LMFDB - Number field 32.0.1156745857256138299057661301456078800598048178176.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616)

gp: K = bnfinit(y^32 + 10*y^30 - 28*y^29 + 56*y^28 - 208*y^27 + 604*y^26 - 876*y^25 + 2547*y^24 - 5760*y^23 + 7684*y^22 - 11384*y^21 + 37676*y^20 - 21776*y^19 + 12262*y^18 - 135456*y^17 + 96553*y^16 + 443172*y^15 + 1107228*y^14 + 758160*y^13 - 662400*y^12 - 2309040*y^11 - 1681344*y^10 + 1407456*y^9 + 4596912*y^8 + 3872448*y^7 - 62208*y^6 - 4385664*y^5 - 3545856*y^4 + 3919104*y^2 + 3359232*y + 1679616, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616)

$ x^{32} + 10 x^{30} - 28 x^{29} + 56 x^{28} - 208 x^{27} + 604 x^{26} - 876 x^{25} + 2547 x^{24} + \cdots + 1679616 $ x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$32$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 16]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$1156745857256138299057661301456078800598048178176$ 1156745857256138299057661301456078800598048178176 $\medspace = 2^{72}\cdot 3^{16}\cdot 13^{8}\cdot 17^{8}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$31.77$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$2^{9/4}3^{1/2}13^{1/2}17^{1/2}\approx 122.48255985916441$
Ramified primes:	$2$, $3$, $13$, $17$ 2, 3, 13, 17	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q$
$\card{ \Aut(K/\Q) }$:	$8$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is not Galois over $\Q$.
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{32768}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{6}a^{18}-\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{3}a^{12}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{3}a^{8}-\frac{1}{3}a^{7}+\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}+\frac{1}{6}a^{2}$, $\frac{1}{6}a^{19}-\frac{1}{3}a^{17}+\frac{1}{3}a^{16}+\frac{1}{3}a^{15}+\frac{1}{3}a^{14}-\frac{1}{3}a^{13}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{3}a^{9}-\frac{1}{3}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}-\frac{1}{3}a^{5}+\frac{1}{6}a^{3}$, $\frac{1}{36}a^{20}-\frac{1}{18}a^{18}+\frac{2}{9}a^{17}+\frac{2}{9}a^{16}-\frac{4}{9}a^{15}+\frac{1}{9}a^{14}+\frac{5}{12}a^{12}+\frac{4}{9}a^{10}-\frac{2}{9}a^{9}+\frac{2}{9}a^{8}-\frac{2}{9}a^{7}-\frac{1}{18}a^{6}-\frac{11}{36}a^{4}+\frac{1}{3}a^{3}$, $\frac{1}{36}a^{21}-\frac{1}{18}a^{19}+\frac{1}{18}a^{18}+\frac{2}{9}a^{17}-\frac{1}{9}a^{16}-\frac{2}{9}a^{15}-\frac{1}{3}a^{14}+\frac{1}{12}a^{13}+\frac{1}{3}a^{12}+\frac{4}{9}a^{11}+\frac{5}{18}a^{10}+\frac{2}{9}a^{9}+\frac{1}{9}a^{8}+\frac{5}{18}a^{7}-\frac{1}{3}a^{6}+\frac{1}{36}a^{5}-\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{6}a^{2}$, $\frac{1}{216}a^{22}-\frac{1}{108}a^{20}+\frac{1}{27}a^{19}+\frac{1}{27}a^{18}+\frac{7}{27}a^{17}+\frac{19}{54}a^{16}-\frac{1}{2}a^{15}+\frac{17}{72}a^{14}+\frac{1}{3}a^{13}+\frac{11}{27}a^{12}-\frac{11}{54}a^{11}-\frac{25}{54}a^{10}+\frac{8}{27}a^{9}-\frac{37}{108}a^{8}+\frac{1}{3}a^{7}+\frac{25}{216}a^{6}+\frac{1}{18}a^{5}+\frac{1}{3}a^{4}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{216}a^{23}-\frac{1}{108}a^{21}+\frac{1}{108}a^{20}+\frac{1}{27}a^{19}-\frac{1}{54}a^{18}+\frac{7}{54}a^{17}-\frac{1}{18}a^{16}+\frac{1}{72}a^{15}-\frac{4}{9}a^{14}-\frac{7}{27}a^{13}+\frac{5}{108}a^{12}-\frac{25}{54}a^{11}-\frac{4}{27}a^{10}-\frac{13}{108}a^{9}-\frac{2}{9}a^{8}+\frac{1}{216}a^{7}+\frac{4}{9}a^{6}+\frac{17}{36}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}$, $\frac{1}{1296}a^{24}-\frac{1}{648}a^{22}+\frac{1}{162}a^{21}+\frac{1}{162}a^{20}+\frac{7}{162}a^{19}+\frac{19}{324}a^{18}-\frac{1}{12}a^{17}+\frac{161}{432}a^{16}-\frac{1}{9}a^{15}-\frac{35}{81}a^{14}-\frac{11}{324}a^{13}-\frac{79}{324}a^{12}+\frac{4}{81}a^{11}+\frac{179}{648}a^{10}-\frac{1}{9}a^{9}+\frac{241}{1296}a^{8}-\frac{35}{108}a^{7}+\frac{2}{9}a^{6}+\frac{1}{4}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2592}a^{25}-\frac{1}{1296}a^{23}-\frac{1}{648}a^{22}-\frac{7}{648}a^{21}+\frac{1}{324}a^{20}+\frac{13}{648}a^{19}+\frac{7}{216}a^{18}-\frac{13}{32}a^{17}-\frac{13}{54}a^{16}+\frac{1}{162}a^{15}+\frac{38}{81}a^{14}-\frac{107}{324}a^{13}+\frac{119}{324}a^{12}+\frac{155}{1296}a^{11}+\frac{2}{27}a^{10}-\frac{239}{2592}a^{9}-\frac{19}{72}a^{8}-\frac{11}{36}a^{7}+\frac{43}{108}a^{6}-\frac{35}{72}a^{5}-\frac{1}{36}a^{4}-\frac{1}{3}a^{3}-\frac{1}{3}a^{2}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{7776}a^{26}-\frac{1}{3888}a^{24}+\frac{1}{972}a^{23}+\frac{1}{972}a^{22}+\frac{7}{972}a^{21}+\frac{19}{1944}a^{20}-\frac{1}{72}a^{19}+\frac{161}{2592}a^{18}+\frac{4}{27}a^{17}-\frac{35}{486}a^{16}-\frac{659}{1944}a^{15}-\frac{403}{1944}a^{14}+\frac{85}{486}a^{13}+\frac{1475}{3888}a^{12}+\frac{17}{54}a^{11}-\frac{1055}{7776}a^{10}-\frac{35}{648}a^{9}+\frac{1}{27}a^{8}+\frac{1}{24}a^{7}-\frac{1}{4}a^{6}-\frac{1}{2}a^{5}-\frac{1}{2}a^{4}+\frac{1}{6}a^{2}$, $\frac{1}{15552}a^{27}-\frac{1}{7776}a^{25}-\frac{1}{3888}a^{24}-\frac{7}{3888}a^{23}+\frac{1}{1944}a^{22}+\frac{13}{3888}a^{21}+\frac{7}{1296}a^{20}-\frac{13}{192}a^{19}-\frac{13}{324}a^{18}-\frac{161}{972}a^{17}-\frac{62}{243}a^{16}-\frac{431}{1944}a^{15}+\frac{119}{1944}a^{14}+\frac{155}{7776}a^{13}-\frac{26}{81}a^{12}-\frac{2831}{15552}a^{11}+\frac{197}{432}a^{10}-\frac{47}{216}a^{9}+\frac{259}{648}a^{8}-\frac{107}{432}a^{7}+\frac{35}{216}a^{6}+\frac{4}{9}a^{5}-\frac{2}{9}a^{4}+\frac{5}{12}a^{3}+\frac{1}{6}a^{2}$, $\frac{1}{51554880}a^{28}-\frac{101}{8592480}a^{27}-\frac{193}{25777440}a^{26}+\frac{229}{1982880}a^{25}-\frac{3547}{12888720}a^{24}-\frac{1837}{991440}a^{23}+\frac{1969}{991440}a^{22}+\frac{5351}{859248}a^{21}+\frac{15331}{5728320}a^{20}+\frac{7561}{190944}a^{19}+\frac{500699}{6444360}a^{18}+\frac{1021219}{5155488}a^{17}-\frac{17369}{644436}a^{16}-\frac{224971}{6444360}a^{15}+\frac{550619}{1982880}a^{14}+\frac{683311}{1432080}a^{13}-\frac{2472623}{51554880}a^{12}-\frac{146213}{954720}a^{11}+\frac{240473}{537030}a^{10}+\frac{1069177}{2864160}a^{9}+\frac{13993}{110160}a^{8}+\frac{37}{39780}a^{7}+\frac{67471}{238680}a^{6}-\frac{2503}{8840}a^{5}-\frac{313}{39780}a^{4}+\frac{1711}{6630}a^{3}+\frac{233}{663}a^{2}+\frac{29}{442}a-\frac{213}{1105}$, $\frac{1}{10620305280}a^{29}-\frac{31}{5310152640}a^{28}-\frac{13115}{1062030528}a^{27}-\frac{281}{9833616}a^{26}+\frac{89831}{1327538160}a^{25}-\frac{41909}{165942270}a^{24}+\frac{100537}{68078880}a^{23}-\frac{3080477}{2655076320}a^{22}-\frac{10846247}{3540101760}a^{21}-\frac{2059253}{590016960}a^{20}+\frac{208001983}{2655076320}a^{19}-\frac{13387781}{331884540}a^{18}-\frac{42335}{6555744}a^{17}-\frac{199972777}{442512720}a^{16}-\frac{1157883029}{5310152640}a^{15}+\frac{1322824483}{2655076320}a^{14}+\frac{3995785801}{10620305280}a^{13}-\frac{556027477}{5310152640}a^{12}-\frac{34752703}{177005088}a^{11}+\frac{174579797}{442512720}a^{10}+\frac{69499889}{147504240}a^{9}+\frac{31051717}{73752120}a^{8}+\frac{4142287}{24584040}a^{7}-\frac{567947}{3073005}a^{6}+\frac{608783}{1365780}a^{5}+\frac{86779}{1365780}a^{4}-\frac{26161}{52530}a^{3}-\frac{5147}{10506}a^{2}-\frac{62433}{227630}a-\frac{1913}{6695}$, $\frac{1}{56\!\cdots\!80}a^{30}+\frac{10556179}{18\!\cdots\!60}a^{29}+\frac{11515517803}{14\!\cdots\!20}a^{28}+\frac{628349476111}{33\!\cdots\!44}a^{27}-\frac{55141026504313}{14\!\cdots\!20}a^{26}-\frac{893889347059}{35\!\cdots\!80}a^{25}-\frac{9029550811823}{14\!\cdots\!20}a^{24}-\frac{1301059037125}{29\!\cdots\!19}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{668770898016763}{63\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!87}{28\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!89}{14\!\cdots\!20}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!40}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!21}{83\!\cdots\!60}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!51}{56\!\cdots\!48}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!91}{63\!\cdots\!72}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!49}{56\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!19}{37\!\cdots\!32}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!01}{94\!\cdots\!80}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!43}{15\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{78\!\cdots\!23}{31\!\cdots\!36}a^{10}-\frac{216197970145843}{26\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{245588390197741}{10\!\cdots\!80}a^{8}+\frac{522636676664147}{21\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{6517614342479}{109784576823597}a^{6}+\frac{363758997961751}{731897178823980}a^{5}-\frac{91316574805}{827002461948}a^{4}-\frac{8374457789739}{20330477189555}a^{3}-\frac{8693239495658}{20330477189555}a^{2}+\frac{8383053890937}{40660954379110}a+\frac{1897953289512}{20330477189555}$, $\frac{1}{92\!\cdots\!40}a^{31}+\frac{80\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{69\!\cdots\!09}{11\!\cdots\!80}a^{29}-\frac{21\!\cdots\!81}{77\!\cdots\!52}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!60}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!40}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!59}{77\!\cdots\!20}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!12}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!09}{30\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{71\!\cdots\!83}{38\!\cdots\!60}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!40}a^{20}-\frac{45\!\cdots\!79}{77\!\cdots\!20}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!03}{64\!\cdots\!60}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!48}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!69}{92\!\cdots\!40}a^{15}-\frac{89\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!12}a^{14}-\frac{38\!\cdots\!27}{51\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{10\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!40}a^{12}+\frac{77\!\cdots\!41}{49\!\cdots\!92}a^{11}-\frac{22\!\cdots\!93}{21\!\cdots\!16}a^{10}-\frac{63\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!97}{21\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!25}{59\!\cdots\!62}a^{7}-\frac{55\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!40}a^{6}+\frac{66\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!48}a^{5}-\frac{20\!\cdots\!68}{29\!\cdots\!55}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!73}{19\!\cdots\!40}a^{3}-\frac{70\!\cdots\!82}{16\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{21\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!45}a-\frac{22\!\cdots\!22}{33\!\cdots\!09}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, a^7, a^8, a^9, a^10, a^11, a^12, a^13, a^14, a^15, a^16, a^17, 1/6*a^18 - 1/3*a^16 + 1/3*a^15 + 1/3*a^14 + 1/3*a^13 - 1/3*a^12 - 1/2*a^10 - 1/3*a^8 - 1/3*a^7 + 1/3*a^6 - 1/3*a^5 - 1/3*a^4 + 1/6*a^2, 1/6*a^19 - 1/3*a^17 + 1/3*a^16 + 1/3*a^15 + 1/3*a^14 - 1/3*a^13 - 1/2*a^11 - 1/3*a^9 - 1/3*a^8 + 1/3*a^7 - 1/3*a^6 - 1/3*a^5 + 1/6*a^3, 1/36*a^20 - 1/18*a^18 + 2/9*a^17 + 2/9*a^16 - 4/9*a^15 + 1/9*a^14 + 5/12*a^12 + 4/9*a^10 - 2/9*a^9 + 2/9*a^8 - 2/9*a^7 - 1/18*a^6 - 11/36*a^4 + 1/3*a^3, 1/36*a^21 - 1/18*a^19 + 1/18*a^18 + 2/9*a^17 - 1/9*a^16 - 2/9*a^15 - 1/3*a^14 + 1/12*a^13 + 1/3*a^12 + 4/9*a^11 + 5/18*a^10 + 2/9*a^9 + 1/9*a^8 + 5/18*a^7 - 1/3*a^6 + 1/36*a^5 - 1/3*a^4 - 1/6*a^2, 1/216*a^22 - 1/108*a^20 + 1/27*a^19 + 1/27*a^18 + 7/27*a^17 + 19/54*a^16 - 1/2*a^15 + 17/72*a^14 + 1/3*a^13 + 11/27*a^12 - 11/54*a^11 - 25/54*a^10 + 8/27*a^9 - 37/108*a^8 + 1/3*a^7 + 25/216*a^6 + 1/18*a^5 + 1/3*a^4 - 1/2*a^3, 1/216*a^23 - 1/108*a^21 + 1/108*a^20 + 1/27*a^19 - 1/54*a^18 + 7/54*a^17 - 1/18*a^16 + 1/72*a^15 - 4/9*a^14 - 7/27*a^13 + 5/108*a^12 - 25/54*a^11 - 4/27*a^10 - 13/108*a^9 - 2/9*a^8 + 1/216*a^7 + 4/9*a^6 + 17/36*a^4 - 1/3*a^3 - 1/3*a^2, 1/1296*a^24 - 1/648*a^22 + 1/162*a^21 + 1/162*a^20 + 7/162*a^19 + 19/324*a^18 - 1/12*a^17 + 161/432*a^16 - 1/9*a^15 - 35/81*a^14 - 11/324*a^13 - 79/324*a^12 + 4/81*a^11 + 179/648*a^10 - 1/9*a^9 + 241/1296*a^8 - 35/108*a^7 + 2/9*a^6 + 1/4*a^5 - 1/2*a^4, 1/2592*a^25 - 1/1296*a^23 - 1/648*a^22 - 7/648*a^21 + 1/324*a^20 + 13/648*a^19 + 7/216*a^18 - 13/32*a^17 - 13/54*a^16 + 1/162*a^15 + 38/81*a^14 - 107/324*a^13 + 119/324*a^12 + 155/1296*a^11 + 2/27*a^10 - 239/2592*a^9 - 19/72*a^8 - 11/36*a^7 + 43/108*a^6 - 35/72*a^5 - 1/36*a^4 - 1/3*a^3 - 1/3*a^2 - 1/2*a, 1/7776*a^26 - 1/3888*a^24 + 1/972*a^23 + 1/972*a^22 + 7/972*a^21 + 19/1944*a^20 - 1/72*a^19 + 161/2592*a^18 + 4/27*a^17 - 35/486*a^16 - 659/1944*a^15 - 403/1944*a^14 + 85/486*a^13 + 1475/3888*a^12 + 17/54*a^11 - 1055/7776*a^10 - 35/648*a^9 + 1/27*a^8 + 1/24*a^7 - 1/4*a^6 - 1/2*a^5 - 1/2*a^4 + 1/6*a^2, 1/15552*a^27 - 1/7776*a^25 - 1/3888*a^24 - 7/3888*a^23 + 1/1944*a^22 + 13/3888*a^21 + 7/1296*a^20 - 13/192*a^19 - 13/324*a^18 - 161/972*a^17 - 62/243*a^16 - 431/1944*a^15 + 119/1944*a^14 + 155/7776*a^13 - 26/81*a^12 - 2831/15552*a^11 + 197/432*a^10 - 47/216*a^9 + 259/648*a^8 - 107/432*a^7 + 35/216*a^6 + 4/9*a^5 - 2/9*a^4 + 5/12*a^3 + 1/6*a^2, 1/51554880*a^28 - 101/8592480*a^27 - 193/25777440*a^26 + 229/1982880*a^25 - 3547/12888720*a^24 - 1837/991440*a^23 + 1969/991440*a^22 + 5351/859248*a^21 + 15331/5728320*a^20 + 7561/190944*a^19 + 500699/6444360*a^18 + 1021219/5155488*a^17 - 17369/644436*a^16 - 224971/6444360*a^15 + 550619/1982880*a^14 + 683311/1432080*a^13 - 2472623/51554880*a^12 - 146213/954720*a^11 + 240473/537030*a^10 + 1069177/2864160*a^9 + 13993/110160*a^8 + 37/39780*a^7 + 67471/238680*a^6 - 2503/8840*a^5 - 313/39780*a^4 + 1711/6630*a^3 + 233/663*a^2 + 29/442*a - 213/1105, 1/10620305280*a^29 - 31/5310152640*a^28 - 13115/1062030528*a^27 - 281/9833616*a^26 + 89831/1327538160*a^25 - 41909/165942270*a^24 + 100537/68078880*a^23 - 3080477/2655076320*a^22 - 10846247/3540101760*a^21 - 2059253/590016960*a^20 + 208001983/2655076320*a^19 - 13387781/331884540*a^18 - 42335/6555744*a^17 - 199972777/442512720*a^16 - 1157883029/5310152640*a^15 + 1322824483/2655076320*a^14 + 3995785801/10620305280*a^13 - 556027477/5310152640*a^12 - 34752703/177005088*a^11 + 174579797/442512720*a^10 + 69499889/147504240*a^9 + 31051717/73752120*a^8 + 4142287/24584040*a^7 - 567947/3073005*a^6 + 608783/1365780*a^5 + 86779/1365780*a^4 - 26161/52530*a^3 - 5147/10506*a^2 - 62433/227630*a - 1913/6695, 1/5691232462535268480*a^30 + 10556179/1897077487511756160*a^29 + 11515517803/1422808115633817120*a^28 + 628349476111/33477838014913344*a^27 - 55141026504313/1422808115633817120*a^26 - 893889347059/355702028908454280*a^25 - 9029550811823/1422808115633817120*a^24 - 1301059037125/2964183574237119*a^23 + 1873212109485829/1897077487511756160*a^22 + 668770898016763/632359162503918720*a^21 - 16139437209096787/2845616231267634240*a^20 + 114125039789061889/1422808115633817120*a^19 + 6312778282101481/177851014454227140*a^18 - 19887438619059121/83694595037283360*a^17 + 173496966638486251/569123246253526848*a^16 + 20025544263409991/63235916250391872*a^15 + 1950710959160900149/5691232462535268480*a^14 + 153867258191753419/379415497502351232*a^13 - 87768109241455601/948538743755878080*a^12 + 25899800460481243/158089790625979680*a^11 - 7855235470685423/31617958125195936*a^10 - 216197970145843/2634829843766328*a^9 + 245588390197741/1013396093756280*a^8 + 522636676664147/2195691536471940*a^7 - 6517614342479/109784576823597*a^6 + 363758997961751/731897178823980*a^5 - 91316574805/827002461948*a^4 - 8374457789739/20330477189555*a^3 - 8693239495658/20330477189555*a^2 + 8383053890937/40660954379110*a + 1897953289512/20330477189555, 1/9278588148848302755311118537028683298013758072170240*a^31 + 80773350484898781029731078931/289955879651509461103472454282146353062929939755320*a^30 + 6930530148625419969232410323741142739109/1159823518606037844413889817128585412251719759021280*a^29 - 216360118744201270832489028190546228597181/77321567907069189627592654475239027483447983934752*a^28 + 21978538306572577066295434641686578233490773367/2319647037212075688827779634257170824503439518042560*a^27 + 25793122272042812021461102574963288773967430151/579911759303018922206944908564292706125859879510640*a^26 + 87321629877848613682337914237245234791057900059/773215679070691896275926544752390274834479839347520*a^25 - 37592347764082578656458258605071264388188843347/463929407442415137765555926851434164900687903608512*a^24 + 1985405476278162968451242874101235703269960049609/3092862716282767585103706179009561099337919357390080*a^23 + 712461575018233747838466987692876841716563217683/386607839535345948137963272376195137417239919673760*a^22 - 45845488026028397320381944281638088473402686971737/4639294074424151377655559268514341649006879036085120*a^21 - 43273750178690160562404488730324120433695683849/39316051478170774386911519224697810584804059627840*a^20 - 4598693338750491093162025484019857420941725572279/773215679070691896275926544752390274834479839347520*a^19 + 2572573330147282849087017815042215692726514226603/64434639922557658022993878729365856236206653278960*a^18 - 8297823966169132302340913970566786451843731851669/71373754991140790425470142592528333061644292862848*a^17 + 1650698283285155356070205061967538079621888615183/57991175930301892220694490856429270612585987951064*a^16 + 1460456244149680454386530746256949399261880420002669/9278588148848302755311118537028683298013758072170240*a^15 - 89680195898803326686119308664598170874928013276429/463929407442415137765555926851434164900687903608512*a^14 - 3892353588544989069134768552238235693965807692827/515477119380461264183951029834926849889653226231680*a^13 - 102551927440435222473374401437753693008289119443357/257738559690230632091975514917463424944826613115840*a^12 + 77399189663945793840181748692072377826983757541/495651076327366600176875990225891201816974255992*a^11 - 2290355944846786308572633801946267110201528593/21057071870116881706860744682799299423596945516*a^10 - 6385526078416277141820366646390058255745081589399/42956426615038438681995919152910570824137768852640*a^9 + 10420452735907507899223798438258342978880556412097/21478213307519219340997959576455285412068884426320*a^8 + 15926725982723115497405282562252959933949153725/59661703631997831502772109934598015033524678962*a^7 - 557277330180377570870947325888092697993498049679/1193234072639956630055442198691960300670493579240*a^6 + 66408209763027289362992320140167636868583895021/238646814527991326011088439738392060134098715848*a^5 - 208638423653071133608102138585332823249162468/2924593315294011348175103428166569364388464655*a^4 - 69619932506781625166307355503558728106286265273/198872345439992771675907033115326716778415596540*a^3 - 7014201647037662982354518507566594023252402982/16572695453332730972992252759610559731534633045*a^2 + 2121136116642975340463333073797681201359339161/16572695453332730972992252759610559731534633045*a - 224152501093487781634039115523303792603964722/3314539090666546194598450551922111946306926609

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$2$

Class group and class number

$C_{2}\times C_{6}$, which has order $12$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$15$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( -\frac{2382040416463893287579988002935126354438348091}{515477119380461264183951029834926849889653226231680} a^{31} + \frac{3682789795177403138638270834516944070227363203}{773215679070691896275926544752390274834479839347520} a^{30} - \frac{20967387111652544489826270846085005876635986313}{515477119380461264183951029834926849889653226231680} a^{29} + \frac{31243637747961692447976143633798921308980754199}{193303919767672974068981636188097568708619959836880} a^{28} - \frac{63129155110638127433087581505365914669819533501}{193303919767672974068981636188097568708619959836880} a^{27} + \frac{360364649717040292041352515912294909958117011551}{386607839535345948137963272376195137417239919673760} a^{26} - \frac{574748503058125071600352040260274794414533356249}{193303919767672974068981636188097568708619959836880} a^{25} + \frac{1849545817408832893584982932525108163474351617499}{386607839535345948137963272376195137417239919673760} a^{24} - \frac{545420148945689144129036656432652336071582454333}{57275235486717918242661225537214094432183691803520} a^{23} + \frac{6286740477284044237740641871516511148186478106421}{257738559690230632091975514917463424944826613115840} a^{22} - \frac{17737972569223884991294154622025789970222656832869}{515477119380461264183951029834926849889653226231680} a^{21} + \frac{4791806337799625457048373758245893324477026896171}{193303919767672974068981636188097568708619959836880} a^{20} - \frac{82060165737750402102115092497127928595837112474109}{773215679070691896275926544752390274834479839347520} a^{19} + \frac{2168959825369738001735847882358002015822799622527}{19330391976767297406898163618809756870861995983688} a^{18} + \frac{106766355635967619589371429383246572278464215296367}{773215679070691896275926544752390274834479839347520} a^{17} + \frac{69272108479477756457391396122135452470665863441249}{386607839535345948137963272376195137417239919673760} a^{16} - \frac{391365008615154854387254896451022970580844462880821}{515477119380461264183951029834926849889653226231680} a^{15} - \frac{5016225456734192320077182764748934845515474208641}{2621070098544718292460767948313187372320270641856} a^{14} - \frac{55874833171130120593100750802215200986053984886629}{34365141292030750945596735322328456659310215082112} a^{13} + \frac{21273441970050799169440881522061949394143181274337}{8591285323007687736399183830582114164827553770528} a^{12} + \frac{475317329405255026660982790262069946590404977681371}{85912853230076877363991838305821141648275537705280} a^{11} + \frac{11162586685496737716708344994002636716670682759527}{3790272936621038707234934042903873896247450192880} a^{10} - \frac{1066467453304509977653620069842689783439158389185}{178985110895993494508316329803794045100574036886} a^{9} - \frac{7019431277068432227719095506554039001473885868985}{715940443583973978033265319215176180402296147544} a^{8} - \frac{11238824635581134298565346081203266552079755987179}{2386468145279913260110884397383920601340987158480} a^{7} + \frac{87157418284967221709688369452342959796978943055}{13258156362666184778393802207688447785227706436} a^{6} + \frac{2263822084368440320266593843967294364176777920747}{198872345439992771675907033115326716778415596540} a^{5} + \frac{47799669900353767156719485395406138420344795301}{11698373261176045392700413712666277457553858620} a^{4} - \frac{494815471693783692344320667845565975084605181541}{66290781813330923891969011038442238926138532180} a^{3} - \frac{143399542719934548484754326616288733192503896177}{16572695453332730972992252759610559731534633045} a^{2} - \frac{67967154683506895197862508698305376868873332343}{33145390906665461945984505519221119463069266090} a + \frac{57098645926766317052443680808417814698553965638}{16572695453332730972992252759610559731534633045} \) -(2382040416463893287579988002935126354438348091)/(515477119380461264183951029834926849889653226231680)a^(31) + (3682789795177403138638270834516944070227363203)/(773215679070691896275926544752390274834479839347520)a^(30) - (20967387111652544489826270846085005876635986313)/(515477119380461264183951029834926849889653226231680)a^(29) + (31243637747961692447976143633798921308980754199)/(193303919767672974068981636188097568708619959836880)a^(28) - (63129155110638127433087581505365914669819533501)/(193303919767672974068981636188097568708619959836880)a^(27) + (360364649717040292041352515912294909958117011551)/(386607839535345948137963272376195137417239919673760)a^(26) - (574748503058125071600352040260274794414533356249)/(193303919767672974068981636188097568708619959836880)a^(25) + (1849545817408832893584982932525108163474351617499)/(386607839535345948137963272376195137417239919673760)a^(24) - (545420148945689144129036656432652336071582454333)/(57275235486717918242661225537214094432183691803520)a^(23) + (6286740477284044237740641871516511148186478106421)/(257738559690230632091975514917463424944826613115840)a^(22) - (17737972569223884991294154622025789970222656832869)/(515477119380461264183951029834926849889653226231680)a^(21) + (4791806337799625457048373758245893324477026896171)/(193303919767672974068981636188097568708619959836880)a^(20) - (82060165737750402102115092497127928595837112474109)/(773215679070691896275926544752390274834479839347520)a^(19) + (2168959825369738001735847882358002015822799622527)/(19330391976767297406898163618809756870861995983688)a^(18) + (106766355635967619589371429383246572278464215296367)/(773215679070691896275926544752390274834479839347520)a^(17) + (69272108479477756457391396122135452470665863441249)/(386607839535345948137963272376195137417239919673760)a^(16) - (391365008615154854387254896451022970580844462880821)/(515477119380461264183951029834926849889653226231680)a^(15) - (5016225456734192320077182764748934845515474208641)/(2621070098544718292460767948313187372320270641856)a^(14) - (55874833171130120593100750802215200986053984886629)/(34365141292030750945596735322328456659310215082112)a^(13) + (21273441970050799169440881522061949394143181274337)/(8591285323007687736399183830582114164827553770528)a^(12) + (475317329405255026660982790262069946590404977681371)/(85912853230076877363991838305821141648275537705280)a^(11) + (11162586685496737716708344994002636716670682759527)/(3790272936621038707234934042903873896247450192880)a^(10) - (1066467453304509977653620069842689783439158389185)/(178985110895993494508316329803794045100574036886)a^(9) - (7019431277068432227719095506554039001473885868985)/(715940443583973978033265319215176180402296147544)a^(8) - (11238824635581134298565346081203266552079755987179)/(2386468145279913260110884397383920601340987158480)a^(7) + (87157418284967221709688369452342959796978943055)/(13258156362666184778393802207688447785227706436)a^(6) + (2263822084368440320266593843967294364176777920747)/(198872345439992771675907033115326716778415596540)a^(5) + (47799669900353767156719485395406138420344795301)/(11698373261176045392700413712666277457553858620)a^(4) - (494815471693783692344320667845565975084605181541)/(66290781813330923891969011038442238926138532180)a^(3) - (143399542719934548484754326616288733192503896177)/(16572695453332730972992252759610559731534633045)a^(2) - (67967154683506895197862508698305376868873332343)/(33145390906665461945984505519221119463069266090)*a + (57098645926766317052443680808417814698553965638)/(16572695453332730972992252759610559731534633045) (order $24$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	$\frac{18\!\cdots\!13}{30\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{96\!\cdots\!37}{15\!\cdots\!40}a^{29}-\frac{53\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!60}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!60}a^{27}-\frac{37\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!60}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!27}{23\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{63\!\cdots\!59}{30\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!11}{15\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{60\!\cdots\!91}{77\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!83}{39\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!80}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!61}{23\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{20\!\cdots\!07}{92\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!21}{77\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!31}{77\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!55}a^{10}+\frac{68\!