Properties

Label 31.31.303...801.1
Degree $31$
Signature $[31, 0]$
Discriminant $3.032\times 10^{89}$
Root discriminant $770.03$
Ramified prime $31$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{31}$ (as 31T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^31 - 465*x^29 - 341*x^28 + 91078*x^27 + 119908*x^26 - 9914451*x^25 - 18008892*x^24 + 666449563*x^23 + 1538774528*x^22 - 28934386579*x^21 - 83032233092*x^20 + 817351924162*x^19 + 2943382779538*x^18 - 14471455469735*x^17 - 68751097280499*x^16 + 137645143880654*x^15 + 1028543867187214*x^14 - 144266178422457*x^13 - 9110738641752719*x^12 - 11199776062831713*x^11 + 37846129267859005*x^10 + 105950708850677777*x^9 + 9682358886535270*x^8 - 290542929220278846*x^7 - 437492517497239584*x^6 - 201727405103545942*x^5 + 73256081844015542*x^4 + 87563225965427030*x^3 + 7669633084320922*x^2 - 7522164033404415*x - 310695313260929)
 
gp: K = bnfinit(x^31 - 465*x^29 - 341*x^28 + 91078*x^27 + 119908*x^26 - 9914451*x^25 - 18008892*x^24 + 666449563*x^23 + 1538774528*x^22 - 28934386579*x^21 - 83032233092*x^20 + 817351924162*x^19 + 2943382779538*x^18 - 14471455469735*x^17 - 68751097280499*x^16 + 137645143880654*x^15 + 1028543867187214*x^14 - 144266178422457*x^13 - 9110738641752719*x^12 - 11199776062831713*x^11 + 37846129267859005*x^10 + 105950708850677777*x^9 + 9682358886535270*x^8 - 290542929220278846*x^7 - 437492517497239584*x^6 - 201727405103545942*x^5 + 73256081844015542*x^4 + 87563225965427030*x^3 + 7669633084320922*x^2 - 7522164033404415*x - 310695313260929, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-310695313260929, -7522164033404415, 7669633084320922, 87563225965427030, 73256081844015542, -201727405103545942, -437492517497239584, -290542929220278846, 9682358886535270, 105950708850677777, 37846129267859005, -11199776062831713, -9110738641752719, -144266178422457, 1028543867187214, 137645143880654, -68751097280499, -14471455469735, 2943382779538, 817351924162, -83032233092, -28934386579, 1538774528, 666449563, -18008892, -9914451, 119908, 91078, -341, -465, 0, 1]);
 

\( x^{31} - 465 x^{29} - 341 x^{28} + 91078 x^{27} + 119908 x^{26} - 9914451 x^{25} - 18008892 x^{24} + 666449563 x^{23} + 1538774528 x^{22} - 28934386579 x^{21} - 83032233092 x^{20} + 817351924162 x^{19} + 2943382779538 x^{18} - 14471455469735 x^{17} - 68751097280499 x^{16} + 137645143880654 x^{15} + 1028543867187214 x^{14} - 144266178422457 x^{13} - 9110738641752719 x^{12} - 11199776062831713 x^{11} + 37846129267859005 x^{10} + 105950708850677777 x^{9} + 9682358886535270 x^{8} - 290542929220278846 x^{7} - 437492517497239584 x^{6} - 201727405103545942 x^{5} + 73256081844015542 x^{4} + 87563225965427030 x^{3} + 7669633084320922 x^{2} - 7522164033404415 x - 310695313260929 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $31$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[31, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(303\!\cdots\!801\)\(\medspace = 31^{60}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $770.03$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $31$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $31$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(961=31^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{961}(1,·)$, $\chi_{961}(900,·)$, $\chi_{961}(838,·)$, $\chi_{961}(776,·)$, $\chi_{961}(714,·)$, $\chi_{961}(652,·)$, $\chi_{961}(590,·)$, $\chi_{961}(528,·)$, $\chi_{961}(466,·)$, $\chi_{961}(404,·)$, $\chi_{961}(342,·)$, $\chi_{961}(280,·)$, $\chi_{961}(218,·)$, $\chi_{961}(156,·)$, $\chi_{961}(94,·)$, $\chi_{961}(32,·)$, $\chi_{961}(931,·)$, $\chi_{961}(869,·)$, $\chi_{961}(807,·)$, $\chi_{961}(745,·)$, $\chi_{961}(683,·)$, $\chi_{961}(621,·)$, $\chi_{961}(559,·)$, $\chi_{961}(497,·)$, $\chi_{961}(435,·)$, $\chi_{961}(373,·)$, $\chi_{961}(311,·)$, $\chi_{961}(249,·)$, $\chi_{961}(187,·)$, $\chi_{961}(125,·)$, $\chi_{961}(63,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{587} a^{28} + \frac{61}{587} a^{27} + \frac{197}{587} a^{26} + \frac{172}{587} a^{25} - \frac{12}{587} a^{24} + \frac{240}{587} a^{23} - \frac{24}{587} a^{22} - \frac{112}{587} a^{21} + \frac{10}{587} a^{20} + \frac{277}{587} a^{19} + \frac{62}{587} a^{18} - \frac{190}{587} a^{17} - \frac{38}{587} a^{16} - \frac{145}{587} a^{15} - \frac{79}{587} a^{14} - \frac{182}{587} a^{13} + \frac{25}{587} a^{12} - \frac{25}{587} a^{11} - \frac{15}{587} a^{10} + \frac{33}{587} a^{9} + \frac{34}{587} a^{8} - \frac{42}{587} a^{7} - \frac{110}{587} a^{6} - \frac{214}{587} a^{5} + \frac{185}{587} a^{4} - \frac{10}{587} a^{3} + \frac{117}{587} a^{2} - \frac{280}{587} a + \frac{85}{587}$, $\frac{1}{587} a^{29} - \frac{2}{587} a^{27} - \frac{105}{587} a^{26} + \frac{62}{587} a^{25} - \frac{202}{587} a^{24} + \frac{11}{587} a^{23} + \frac{178}{587} a^{22} - \frac{202}{587} a^{21} + \frac{254}{587} a^{20} + \frac{188}{587} a^{19} + \frac{137}{587} a^{18} - \frac{188}{587} a^{17} - \frac{175}{587} a^{16} - \frac{39}{587} a^{15} - \frac{59}{587} a^{14} - \frac{26}{587} a^{13} + \frac{211}{587} a^{12} - \frac{251}{587} a^{11} - \frac{226}{587} a^{10} - \frac{218}{587} a^{9} + \frac{232}{587} a^{8} + \frac{104}{587} a^{7} + \frac{39}{587} a^{6} - \frac{262}{587} a^{5} - \frac{142}{587} a^{4} + \frac{140}{587} a^{3} + \frac{214}{587} a^{2} + \frac{142}{587} a + \frac{98}{587}$, $\frac{1}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{30} + \frac{421606939915476238474387192756937845718861871969771291278412869049323047233322028227240370652411651244098879781336372852909991071627808174729516554253303310571859957598293745817832392791893919518392819603731970932681099231743445724466421}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{29} - \frac{343764189949937253189137993732068417183737144510680380509050123677097426209037489020023385286343821618819180508983998717473097460231992283065210648898378037191938925610096857139805650569292309888855552187227872207174646663095727602101963}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{28} - \frac{137093670149594167716491562344603039430172491871195720434494423475391384178865144041125034952048292048893419352407392293956747176933669109828603118809128103443438900988265522167781351997238505253884330405459652444061765707297180472145445827}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{27} + \frac{645133355249830514323006842396316169557385474117407412575585993938136324782137596579235650122923865508337909519222504531051069917620645243225053491440412319969433710876190654366180848237554678056554462003066327164800031242052607692139145}{3502296478005347859276419056802205096766214460973904160059622443857397859526275253572549775113011386241456849816516521976131693552256252527457407569130151845831823314661624507014844691812098595027648260135044591186354144230366308208620307} a^{26} - \frac{6053773749154570302146491005302936455131909122590555022593836950259706621846399814356737856156154141568967589875310926421519357443984531314283987679393854411051935846176395238085088240546816525810504945495943282641036034077774219943069046}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{25} - \frac{7538008627659432196272104835199353757873618153146875204054135783375039318834336196982292074936803367125518725970423490929643331538287640690130674886653000262284754549661533532074157001287465623996587081520433408697167483557673105713080193}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{24} + \frac{297270051789534809832790755698879844380585014074265683485110471240109926623659599893869631456467693935301055248103316222800376534057422305736638158323452255416488128282271552830776134705363592749049094103376655119030565553462687175024716876}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{23} + \frac{108751689153967105271531800347842677750190640634430742284746417479592371627989104914881711140252681736274129621292724704568230611285810691875974645910172000887111621003958861192083636069630066163437376838311910429279561316611967397525842992}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{22} - \frac{126633784701303351120638532494147919671857141173671821636093993136854087763221596547329462342791959820762844279038982790289407042978203691548406357626476063645194513509886955869104149909476970651065893465168992953950808032211667902184559301}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{21} + \frac{189680687889535194235045418606417735383545949390045636164594580785217486032216300079760001500830459671722753264919873873322418948304664425674337487022119332310925422931257362397453849994718884721302301482316784537833901804915213523424200593}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{20} - \frac{183596586219799935800324017510940805148990470540971624412002385804322331815943500080427797180461597918898931896348677888849282362406238383902257267023581290799043194646860732806571097521116673092108645543346040168866139227679135085865252776}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{19} + \frac{280775075775864242372595226634552602292068653780669939388102616146577448548371389822758957278744949957729007464335753467086404566226144408040978287322402827882666649938932921489600365592006361912880040216705350420811918192723406666584343382}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{18} - \frac{379955530892423585328254366800776931160894112418846357798892600330267944846650695103775786680496212475240202705226856185006342653035680158021374674680398589045418641423169814483330926973232684147699217679915148190690438143892088666737458330}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{17} - \frac{2144099619973007924640163433348797980877107512587992569276820270641381452525686878012274913864843484337898168847535214698763066580227003797446498270680357716956162182496616563609297054127543093828969494036196744369518911184387567648948493}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{16} - \frac{392290736539724655138005362164685600995675079871788749616622255412691760297275951030903742492446392280548862251278078517591013322190273927957483976588020622839685027987940628907929582306576073399480446335933830820817804988878840960114551024}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{15} + \frac{334118541548163901621822471732417007290078288246170318005