Properties

Label 31.31.606...801.1
Degree $31$
Signature $[31, 0]$
Discriminant $6.065\times 10^{74}$
Root discriminant $258.43$
Ramified prime $311$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{31}$ (as 31T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^31 - x^30 - 150*x^29 + 117*x^28 + 9434*x^27 - 4958*x^26 - 328880*x^25 + 78328*x^24 + 7098810*x^23 + 507925*x^22 - 100297691*x^21 - 39217806*x^20 + 950942678*x^19 + 677567200*x^18 - 6056859921*x^17 - 6293114670*x^16 + 25303767350*x^15 + 35315191500*x^14 - 65145555320*x^13 - 122001770825*x^12 + 87706314807*x^11 + 253609179978*x^10 - 19776440614*x^9 - 299693882286*x^8 - 98200795275*x^7 + 175359843704*x^6 + 113820457794*x^5 - 30260338943*x^4 - 38729335872*x^3 - 5811762482*x^2 + 1056847214*x - 26458109)
 
gp: K = bnfinit(x^31 - x^30 - 150*x^29 + 117*x^28 + 9434*x^27 - 4958*x^26 - 328880*x^25 + 78328*x^24 + 7098810*x^23 + 507925*x^22 - 100297691*x^21 - 39217806*x^20 + 950942678*x^19 + 677567200*x^18 - 6056859921*x^17 - 6293114670*x^16 + 25303767350*x^15 + 35315191500*x^14 - 65145555320*x^13 - 122001770825*x^12 + 87706314807*x^11 + 253609179978*x^10 - 19776440614*x^9 - 299693882286*x^8 - 98200795275*x^7 + 175359843704*x^6 + 113820457794*x^5 - 30260338943*x^4 - 38729335872*x^3 - 5811762482*x^2 + 1056847214*x - 26458109, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-26458109, 1056847214, -5811762482, -38729335872, -30260338943, 113820457794, 175359843704, -98200795275, -299693882286, -19776440614, 253609179978, 87706314807, -122001770825, -65145555320, 35315191500, 25303767350, -6293114670, -6056859921, 677567200, 950942678, -39217806, -100297691, 507925, 7098810, 78328, -328880, -4958, 9434, 117, -150, -1, 1]);
 

