Normalized defining polynomial
\( x^{30} - 2 x^{29} - 73 x^{28} + 134 x^{27} + 2230 x^{26} - 3768 x^{25} - 37749 x^{24} + 58634 x^{23} + 395706 x^{22} - 561432 x^{21} - 2721406 x^{20} + 3480410 x^{19} + \cdots + 12473 \)
Invariants
Degree: | $30$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[30, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(27652541257338422096297668839356545284021085927702003712\) \(\medspace = 2^{45}\cdot 7^{20}\cdot 11^{24}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(70.48\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $2^{3/2}7^{2/3}11^{4/5}\approx 70.47869191420928$ | ||
Ramified primes: | \(2\), \(7\), \(11\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{2}) \) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $30$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(616=2^{3}\cdot 7\cdot 11\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{616}(1,·)$, $\chi_{616}(389,·)$, $\chi_{616}(449,·)$, $\chi_{616}(9,·)$, $\chi_{616}(141,·)$, $\chi_{616}(597,·)$, $\chi_{616}(333,·)$, $\chi_{616}(401,·)$, $\chi_{616}(529,·)$, $\chi_{616}(533,·)$, $\chi_{616}(345,·)$, $\chi_{616}(485,·)$, $\chi_{616}(25,·)$, $\chi_{616}(361,·)$, $\chi_{616}(221,·)$, $\chi_{616}(37,·)$, $\chi_{616}(289,·)$, $\chi_{616}(113,·)$, $\chi_{616}(421,·)$, $\chi_{616}(81,·)$, $\chi_{616}(169,·)$, $\chi_{616}(225,·)$, $\chi_{616}(93,·)$, $\chi_{616}(177,·)$, $\chi_{616}(53,·)$, $\chi_{616}(137,·)$, $\chi_{616}(445,·)$, $\chi_{616}(477,·)$, $\chi_{616}(317,·)$, $\chi_{616}(309,·)$$\rbrace$ | ||
This is not a CM field. |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{2927}a^{27}+\frac{637}{2927}a^{26}-\frac{282}{2927}a^{25}-\frac{394}{2927}a^{24}-\frac{533}{2927}a^{23}-\frac{908}{2927}a^{22}-\frac{624}{2927}a^{21}-\frac{1215}{2927}a^{20}+\frac{1162}{2927}a^{19}-\frac{901}{2927}a^{18}-\frac{815}{2927}a^{17}-\frac{431}{2927}a^{16}+\frac{1378}{2927}a^{15}+\frac{294}{2927}a^{14}-\frac{1354}{2927}a^{13}-\frac{314}{2927}a^{12}-\frac{172}{2927}a^{11}-\frac{220}{2927}a^{10}-\frac{1180}{2927}a^{9}-\frac{926}{2927}a^{8}-\frac{1084}{2927}a^{7}+\frac{294}{2927}a^{6}-\frac{919}{2927}a^{5}+\frac{542}{2927}a^{4}-\frac{414}{2927}a^{3}+\frac{578}{2927}a^{2}+\frac{1353}{2927}a-\frac{185}{2927}$, $\frac{1}{586889843}a^{28}-\frac{21014}{586889843}a^{27}+\frac{229110980}{586889843}a^{26}+\frac{191088661}{586889843}a^{25}+\frac{160643224}{586889843}a^{24}-\frac{1044098}{586889843}a^{23}-\frac{180360988}{586889843}a^{22}+\frac{65931579}{586889843}a^{21}+\frac{187687272}{586889843}a^{20}+\frac{243231902}{586889843}a^{19}-\frac{247602503}{586889843}a^{18}-\frac{112129265}{586889843}a^{17}+\frac{229829723}{586889843}a^{16}-\frac{201755056}{586889843}a^{15}+\frac{106764729}{586889843}a^{14}-\frac{222412714}{586889843}a^{13}-\frac{23338150}{586889843}a^{12}-\frac{275617420}{586889843}a^{11}+\frac{3785968}{13648601}a^{10}-\frac{205873074}{586889843}a^{9}-\frac{79719053}{586889843}a^{8}-\frac{148634695}{586889843}a^{7}-\frac{127722660}{586889843}a^{6}+\frac{123071634}{586889843}a^{5}-\frac{1066341}{586889843}a^{4}+\frac{233895261}{586889843}a^{3}-\frac{98688}{200509}a^{2}-\frac{278384615}{586889843}a-\frac{213713606}{586889843}$, $\frac{1}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!97}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!79}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{98\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a+\frac{93\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $29$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
Torsion generator: | \( -1 \) (order $2$) | sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
Fundamental units: | $\frac{66\!\cdots\!64}{29\!\cdots\!37}a^{29}-\frac{48\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{49\!\cdots\!90}{29\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!80}{29\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!28}{29\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!60}{29\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!50}{29\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!00}{29\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!65}{29\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!59}{29\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!80}{29\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!94}{29\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!58}{29\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!38}{29\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!10}{29\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!68}{29\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!94}{29\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!50}{29\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!48}{29\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!55}{29\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!46}{29\!\cdots\!37}a-\frac{72\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!28}{29\!\cdots\!37}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!60}{29\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{93\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!11}{29\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!62}{29\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{73\!\cdots\!52}{29\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!85}{29\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!78}{29\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!20}{29\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!08}{29\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!86}{29\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!55}{29\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!72}{29\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!40}{29\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!06}{29\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!34}{29\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!32}{29\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!17}{29\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!84}{29\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!46}{29\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!56}{29\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!38}{29\!\cdots\!37}a-\frac{35\!\cdots\!86}{29\!