963823735812720159862034858302810414295059328029721153686463143044335006788995588865292823840344736218040754945799623230058193654194628479635614753718155564310983506234623192791178935}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{14} + \frac{378175057012337671253764623669265700362086744199955464677303853481776924915983564644005694242748790386722099659745881153001365213188269683164628972034663783064184196804215281538586547391026006291215404385227522587811891285179665749097029587}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{13} + \frac{264064764171615383633013985402056791448297209764112226544329669997452175624048960071985548130808134703933468597339393482054160758360672127456703320336637375539526797775819332518090855859109818802080889254700500949344018512170202345678461459}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{12} - \frac{12291167631614912311605517688671389182528490594661922800508282534342439342651283079222276725285401773064409173370799214317298513173637926880997825231930075274008890927679248165418232192978503044273263673814115778784294853385155497809767464}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{11} - \frac{189418268893667954707873943019043015480662955982864282694119825456081983149949351256928779916123286610306265340607863504301700921599724304824492814075018372220533234393242827769530400920839965608790470135277187043537813505172096126972246148}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{10} - \frac{95804077858303030595531617894399946636614231475526879580151004383920472923572889976607151787413787151739678441971790389294454419412583246098877897832652973972360416092251895624404849453100210118660402183443033934719417113508051895685854992}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{9} + \frac{102429876691264369549152078239803280605982782643688019485419932546592883999793157824171857144425517881156073442433949155542169112279999908245896742603519178870596939600205350814213021678954473686305901681652325768367713725704577975400988873}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{8} - \frac{284283103147914809858265531150311156021383769723799341280486057589518749396348619930813711512767189564114134791045593376529427177121224422731033655094623322439014986216699735554506936411581680937616714355909299597678739000691500166590927351}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{7} - \frac{266000013873653799850950091880555028952380478409734430073743070355069996420603511352872686021277160299413732488148883775778639107143382755948012330159663652545491378170665880922184991398452089518601165074232933711731235396758517403833101213}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{6} + \frac{27270261325471222088636920543838267889260461752645649911675182319530160285690885497284776844763269807186153452788611326068499171400497779646735800742666641529578584144928376020605257306660871082010516791350350029725812712906639950803219481}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{5} + \frac{35652342029979813392594105257695221306183470124609254538741143744301625465770521868529948402806747340136671521024625271489067342551204670590426206329567260384520147097139897066574360798262579697441145420117865117242968277077457142892474218}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{4} - \frac{195950044712838649022610204575550439781937631132440035209133820212805951815896405649621737486821900836301304014123517840796902460731711936982338964287687016773125897964448374504384007938485921713407361389375192232168658916474394850260535060}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{3} + \frac{174846334488957531307479702971293425457728519200262257872297161696517045213875547938513482419576888977468252214565257822878404837771330584980306471451675975886047809263336127350395933195451385149167829318924727976745005389323634286744362919}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a^{2} - \frac{354602568697686859892686876942321616035759356986637432304047782592800965944987430695090343821239589141379637689600468984171686829310270861475614688911618434369080229257241844010709535850177609035475994426823560723149489509475818123038127997}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303} a + \frac{276710843833725857392079633372098322449801744145715008530984704912959947800582504589892595839146719391217788069500347110092420360094889118126824232120520492338881559794193848876032010876797967169387689289856014553725405391627975454188652578}{802025893463224659774299964007704967159463111563024052653653539643344109831517033068113898500879607449293618607982283532534157823466681828787746333330804772695487539057512012106399434424970578261331451570925211381675099028753884579774050303}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $30$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{31}$ (as 31T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 31
The 31 conjugacy class representatives for $C_{31}$
Character table for $C_{31}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ R $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
31Data not computed