Properties

Label 31.31.141...449.1
Degree $31$
Signature $[31, 0]$
Discriminant $1.417\times 10^{77}$
Root discriminant \(308.14\)
Ramified prime $373$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{31}$ (as 31T1)

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Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389)
 
gp: K = bnfinit(y^31 - y^30 - 180*y^29 + 381*y^28 + 13354*y^27 - 40454*y^26 - 531040*y^25 + 2069355*y^24 + 12295300*y^23 - 60883682*y^22 - 164683595*y^21 + 1114070344*y^20 + 1058778882*y^19 - 13103530537*y^18 + 1853849258*y^17 + 99224120479*y^16 - 91885359548*y^15 - 467511308511*y^14 + 762650059488*y^13 + 1229830733203*y^12 - 3225889300699*y^11 - 1095874556276*y^10 + 7495923118841*y^9 - 2504773526476*y^8 - 8920808783994*y^7 + 7437366186489*y^6 + 3836259163454*y^5 - 6642200925120*y^4 + 1200673450587*y^3 + 1711910811444*y^2 - 967097412303*y + 151576217389, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389)
 

\( x^{31} - x^{30} - 180 x^{29} + 381 x^{28} + 13354 x^{27} - 40454 x^{26} - 531040 x^{25} + \cdots + 151576217389 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $31$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[31, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(141665779057617804812220628546407520099809429585876757651733901377160976997449\) \(\medspace = 373^{30}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(308.14\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $373^{30/31}\approx 308.14170580366806$
Ramified primes:   \(373\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $31$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(373\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{373}(1,·)$, $\chi_{373}(342,·)$, $\chi_{373}(75,·)$, $\chi_{373}(12,·)$, $\chi_{373}(144,·)$, $\chi_{373}(213,·)$, $\chi_{373}(86,·)$, $\chi_{373}(215,·)$, $\chi_{373}(217,·)$, $\chi_{373}(154,·)$, $\chi_{373}(91,·)$, $\chi_{373}(346,·)$, $\chi_{373}(286,·)$, $\chi_{373}(351,·)$, $\chi_{373}(289,·)$, $\chi_{373}(163,·)$, $\chi_{373}(356,·)$, $\chi_{373}(360,·)$, $\chi_{373}(41,·)$, $\chi_{373}(236,·)$, $\chi_{373}(109,·)$, $\chi_{373}(366,·)$, $\chi_{373}(221,·)$, $\chi_{373}(49,·)$, $\chi_{373}(30,·)$, $\chi_{373}(169,·)$, $\chi_{373}(111,·)$, $\chi_{373}(119,·)$, $\chi_{373}(189,·)$, $\chi_{373}(318,·)$, $\chi_{373}(309,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{15397}a^{27}-\frac{5385}{15397}a^{26}-\frac{7054}{15397}a^{25}-\frac{719}{15397}a^{24}+\frac{2645}{15397}a^{23}+\frac{1880}{15397}a^{22}-\frac{2198}{15397}a^{21}+\frac{3049}{15397}a^{20}-\frac{4343}{15397}a^{19}-\frac{3253}{15397}a^{18}+\frac{4589}{15397}a^{17}+\frac{5667}{15397}a^{16}+\frac{695}{15397}a^{15}+\frac{288}{15397}a^{14}-\frac{7056}{15397}a^{13}-\frac{771}{15397}a^{12}-\frac{2721}{15397}a^{11}-\frac{50}{173}a^{10}+\frac{3725}{15397}a^{9}-\frac{6192}{15397}a^{8}-\frac{5028}{15397}a^{7}-\frac{77}{173}a^{6}+\frac{530}{15397}a^{5}-\frac{2116}{15397}a^{4}-\frac{2381}{15397}a^{3}+\frac{3568}{15397}a^{2}-\frac{6413}{15397}a+\frac{2827}{15397}$, $\frac{1}{4141793}a^{28}-\frac{121}{4141793}a^{27}+\frac{1732044}{4141793}a^{26}+\frac{1975405}{4141793}a^{25}+\frac{1960910}{4141793}a^{24}+\frac{1007077}{4141793}a^{23}-\frac{221707}{4141793}a^{22}+\frac{303864}{4141793}a^{21}-\frac{1122062}{4141793}a^{20}-\frac{1324402}{4141793}a^{19}+\frac{1511167}{4141793}a^{18}-\frac{165097}{4141793}a^{17}+\frac{1316539}{4141793}a^{16}-\frac{344452}{4141793}a^{15}+\frac{846905}{4141793}a^{14}+\frac{425125}{4141793}a^{13}+\frac{742599}{4141793}a^{12}-\frac{1471299}{4141793}a^{11}+\frac{1706829}{4141793}a^{10}+\frac{710089}{4141793}a^{9}-\frac{1851907}{4141793}a^{8}+\frac{1286546}{4141793}a^{7}-\frac{783738}{4141793}a^{6}-\frac{1169225}{4141793}a^{5}+\frac{560715}{4141793}a^{4}-\frac{274004}{4141793}a^{3}-\frac{1502310}{4141793}a^{2}+\frac{349150}{4141793}a+\frac{1639908}{4141793}$, $\frac{1}{2576870358259}a^{29}+\frac{75996}{2576870358259}a^{28}-\frac{17905360}{2576870358259}a^{27}+\frac{175060015902}{2576870358259}a^{26}+\frac{46230602140}{2576870358259}a^{25}-\frac{168121316987}{2576870358259}a^{24}+\frac{660921760912}{2576870358259}a^{23}+\frac{580830803677}{2576870358259}a^{22}+\frac{1092988908507}{2576870358259}a^{21}-\frac{894616539859}{2576870358259}a^{20}-\frac{339881402354}{2576870358259}a^{19}+\frac{637328831321}{2576870358259}a^{18}+\frac{1168234459778}{2576870358259}a^{17}-\frac{409623602742}{2576870358259}a^{16}-\frac{468767186944}{2576870358259}a^{15}+\frac{1210618280896}{2576870358259}a^{14}-\frac{1087009433562}{2576870358259}a^{13}-\frac{1114601981086}{2576870358259}a^{12}-\frac{543885792571}{2576870358259}a^{11}-\frac{377213405046}{2576870358259}a^{10}-\frac{171261165222}{2576870358259}a^{9}+\frac{961414266861}{2576870358259}a^{8}+\frac{599843521385}{2576870358259}a^{7}+\frac{642144587583}{2576870358259}a^{6}+\frac{59343830430}{2576870358259}a^{5}+\frac{975221654114}{2576870358259}a^{4}+\frac{854233953506}{2576870358259}a^{3}+\frac{1096801720749}{2576870358259}a^{2}-\frac{1183640911737}{2576870358259}a+\frac{287878297572}{2576870358259}$, $\frac{1}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{39\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{29}+\frac{44\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{49\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{16\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a^{21}+\frac{85\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{19}-\frac{59\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{72\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{88\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{13\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{43\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{92\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a-\frac{20\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  No
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $30$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{42\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{18\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{76\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{57\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{68\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{25\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{41\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a-\frac{11\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{13\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{68\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{27\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{76\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{54\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{45\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{37\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a-\frac{13\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{23\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{85\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{92\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{42\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{31\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{31\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{29\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{16\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{71\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{88\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a-\frac{75\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{60\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{63\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{91\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{82\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{77\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{34\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{51\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{43\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{44\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{24\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{74\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{88\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a+\frac{28\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{68\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{61\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{12\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{92\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{26\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{90\!