Normalized defining polynomial
\( x^{32} - x^{31} + 6 x^{30} - 11 x^{29} + 41 x^{28} - 96 x^{27} + 301 x^{26} - 781 x^{25} + 2286 x^{24} - 6191 x^{23} + 17621 x^{22} - 48576 x^{21} + 136681 x^{20} - 379561 x^{19} + 1062966 x^{18} - 2960771 x^{17} + 8275601 x^{16} + 14803855 x^{15} + 26574150 x^{14} + 47445125 x^{13} + 85425625 x^{12} + 151800000 x^{11} + 275328125 x^{10} + 483671875 x^{9} + 892968750 x^{8} + 1525390625 x^{7} + 2939453125 x^{6} + 4687500000 x^{5} + 10009765625 x^{4} + 13427734375 x^{3} + 36621093750 x^{2} + 30517578125 x + 152587890625 \)
Invariants
| Degree: | $32$ | magma: Degree(K);
sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
| |
| Signature: | $[0, 16]$ | magma: Signature(K);
sage: K.signature()
gp: K.sign
| |
| Discriminant: | \(11721315531921426838644724774450299033325694662265349722529=3^{16}\cdot 7^{16}\cdot 17^{30}\) | magma: Discriminant(Integers(K));
sage: K.disc()
gp: K.disc
| |
| Root discriminant: | $65.26$ | magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
| |
| Ramified primes: | $3, 7, 17$ | magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(357=3\cdot 7\cdot 17\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{357}(1,·)$, $\chi_{357}(146,·)$, $\chi_{357}(20,·)$, $\chi_{357}(22,·)$, $\chi_{357}(293,·)$, $\chi_{357}(167,·)$, $\chi_{357}(41,·)$, $\chi_{357}(43,·)$, $\chi_{357}(314,·)$, $\chi_{357}(316,·)$, $\chi_{357}(190,·)$, $\chi_{357}(64,·)$, $\chi_{357}(335,·)$, $\chi_{357}(337,·)$, $\chi_{357}(211,·)$, $\chi_{357}(356,·)$, $\chi_{357}(230,·)$, $\chi_{357}(209,·)$, $\chi_{357}(104,·)$, $\chi_{357}(188,·)$, $\chi_{357}(106,·)$, $\chi_{357}(295,·)$, $\chi_{357}(274,·)$, $\chi_{357}(125,·)$, $\chi_{357}(232,·)$, $\chi_{357}(83,·)$, $\chi_{357}(62,·)$, $\chi_{357}(169,·)$, $\chi_{357}(148,·)$, $\chi_{357}(251,·)$, $\chi_{357}(253,·)$, $\chi_{357}(127,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $\frac{1}{41378005} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} + \frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{5} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} + \frac{1}{5} a + \frac{2960771}{8275601}$, $\frac{1}{206890025} a^{18} - \frac{1}{206890025} a^{17} + \frac{6}{25} a^{16} - \frac{11}{25} a^{15} - \frac{9}{25} a^{14} + \frac{4}{25} a^{13} + \frac{1}{25} a^{12} - \frac{6}{25} a^{11} + \frac{11}{25} a^{10} + \frac{9}{25} a^{9} - \frac{4}{25} a^{8} - \frac{1}{25} a^{7} + \frac{6}{25} a^{6} - \frac{11}{25} a^{5} - \frac{9}{25} a^{4} + \frac{4}{25} a^{3} + \frac{1}{25} a^{2} + \frac{2960771}{41378005} a + \frac{1062966}{8275601}$, $\frac{1}{1034450125} a^{19} - \frac{1}{1034450125} a^{18} + \frac{6}{1034450125} a^{17} - \frac{36}{125} a^{16} - \frac{59}{125} a^{15} + \frac{4}{125} a^{14} - \frac{49}{125} a^{13} - \frac{56}{125} a^{12} + \frac{61}{125} a^{11} + \frac{34}{125} a^{10} + \frac{21}{125} a^{9} + \frac{24}{125} a^{8} - \frac{44}{125} a^{7} + \frac{39}{125} a^{6} - \frac{9}{125} a^{5} - \frac{46}{125} a^{4} + \frac{1}{125} a^{3} + \frac{2960771}{206890025} a^{2} + \frac{1062966}{41378005} a + \frac{379561}{8275601}$, $\frac{1}{5172250625} a^{20} - \frac{1}{5172250625} a^{19} + \frac{6}{5172250625} a^{18} - \frac{11}{5172250625} a^{17} - \frac{184}{625} a^{16} + \frac{4}{625} a^{15} - \frac{299}{625} a^{14} - \frac{306}{625} a^{13} + \frac{61}{625} a^{12} + \frac{284}{625} a^{11} + \frac{21}{625} a^{10} + \frac{149}{625} a^{9} - \frac{44}{625} a^{8} + \frac{164}{625} a^{7} + \frac{241}{625} a^{6} - \frac{46}{625} a^{5} + \frac{1}{625} a^{4} + \frac{2960771}{1034450125} a^{3} + \frac{1062966}{206890025} a^{2} + \frac{379561}{41378005} a + \frac{136681}{8275601}$, $\frac{1}{25861253125} a^{21} - \frac{1}{25861253125} a^{20} + \frac{6}{25861253125} a^{19} - \frac{11}{25861253125} a^{18} + \frac{41}{25861253125} a^{17} + \frac{629}{3125} a^{16} - \frac{1549}{3125} a^{15} - \frac{1556}{3125} a^{14} + \frac{61}{3125} a^{13} + \frac{1534}{3125} a^{12} - \frac{1229}{3125} a^{11} - \frac{476}{3125} a^{10} + \frac{581}{3125} a^{9} + \frac{164}{3125} a^{8} - \frac{384}{3125} a^{7} + \frac{1204}{3125} a^{6} + \frac{1}{3125} a^{5} + \frac{2960771}{5172250625} a^{4} + \frac{1062966}{1034450125} a^{3} + \frac{379561}{206890025} a^{2} + \frac{136681}{41378005} a + \frac{48576}{8275601}$, $\frac{1}{129306265625} a^{22} - \frac{1}{129306265625} a^{21} + \frac{6}{129306265625} a^{20} - \frac{11}{129306265625} a^{19} + \frac{41}{129306265625} a^{18} - \frac{96}{129306265625} a^{17} - \frac{1549}{15625} a^{16} + \frac{4694}{15625} a^{15} + \frac{3186}{15625} a^{14} + \frac{4659}{15625} a^{13} - \frac{4354}{15625} a^{12} - \frac{3601}{15625} a^{11} - \frac{2544}{15625} a^{10} + \frac{164}{15625} a^{9} + \frac{2741}{15625} a^{8} - \frac{1921}{15625} a^{7} + \frac{1}{15625} a^{6} + \frac{2960771}{25861253125} a^{5} + \frac{1062966}{5172250625} a^{4} + \frac{379561}{1034450125} a^{3} + \frac{136681}{206890025} a^{2} + \frac{48576}{41378005} a + \frac{17621}{8275601}$, $\frac{1}{646531328125} a^{23} - \frac{1}{646531328125} a^{22} + \frac{6}{646531328125} a^{21} - \frac{11}{646531328125} a^{20} + \frac{41}{646531328125} a^{19} - \frac{96}{646531328125} a^{18} + \frac{301}{646531328125} a^{17} + \frac{35944}{78125} a^{16} + \frac{34436}{78125} a^{15} - \frac{10966}{78125} a^{14} + \frac{26896}{78125} a^{13} - \frac{3601}{78125} a^{12} - \frac{18169}{78125} a^{11} + \frac{164}{78125} a^{10} - \frac{12884}{78125} a^{9} + \frac{13704}{78125} a^{8} + \frac{1}{78125} a^{7} + \frac{2960771}{129306265625} a^{6} + \frac{1062966}{25861253125} a^{5} + \frac{379561}{5172250625} a^{4} + \frac{136681}{1034450125} a^{3} + \frac{48576}{206890025} a^{2} + \frac{17621}{41378005} a + \frac{6191}{8275601}$, $\frac{1}{3232656640625} a^{24} - \frac{1}{3232656640625} a^{23} + \frac{6}{3232656640625} a^{22} - \frac{11}{3232656640625} a^{21} + \frac{41}{3232656640625} a^{20} - \frac{96}{3232656640625} a^{19} + \frac{301}{3232656640625} a^{18} - \frac{781}{3232656640625} a^{17} - \frac{43689}{390625} a^{16} - \frac{167216}{390625} a^{15} - \frac{51229}{390625} a^{14} - \frac{3601}{390625} a^{13} + \frac{138081}{390625} a^{12} - \frac{156086}{390625} a^{11} + \frac{65241}{390625} a^{10} - \frac{64421}{390625} a^{9} + \frac{1}{390625} a^{8} + \frac{2960771}{646531328125} a^{7} + \frac{1062966}{129306265625} a^{6} + \frac{379561}{25861253125} a^{5} + \frac{136681}{5172250625} a^{4} + \frac{48576}{1034450125} a^{3} + \frac{17621}{206890025} a^{2} + \frac{6191}{41378005} a + \frac{2286}{8275601}$, $\frac{1}{16163283203125} a^{25} - \frac{1}{16163283203125} a^{24} + \frac{6}{16163283203125} a^{23} - \frac{11}{16163283203125} a^{22} + \frac{41}{16163283203125} a^{21} - \frac{96}{16163283203125} a^{20} + \frac{301}{16163283203125} a^{19} - \frac{781}{16163283203125} a^{18} + \frac{2286}{16163283203125} a^{17} + \frac{223409}{1953125} a^{16} - \frac{441854}{1953125} a^{15} - \frac{394226}{1953125} a^{14} + \frac{138081}{1953125} a^{13} - \frac{156086}{1953125} a^{12} + \frac{846491}{1953125} a^{11} + \frac{326204}{1953125} a^{10} + \frac{1}{1953125} a^{9} + \frac{2960771}{3232656640625} a^{8} + \frac{1062966}{646531328125} a^{7} + \frac{379561}{129306265625} a^{6} + \frac{136681}{25861253125} a^{5} + \frac{48576}{5172250625} a^{4} + \frac{17621}{1034450125} a^{3} + \frac{6191}{206890025} a^{2} + \frac{2286}{41378005} a + \frac{781}{8275601}$, $\frac{1}{80816416015625} a^{26} - \frac{1}{80816416015625} a^{25} + \frac{6}{80816416015625} a^{24} - \frac{11}{80816416015625} a^{23} + \frac{41}{80816416015625} a^{22} - \frac{96}{80816416015625} a^{21} + \frac{301}{80816416015625} a^{20} - \frac{781}{80816416015625} a^{19} + \frac{2286}{80816416015625} a^{18} - \frac{6191}{80816416015625} a^{17} - \frac{4348104}{9765625} a^{16} - \frac{4300476}{9765625} a^{15} + \frac{2091206}{9765625} a^{14} - \frac{4062336}{9765625} a^{13} + \frac{4752741}{9765625} a^{12} + \frac{4232454}{9765625} a^{11} + \frac{1}{9765625} a^{10} + \frac{2960771}{16163283203125} a^{9} + \frac{1062966}{3232656640625} a^{8} + \frac{379561}{646531328125} a^{7} + \frac{136681}{129306265625} a^{6} + \frac{48576}{25861253125} a^{5} + \frac{17621}{5172250625} a^{4} + \frac{6191}{1034450125} a^{3} + \frac{2286}{206890025} a^{2} + \frac{781}{41378005} a + \frac{301}{8275601}$, $\frac{1}{404082080078125} a^{27} - \frac{1}{404082080078125} a^{26} + \frac{6}{404082080078125} a^{25} - \frac{11}{404082080078125} a^{24} + \frac{41}{404082080078125} a^{23} - \frac{96}{404082080078125} a^{22} + \frac{301}{404082080078125} a^{21} - \frac{781}{404082080078125} a^{20} + \frac{2286}{404082080078125} a^{19} - \frac{6191}{404082080078125} a^{18} + \frac{17621}{404082080078125} a^{17} + \frac{5465149}{48828125} a^{16} + \frac{21622456}{48828125} a^{15} + \frac{5703289}{48828125} a^{14} + \frac{4752741}{48828125} a^{13} + \frac{23763704}{48828125} a^{12} + \frac{1}{48828125} a^{11} + \frac{2960771}{80816416015625} a^{10} + \frac{1062966}{16163283203125} a^{9} + \frac{379561}{3232656640625} a^{8} + \frac{136681}{646531328125} a^{7} + \frac{48576}{129306265625} a^{6} + \frac{17621}{25861253125} a^{5} + \frac{6191}{5172250625} a^{4} + \frac{2286}{1034450125} a^{3} + \frac{781}{206890025} a^{2} + \frac{301}{41378005} a + \frac{96}{8275601}$, $\frac{1}{2020410400390625} a^{28} - \frac{1}{2020410400390625} a^{27} + \frac{6}{2020410400390625} a^{26} - \frac{11}{2020410400390625} a^{25} + \frac{41}{2020410400390625} a^{24} - \frac{96}{2020410400390625} a^{23} + \frac{301}{2020410400390625} a^{22} - \frac{781}{2020410400390625} a^{21} + \frac{2286}{2020410400390625} a^{20} - \frac{6191}{2020410400390625} a^{19} + \frac{17621}{2020410400390625} a^{18} - \frac{48576}{2020410400390625} a^{17} - \frac{76033794}{244140625} a^{16} + \frac{103359539}{244140625} a^{15} + \frac{4752741}{244140625} a^{14} + \frac{23763704}{244140625} a^{13} + \frac{1}{244140625} a^{12} + \frac{2960771}{404082080078125} a^{11} + \frac{1062966}{80816416015625} a^{10} + \frac{379561}{16163283203125} a^{9} + \frac{136681}{3232656640625} a^{8} + \frac{48576}{646531328125} a^{7} + \frac{17621}{129306265625} a^{6} + \frac{6191}{25861253125} a^{5} + \frac{2286}{5172250625} a^{4} + \frac{781}{1034450125} a^{3} + \frac{301}{206890025} a^{2} + \frac{96}{41378005} a + \frac{41}{8275601}$, $\frac{1}{10102052001953125} a^{29} - \frac{1}{10102052001953125} a^{28} + \frac{6}{10102052001953125} a^{27} - \frac{11}{10102052001953125} a^{26} + \frac{41}{10102052001953125} a^{25} - \frac{96}{10102052001953125} a^{24} + \frac{301}{10102052001953125} a^{23} - \frac{781}{10102052001953125} a^{22} + \frac{2286}{10102052001953125} a^{21} - \frac{6191}{10102052001953125} a^{20} + \frac{17621}{10102052001953125} a^{19} - \frac{48576}{10102052001953125} a^{18} + \frac{136681}{10102052001953125} a^{17} + \frac{347500164}{1220703125} a^{16} + \frac{493033991}{1220703125} a^{15} + \frac{23763704}{1220703125} a^{14} + \frac{1}{1220703125} a^{13} + \frac{2960771}{2020410400390625} a^{12} + \frac{1062966}{404082080078125} a^{11} + \frac{379561}{80816416015625} a^{10} + \frac{136681}{16163283203125} a^{9} + \frac{48576}{3232656640625} a^{8} + \frac{17621}{646531328125} a^{7} + \frac{6191}{129306265625} a^{6} + \frac{2286}{25861253125} a^{5} + \frac{781}{5172250625} a^{4} + \frac{301}{1034450125} a^{3} + \frac{96}{206890025} a^{2} + \frac{41}{41378005} a + \frac{11}{8275601}$, $\frac{1}{50510260009765625} a^{30} - \frac{1}{50510260009765625} a^{29} + \frac{6}{50510260009765625} a^{28} - \frac{11}{50510260009765625} a^{27} + \frac{41}{50510260009765625} a^{26} - \frac{96}{50510260009765625} a^{25} + \frac{301}{50510260009765625} a^{24} - \frac{781}{50510260009765625} a^{23} + \frac{2286}{50510260009765625} a^{22} - \frac{6191}{50510260009765625} a^{21} + \frac{17621}{50510260009765625} a^{20} - \frac{48576}{50510260009765625} a^{19} + \frac{136681}{50510260009765625} a^{18} - \frac{379561}{50510260009765625} a^{17} - \frac{727669134}{6103515625} a^{16} + \frac{2465169954}{6103515625} a^{15} + \frac{1}{6103515625} a^{14} + \frac{2960771}{10102052001953125} a^{13} + \frac{1062966}{2020410400390625} a^{12} + \frac{379561}{404082080078125} a^{11} + \frac{136681}{80816416015625} a^{10} + \frac{48576}{16163283203125} a^{9} + \frac{17621}{3232656640625} a^{8} + \frac{6191}{646531328125} a^{7} + \frac{2286}{129306265625} a^{6} + \frac{781}{25861253125} a^{5} + \frac{301}{5172250625} a^{4} + \frac{96}{1034450125} a^{3} + \frac{41}{206890025} a^{2} + \frac{11}{41378005} a + \frac{6}{8275601}$, $\frac{1}{252551300048828125} a^{31} - \frac{1}{252551300048828125} a^{30} + \frac{6}{252551300048828125} a^{29} - \frac{11}{252551300048828125} a^{28} + \frac{41}{252551300048828125} a^{27} - \frac{96}{252551300048828125} a^{26} + \frac{301}{252551300048828125} a^{25} - \frac{781}{252551300048828125} a^{24} + \frac{2286}{252551300048828125} a^{23} - \frac{6191}{252551300048828125} a^{22} + \frac{17621}{252551300048828125} a^{21} - \frac{48576}{252551300048828125} a^{20} + \frac{136681}{252551300048828125} a^{19} - \frac{379561}{252551300048828125} a^{18} + \frac{1062966}{252551300048828125} a^{17} - \frac{3638345671}{30517578125} a^{16} + \frac{1}{30517578125} a^{15} + \frac{2960771}{50510260009765625} a^{14} + \frac{1062966}{10102052001953125} a^{13} + \frac{379561}{2020410400390625} a^{12} + \frac{136681}{404082080078125} a^{11} + \frac{48576}{80816416015625} a^{10} + \frac{17621}{16163283203125} a^{9} + \frac{6191}{3232656640625} a^{8} + \frac{2286}{646531328125} a^{7} + \frac{781}{129306265625} a^{6} + \frac{301}{25861253125} a^{5} + \frac{96}{5172250625} a^{4} + \frac{41}{1034450125} a^{3} + \frac{11}{206890025} a^{2} + \frac{6}{41378005} a + \frac{1}{8275601}$
Class group and class number
Not computed
Unit group
| Rank: | $15$ | magma: UnitRank(K);
sage: UK.rank()
gp: K.fu
| |
| Torsion generator: | \( -\frac{379561}{50510260009765625} a^{31} - \frac{14415648500221}{50510260009765625} a^{14} \) (order $34$) | magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
| |
| Fundamental units: | Not computed | magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
| |
| Regulator: | Not computed | magma: Regulator(K);
sage: K.regulator()
gp: K.reg
|
Galois group
$C_2\times C_{16}$ (as 32T32):
| An abelian group of order 32 |
| The 32 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{16}$ |
| Character table for $C_2\times C_{16}$ is not computed |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | 2 | 3 | 5 | 7 | 11 | 13 | 17 | 19 | 23 | 29 | 31 | 37 | 41 | 43 | 47 | 53 | 59 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/LocalNumberField/2.8.0.1}{8} }^{4}$ | R | $16^{2}$ | R | $16^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/13.4.0.1}{4} }^{8}$ | R | ${\href{/LocalNumberField/19.8.0.1}{8} }^{4}$ | $16^{2}$ | $16^{2}$ | $16^{2}$ | $16^{2}$ | $16^{2}$ | ${\href{/LocalNumberField/43.8.0.1}{8} }^{4}$ | ${\href{/LocalNumberField/47.4.0.1}{4} }^{8}$ | ${\href{/LocalNumberField/53.8.0.1}{8} }^{4}$ | ${\href{/LocalNumberField/59.8.0.1}{8} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 3 | Data not computed | ||||||
| 7 | Data not computed | ||||||
| 17 | Data not computed | ||||||