Properties

Label 31.31.141...449.1
Degree $31$
Signature $[31, 0]$
Discriminant $1.417\times 10^{77}$
Root discriminant $308.14$
Ramified prime $373$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{31}$ (as 31T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389)
 
gp: K = bnfinit(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![151576217389, -967097412303, 1711910811444, 1200673450587, -6642200925120, 3836259163454, 7437366186489, -8920808783994, -2504773526476, 7495923118841, -1095874556276, -3225889300699, 1229830733203, 762650059488, -467511308511, -91885359548, 99224120479, 1853849258, -13103530537, 1058778882, 1114070344, -164683595, -60883682, 12295300, 2069355, -531040, -40454, 13354, 381, -180, -1, 1]);
 

\( x^{31} - x^{30} - 180 x^{29} + 381 x^{28} + 13354 x^{27} - 40454 x^{26} - 531040 x^{25} + 2069355 x^{24} + 12295300 x^{23} - 60883682 x^{22} - 164683595 x^{21} + 1114070344 x^{20} + 1058778882 x^{19} - 13103530537 x^{18} + 1853849258 x^{17} + 99224120479 x^{16} - 91885359548 x^{15} - 467511308511 x^{14} + 762650059488 x^{13} + 1229830733203 x^{12} - 3225889300699 x^{11} - 1095874556276 x^{10} + 7495923118841 x^{9} - 2504773526476 x^{8} - 8920808783994 x^{7} + 7437366186489 x^{6} + 3836259163454 x^{5} - 6642200925120 x^{4} + 1200673450587 x^{3} + 1711910811444 x^{2} - 967097412303 x + 151576217389 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $31$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[31, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(141\!\cdots\!449\)\(\medspace = 373^{30}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $308.14$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $373$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $31$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(373\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{373}(1,·)$, $\chi_{373}(342,·)$, $\chi_{373}(75,·)$, $\chi_{373}(12,·)$, $\chi_{373}(144,·)$, $\chi_{373}(213,·)$, $\chi_{373}(86,·)$, $\chi_{373}(215,·)$, $\chi_{373}(217,·)$, $\chi_{373}(154,·)$, $\chi_{373}(91,·)$, $\chi_{373}(346,·)$, $\chi_{373}(286,·)$, $\chi_{373}(351,·)$, $\chi_{373}(289,·)$, $\chi_{373}(163,·)$, $\chi_{373}(356,·)$, $\chi_{373}(360,·)$, $\chi_{373}(41,·)$, $\chi_{373}(236,·)$, $\chi_{373}(109,·)$, $\chi_{373}(366,·)$, $\chi_{373}(221,·)$, $\chi_{373}(49,·)$, $\chi_{373}(30,·)$, $\chi_{373}(169,·)$, $\chi_{373}(111,·)$, $\chi_{373}(119,·)$, $\chi_{373}(189,·)$, $\chi_{373}(318,·)$, $\chi_{373}(309,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{15397} a^{27} - \frac{5385}{15397} a^{26} - \frac{7054}{15397} a^{25} - \frac{719}{15397} a^{24} + \frac{2645}{15397} a^{23} + \frac{1880}{15397} a^{22} - \frac{2198}{15397} a^{21} + \frac{3049}{15397} a^{20} - \frac{4343}{15397} a^{19} - \frac{3253}{15397} a^{18} + \frac{4589}{15397} a^{17} + \frac{5667}{15397} a^{16} + \frac{695}{15397} a^{15} + \frac{288}{15397} a^{14} - \frac{7056}{15397} a^{13} - \frac{771}{15397} a^{12} - \frac{2721}{15397} a^{11} - \frac{50}{173} a^{10} + \frac{3725}{15397} a^{9} - \frac{6192}{15397} a^{8} - \frac{5028}{15397} a^{7} - \frac{77}{173} a^{6} + \frac{530}{15397} a^{5} - \frac{2116}{15397} a^{4} - \frac{2381}{15397} a^{3} + \frac{3568}{15397} a^{2} - \frac{6413}{15397} a + \frac{2827}{15397}$, $\frac{1}{4141793} a^{28} - \frac{121}{4141793} a^{27} + \frac{1732044}{4141793} a^{26} + \frac{1975405}{4141793} a^{25} + \frac{1960910}{4141793} a^{24} + \frac{1007077}{4141793} a^{23} - \frac{221707}{4141793} a^{22} + \frac{303864}{4141793} a^{21} - \frac{1122062}{4141793} a^{20} - \frac{1324402}{4141793} a^{19} + \frac{1511167}{4141793} a^{18} - \frac{165097}{4141793} a^{17} + \frac{1316539}{4141793} a^{16} - \frac{344452}{4141793} a^{15} + \frac{846905}{4141793} a^{14} + \frac{425125}{4141793} a^{13} + \frac{742599}{4141793} a^{12} - \frac{1471299}{4141793} a^{11} + \frac{1706829}{4141793} a^{10} + \frac{710089}{4141793} a^{9} - \frac{1851907}{4141793} a^{8} + \frac{1286546}{4141793} a^{7} - \frac{783738}{4141793} a^{6} - \frac{1169225}{4141793} a^{5} + \frac{560715}{4141793} a^{4} - \frac{274004}{4141793} a^{3} - \frac{1502310}{4141793} a^{2} + \frac{349150}{4141793} a + \frac{1639908}{4141793}$, $\frac{1}{2576870358259} a^{29} + \frac{75996}{2576870358259} a^{28} - \frac{17905360}{2576870358259} a^{27} + \frac{175060015902}{2576870358259} a^{26} + \frac{46230602140}{2576870358259} a^{25} - \frac{168121316987}{2576870358259} a^{24} + \frac{660921760912}{2576870358259} a^{23} + \frac{580830803677}{2576870358259} a^{22} + \frac{1092988908507}{2576870358259} a^{21} - \frac{894616539859}{2576870358259} a^{20} - \frac{339881402354}{2576870358259} a^{19} + \frac{637328831321}{2576870358259} a^{18} + \frac{1168234459778}{2576870358259} a^{17} - \frac{409623602742}{2576870358259} a^{16} - \frac{468767186944}{2576870358259} a^{15} + \frac{1210618280896}{2576870358259} a^{14} - \frac{1087009433562}{2576870358259} a^{13} - \frac{1114601981086}{2576870358259} a^{12} - \frac{543885792571}{2576870358259} a^{11} - \frac{377213405046}{2576870358259} a^{10} - \frac{171261165222}{2576870358259} a^{9} + \frac{961414266861}{2576870358259} a^{8} + \frac{599843521385}{2576870358259} a^{7} + \frac{642144587583}{2576870358259} a^{6} + \frac{59343830430}{2576870358259} a^{5} + \frac{975221654114}{2576870358259} a^{4} + \frac{854233953506}{2576870358259} a^{3} + \frac{1096801720749}{2576870358259} a^{2} - \frac{1183640911737}{2576870358259} a + \frac{287878297572}{2576870358259}$, $\frac{1}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{30} - \frac{39206412527317242645833121492212645531249427807084921262981731350882759245935318577159153195102868458724232663199452742924835315878}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{29} + \frac{44638765298777822183964279850028548351855058405203150455291286235048184931207184347589898726415287961925167983447130778611056301297318965}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{28} + \frac{4983998132037776935348719513523221979706879858536484500806051581047226746992177559103142813894178767593712832327259355507111007370471357799}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{27} - \frac{169174951382830558186707975519891626057542274981733840101073130653879146945986095085228145150129460068645397384166413103378058749884041404436378}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{26} + \frac{103415053109329738100976771715197790707374766422578433815877939363523791963557099195894644799629064467629519702337598750685336220950431062199085}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{25} - \frac{171893963131201562299459054491826034845235611185177614276500315951713120940103310907585787562744833186958043108868323989854164719711011925470953}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{24} - \frac{30895273408662334286664751745164712212650491582416511974161968304835117098504087064154565778182105804790243498432187027539292461478781903672610}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{23} - \frac{224588027626585824834042498668050372412809477110229244313678075192814704029518705406909462193860804901409468194735523739469419009619271341748142}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{22} + \frac{23776380697683922414031074910774832812658649749186755882299625724824973402594317084111330435681624495882857353209842398291366511611876647770642}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{21} + \frac{8562390167163256609227118912915834768939074383642337241164417600315408553345099424553543258822018512266706181912370454752300283014788298382824}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{20} + \frac{153701148888421864355964406983997362205952587425421442872453028056039878023981655219874473021016210384236632845923211611122664117403759755970607}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{19} - \frac{59597241988375070720865380274707449137862396331318009752660625036254567071946725256262035748897170148464332684291958813997718926862500931599962}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{18} + \frac{158239153530297390091152594445124874584371873138986318052317188558736332731162710685034531481994230883355706704856614986454256293725114070985628}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{17} - \frac{72279987650808181803797025943679615368523208760746817756690433837574703821349604339001611952854366864267941414542586069224151313037133