\cdots\!51}{42\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{23\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!09}{14\!\cdots\!88}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!77}{89\!\cdots\!30}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{47\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!88}{16\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{55\!\cdots\!93}{66\!\cdots\!18}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!37}{33\!\cdots\!90}a+\frac{40\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{10\!\cdots\!39}{65\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!36}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!60}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!11}{39\!\cdots\!40}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!67}{19\!\cdots\!20}a^{27}-\frac{90\!\cdots\!49}{19\!\cdots\!20}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!57}{98\!\cdots\!60}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!21}{19\!\cdots\!20}a^{24}+\frac{66\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!39}{26\!\cdots\!60}a^{22}+\frac{31\!\cdots\!83}{13\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{67\!\cdots\!39}{19\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!29}{19\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{96\!\cdots\!41}{98\!\cdots\!96}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!77}{39\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!87}{65\!\cdots\!64}a^{15}+\frac{40\!\cdots\!41}{78\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!51}{13\!\cdots\!80}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!64}a^{12}-\frac{66\!\cdots\!99}{43\!\cdots\!76}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!77}{75\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!09}{18\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!29}{36\!\cdots\!80}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!16}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!40}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!95}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!16}{14\!\cdots\!35}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!30}a^{3}+\frac{17\!\cdots\!88}{84\!\cdots\!65}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!91}{28\!\cdots\!55}a+\frac{11\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!55}$, $\frac{12\!\cdots\!57}{51\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{42\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!40}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!60}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!40}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!49}{28\!\cdots\!20}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{31\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!40}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!03}{51\!\cdots\!80}a^{21}-\frac{43\!\cdots\!51}{57\!\cdots\!40}a^{20}+\frac{34\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{63\!\cdots\!41}{28\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{44\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!60}a^{17}-\frac{79\!\cdots\!83}{23\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{98\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!67}{92\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{75\!\cdots\!13}{10\!\cdots\!36}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!84}a^{12}-\frac{46\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!83}{75\!\cdots\!60}a^{10}+\frac{94\!\cdots\!83}{47\!\cdots\!96}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!15}{21\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!59}{71\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!31}{71\!\cdots\!44}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!88}{14\!\cdots\!05}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{73\!\cdots\!11}{19\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{89\!\cdots\!72}{49\!\cdots\!35}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!61}{33\!\cdots\!90}a-\frac{21\!\cdots\!61}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{14\!\cdots\!61}{92\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{79\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!40}a^{28}+\frac{40\!\cdots\!89}{23\!\cdots\!60}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!11}{11\!\cdots\!80}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!20}a^{25}-\frac{71\!\cdots\!33}{23\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!49}{30\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{24\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!37}{28\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{91\!\cdots\!69}{23\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{53\!\cdots\!69}{64\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!25}{77\!\cdots\!52}a^{18}+\frac{38\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{43\!\cdots\!93}{23\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!81}{92\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{35\!\cdots\!71}{92\!\cdots\!24}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!47}{80\!\cdots\!87}a^{13}-\frac{36\!\cdots\!81}{51\!\cdots\!68}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!57}{18\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!37}{85\!\cdots\!28}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!99}{71\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!17}{89\!\cdots\!43}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!73}{39\!\cdots\!80}a^{5}-\frac{61\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!60}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!38}{16\!\cdots\!45}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!29}{99\!\cdots\!70}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!21}{33\!\cdots\!90}a-\frac{18\!\cdots\!81}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{29\!\cdots\!75}{23\!\cdots\!56}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!83}{15\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{30\!\cdots\!79}{23\!\cdots\!60}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!47}{23\!\cdots\!60}a^{28}+\frac{76\!\cdots\!51}{72\!\cdots\!30}a^{27}-\frac{37\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!80}a^{26}+\frac{56\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{68\!\cdots\!23}{38\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!29}{64\!\cdots\!60}a^{23}-\frac{14\!\cdots\!01}{15\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!29}{28\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!40}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!40}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!47}{14\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{27\!\cdots\!21}{96\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!23}{16\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!13}{44\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!60}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!53}{23\!\cdots\!48}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{54\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!30}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!79}{38\!\cdots\!95}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!72}{16\!\cdots\!45}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!93}{16\!\cdots\!45}a+\frac{13\!\cdots\!97}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{11\!\cdots\!43}{78\!\cdots\!80}a^{31}+\frac{39\!\cdots\!11}{14\!\cdots\!60}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!56}a^{28}-\frac{12\!\cdots\!29}{42\!\cdots\!40}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!41}{64\!\cdots\!60}a^{26}+\frac{82\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!40}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!07}{11\!\cdots\!80}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!80}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!20}a^{22}-\frac{51\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!20}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!31}{19\!\cdots\!80}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!60}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{85\!\cdots\!53}{59\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{75\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!63}{38\!\cdots\!60}a^{12}-\frac{48\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{90\!\cdots\!65}{15\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{77\!\cdots\!39}{21\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!29}{21\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!87}{71\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{30\!\cdots\!49}{39\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{68\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!45}a^{5}-\frac{67\!\cdots\!63}{59\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!03}{66\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!23}{99\!\cdots\!70}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!97}{33\!\cdots\!90}a+\frac{10\!\cdots\!58}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{91\!\cdots\!01}{92\!\cdots\!40}a^{31}-\frac{50\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{45\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{45\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!20}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!91}{23\!\cdots\!60}a^{27}-\frac{27\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!80}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{88\!\cdots\!37}{30\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!83}{40\!\cdots\!35}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!12}a^{21}-\frac{29\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!71}{38\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!11}{96\!\cdots\!40}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!20}a^{17}-\frac{48\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!64}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!17}{92\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{94\!\cdots\!71}{23\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!49}{77\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!47}{77\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!49}{85\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!41}{37\!\cdots\!80}a^{10}+\frac{85\!\cdots\!37}{66\!\cdots\!56}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!61}{21\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!71}{71\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{22\!\cdots\!45}{59\!\cdots\!62}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{95\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!40}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!93}{49\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!90}{99\!\cdots\!27}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!99}{33\!\cdots\!90}a+\frac{89\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!65}$, $\frac{44\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{30\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{98\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!52}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!64}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!21}{23\!\cdots\!56}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!60}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!56}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!40}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!25}{30\!\cdots\!08}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!20}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!28}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!73}{77\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{79\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!84}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!63}{23\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{44\!\cdots\!49}{30\!\cdots\!08}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!97}{14\!\cdots\!80}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!01}{14\!\cdots\!40}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!13}{14\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!67}{71\!\cdots\!40}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!19}{23\!\cdots\!80}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!51}{44\!\cdots\!15}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!01}{23\!\cdots\!48}a^{5}-\frac{11\!\cdots\!89}{19\!\cdots\!70}a^{4}+\frac{91\!\cdots\!93}{19\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!55}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!45}a-\frac{22\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{27\!\cdots\!81}{30\!\cdots\!80}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!59}{21\!\cdots\!32}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!40}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!73}{37\!\cdots\!20}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!31}{38\!\cdots\!60}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!55}{96\!\cdots\!44}a^{26}+\frac{61\!\cdots\!17}{77\!\cdots\!20}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!01}{51\!\cdots\!68}a^{24}+\frac{69\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!72}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!87}{16\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{52\!\cdots\!81}{38\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{32\!\cdots\!97}{77\!\cdots\!20}a^{19}-\frac{42\!