\cdots\!37}$, $\frac{28\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{76\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a-\frac{34\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{33\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{21\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!81}a+\frac{27\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{73\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{52\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!81}a-\frac{80\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{73\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{52\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!81}a+\frac{56\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{75\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!33}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!33}a^{28}-\frac{59\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!33}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!33}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!33}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!33}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!33}a-\frac{24\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!33}$, $\frac{30\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{93\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{97\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a+\frac{64\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{56\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{41\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{71\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a-\frac{11\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{96\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{59\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a-\frac{56\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{33\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{91\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{24\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{77\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!79}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{55\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{81\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a+\frac{52\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{59\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{19\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{99\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a+\frac{11\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{54\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{65\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{40\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{40\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{75\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a+\frac{59\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{36\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{33\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a+\frac{44\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{65\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{71\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{83\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a+\frac{79\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{92\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a-\frac{73\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{10\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{97\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{74\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{58\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{18\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{55\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a-\frac{27\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{71\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{38\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{46\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{81\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a+\frac{41\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}$, 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$\frac{81\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!79}a^{29}-\frac{77\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{52\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a-\frac{66\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}$, 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$\frac{82\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{99\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{62\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{98\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a+\frac{19\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{42\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{68\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!79}a+\frac{50\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{58\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{41\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a+\frac{27\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{59\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{68\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{41\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a-\frac{10\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 1002666442794481000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{30}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1002666442794481000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{27652541257338422096297668839356545284021085927702003712}}\cr\approx \mathstrut & 0.102366729903186 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
A cyclic group of order 30 |
The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$ |
Character table for $C_{30}$ is not computed |
Intermediate fields
\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 6.6.1229312.1, 10.10.7024111812608.1, 15.15.886528337182930278529.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | R | $30$ | $30$ | R | R | ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{3}$ | $15^{2}$ | $30$ | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{10}$ | ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{3}$ | $15^{2}$ | $30$ | ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{15}$ | $15^{2}$ | $30$ | $30$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(2\) | Deg $30$ | $2$ | $15$ | $45$ | |||
\(7\) | 7.15.10.1 | $x^{15} + 35 x^{12} + 3 x^{11} + 12 x^{10} + 490 x^{9} - 315 x^{8} - 2517 x^{7} + 3454 x^{6} - 834 x^{5} + 26565 x^{4} + 12846 x^{3} + 13662 x^{2} - 19944 x + 16290$ | $3$ | $5$ | $10$ | $C_{15}$ | $[\ ]_{3}^{5}$ |
7.15.10.1 | $x^{15} + 35 x^{12} + 3 x^{11} + 12 x^{10} + 490 x^{9} - 315 x^{8} - 2517 x^{7} + 3454 x^{6} - 834 x^{5} + 26565 x^{4} + 12846 x^{3} + 13662 x^{2} - 19944 x + 16290$ | $3$ | $5$ | $10$ | $C_{15}$ | $[\ ]_{3}^{5}$ | |
\(11\) | Deg $30$ | $5$ | $6$ | $24$ |