738514731272293029225758985/1036194571675082234115605096078442496a^23 + 3222621313528327291837841049084686929/2072389143350164468231210192156884992a^22 - 16242718287252261770793169355084230995/1036194571675082234115605096078442496a^21 - 872059929762647482145070157706155091/29326261462502327380630332907880448a^20 + 842972529312086115702956237601426428155/12434334860100986809387261152941309952a^19 + 1173098916728983142715887178878523002575/6217167430050493404693630576470654976a^18 - 411689269669669424766161432425763210933/1554291857512623351173407644117663744a^17 - 4184405699418594784718410987127512379219/6217167430050493404693630576470654976a^16 + 10475489894600088955839419473720610774243/12434334860100986809387261152941309952a^15 + 19783452567439251414676389496056810839/18448568041692858767636885983592448a^14 - 4109932659966496719042135904796706819841/3108583715025246702346815288235327488a^13 - 1281833466716087534848345293782885409737/1554291857512623351173407644117663744a^12 + 176047025185087672394003923326886442829/129524321459385279264450637009805312a^11 + 12496809665242911166115711435603500481/64762160729692639632225318504902656a^10 - 34466154399958314713175449041739283479/32381080364846319816112659252451328a^9 + 349347312904083822539651022153623733/1011908761401447494253520601639104a^8 + 4104737913500308675878650360671804207/6071452568408684965521123609834624a^7 - 6711468490203284904691889907245624083/12142905136817369931042247219669248a^6 - 1909452293085855189531700193874671923/6071452568408684965521123609834624a^5 + 1486539468160968291463072551965339737/3035726284204342482760561804917312a^4 + 102456605634159641710033234042393735/1011908761401447494253520601639104a^3 - 395482331823584974007518592230191053/1517863142102171241380280902458656a^2 - 10021404180102750632127066837688561/758931571051085620690140451229328a + 1496524513034530088285128986341177/22321516795620165314415895624392, 9595916428300942112510089614847/194286482189077918896675955514707968a^31 + 354666070593343931778880480511089/3108583715025246702346815288235327488a^30 - 1934243376393815601358853626754959/1554291857512623351173407644117663744a^29 - 261948581243401207891848823054573/129524321459385279264450637009805312a^28 + 1577242737807254161386055777745373/129524321459385279264450637009805312a^27 + 66327821300567942919328644768816653/3108583715025246702346815288235327488a^26 - 52333536224221999850595731647196249/777145928756311675586703822058831872a^25 - 127339374466614588083064923821700333/777145928756311675586703822058831872a^24 + 100241110651094203644023900892719647/518097285837541117057802548039221248a^23 + 67297294928616640332317274969049933/64762160729692639632225318504902656a^22 + 103143674191608304104612024793154835/518097285837541117057802548039221248a^21 - 6411998509581718450256760948033005/1221927560937596974192930537828352a^20 - 13970370874873996494662714489143181/2023817522802894988507041203278208a^19 + 68837592592383583799808943462171245269/3108583715025246702346815288235327488a^18 + 17560294996184086677506308573596822971/388572964378155837793351911029415936a^17 - 55527653155983815657448522984913140695/777145928756311675586703822058831872a^16 - 247863319379481542248913551161963934901/1554291857512623351173407644117663744a^15 + 163489058036426315743143362952371701579/1036194571675082234115605096078442496a^14 + 105091580317888053433019734401262085107/388572964378155837793351911029415936a^13 - 16841912249602413225267021487553778913/97143241094538959448337977757353984a^12 - 38743161313212381366111275076030404869/194286482189077918896675955514707968a^11 + 1383062282941343322630514468921499819/8095270091211579954028164813112832a^10 + 511941030785075598223908846817471119/8095270091211579954028164813112832a^9 - 158412602921621050980159611812534589/1011908761401447494253520601639104a^8 + 823635275674230197393550131873969/31622148793795234195422518801222a^7 + 351629327552860655053878962907199723/3035726284204342482760561804917312a^6 - 12286294052827629064432056252726485/178572134364961322515327164995136a^5 - 8948952819054026855539819788613105/126488595175180936781690075204888a^4 + 23142819592593871686609057652970303/379465785525542810345070225614664a^3 + 9700880504073422657256895427373715/252977190350361873563380150409776a^2 - 2153810979595124789088906250407253/94866446381385702586267556403666a - 637781871121665716046103627629517/47433223190692851293133778201833, 793102774563888193018719524004175/4144778286700328936462420384313769984a^31 - 1604830039102885929985801832421007/3108583715025246702346815288235327488a^30 - 4137382993369504298282016247727129/1554291857512623351173407644117663744a^29 + 3259842212774888408111347131506687/518097285837541117057802548039221248a^28 + 275018929141133347138495764679482457/12434334860100986809387261152941309952a^27 - 75212525852964327544739176975461715/2072389143350164468231210192156884992a^26 - 52005199538872216433926345447504861/388572964378155837793351911029415936a^25 + 409100528095805749430556935854775833/6217167430050493404693630576470654976a^24 + 2282933210920754277095101180823584321/3108583715025246702346815288235327488a^23 + 3047881991572205780279124011363277089/6217167430050493404693630576470654976a^22 - 9801519377875195923460250895222773923/3108583715025246702346815288235327488a^21 - 10743834821325874069183345364741084675/1554291857512623351173407644117663744a^20 + 156689418203702990056707940086880751857/12434334860100986809387261152941309952a^19 + 260662637430647386337873644286228711333/6217167430050493404693630576470654976a^18 - 2075667246496561964342976196803683375/45714466397430098563923754238754816a^17 - 924933106531586231201666152325567112233/6217167430050493404693630576470654976a^16 + 32233940046461644911018515482255121317/234610091700018619045042663263043584a^15 + 1543238498738869746956967951364465279525/6217167430050493404693630576470654976a^14 - 606117906950140592200995805871246093209/3108583715025246702346815288235327488a^13 - 336476893964533205558048742734776236127/1554291857512623351173407644117663744a^12 + 80458171138951935520442790913939558937/388572964378155837793351911029415936a^11 + 15816568195592336264481672180323012159/194286482189077918896675955514707968a^10 - 18948976678824023794296355154525108243/97143241094538959448337977757353984a^9 + 312550270367697374531637319921637917/12142905136817369931042247219669248a^8 + 419664929873167853001422200676908069/3035726284204342482760561804917312a^7 - 918774722640207644353219440594829801/12142905136817369931042247219669248a^6 - 480628627808458332383444611994751061/6071452568408684965521123609834624a^5 + 76016607346029180335293943603094063/1011908761401447494253520601639104a^4 + 111247996730629769412878570581550599/3035726284204342482760561804917312a^3 - 21669328981387094559296533229750453/505954380700723747126760300819552a^2 - 8811487127413948493658061138703257/758931571051085620690140451229328a + 3229436663691434412681971104310767/379465785525542810345070225614664, 7118127577267430875965090099163265/6217167430050493404693630576470654976a^31 - 2445949289092208813909470314912403/1554291857512623351173407644117663744a^30 - 9477473800886499415109628072499/505954380700723747126760300819552a^29 + 11186015953919502437743557256538219/777145928756311675586703822058831872a^28 + 1008017888952629297318036465753306845/6217167430050493404693630576470654976a^27 - 61678975463327599717862691311874605/3108583715025246702346815288235327488a^26 - 713312633244125749387088192765332675/777145928756311675586703822058831872a^25 - 2299734225478127889506865349365857779/3108583715025246702346815288235327488a^24 + 6133817568346791346298980178769425645/1554291857512623351173407644117663744a^23 + 8527132014088372031699880062440036015/1036194571675082234115605096078442496a^22 - 16464549490113404640243923907461898431/1554291857512623351173407644117663744a^21 - 15207715056682331428031974098280851367/259048642918770558528901274019610624a^20 + 44567364851385638224694630915725132949/6217167430050493404693630576470654976a^19 + 904965419454598238057536799207608098121/3108583715025246702346815288235327488a^18 + 66446840720069146808740768846058090563/777145928756311675586703822058831872a^17 - 978901558949505520051906201354545841903/1036194571675082234115605096078442496a^16 - 742660668800885652429429168479358533585/2072389143350164468231210192156884992a^15 + 4903534951743893118022032231485259171521/3108583715025246702346815288235327488a^14 + 1155336016682038258901696535519715590989/1554291857512623351173407644117663744a^13 - 321223422157837911904378614056401047889/259048642918770558528901274019610624a^12 - 49609127351485504352308226226093434087/194286482189077918896675955514707968a^11 + 88794140818482908263225923102304659025/97143241094538959448337977757353984a^10 - 3483905795637966631795985945213578937/16190540182423159908056329626225664a^9 - 6850004169714809472603972521494497761/12142905136817369931042247219669248a^8 + 14910995381885243771296039403808757/31622148793795234195422518801222a^7 + 590792414423476852256036880408306579/2023817522802894988507041203278208a^6 - 481898460313996016331302183458100689/1011908761401447494253520601639104a^5 - 190718225886063502265128038654570353/1517863142102171241380280902458656a^4 + 523167756686297869860985158206830511/1517863142102171241380280902458656a^3 + 90720526454841920894683478140035853/758931571051085620690140451229328a^2 - 34651733144018571795749527054882355/379465785525542810345070225614664a - 7676215203308774054291747657661433/189732892762771405172535112807332, 430235249682293357781652049679067/4144778286700328936462420384313769984a^31 - 12219690939418641204402950864383/60952621863240131418565005651673088a^30 - 412772109136878618653554599155843/259048642918770558528901274019610624a^29 + 3549349282763788025024625823171973/1554291857512623351173407644117663744a^28 + 165976136253412096523694300166051469/12434334860100986809387261152941309952a^27 - 65035481887403441535736215302414209/6217167430050493404693630576470654976a^26 - 118479150166418289648294519920241239/1554291857512623351173407644117663744a^25 - 31607677088314347383919572669655865/2072389143350164468231210192156884992a^24 + 1123109986966922514054469061047000105/3108583715025246702346815288235327488a^23 + 3086710707955433476676632312348596413/6217167430050493404693630576470654976a^22 - 3916517414080862956329700796176095355/3108583715025246702346815288235327488a^21 - 6844234455415443901893287955131271877/1554291857512623351173407644117663744a^20 + 43161832058368086332636086931853272197/12434334860100986809387261152941309952a^19 + 49343991646590531158265964627629474215/2072389143350164468231210192156884992a^18 - 13356724292725506276405216610752656333/1554291857512623351173407644117663744a^17 - 492404588926158947405822115521152471109/6217167430050493404693630576470654976a^16 + 342808293790686652117775325544572236269/12434334860100986809387261152941309952a^15 + 762667853528362344267766363567619940061/6217167430050493404693630576470654976a^14 - 159441277897470252588927688082487918923/3108583715025246702346815288235327488a^13 - 96005144045014469727468890771162914753/1554291857512623351173407644117663744a^12 + 9619956196981744735264826889551887771/129524321459385279264450637009805312a^11 + 2828955322467898540410433760213452001/194286482189077918896675955514707968a^10 - 5302642317315484624964545321491041321/97143241094538959448337977757353984a^9 + 177647381432609607511056743543076061/12142905136817369931042247219669248a^8 + 2745411152838632235382742782595467/62592294519677164593001274328192a^7 - 316321523961289224419742068775979165/12142905136817369931042247219669248a^6 - 44500126415785450244622899788752887/2023817522802894988507041203278208a^5 + 69350000901817312319165957847708727/3035726284204342482760561804917312a^4 + 18489926485872955956683102893765991/3035726284204342482760561804917312a^3 - 246173633658887706881192976118799/89286067182480661257663582497568a^2 + 1490368889680628253889079692722869/758931571051085620690140451229328*a - 5320520754833680199959616963761/7440505598540055104805298541464 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 564327334704.2394 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 564327334704.2394 \cdot 20}{12\cdot\sqrt{133516116647406931991162570051420160000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.480275999186225 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 - 2*x^31 - 16*x^30 + 24*x^29 + 141*x^28 - 120*x^27 - 852*x^26 - 70*x^25 + 4216*x^24 + 4978*x^23 - 15640*x^22 - 47344*x^21 + 45797*x^20 + 270436*x^19 - 110380*x^18 - 986938*x^17 + 284105*x^16 + 1973876*x^15 - 441520*x^14 - 2163488*x^13 + 732752*x^12 + 1515008*x^11 - 1000960*x^10 - 637184*x^9 + 1079296*x^8 + 35840*x^7 - 872448*x^6 + 245760*x^5 + 577536*x^4 - 196608*x^3 - 262144*x^2 + 65536*x + 65536);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$D_4^2:C_2^3$ (as 32T12882):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 512

The 80 conjugacy class representatives for $D_4^2:C_2^3$ are not computed