\cdots\!07}{77\!\cdots\!52}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!99}{64\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!49}{23\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!45}{39\!\cdots\!36}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!09}{42\!\cdots\!40}a^{13}-\frac{68\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{35\!\cdots\!13}{42\!\cdots\!40}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!99}{42\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!27}{18\!\cdots\!40}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!13}{89\!\cdots\!30}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{36\!\cdots\!87}{26\!\cdots\!72}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!24}{87\!\cdots\!65}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!13}{19\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!93}{99\!\cdots\!70}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!19}{33\!\cdots\!90}a-\frac{29\!\cdots\!33}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{20\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!20}a^{31}+\frac{38\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!40}a^{30}+\frac{80\!\cdots\!43}{28\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{38\!\cdots\!89}{96\!\cdots\!40}a^{28}-\frac{23\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!60}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!47}{36\!\cdots\!15}a^{26}-\frac{59\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!40}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!80}a^{24}-\frac{10\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!40}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!20}a^{22}-\frac{24\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!12}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!80}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!20}a^{19}+\frac{56\!\cdots\!57}{14\!\cdots\!76}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!12}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!40}a^{16}-\frac{28\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!20}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!80}a^{14}+\frac{28\!\cdots\!17}{51\!\cdots\!68}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!77}{51\!\cdots\!68}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!60}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!60}a^{9}+\frac{29\!\cdots\!77}{21\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!83}{71\!\cdots\!40}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!99}{13\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!77}{99\!\cdots\!70}a^{5}-\frac{98\!\cdots\!13}{38\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!53}{19\!\cdots\!40}a^{3}+\frac{71\!\cdots\!68}{49\!\cdots\!35}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!39}{16\!\cdots\!45}a+\frac{28\!\cdots\!68}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{38\!\cdots\!19}{77\!\cdots\!20}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!11}{51\!\cdots\!80}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!73}{30\!\cdots\!08}a^{29}-\frac{44\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!40}a^{28}+\frac{58\!\cdots\!99}{15\!\cdots\!04}a^{27}-\frac{53\!\cdots\!88}{44\!\cdots\!15}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!29}{32\!\cdots\!80}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!99}{38\!\cdots\!60}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!57}{77\!\cdots\!20}a^{23}-\frac{51\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!40}a^{22}+\frac{76\!\cdots\!63}{15\!\cdots\!40}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!97}{38\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!69}{38\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{31\!\cdots\!71}{19\!\cdots\!80}a^{18}+\frac{75\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!05}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!23}{77\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{25\!\cdots\!11}{38\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{33\!\cdots\!79}{15\!\cdots\!40}a^{14}+\frac{16\!\cdots\!31}{51\!\cdots\!80}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!63}{96\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!84}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!33}{75\!\cdots\!60}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!89}{53\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!37}{21\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!25}{35\!\cdots\!72}a^{7}+\frac{31\!\cdots\!71}{89\!\cdots\!30}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!27}{19\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!30}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!29}{49\!\cdots\!35}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!66}{33\!\cdots\!09}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!41}{33\!\cdots\!90}a+\frac{82\!\cdots\!98}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{75\!\cdots\!01}{31\!\cdots\!72}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!71}{15\!\cdots\!04}a^{30}+\frac{87\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!57}{23\!\cdots\!60}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!81}{23\!\cdots\!60}a^{27}-\frac{28\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!80}a^{26}+\frac{36\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!12}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!21}{51\!\cdots\!68}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!72}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!79}{95\!\cdots\!20}a^{22}-\frac{83\!\cdots\!03}{23\!\cdots\!60}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!29}{14\!\cdots\!60}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!80}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!80}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!55}{92\!\cdots\!24}a^{17}-\frac{37\!\cdots\!03}{29\!\cdots\!20}a^{16}+\frac{34\!\cdots\!31}{92\!\cdots\!40}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!03}{59\!\cdots\!40}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!20}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!31}{95\!\cdots\!20}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!79}{75\!\cdots\!60}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!51}{23\!\cdots\!80}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!77}{10\!\cdots\!16}a^{8}+\frac{53\!\cdots\!97}{47\!\cdots\!96}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!91}{59\!\cdots\!20}a^{6}-\frac{73\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!24}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!08}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!23}{99\!\cdots\!70}a^{3}+\frac{49\!\cdots\!10}{76\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!67}{16\!\cdots\!45}a+\frac{85\!\cdots\!59}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{18\!\cdots\!11}{77\!\cdots\!40}a^{31}+\frac{65\!\cdots\!63}{16\!\cdots\!80}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!59}{90\!\cdots\!20}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!36}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!71}{13\!\cdots\!80}a^{27}-\frac{97\!\cdots\!89}{34\!\cdots\!20}a^{26}+\frac{60\!\cdots\!31}{68\!\cdots\!40}a^{25}-\frac{30\!\cdots\!61}{68\!\cdots\!40}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!57}{16\!\cdots\!80}a^{23}-\frac{67\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!72}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!11}{90\!\cdots\!20}a^{21}+\frac{63\!\cdots\!63}{34\!\cdots\!92}a^{20}+\frac{81\!\cdots\!43}{68\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!71}{34\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!31}{68\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!87}{13\!\cdots\!80}a^{16}-\frac{67\!\cdots\!43}{75\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!60}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!63}{90\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!40}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!01}{75\!\cdots\!60}a^{11}-\frac{15\!\cdots\!37}{31\!\cdots\!20}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!20}a^{9}+\frac{24\!\cdots\!31}{42\!\cdots\!20}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!79}{35\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!39}{77\!\cdots\!80}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!87}{23\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{24\!\cdots\!73}{29\!\cdots\!70}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!51}{29\!\cdots\!55}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!41}{58\!\cdots\!31}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!27}{97\!\cdots\!85}a+\frac{91\!\cdots\!02}{19\!\cdots\!77}$, $\frac{59\!\cdots\!39}{23\!\cdots\!60}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!20}a^{30}+\frac{63\!\cdots\!99}{23\!\cdots\!60}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!97}{23\!\cdots\!60}a^{28}+\frac{21\!\cdots\!39}{85\!\cdots\!80}a^{27}-\frac{95\!\cdots\!59}{12\!\cdots\!20}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!91}{14\!\cdots\!60}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!80}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!71}{39\!\cdots\!36}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!27}{10\!\cdots\!36}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{40\!\cdots\!67}{77\!\cdots\!52}a^{20}+\frac{27\!\cdots\!67}{23\!\cdots\!60}a^{19}-\frac{43\!\cdots\!83}{28\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!93}{96\!\cdots\!40}a^{17}-\frac{62\!\cdots\!07}{23\!\cdots\!60}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!17}{23\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!20}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!63}{77\!\cdots\!20}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!27}{38\!\cdots\!60}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!87}{51\!\cdots\!68}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!20}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!95}{28\!\cdots\!76}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!43}{21\!\cdots\!32}a^{8}+\frac{30\!\cdots\!87}{71\!\cdots\!40}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!24}a^{6}-\frac{46\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!40}a^{5}-\frac{43\!\cdots\!72}{97\!\cdots\!85}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!77}{66\!\cdots\!80}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!69}{33\!\cdots\!90}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!23}{33\!\cdots\!90}a+\frac{17\!\cdots\!89}{16\!\cdots\!45}$, $\frac{12\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!60}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!60}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!13}{27\!\cdots\!60}a^{29}-\frac{16\!\cdots\!53}{13\!\cdots\!80}a^{28}+\frac{98\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!60}a^{27}-\frac{43\!\cdots\!83}{56\!\cdots\!20}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!53}{34\!\cdots\!20}a^{25}-\frac{58\!\cdots\!44}{21\!\cdots\!95}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!13}{18\!\cdots\!24}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!41}{90\!\cdots\!20}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!41}{27\!\cdots\!60}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!63}{66\!\cdots\!20}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!93}{68\!\cdots\!40}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!51}{34\!\cdots\!20}a^{18}-\frac{88\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!60}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!67}{13\!\cdots\!80}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!60}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!63}{54\!\cdots\!72}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!13}{90\!\cdots\!20}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!01}{75\!\cdots\!60}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!71}{37\!\cdots\!80}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!52}a^{10}-\frac{39\!\cdots\!47}{19\!\cdots\!40}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!96}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!60}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!57}{21\!\cdots\!60}a^{6}-\frac{63\!\cdots\!53}{70\!\cdots\!20}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!02}{87\!\cdots\!65}a^{4}-\frac{39\!\cdots\!27}{58\!\cdots\!31}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!83}{19\!\cdots\!70}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!02}{97\!\cdots\!85}a+\frac{59\!\cdots\!97}{74\!