064180237}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{16} + \frac{24164677608940138709886673726522888083691027319478962343434621161125059367662870715566144450873108014541889211986599621069621833965326732480619}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{15} - \frac{226992986985430361477214749710645346539171418983818206553576706200070400721022925391018521252749995308835705990201644360655379926705995444450547}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{14} + \frac{88549451221493212874132640912723934880698586685522258845758626453086712024540301910310666639966791838019990736372838534939461357449761951235929}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{13} - \frac{151642954590877762279368762997988554800817626726179961153010342641604614279694095438391386132196574675552648860721076922305242271961978615011812}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{12} + \frac{136294660986542985725250410664155327460167718475334288640663452465834278729318354841892760423213780806094897586384979815756679553187595487985926}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{11} - \frac{81449354956618643424526647258594416802609875946727593450419834017350332389285318247344217687195431991912685961688096147960641238284162623411676}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{10} + \frac{90432631750998978267682345014390127303943587402008703451889687422954690653505205082987118759346119946165488024766284110570346998476140202778267}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{9} - \frac{102471935793603492409338151899258868847495917935191728250985242785281592544418602655172774023521785143884841630677329532554795390574887573475722}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{8} - \frac{43637661985513923240591263738532582601913538312021759555788793410931197845961439229967298709793501621247357368097062508740902514134409075484537}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{7} - \frac{168882180117761499608762884854354250217046885645742802888536629935559187753572145011396818981341473772936071504710947702444030660852495411338449}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{6} - \frac{142468738144377986486530851904722785345700532607691618896405249066541548904700864614603777040324687299954476076108502182433783052533094934303880}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{5} + \frac{101006675135844518203277131896877091454780675128280004699697614641653451946965327348346095998198173926758154910091295924926271664659746254883148}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{4} + \frac{70353977471883497102847254813655909890727937034842557807420729070086454770718382363283408096932646123208694464543168337391413729686536165679942}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{3} + \frac{158237604934092920287686493989175377375342170990517520764517043454997608129025644568431856551526117423048885115766024117910893442624344979615791}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a^{2} - \frac{92564106446519228607956535608126420772405027339310525354296271164356620821341708063082866425353891524184791774493379344249161044781802926588220}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201} a - \frac{205849510488904423283499324471646050281219930258199202794968178337127865251413990362238101851537911126017879313080589368348568965020214511262106}{463417668198784168838946919625448104642853193721975761249775765250668527286295438741581062902274620588004418692213696035818434570501170948577201}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $30$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  \( 65100477933366770000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) \approx\frac{2^{31}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 65100477933366770000000000000 \cdot 1}{2\sqrt{141665779057617804812220628546407520099809429585876757651733901377160976997449}}\approx 0.185716961557387$ (assuming GRH)

Galois group

$C_{31}$ (as 31T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 31
The 31 conjugacy class representatives for $C_{31}$
Character table for $C_{31}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
373Data not computed