\cdots\!23}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{91\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{67\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{70\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{49\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{45\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a-\frac{28\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{25\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{46\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{48\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{36\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{56\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{53\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{28\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{79\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{76\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{95\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{34\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{25\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a-\frac{23\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}$, 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$\frac{36\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{65\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{75\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{49\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{77\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{33\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{71\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{84\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{80\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a-\frac{60\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{48\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{86\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{88\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{67\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{27\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{64\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{89\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{65\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{63\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{78\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{42\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{91\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{58\!\cdots\!90}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{66\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a-\frac{16\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{40\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{72\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{54\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{44\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{58\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{94\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{29\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{61\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{16\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a-\frac{12\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{33\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{37\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{60\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{45\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{95\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{52\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{26\!\cdots\!63}{26\!\cdots\!37}a^{22}-\frac{16\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{31\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{65\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{59\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{95\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{26\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{15\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{28\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a-\frac{54\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{22\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{48\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{39\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{35\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{30\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{48\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{27\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{99\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!33}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{32\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{52\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{68\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{89\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{38\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a-\frac{29\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{14\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{59\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{30\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{57\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{31\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{30\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{16\!\cdots\!18}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{60\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{32\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{77\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{53\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a-\frac{17\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{63\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{11\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{71\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{86\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{78\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{89\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{62\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{79\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{26\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{89\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{89\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!44}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{48\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a-\frac{70\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{40\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{71\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{55\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{24}-\frac{30\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{70\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{20}-\frac{25\!\cdots\!71}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{82\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!02}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{82\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{48\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{54\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{4}+\frac{38\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!44}{46\!\cdots\!01}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!01}a+\frac{33\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{27\!\cdots\!44}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{49\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{84\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{40\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{91\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{66\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{23\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{46\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{11\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{38\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{81\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{94\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{73\!\cdots\!39}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{78\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a-\frac{85\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}$, 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$\frac{72\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{99\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{98\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{40\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{94\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{30\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{74\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{88\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{32\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{88\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!25}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{59\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a-\frac{71\!\cdots\!19}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{23\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{40\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{33\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!69}{17\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!56}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{21\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{32\!\cdots\!27}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{69\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{60\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!63}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{76\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a-\frac{20\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{17\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{60\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{31\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{39\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{98\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!29}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{24\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{73\!