\cdots\!45}$ 187221843410620739213961697333063209186754972013/3092862716282767585103706179009561099337919357390080a^31 - 310495401360188122772048358307686552457932044027/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^30 + 969195766027581171699937824417637675200576304237/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^29 - 5361620504748456392742514070396786398478290267183/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^28 + 12465992590200351562137838611029219885733261875191/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^27 - 3786622875521772883602579861769368636369058642997/231964703721207568882777963425717082450343951804256a^26 + 114062611447539499344558850220482704039531732615169/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^25 - 211801071343524644890888826627186603129680055812627/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^24 + 639554971089165500008066391224682106160451810434559/3092862716282767585103706179009561099337919357390080a^23 - 744058785707026150525530312953020996450878960083411/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^22 + 606157789690352029071147229647501889686708480238991/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^21 - 41814907841410830255311575680211332397229028841283/39316051478170774386911519224697810584804059627840a^20 + 3021374528822585786178361694730363610056031715236099/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^19 - 3456047948993815158270217138949495512859712110394847/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^18 + 6274202598915007324511946563910440213981423888609953/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^17 - 14348773597595305947765896428999988234986408310673661/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^16 + 1181985150311350824418572999321248447081224092046703/114550470973435836485322451074428188864367383607040a^15 + 20034458188802080001668892435928175989016258714431707/927858814884830275531111853702868329801375807217024a^14 + 24838491987419374894695387187939042686035842853415821/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^13 - 3659030263344610569153421906413661104557308655742431/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^12 - 14826640771247968181258639449759327217837149677724657/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^11 - 15216870090249531017703853173021097152346493523749/236892058538814919202183377681492118515465637055a^10 + 686685046902247758210192278324490035046306906643951/42956426615038438681995919152910570824137768852640a^9 + 232499374792127909862742820164120241603671261927915/2147821330751921934099795957645528541206888442632a^8 + 186847569632696914389303568648273904082154250087209/1431880887167947956066530638430352360804592295088a^7 + 2523998962282056475054000457055028538307030105977/894925554479967472541581649018970225502870184430a^6 - 112639163676246519579039152531561086692693680767211/1193234072639956630055442198691960300670493579240a^5 - 4735525711005864315999368597629097996308336453817/35095119783528136178101241137998832372661575860a^4 + 172161142288203138879101664983961849806593797988/16572695453332730972992252759610559731534633045a^3 + 558322675253936895884264301805612512588905331193/6629078181333092389196901103844223892613853218a^2 + 3449921649445528635318584198341098105389249789937/33145390906665461945984505519221119463069266090a + 407207625198469247273724367480335492812287872958/16572695453332730972992252759610559731534633045, 105419423302038035634357985371288849898453639/6552675246361795731151919870782968430800676604640a^31 - 302141312514686781740154103584557563193330507/15726420591268309754764607689879124233921623851136a^30 + 172097612295331026639190037107537793858904989/1008103884055660881715679980120456681661642554560a^29 - 25039182629291101128767000191587367272695214011/39316051478170774386911519224697810584804059627840a^28 + 29861161250779769208069563739331065184028309767/19658025739085387193455759612348905292402029813920a^27 - 90796467945306188447702272315227953646848616749/19658025739085387193455759612348905292402029813920a^26 + 136692396486816666960165120880209233028030101357/9829012869542693596727879806174452646201014906960a^25 - 524843781273460812180692085137575832242549407121/19658025739085387193455759612348905292402029813920a^24 + 66407220765951311762283070149032287556829901079/1092112541060299288525319978463828071800112767440a^23 - 3706168110911195918908795706470281912161404322639/26210700985447182924607679483131873723202706418560a^22 + 3122942523876359655367809317898084682029678108983/13105350492723591462303839741565936861601353209280a^21 - 6719998052656534437485542414425618611514526763239/19658025739085387193455759612348905292402029813920a^20 + 15648705445342413695078251101442822890577664597129/19658025739085387193455759612348905292402029813920a^19 - 961006959402214983214082012759912306874020677441/982901286954269359672787980617445264620101490696a^18 + 1579759381928578688479935340653284640725944195729/2457253217385673399181969951543613161550253726740a^17 - 78849057206038426944422098040758962391297851010577/39316051478170774386911519224697810584804059627840a^16 + 2109559199461361999712916085846263557960237442987/655267524636179573115191987078296843080067660464a^15 + 404085712862780184297675006839732007888208378686641/78632102956341548773823038449395621169608119255680a^14 + 113623650878992352869632164544223066395156921132751/13105350492723591462303839741565936861601353209280a^13 - 88118407085451940492209040498893704798784137845/48538335158235523934458665709503469857782789664a^12 - 6676393160177303971997289209197529045043103335299/436845016424119715410127991385531228720045106976a^11 - 124532230955032682832425011123412425511036089177/7557872256472659436161383934005730600692821920a^10 + 879022132058537518330014221312802715579096027109/182018756843383214754219996410638011966685461240a^9 + 10476061268228205007780195986303639319760372515429/364037513686766429508439992821276023933370922480a^8 + 408947030906012220533411864701040162661974659343/12134583789558880983614666427375867464445697416a^7 - 3334132644305417792859424061007729488479490861/2247145146214607589558271560625160641564018040a^6 - 61204415104363272760572653555342169668184482497/2528038289491433538253055505703305721759520295a^5 - 5435511929334076931300456709673987216127694116/148708134675966678720767970923723865985854135a^4 + 10320239060540150451537275348566380609642023423/1685358859660955692168703670468870481173013530a^3 + 17619027927352610664697482576518683804575495188/842679429830477846084351835234435240586506765a^2 + 7909235896379539345080258076306149436127227891/280893143276825948694783945078145080195502255a + 1164781745619028478634057535865424670566163964/280893143276825948694783945078145080195502255, 12154848041552593266324833894285991585789449257/515477119380461264183951029834926849889653226231680a^31 - 209714276173422658505112316135804613802658997821/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^30 + 422602468912847263445423250764655753898112036173/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^29 - 2578283661705404451759819130436466402693261891701/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^28 + 1689623296948598733436492924745635194892400345381/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^27 - 2438295630185542767914035663832711750512807189649/289955879651509461103472454282146353062929939755320a^26 + 14617106014510576796812261252278914229030114628409/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^25 - 31153583832539052374831973260378488720594852592447/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^24 + 181275234921030291307440761943259893010676271521617/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^23 - 415608202736248191101226472599560210868416330240657/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^22 + 253910265694358296784178252934936153351239064511003/515477119380461264183951029834926849889653226231680a^21 - 430534363644873225692131741132920336846578859501551/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^20 + 3461606876737701192822455336573600929668672907794439/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^19 - 63462028904748575335261613730105156894825239721941/28995587965150946110347245428214635306292993975532a^18 + 4402851797321348580323131331507857358356494723828253/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^17 - 7911746577070298630569705813617132762014814892909583/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^16 + 9853317411730010606897129870535797532315370632003901/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^15 + 3953423961176600317461990830619349201474963627195867/927858814884830275531111853702868329801375807217024a^14 + 753307373755176313507486906485431699519700612297613/103095423876092252836790205966985369977930645246336a^13 - 250208527677218278167082901026877033212630036932431/25773855969023063209197551491746342494482661311584a^12 - 4684026718365258321938251348395419721087716790831161/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^11 - 65417721079343695280748356295372464289031702691683/7580545873242077414469868085807747792494900385760a^10 + 9404089367739072143297647398562837917472295490283/477293629055982652022176879476784120268197431696a^9 + 69050392486850416384616957727807755480240949957515/2147821330751921934099795957645528541206888442632a^8 + 156464647836144592957887133728591450931806283945259/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^7 - 20440974466278174864906325323929590126409039276231/715940443583973978033265319215176180402296147544a^6 - 3942388220867462734091999356557538301162589133388/149154259079994578756930274836495037583811697405a^5 - 984042853064027553853710671294986131530412503701/35095119783528136178101241137998832372661575860a^4 + 7358671378778460150253541833899080951137484169611/198872345439992771675907033115326716778415596540a^3 + 890192554677458767086100995662051759299091551672/49718086359998192918976758278831679194603899135a^2 + 681298261233015905591391991757213280683231489561/33145390906665461945984505519221119463069266090a - 219042219029323775201025256060054256580998757661/16572695453332730972992252759610559731534633045, 146520838451211582243065507663375816673820814261/9278588148848302755311118537028683298013758072170240a^31 - 123989029043300986760530043857867142354431836851/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^30 + 797312410906862828615535019534051810900283692459/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^29 - 179311067105436848187683316342985505695089615509/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^28 + 4035226123758119617694896051699705675835223880889/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^27 - 5812772612185852746178789876808021194636205479211/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^26 + 11735557765193244694832975270341864566227198880997/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^25 - 71916780621208058528605022122286342479598579976733/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^24 + 206780377034756602110374407501960019362111160723549/3092862716282767585103706179009561099337919357390080a^23 - 240468995411485485890336319126342663694023142743427/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^22 + 80052373432667202894915932160637248736532455929937/289955879651509461103472454282146353062929939755320a^21 - 910864379292593078060127138505918535131291037011169/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^20 + 53999848034256741202996776628321893262019175025069/64434639922557658022993878729365856236206653278960a^19 - 92128783789297774881293202543745387580620955851225/77321567907069189627592654475239027483447983934752a^18 + 3848087296156616619251866568679439731812885514428171/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^17 - 4315848319029269291452354668599935689648517260404293/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^16 + 35660123607146487071175948706520454616577031365743781/9278588148848302755311118537028683298013758072170240a^15 + 3514480434130940842554328081528743602006076890722271/927858814884830275531111853702868329801375807217024a^14 + 4076717963088024075717586167855070477057823693147/805432999031970725287423484117073202952583165987a^13 - 360741897479236471727848382303913733088187664546081/51547711938046126418395102983492684988965322623168a^12 - 3576880965188228036175398708665735133701834510367021/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^11 - 13010735674089422026118682005359939263148648394657/1895136468310519353617467021451936948123725096440a^10 + 128966833161839059216057974330992300124689344590337/8591285323007687736399183830582114164827553770528a^9 + 52761516130581030680145540341230240819780950264943/2147821330751921934099795957645528541206888442632a^8 + 107430700034307879816738414405345230426586102877199/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^7 - 1787034281703632982961303135784086463005492531217/89492555447996747254158164901897022550287018443a^6 - 9177453546665146924110719994402370416024113357473/397744690879985543351814066230653433556831193080a^5 - 616204277369876499829192129704243171825375078191/35095119783528136178101241137998832372661575860a^4 + 413738638361509486716285788655992812088580850638/16572695453332730972992252759610559731534633045a^3 + 1635293083956082313326335882295332339272936090329/99436172719996385837953516557663358389207798270a^2 + 399504934395191355220849237857681050241516537321/33145390906665461945984505519221119463069266090a - 183829449476097731386725820227942480442425696881/16572695453332730972992252759610559731534633045, 29608411288689628098145435920826457543063982875/231964703721207568882777963425717082450343951804256a^31 - 191153588653942807392142164023721277618401293983/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^30 + 3002096485324484166157413927984193370820392190179/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^29 - 10857878688392413107410081727521718952378007271947/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^28 + 766958564596283359724452102557919037924570036351/72488969912877365275868113570536588265732484938830a^27 - 37744130684312601929755110639787814500482873110047/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^26 + 56938366539817857558073380506169330205672884647501/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^25 - 68071339072702463668643268818512486292969626591123/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^24 + 25958981417949908564944261437980691037714952543429/64434639922557658022993878729365856236206653278960a^23 - 1456202406207492375227218394527229471355421132302101/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^22 + 265140243102855562681535885328839253062751074305241/178434387477851976063675356481320832654110732157120a^21 - 565756693980093007760403823947377276919133017860129/289955879651509461103472454282146353062929939755320a^20 + 2943265661877607047857062690259297164280822371082821/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^19 - 3123053473298045484467804188505306413634804024298571/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^18 + 962403424232276664411200697926820969196191845992889/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^17 - 3148700412585573190122766093251546984386658228084031/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^16 + 2863962826622244177023813850704247961432876975076747/144977939825754730551736227141073176531464969877660a^15 + 15220124251757167057792762601586835759799666310024941/309286271628276758510370617900956109933791935739008a^14 + 55980746869943647743012909335793481898134225231592167/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^13 - 273223543529075429210614839377623100814906110820521/96651959883836487034490818094048784354309979918440a^12 - 2024111688048420734189241923801558172703794445411223/16108659980639414505748469682341464059051663319740a^11 - 6712730415689379067721496453639443176537546010113/44855301025101049789762533052116850843165091040a^10 + 449051069482773589705072923676253527920251428416529/21478213307519219340997959576455285412068884426320a^9 + 2547418484673856216274583816282617163039774730032299/10739106653759609670498979788227642706034442213160a^8 + 72290160737144999071446854921440937043485886370453/238646814527991326011088439738392060134098715848a^7 + 122110052874351653339083540581255370892184327392279/3579702217919869890166326596075880902011480737720a^6 - 41233893110964424954001595253378145382110643702389/198872345439992771675907033115326716778415596540a^5 - 5417920035994943349524803735873432142607129145781/17547559891764068089050620568999416186330787930a^4 - 32269047648763075190307808184531627019030597479/3824468181538322532228981406063975322661838395a^3 + 3160897113068062890176213033754471702079443912972/16572695453332730972992252759610559731534633045a^2 + 3970910492092746198918253841318214922512674099093/16572695453332730972992252759610559731534633045a + 1303761411154098953541647822922617617949262252397/16572695453332730972992252759610559731534633045, 1174252576299556562309348257175588050308480943/78632102956341548773823038449395621169608119255680a^31 + 3926602224488230378885702030507816742314572311/144977939825754730551736227141073176531464969877660a^30 + 500018791180257535981374434682735895830652926947/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^29 - 32983426057251380437549797406273732945257899249/231964703721207568882777963425717082450343951804256a^28 - 12278456753471747237674295838093111876649191029/42956426615038438681995919152910570824137768852640a^27 - 28288748498624765561679532743456254509917643241/64434639922557658022993878729365856236206653278960a^26 + 829104504324959171634345542695819919345921858339/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^25 + 11856482549925918529954900886030049534306134808607/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^24 - 3782886275703730400818587774560756061093746642501/515477119380461264183951029834926849889653226231680a^23 + 1200803854930056760351144476234899993788760092333/128869279845115316045987757458731712472413306557920a^22 - 516960300591944860617526221888304966011356797114129/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^21 + 41980144609537022325324784188885092129296004187331/193303919767672974068981636188097568708619959836880a^20 + 143903673060090036672365739778134262693412032150603/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^19 + 971206343950674055029199306121664971319599378462053/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^18 - 85540313176507979157063780388481738427171110534753/59478129159283992021225118827106944218036910719040a^17 - 751413468247354918658811058775245443844931799983497/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^16 - 4764907429708661383270418033372454000021889783093837/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^15 + 14819554456977397151821506786711825421584537645291817/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^14 + 37120274130793687918490336063917720424247595480209451/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^13 + 7661897824629204518404647434358708799471076956173763/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^12 - 483187491366735620729673664333671654561223178986613/19826043053094664007075039609035648072678970239680a^11 - 90603816590043361085064233748036178352353152311065/1516109174648415482893973617161549558498980077152a^10 - 770980886282490782633655206394144373100593091968439/21478213307519219340997959576455285412068884426320a^9 + 1118870909218705667697608283353377372763668659308629/21478213307519219340997959576455285412068884426320a^8 + 823538560198158827702277216707834294924709073044287/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^7 + 30962284253927880520335573809956286782187962008349/397744690879985543351814066230653433556831193080a^6 - 680258794643212677319637915552127925478911475989/16572695453332730972992252759610559731534633045a^5 - 67566361481120103267647882673996185928760132163/594832538703866714883071883694895463943416540a^4 - 5049029219407787913720867715609647664565951880003/66290781813330923891969011038442238926138532180a^3 + 4998854391479515440390991136443147526126346420623/99436172719996385837953516557663358389207798270a^2 + 3036873197688904140759115788437370072271721053597/33145390906665461945984505519221119463069266090a + 1095563124028217493251649166122104005874895277258/16572695453332730972992252759610559731534633045, 917895020301655510230147334547897447534778746501/9278588148848302755311118537028683298013758072170240a^31 - 50253575442511145063576280884722352287404989671/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^30 + 4556872987932543451034827393457519869979434231573/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^29 - 452279923380867768136276780008074695353682551841/128869279845115316045987757458731712472413306557920a^28 + 17912782134443976223647089464645153226177074501091/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^27 - 27699299500035046162212067024268065117653741454769/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^26 + 18610287613684051190752542253371476808582667234211/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^25 - 290012177021685919860199474796775922777847000782639/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^24 + 886446369127312841565500166054434588676456793651237/3092862716282767585103706179009561099337919357390080a^23 - 2710003967293109877409108335880672708519293652883/4027164995159853626437117420585366014762915829935a^22 + 475248339809588160886743209482005401217183658945915/463929407442415137765555926851434164900687903608512a^21 - 2950662158824223648675910885223724715903096411219719/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^20 + 1372342591615513903445821182716252728905420934866271/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^19 - 333912179094173664939035411048145706377957725622211/96651959883836487034490818094048784354309979918440a^18 + 1033558378058262529427821642311127370514550095189827/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^17 - 485711955847458955907892385837121441681933688275527/57991175930301892220694490856429270612585987951064a^16 + 127154317727744255065950110216078021798560263550616717/9278588148848302755311118537028683298013758072170240a^15 + 94397972040313125212627239583519696796268860330422471/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^14 + 44240687787911420961618260272522547784401960419039549/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^13 + 294161731390055019404256035987176754280253242183647/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^12 - 8549396134567406788165427300354350932020277087000749/85912853230076877363991838305821141648275537705280a^11 - 460248986017618398652701166381148857072428575111041/3790272936621038707234934042903873896247450192880a^10 + 8512927042611443575417786700287316406598434104537/660868101769822133569167986967854935755965674656a^9 + 4037002013323144933682227180531814309189461216139261/21478213307519219340997959576455285412068884426320a^8 + 1746676600235866118480338943888275178387915126855971/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^7 + 2220606685876761533094547008988445168428024726745/59661703631997831502772109934598015033524678962a^6 - 199930048459277464002871356018685496142041288142437/1193234072639956630055442198691960300670493579240a^5 - 950420469423223153991509634740929244452930542511/3899457753725348464233471237555425819184619540a^4 - 1007732261479156608159704614694899547123968859293/49718086359998192918976758278831679194603899135a^3 + 1555582487800793603052004646255995267024881568390/9943617271999638583795351655766335838920779827a^2 + 6267958622032874770569420280830219080764407200299/33145390906665461945984505519221119463069266090a + 89747732433548868789469892540839882933897636777/1274822727179440844076327135354658440887279465, 44889195872601937319700460528593194892571450021/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^31 - 302128654068270740995150758402699873462249416681/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^30 + 2010720213931824226337175627879514365957025844647/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^29 - 9867726592431692401316040134276851230418264571/5727523548671791824266122553721409443218369180352a^28 + 253969168985804201358035778662194614408181575173/57991175930301892220694490856429270612585987951064a^27 - 2964516003790140667348116514641270443872336620421/231964703721207568882777963425717082450343951804256a^26 + 412224623337063638879854108172304350632141359661/10739106653759609670498979788227642706034442213160a^25 - 18374126986340860517287665845533371589451438950951/231964703721207568882777963425717082450343951804256a^24 + 217645506094157157080237911796113626441195694093/1251158056748692388795997645230404975460323364640a^23 - 123911907311911388194808596842901539570737505081425/309286271628276758510370617900956109933791935739008a^22 + 3319126231981886896452275599010666609684471308219909/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^21 - 122166404221836055320312359512849779866932666027135/115982351860603784441388981712858541225171975902128a^20 + 1707559367200563603932450415340462245572340511229773/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^19 - 79590619947902024766084435925882578740069916923089/25773855969023063209197551491746342494482661311584a^18 + 1405172512225271402982211187963424608845562186851219/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^17 - 11812165657052340651388132170511823427774082358183263/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^16 + 1673094704432955727519689832983522067249169648926019/178434387477851976063675356481320832654110732157120a^15 + 3206839393714285597307779314857477888966561787483667/356868774955703952127350712962641665308221464314240a^14 + 4461148050215399000106355321784558690826722751204649/309286271628276758510370617900956109933791935739008a^13 - 185157256907655304656129210554268506181285366830897/14318808871679479560665306384303523608045922950880a^12 - 8317597631446410888219852442278597286963811701271867/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^11 - 3114314796723216633099377274802666384213948058201/140380479134112544712404964551995329490646303440a^10 + 390111469290496265074853121941857860831176606489213/14318808871679479560665306384303523608045922950880a^9 + 422297376306093463934634304296628599199301203806067/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^8 + 117425225849580474462315936691490593525286495625719/2386468145279913260110884397383920601340987158480a^7 - 15222096937178685821397539653034666484132232681451/447462777239983736270790824509485112751435092215a^6 - 11971936357326222306327972322292824504496162174801/238646814527991326011088439738392060134098715848a^5 - 113982073028477816831863424556866227677949889689/1949728876862674232116735618777712909592309770a^4 + 9103979083594494443914696939042305184546175108293/198872345439992771675907033115326716778415596540a^3 + 10785508933348152715943234223289686087291818724/280893143276825948694783945078145080195502255a^2 + 736645520526988974058944392608720824312358628633/16572695453332730972992252759610559731534633045a - 228550527034475590966297565342615741789923793798/16572695453332730972992252759610559731534633045, 278383125890023455886308343436170052439710430281/3092862716282767585103706179009561099337919357390080a^31 - 276153230019423003472437550062399031735068059/2147821330751921934099795957645528541206888442632a^30 + 1469797763150544102801196359105627306318885176971/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^29 - 13917967366287487298094439376683246462495200073/3753474170246077166387992935691214926380970093920a^28 + 3460915125311172620985834290855201970738653629031/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^27 - 253497330246921614772736052775391765154841408355/9665195988383648703449081809404878435430997991844a^26 + 