\( x^{31} - x^{30} - 150 x^{29} + 117 x^{28} + 9434 x^{27} - 4958 x^{26} - 328880 x^{25} + 78328 x^{24} + 7098810 x^{23} + 507925 x^{22} - 100297691 x^{21} - 39217806 x^{20} + 950942678 x^{19} + 677567200 x^{18} - 6056859921 x^{17} - 6293114670 x^{16} + 25303767350 x^{15} + 35315191500 x^{14} - 65145555320 x^{13} - 122001770825 x^{12} + 87706314807 x^{11} + 253609179978 x^{10} - 19776440614 x^{9} - 299693882286 x^{8} - 98200795275 x^{7} + 175359843704 x^{6} + 113820457794 x^{5} - 30260338943 x^{4} - 38729335872 x^{3} - 5811762482 x^{2} + 1056847214 x - 26458109 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $31$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[31, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(606\!\cdots\!801\)\(\medspace = 311^{30}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $258.43$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $311$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $31$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(311\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{311}(1,·)$, $\chi_{311}(224,·)$, $\chi_{311}(195,·)$, $\chi_{311}(260,·)$, $\chi_{311}(7,·)$, $\chi_{311}(265,·)$, $\chi_{311}(140,·)$, $\chi_{311}(13,·)$, $\chi_{311}(270,·)$, $\chi_{311}(15,·)$, $\chi_{311}(18,·)$, $\chi_{311}(83,·)$, $\chi_{311}(20,·)$, $\chi_{311}(24,·)$, $\chi_{311}(89,·)$, $\chi_{311}(91,·)$, $\chi_{311}(32,·)$, $\chi_{311}(225,·)$, $\chi_{311}(113,·)$, $\chi_{311}(168,·)$, $\chi_{311}(169,·)$, $\chi_{311}(234,·)$, $\chi_{311}(300,·)$, $\chi_{311}(146,·)$, $\chi_{311}(47,·)$, $\chi_{311}(49,·)$, $\chi_{311}(243,·)$, $\chi_{311}(105,·)$, $\chi_{311}(121,·)$, $\chi_{311}(250,·)$, $\chi_{311}(126,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{347} a^{28} - \frac{34}{347} a^{27} - \frac{55}{347} a^{26} + \frac{56}{347} a^{25} - \frac{63}{347} a^{24} - \frac{47}{347} a^{23} + \frac{73}{347} a^{22} + \frac{24}{347} a^{21} - \frac{16}{347} a^{20} - \frac{95}{347} a^{19} + \frac{77}{347} a^{18} - \frac{75}{347} a^{17} + \frac{117}{347} a^{16} + \frac{143}{347} a^{15} - \frac{4}{347} a^{14} - \frac{15}{347} a^{13} + \frac{21}{347} a^{12} - \frac{103}{347} a^{11} - \frac{120}{347} a^{10} - \frac{42}{347} a^{9} + \frac{58}{347} a^{8} + \frac{27}{347} a^{7} - \frac{8}{347} a^{6} + \frac{117}{347} a^{5} - \frac{138}{347} a^{4} + \frac{86}{347} a^{3} - \frac{43}{347} a^{2} - \frac{139}{347} a - \frac{149}{347}$, $\frac{1}{347} a^{29} - \frac{170}{347} a^{27} - \frac{79}{347} a^{26} + \frac{106}{347} a^{25} - \frac{107}{347} a^{24} - \frac{137}{347} a^{23} + \frac{77}{347} a^{22} + \frac{106}{347} a^{21} + \frac{55}{347} a^{20} - \frac{30}{347} a^{19} + \frac{114}{347} a^{18} - \frac{4}{347} a^{17} - \frac{43}{347} a^{16} - \frac{151}{347} a^{14} - \frac{142}{347} a^{13} - \frac{83}{347} a^{12} - \frac{152}{347} a^{11} + \frac{42}{347} a^{10} + \frac{18}{347} a^{9} - \frac{83}{347} a^{8} - \frac{131}{347} a^{7} - \frac{155}{347} a^{6} + \frac{23}{347} a^{5} - \frac{95}{347} a^{4} + \frac{105}{347} a^{3} + \frac{134}{347} a^{2} - \frac{17}{347} a + \frac{139}{347}$, $\frac{1}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{30} + \frac{72519585487697363745237501733712871171080139868813080074650742927567715915511708452831513695778611957233659495366708994363211809440730}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{29} - \frac{4595289209885525778941865858312350526231652781941987504249412054221982914882999526938606676310920885099095643265925229355228741227357}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{28} - \frac{25418256099087857519134757181411951295660156436615094392981978676203616576381538053284177670475158799714671810882341828814657483238674486}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{27} - \frac{462321729672672814662198441486051418395335970928018799471833664249744318680916466929240459635983961031255944094857874511918539546058470}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{26} - \frac{4160975335590554166163059645496493450986138733551816933260039944970604663364493097292072930223522305348364686364694669051455446338537126}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{25} + \frac{52474706953912434798063123225314337256232809679990658065197001060587731300926726243777430691402919790169222160708852781233956137871113}{158072050972301257095283864581439708239623539754512431176043372066971814692385442598244662380845707362445864914086623674012595525536891} a^{24} - \frac{12966560894528841552216439653466404006356859306785400802109345649478874468998780372440224785786004167668747774530211778958179851274251030}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{23} - \frac{3416238968424439868176956629332349360282804173102606877239276985825370265479710309725632687342147445361135877021144801859323949527277631}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{22} + \frac{1625613003469327001549929304783005813313836617825143070859566730632220508999669933888572424747883671085860957303425445889162875391873607}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{21} + \frac{25454783612929685425787672516342101682640342843143091813138271725228381393452298968928498895234434423122004225404775966243021616433476694}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{20} - \frac{18617745657112115639886702394313682736276829927618384622593660806357615263787860110059543216595987941945045352682548250403293791725060538}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{19} - \frac{130192530746546878684702774393480281805074826832277730363036152900902335018564638510795789886999393238352170630622913838595612807325755}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{18} - \frac{20079468905028879746468295579815420940478993871558595685889704453153213491162331371227469925807690181137402280498466148709713962991259121}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{17} - \frac{16422623087161610630171911204448977983269698794909510016460136451701980096642851251134213361203358292805898558923641726994557302730503386}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{16} + \frac{25733262918589945844461143520186465791601095292690055355381471317717851631011585663147743824498480272735793999100802582146075405463129734}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{15} - \frac{24112643372815115274292737929353066182498863079528415808682719896085489105144733284932082080523691320430194631446086047621874585529143412}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{14} - \frac{2792286210610587556738302204758084587825453980377685810898646078593124265553316129343497954049259107191324974671941368135011907331768882}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{13} - \frac{20015442747082347760219786330815767096634326733186296454673569780940960188885381925300313202520099709605803739798589648850693247493717359}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{12} - \frac{9957888360373547387649314139094913516163607358634798763921621524507511908607372568315421813712100434542840593453593849584487024344772131}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{11} - \frac{13504096370750779195297577264830216136193357729090290938463807729532532906292524048867893477927050252757971141809235794729412335568795997}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{10} + \frac{4945632715442482040532581168050668258899561068261954790469834995584450795018562475569483920815636384605890240976969428034309797729738943}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{9} - \frac{3247175571753972117365530948738332392498955428978534042115483018277179032448687990551651035431800564757673898168743218945239659037552169}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{8} + \frac{17507072665331086901659086289322810934518525727685847071712319852892376323698955766093313166501178087203422530899348970246473692797272313}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{7} + \frac{21660810303751217702260258106604583286364944510312133284218536252461774796013883051279814811974942232334423269427868049600901789879595898}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{6} + \frac{5332653721451208321340002195193609534651976009072460624349117049150546460866868927623228152019157798054473880269890568291752164757744552}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{5} + \frac{14283777748244617990025774825308592191901210006022050076273044681772318390816485195838776555692377604805250013799793342577320006295274277}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{4} - \frac{3509744291412919342524468710775894057478063788171180720033504093263851477091871819641445059741749169656486081994581077863613165674280145}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{3} - \frac{17714721149100791848682681839508490176751884985577290932706706507843437106433848507938708309397424871724368851488497507952982106405425512}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a^{2} - \frac{14694425086809345900569004056570665977142971513163748767576346672788331519908143304549625356730541851935670901528256536044468965193840962}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177} a - \frac{7729708834931457457288631366318326362159555232213848364648986460558817668218300886964960678704187019991034695925818702509935918121560490}{54851001687388536212063501009759578759149368294815813618087050107239219698257748581590897846153460454768715125188058414882370647361301177}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $30$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{31}$ (as 31T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 31
The 31 conjugacy class representatives for $C_{31}$
Character table for $C_{31}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
311Data not computed