\cdots\!48}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!36}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{21\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!46}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{36\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{77\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!11}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{65\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{45\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{96\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{25\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a-\frac{18\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{86\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!31}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{20\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{47\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!99}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!12}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!77}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{37\!\cdots\!21}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!35}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{36\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!41}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{55\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{71\!\cdots\!75}{46\!\cdots\!01}a-\frac{15\!\cdots\!37}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{39\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{20\!\cdots\!68}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{70\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{53\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{78\!\cdots\!88}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{55\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{15\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{88\!\cdots\!07}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!38}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{88\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{38\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{51\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!40}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{56\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{42\!\cdots\!01}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{11\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!53}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!73}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a-\frac{38\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{76\!\cdots\!67}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{29\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!24}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{16\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{99\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{17\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{77\!\cdots\!98}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{93\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{63\!\cdots\!45}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{33\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{11\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{11\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!57}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{19\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{91\!\cdots\!08}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{28\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!95}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a-\frac{80\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!01}$, 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$\frac{27\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{71\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{48\!\cdots\!42}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{36\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{63\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!05}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!60}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{59\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!55}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{30\!\cdots\!69}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!82}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{37\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!86}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{39\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{37\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!16}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{63\!\cdots\!76}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{84\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!66}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!43}{46\!\cdots\!01}a-\frac{35\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{10\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{67\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!10}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{82\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!87}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!85}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!14}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!34}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{22\!\cdots\!26}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{74\!\cdots\!92}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{94\!\cdots\!96}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!59}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{77\!\cdots\!28}{46\!\cdots\!01}a^{15}+\frac{38\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{41\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!91}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!54}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{92\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{28\!\cdots\!94}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{46\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{56\!\cdots\!97}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!09}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{74\!\cdots\!06}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{51\!\cdots\!70}{46\!\cdots\!01}a-\frac{87\!\cdots\!44}{46\!\cdots\!01}$, $\frac{41\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a^{30}-\frac{59\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{76\!\cdots\!00}{46\!\cdots\!01}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{57\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!20}{46\!\cdots\!01}a^{25}-\frac{23\!\cdots\!50}{46\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{96\!\cdots\!30}{46\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{56\!\cdots\!62}{46\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{28\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{80\!\cdots\!51}{46\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!90}{46\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{62\!\cdots\!49}{46\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!74}{46\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!04}{46\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{25\!\cdots\!15}{46\!\cdots\!01}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!61}{46\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{82\!\cdots\!79}{46\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!83}{46\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!58}{46\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!65}{46\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{95\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{42\!\cdots\!47}{46\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{77\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!80}{46\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{14\!\cdots\!89}{46\!\cdots\!01}a^{3}-\frac{49\!\cdots\!52}{46\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!64}{46\!\cdots\!01}a-\frac{10\!\cdots\!17}{46\!\cdots\!01}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 65100477933366770000000000000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{31}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 65100477933366770000000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{141665779057617804812220628546407520099809429585876757651733901377160976997449}}\cr\approx \mathstrut & 0.185716961557387 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^31 - x^30 - 180*x^29 + 381*x^28 + 13354*x^27 - 40454*x^26 - 531040*x^25 + 2069355*x^24 + 12295300*x^23 - 60883682*x^22 - 164683595*x^21 + 1114070344*x^20 + 1058778882*x^19 - 13103530537*x^18 + 1853849258*x^17 + 99224120479*x^16 - 91885359548*x^15 - 467511308511*x^14 + 762650059488*x^13 + 1229830733203*x^12 - 3225889300699*x^11 - 1095874556276*x^10 + 7495923118841*x^9 - 2504773526476*x^8 - 8920808783994*x^7 + 7437366186489*x^6 + 3836259163454*x^5 - 6642200925120*x^4 + 1200673450587*x^3 + 1711910811444*x^2 - 967097412303*x + 151576217389);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{31}$ (as 31T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 31
The 31 conjugacy class representatives for $C_{31}$
Character table for $C_{31}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.
sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$ $31$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(373\) Copy content Toggle raw display Deg $31$$31$$1$$30$