Character table for $D_4^2:C_2^3$ is not computed

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-5}) $, $\Q(\sqrt{15}) $, $\Q(\sqrt{-1}) $, $\Q(\sqrt{3}) $, $\Q(\sqrt{-3}) $, $\Q(\sqrt{5}) $, $\Q(\sqrt{-15}) $, 4.4.7488.1, 4.0.7488.1, 4.4.187200.1, 4.0.187200.1, $\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{5})$, $\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-5})$, $\Q(\zeta_{12})$, $\Q(i, \sqrt{5})$, $\Q(\sqrt{3}, \sqrt{5})$, $\Q(i, \sqrt{15})$, $\Q(\sqrt{3}, \sqrt{-5})$, 8.0.3399252480000.1, 8.8.3399252480000.1, 8.0.5438803968.1, 8.8.5438803968.1, 8.0.12960000.1, 8.0.56070144.2, 8.0.35043840000.18, 8.8.35043840000.1, 8.0.35043840000.41, 8.0.35043840000.39, 8.0.35043840000.36, 16.0.1228070721945600000000.2, 16.0.11554917422786150400000000.4, 16.0.29580588602332545024.3, 16.0.11554917422786150400000000.2, 16.16.11554917422786150400000000.1, 16.0.11554917422786150400000000.3, 16.0.11554917422786150400000000.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Degree 32 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	not computed

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	R	R	${\href{/padicField/7.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/11.2.0.1}{2} }^{8}$	R	${\href{/padicField/17.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/17.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/19.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/23.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/29.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/37.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/41.8.0.1}{8} }^{4}$	${\href{/padicField/43.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/47.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{8}$	${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/59.4.0.1}{4} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{8}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2	2.8.12.14	$x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 58 x^{5} + 95 x^{4} + 130 x^{3} + 58 x^{2} - 58 x + 13$	$4$	$2$	$12$	$D_4$	$[2, 2]^{2}$
	2.8.12.14	$x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 58 x^{5} + 95 x^{4} + 130 x^{3} + 58 x^{2} - 58 x + 13$	$4$	$2$	$12$	$D_4$	$[2, 2]^{2}$
	2.8.12.14	$x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 58 x^{5} + 95 x^{4} + 130 x^{3} + 58 x^{2} - 58 x + 13$	$4$	$2$	$12$	$D_4$	$[2, 2]^{2}$
	2.8.12.14	$x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 58 x^{5} + 95 x^{4} + 130 x^{3} + 58 x^{2} - 58 x + 13$	$4$	$2$	$12$	$D_4$	$[2, 2]^{2}$
$3$ 3	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
$5$ 5	5.16.8.1	$x^{16} + 160 x^{15} + 11240 x^{14} + 453600 x^{13} + 11536702 x^{12} + 190484240 x^{11} + 2020220586 x^{10} + 13041178608 x^{9} + 45239382035 x^{8} + 65384309200 x^{7} + 52374358166 x^{6} + 35488260768 x^{5} + 46408266743 x^{4} + 66345171264 x^{3} + 136057926318 x^{2} + 159173865296 x + 74196697609$	$2$	$8$	$8$	$C_8\times C_2$	$[\ ]_{2}^{8}$
$5$ 5	5.16.8.1	$x^{16} + 160 x^{15} + 11240 x^{14} + 453600 x^{13} + 11536702 x^{12} + 190484240 x^{11} + 2020220586 x^{10} + 13041178608 x^{9} + 45239382035 x^{8} + 65384309200 x^{7} + 52374358166 x^{6} + 35488260768 x^{5} + 46408266743 x^{4} + 66345171264 x^{3} + 136057926318 x^{2} + 159173865296 x + 74196697609$	$2$	$8$	$8$	$C_8\times C_2$	$[\ ]_{2}^{8}$
$13$ 13	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
$97$ 97	97.2.0.1	$x^{2} + 96 x + 5$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	97.2.0.1	$x^{2} + 96 x + 5$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	97.2.0.1	$x^{2} + 96 x + 5$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	97.2.0.1	$x^{2} + 96 x + 5$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	97.4.0.1	$x^{4} + 6 x^{2} + 80 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	97.4.2.1	$x^{4} + 10474 x^{3} + 27919909 x^{2} + 2585716380 x + 183392493$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	97.4.0.1	$x^{4} + 6 x^{2} + 80 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	97.4.0.1	$x^{4} + 6 x^{2} + 80 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$
	97.4.2.1	$x^{4} + 10474 x^{3} + 27919909 x^{2} + 2585716380 x + 183392493$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	97.4.0.1	$x^{4} + 6 x^{2} + 80 x + 5$	$1$	$4$	$0$	$C_4$	$[\ ]^{4}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more