61353101873258112490119729371265023540033947623917/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^25 - 7997123724701405849320501311248711469740855296201/51547711938046126418395102983492684988965322623168a^24 + 69849834134128780911918005724084215181956875215925/206190847752184505673580411933970739955861290492672a^23 - 12709106943517596659870527346535946884795101245087/16108659980639414505748469682341464059051663319740a^22 + 520809571075449549645621406896255153919810330313281/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^21 - 1429363385346863665834112800123389298279854864967723/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^20 + 3244264730822781780987838781463264948816468847457197/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^19 - 423339694869970255126964957898021584116272569847007/77321567907069189627592654475239027483447983934752a^18 + 4728308223180820783022110338822368048153886215715463/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^17 - 600148123896255229158964421286988911570849159350399/64434639922557658022993878729365856236206653278960a^16 + 4393822860978227051256772400065682375845033958316749/237912516637135968084900475308427776872147642876160a^15 + 106476500634481667999299095597795659231361015795845/3965208610618932801415007921807129614535794047936a^14 + 1547803400912804725293103527204742474823153918529809/42956426615038438681995919152910570824137768852640a^13 - 6870675025014096189627017420001878350871218964015713/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^12 - 3520520865876191398637590761655981381683793037772613/42956426615038438681995919152910570824137768852640a^11 - 156918859874116945768222625799495757073143444914157/2526848624414025804823289361935915930831633461920a^10 + 2619294965455173648572690014585463174567581360030499/42956426615038438681995919152910570824137768852640a^9 + 27270172760532638418048283317908299077776819137927/182018756843383214754219996410638011966685461240a^8 + 115450044061572256210932949230846260864066489123513/894925554479967472541581649018970225502870184430a^7 - 227512168447928296388024729771708594523536512861093/3579702217919869890166326596075880902011480737720a^6 - 3655861077613173462378234444732903044918309719587/26516312725332369556787604415376895570455412872a^5 - 1225589352106412862780355970655953693520444371024/8773779945882034044525310284499708093165393965a^4 + 17168854510942538675676980661431999199762768954913/198872345439992771675907033115326716778415596540a^3 + 10877464510853057860358480583434699755353939775393/99436172719996385837953516557663358389207798270a^2 + 3423968663301940193573987123478256211737696069319/33145390906665461945984505519221119463069266090a - 297912906054592730664538029241010464200311476533/16572695453332730972992252759610559731534633045, 200925219962259528964147597759067401948740503471/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^31 + 38856053023788400946391140438815600478539375189/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^30 + 80423411692147084368923208495385187521174168043/289955879651509461103472454282146353062929939755320a^29 - 38479939943907533085624268243872161989906779389/96651959883836487034490818094048784354309979918440a^28 - 2360261551532987474136374613490451534896634350751/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^27 + 13443517694048715308923977826540553121394668847/36244484956438682637934056785268294132866242469415a^26 - 599511186207488032145768137376756328864409463/1652170254424555333922919967419637339389914186640a^25 + 47933065558909762029459408469883417693586913075391/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^24 - 101136073120459318425094531977418691296850296663777/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^23 + 6179051730828458018734492924893797123818305835319/48325979941918243517245409047024392177154989959220a^22 - 244249200335308381260736514650141865708554752050155/463929407442415137765555926851434164900687903608512a^21 + 1308463444919982831967679444359985893596530211712423/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^20 - 655756283840988756370376184342882432184433935896811/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^19 + 5622836314866797333645909980080065573335159136357/1486953228982099800530627970677673605450922767976a^18 - 3161393547004313552670233566610524460123964819228299/463929407442415137765555926851434164900687903608512a^17 + 540949952114991220216174553073414702357035052953119/579911759303018922206944908564292706125859879510640a^16 - 28176877352364112633352148310567913472325940484782749/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^15 + 45912379350599862893550210444138213573912011826491303/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^14 + 2843293799480331753300222037152610962750407586576317/51547711938046126418395102983492684988965322623168a^13 + 5788348613478298909618580303760527464484000973449599/128869279845115316045987757458731712472413306557920a^12 - 3448915430359062046663290018839375670739886050747477/51547711938046126418395102983492684988965322623168a^11 - 182735044994535690151237677280854417499531404412741/1263424312207012902411644680967957965415816730960a^10 - 793243274551856328749860427758728277829115810153733/10739106653759609670498979788227642706034442213160a^9 + 2917389225267647287782019919182969644095738667178777/21478213307519219340997959576455285412068884426320a^8 + 1967718493298403355381779753019056804629858467883483/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^7 + 25606452959353069830099396072671559913130223122299/137680854535379611160243330618303111615826182220a^6 - 12253297941611093884813423535010124019890739008477/99436172719996385837953516557663358389207798270a^5 - 98063111594842858549293503702107930753332743213/389945775372534846423347123755542581918461954a^4 - 38582742507741534643735706968322282195814598690253/198872345439992771675907033115326716778415596540a^3 + 7196373930693037586522103889501022003301113433968/49718086359998192918976758278831679194603899135a^2 + 3334135075558825334621075576339382001364883270239/16572695453332730972992252759610559731534633045a + 2858709410490787829382462606963316732386032260468/16572695453332730972992252759610559731534633045, 38724205079881637278566872664217682566364764819/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^31 - 19637380004686703337249946778588065732961577311/515477119380461264183951029834926849889653226231680a^30 + 153573859075741182730495651854111135664020519673/309286271628276758510370617900956109933791935739008a^29 - 445784895991665056826045116957610761432467262183/257738559690230632091975514917463424944826613115840a^28 + 580463150756470212606668761554623809046795200399/154643135814138379255185308950478054966895967869504a^27 - 5301896423362544732011657822312516867142211488/447462777239983736270790824509485112751435092215a^26 + 1150456528147003263320462766587703745275874466429/32217319961278829011496939364682928118103326639480a^25 - 23403729519547539287757047825257313306543827460099/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^24 + 109881591017481398083332410006681906102887906424957/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^23 - 515011899143008821691561023258889602290949860481571/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^22 + 768731834547884353835193247566499421323541934892763/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^21 - 241019342696587269098721264012828574303564770560197/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^20 + 692947962646876106973784087150498668264746105914369/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^19 - 314227737857930673575355922599975132982992481725571/193303919767672974068981636188097568708619959836880a^18 + 758970286276040141904029926878040432738620438599/12081494985479560879311352261756098044288747489805a^17 - 3441000363364314996053813561108490787353980583221023/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^16 + 2503641445136682477436783438791722349716284650684511/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^15 + 33103154514005957422767104524700827369210459801992179/1546431358141383792551853089504780549668959678695040a^14 + 16449394946673534617688518497452386320731189019402031/515477119380461264183951029834926849889653226231680a^13 + 451328468717252703301163782776048273210877582269563/96651959883836487034490818094048784354309979918440a^12 - 1307347560473662119755864244810219620883550164891623/25773855969023063209197551491746342494482661311584a^11 - 527381623333346990512169734917804217317868391541733/7580545873242077414469868085807747792494900385760a^10 - 12847851828917124507981697475895583140404698832689/5369553326879804835249489894113821353017221106580a^9 + 207433094638196251792483609666839730849102717713637/2147821330751921934099795957645528541206888442632a^8 + 49961903284506320894369919842133400511538122049925/357970221791986989016632659607588090201148073772a^7 + 31059395926423294321403969676600961200538931974271/894925554479967472541581649018970225502870184430a^6 - 16557032871356786865387894070010219807495972135927/198872345439992771675907033115326716778415596540a^5 - 2442800823295871149944527683842693574721416078027/17547559891764068089050620568999416186330787930a^4 - 1357527820327599317144747241224324332685900077829/49718086359998192918976758278831679194603899135a^3 + 267913343985642003446727693866642710965440680666/3314539090666546194598450551922111946306926609a^2 + 3600664311763550076120492622701976663191743501541/33145390906665461945984505519221119463069266090a + 821705284127932199633676075588986119417318865698/16572695453332730972992252759610559731534633045, 751886680903900706774867321543567482048734601/31452841182536619509529215379758248467843247702272a^31 + 2072105187637873202857340098731716175245200571/154643135814138379255185308950478054966895967869504a^30 + 877161302232483598725904385914813788101175841271/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^29 - 1137484571688690832897144291030480205147808437257/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^28 + 1098876706091740488007206221608012945233236878781/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^27 - 2834044087952409688032028682984232687957755876987/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^26 + 3603644957083010791709419487430275416046303932835/463929407442415137765555926851434164900687903608512a^25 - 47651610014827103725396768048924343840861977021/51547711938046126418395102983492684988965322623168a^24 + 2640025330638558113800298770296812743167804680273/206190847752184505673580411933970739955861290492672a^23 - 388153149850096499404459584612282489475608060779/9545872581119653040443537589535682405363948633920a^22 - 83695166549041096107534782972080092250307901991403/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^21 + 24581214854036748127792974630991217597518613093629/144977939825754730551736227141073176531464969877660a^20 + 266677261383917085331603577354328024339502220926063/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^19 + 716737533971453277803371721746544127327765942275291/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^18 - 1660616144135704561341984720436685401417336600324655/927858814884830275531111853702868329801375807217024a^17 - 37089055063157629452509685158198561080443512447903/29739064579641996010612559413553472109018455359520a^16 + 3417271330601869406393443948134290276719392191794231/9278588148848302755311118537028683298013758072170240a^15 + 781243376317545842217623909311102045423305465564509/48325979941918243517245409047024392177154989959220a^14 + 1475372743175612886465846144350359949373876281356603/59478129159283992021225118827106944218036910719040a^13 + 1648058003089003833200934304347953186591261960159237/128869279845115316045987757458731712472413306557920a^12 - 318508355621623727795741684341701265145366577279631/9545872581119653040443537589535682405363948633920a^11 - 454550458690648063230858812985186194102678705973379/7580545873242077414469868085807747792494900385760a^10 - 45095605195991729309049852215217616638891790149751/2386468145279913260110884397383920601340987158480a^9 + 72467321307674076766587673096322532045659563091077/1073910665375960967049897978822764270603444221316a^8 + 53780788705053287505019482564223309761708353792297/477293629055982652022176879476784120268197431696a^7 + 33526316820723930706624974862777546454156253772891/596617036319978315027721099345980150335246789620a^6 - 7322157021007176330752084787100781452664336179067/119323407263995663005544219869196030067049357924a^5 - 12957487381534393420696608399809067164937699247/118966507740773342976614376738979092788683308a^4 - 5230575691306878400845933754221664372744533597923/99436172719996385837953516557663358389207798270a^3 + 49840771887725812838597403681735618394192212110/764893636307664506445796281212795064532367679a^2 + 1423645548293942792446220162483142630375469997867/16572695453332730972992252759610559731534633045a + 851958065650932758885362898493284941419561120659/16572695453332730972992252759610559731534633045, 18719137058266805013427434867196060745058611/770902970160211262488461161268584521270667835840a^31 + 65421367519884047043985191920063314021556563/16052920672747928642406779475828171795871553758080a^30 + 17907512350051336869688330982292142405639632259/90966550478904928973638417029692973509938804629120a^29 - 15496098879524961927594899169273969850274960371/27289965143671478692091525108907892052981641388736a^28 + 101143309562107835905310349525467127968056515971/136449825718357393460457625544539460264908206943680a^27 - 97487690967450669239303173454557060693031446789/34112456429589348365114406386134865066227051735920a^26 + 608623843053463075149879242559311859119253072631/68224912859178696730228812772269730132454103471840a^25 - 306520640927746375283702484005408559206205201061/68224912859178696730228812772269730132454103471840a^24 + 25962212415182235582744945013273721940010788857/1684565749609350536548859574623943953887755641280a^23 - 6754571645545446843537522540862412736964696649/155498376887016972604510114580671749589638982272a^22 - 2309478220649971950716642854896424030458032832811/90966550478904928973638417029692973509938804629120a^21 + 637069142759481159467499861948112216004030462563/3411245642958934836511440638613486506622705173592a^20 + 8112130806022607204254390804523150229464735597843/68224912859178696730228812772269730132454103471840a^19 + 23313678102414650974020439858099062363251158265171/34112456429589348365114406386134865066227051735920a^18 - 141252030637824069172110042179976233901037748320531/68224912859178696730228812772269730132454103471840a^17 - 34579840289943080838906345879877773526440452191187/136449825718357393460457625544539460264908206943680a^16 - 672391587327363224321762966580488794427711487143/7580545873242077414469868085807747792494900385760a^15 + 4335648519644710405248000501421263566483307127333163/272899651436714786920915251089078920529816413887360a^14 + 1797773968928188773534034078777919218256614137338563/90966550478904928973638417029692973509938804629120a^13 + 12707840711133488929085374640814848473119329607433/1337743389395660720200564956319014316322629479840a^12 - 226342453073452548550280871689495157613662571928401/7580545873242077414469868085807747792494900385760a^11 - 1525712430970543021050212153177524575307770530137/31195662029802787713867769900443406553476956320a^10 - 29809465688321989193657232062667149634983244593839/2526848624414025804823289361935915930831633461920a^9 + 24247907506467459911979663698952127847799693097631/421141437402337634137214893655985988471938910320a^8 + 3243463580667565168207840423025210417917087641779/35095119783528136178101241137998832372661575860a^7 + 347517593102184338708876038875480168172958898439/7798915507450696928466942475110851638369239080a^6 - 1291928154375477417124303437686511911841098233787/23396746522352090785400827425332554915107717240a^5 - 24676732985157684298177914630574857468905634773/297416269351933357441535941847447731971708270a^4 - 129635406225154068986528090391785740381283813051/2924593315294011348175103428166569364388464655a^3 + 33955457182697928400914202757857025268597602041/584918663058802269635020685633313872877692931a^2 + 63796718540529115181247899044731288864961052727/974864438431337116058367809388856454796154885a + 9119261865439877002406153144001908742192085602/194972887686267423211673561877771290959230977, 599996543179629388690998631214821921408458327539/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^31 - 1617372901244804943702079769174810479863271365397/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^30 + 6328626659766748187628991888791669206345811848999/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^29 - 24300443540966091839034175535207219207824344330697/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^28 + 2159920315286840941700136967650086438220167632039/85912853230076877363991838305821141648275537705280a^27 - 9584978392586811529836255862996912058710035224659/128869279845115316045987757458731712472413306557920a^26 + 32550001644766013486004522702505536092705362972891/144977939825754730551736227141073176531464969877660a^25 - 504132162772603651159087414780117188710750774572549/1159823518606037844413889817128585412251719759021280a^24 + 3803755365249660596291559659301999248692338528371/3965208610618932801415007921807129614535794047936a^23 - 229888264293435066433927065585096082855801906646627/103095423876092252836790205966985369977930645246336a^22 + 8751548961030613371778445847421186871584847709389507/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^21 - 401542776376909165717237590669012758930813655390067/77321567907069189627592654475239027483447983934752a^20 + 27699906161281844533633279325147966035946370385728467/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^19 - 438093563268110586629584677718694299623905393355283/28995587965150946110347245428214635306292993975532a^18 + 805632256497566430810833484594586252943487498158593/96651959883836487034490818094048784354309979918440a^17 - 62629885016737567258399627117126241975122739027406407/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^16 + 117494237931299817957878227976524827247835705869297217/2319647037212075688827779634257170824503439518042560a^15 + 374743438664475302593850903554066467167972905814279051/4639294074424151377655559268514341649006879036085120a^14 + 87327348536411165094873824178318306118122382186131763/773215679070691896275926544752390274834479839347520a^13 - 22503169605646814080455575803231615152757191838079227/386607839535345948137963272376195137417239919673760a^12 - 12167696168343947036040147217259676728666627294881087/51547711938046126418395102983492684988965322623168a^11 - 515822556999374964883342046477464627249793303144707/2526848624414025804823289361935915930831633461920a^10 + 399984449586949921021649809310877461979680041330795/2863761774335895912133061276860704721609184590176a^9 + 932414430285806736445183877646805448212958169394543/2147821330751921934099795957645528541206888442632a^8 + 3035628180408536115121534795649608817888314637507287/7159404435839739780332653192151761804022961475440a^7 - 14593169130297954155592019083636031722491831583503/119323407263995663005544219869196030067049357924a^6 - 465145468743740375783063718066801222424965731888459/1193234072639956630055442198691960300670493579240a^5 - 439818111136384141571943525609594559077049179972/974864438431337116058367809388856454796154885a^4 + 12361368785455435167502292510288079295265724148077/66290781813330923891969011038442238926138532180a^3 + 10638201870167966637659847440023882189814701346269/33145390906665461945984505519221119463069266090a^2 + 11257388914595617900429796485450421260850130041323/33145390906665461945984505519221119463069266090a + 1784873270011535444758669875409271928298011089/16572695453332730972992252759610559731534633045, 12211314869580978878346878178953570866760836661/272899651436714786920915251089078920529816413887360a^31 - 1656825181943715684503473926054680515338810149/272899651436714786920915251089078920529816413887360a^30 + 109361665023757681739300338062973389507736101113/272899651436714786920915251089078920529816413887360a^29 - 168714612036086072224367532553023735674534622953/136449825718357393460457625544539460264908206943680a^28 + 98006432367075455355736343132132073938935934881/45483275239452464486819208514846486754969402314560a^27 - 43102713586899762539018714098288809362623185283/5685409404931558060852401064355810844371175289320a^26 + 786815759606263307778554880919614664336560315053/34112456429589348365114406386134865066227051735920a^25 - 58787697775010009857234107967303398500622101344/2132028526849334272819650399133429066639190733495a^24 + 1334642836591590021258356081830644945343108364713/18193310095780985794727683405938594701987760925824a^23 - 16272635416177346344366930933349959274496522734641/90966550478904928973638417029692973509938804629120a^22 + 46758395324985387093749974659404336572177830044441/272899651436714786920915251089078920529816413887360a^21 - 52096195080691332922946616308743109544667990163/668871694697830360100282478159507158161314739920a^20 + 61773372663897347337106577059752788703222043121393/68224912859178696730228812772269730132454103471840a^19 + 1495311066619788270904300622862882610063271554451/34112456429589348365114406386134865066227051735920a^18 - 88629259505614047345081154091621907489051302745167/45483275239452464486819208514846486754969402314560a^17 - 340770028522784118115853897339866452127529024104567/136449825718357393460457625544539460264908206943680a^16 + 643891054273446642148583055676992940963935007127639/272899651436714786920915251089078920529816413887360a^15 + 1379462517047930009399561353738695120991641991783763/54579930287342957384183050217815784105963282777472a^14 + 3263582168326643093119033968865477897775688211113413/90966550478904928973638417029692973509938804629120a^13 + 119066495970903556553837708510769541204910717912401/7580545873242077414469868085807747792494900385760a^12 - 196247686232144076871278349213419406972922473984871/3790272936621038707234934042903873896247450192880a^11 - 128493722416867743376924633522708192655495083368427/1516109174648415482893973617161549558498980077152a^10 - 3927480674513558313610889692937707043451122528947/194372971108771215755637643225839686987048727840a^9 + 12953158961798080140747615974077133581656180604279/126342431220701290241164468096795796541581673096a^8 + 35223343291005137817235552328510231806261642566257/210570718701168817068607446827992994235969455160a^7 + 15234350458342156333798608429893449062363866568457/210570718701168817068607446827992994235969455160a^6 - 6394132211262002172305109701817991910227970763353/70190239567056272356202482275997664745323151720a^5 - 1393713544087071250094466734023788117627134670802/8773779945882034044525310284499708093165393965a^4 - 39754183436116000887563314040792491173409065427/584918663058802269635020685633313872877692931a^3 + 192601749873637429462765840471720158140512246183/1949728876862674232116735618777712909592309770a^2 + 124924331744404526902562002958409529111192538302/974864438431337116058367809388856454796154885*a + 5992076404735292639524569214327006095909750697/74989572187025932004489831491450496522781145 (assuming GRH)	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	$ 97772762708.42017 $ (assuming GRH)	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{16}\cdot 97772762708.42017 \cdot 12}{24\cdot\sqrt{1156745857256138299057661301456078800598048178176}}\cr\approx \mathstrut & 0.268192611147582 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^32 + 10*x^30 - 28*x^29 + 56*x^28 - 208*x^27 + 604*x^26 - 876*x^25 + 2547*x^24 - 5760*x^23 + 7684*x^22 - 11384*x^21 + 37676*x^20 - 21776*x^19 + 12262*x^18 - 135456*x^17 + 96553*x^16 + 443172*x^15 + 1107228*x^14 + 758160*x^13 - 662400*x^12 - 2309040*x^11 - 1681344*x^10 + 1407456*x^9 + 4596912*x^8 + 3872448*x^7 - 62208*x^6 - 4385664*x^5 - 3545856*x^4 + 3919104*x^2 + 3359232*x + 1679616);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_2\times D_4^2$ (as 32T1016):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A solvable group of order 128

The 50 conjugacy class representatives for $C_2\times D_4^2$

Character table for $C_2\times D_4^2$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-2}) $, $\Q(\sqrt{2}) $, $\Q(\sqrt{-3}) $, $\Q(\sqrt{3}) $, $\Q(\sqrt{-6}) $, $\Q(\sqrt{-1}) $, $\Q(\sqrt{6}) $, 4.0.1088.2, 4.4.4352.1, 4.0.39168.3, 4.4.9792.1, $\Q(i, \sqrt{6})$, 4.0.29952.1, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{-3})$, $\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{3})$, 4.0.7488.1, $\Q(\zeta_{8})$, $\Q(\zeta_{12})$, 4.4.29952.1, $\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{-3})$, $\Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$, 4.4.7488.1, 8.0.897122304.10, 8.0.3588489216.11, 8.0.3588489216.5, 8.0.3588489216.16, $\Q(\zeta_{24})$, 8.0.56070144.2, 8.8.3588489216.1, 8.0.1534132224.10, 8.0.95883264.1, 8.0.18939904.2, 8.0.1534132224.8, 8.8.1037073383424.1, 8.0.1534132224.4, 8.0.1037073383424.57, 8.8.1534132224.1, 16.0.12877254853348294656.1, 16.0.1075521202606502917963776.1, 16.0.1075521202606502917963776.3, 16.0.1075521202606502917963776.4, 16.0.2353561680715186176.2, 16.16.1075521202606502917963776.1, 16.0.1075521202606502917963776.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Sibling fields

Degree 32 siblings:	data not computed
Minimal sibling:	This field is its own minimal sibling

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	R	${\href{/padicField/5.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/7.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/11.4.0.1}{4} }^{8}$	R	R	${\href{/padicField/19.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/23.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/29.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/31.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/41.4.0.1}{4} }^{8}$	${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/47.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{16}$	${\href{/padicField/59.2.0.1}{2} }^{16}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$2$ 2	2.16.36.1	$x^{16} + 8 x^{12} + 8 x^{11} + 24 x^{10} + 44 x^{8} - 16 x^{7} + 16 x^{6} - 56 x^{4} + 112 x^{3} + 196$	$8$	$2$	$36$	$D_4\times C_2$	$[2, 2, 3]^{2}$
$2$ 2	2.16.36.1	$x^{16} + 8 x^{12} + 8 x^{11} + 24 x^{10} + 44 x^{8} - 16 x^{7} + 16 x^{6} - 56 x^{4} + 112 x^{3} + 196$	$8$	$2$	$36$	$D_4\times C_2$	$[2, 2, 3]^{2}$
$3$ 3	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
	3.8.4.1	$x^{8} + 4 x^{7} + 16 x^{6} + 36 x^{5} + 94 x^{4} + 116 x^{3} + 144 x^{2} + 36 x + 229$	$2$	$4$	$4$	$C_4\times C_2$	$[\ ]_{2}^{4}$
$13$ 13	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.2.0.1	$x^{2} + 12 x + 2$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	13.4.2.1	$x^{4} + 284 x^{3} + 21754 x^{2} + 225780 x + 59193$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
$17$ 17	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.2.0.1	$x^{2} + 16 x + 3$	$1$	$2$	$0$	$C_2$	$[\ ]^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$
	17.4.2.1	$x^{4} + 338 x^{3} + 31049 x^{2} + 420472 x + 123735$	$2$	$2$	$2$	$C_2^2$	$[\ ]_{2}^{2}$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more