Properties

Label 30.30.276...712.1
Degree $30$
Signature $[30, 0]$
Discriminant $2.765\times 10^{55}$
Root discriminant \(70.48\)
Ramified primes $2,7,11$
Class number $1$ (GRH)
Class group trivial (GRH)
Galois group $C_{30}$ (as 30T1)

Related objects

Downloads

Learn more

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473)
 
gp: K = bnfinit(y^30 - 2*y^29 - 73*y^28 + 134*y^27 + 2230*y^26 - 3768*y^25 - 37749*y^24 + 58634*y^23 + 395706*y^22 - 561432*y^21 - 2721406*y^20 + 3480410*y^19 + 12690151*y^18 - 14319232*y^17 - 40831660*y^16 + 39414022*y^15 + 91167079*y^14 - 72111502*y^13 - 140553034*y^12 + 85687148*y^11 + 147256817*y^10 - 62879794*y^9 - 101697857*y^8 + 25294552*y^7 + 43762382*y^6 - 3478846*y^5 - 10467281*y^4 - 815316*y^3 + 1021626*y^2 + 235124*y + 12473, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473)
 

\( x^{30} - 2 x^{29} - 73 x^{28} + 134 x^{27} + 2230 x^{26} - 3768 x^{25} - 37749 x^{24} + 58634 x^{23} + 395706 x^{22} - 561432 x^{21} - 2721406 x^{20} + 3480410 x^{19} + \cdots + 12473 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $30$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[30, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(27652541257338422096297668839356545284021085927702003712\) \(\medspace = 2^{45}\cdot 7^{20}\cdot 11^{24}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(70.48\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $2^{3/2}7^{2/3}11^{4/5}\approx 70.47869191420928$
Ramified primes:   \(2\), \(7\), \(11\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q(\sqrt{2}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $30$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(616=2^{3}\cdot 7\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{616}(1,·)$, $\chi_{616}(389,·)$, $\chi_{616}(449,·)$, $\chi_{616}(9,·)$, $\chi_{616}(141,·)$, $\chi_{616}(597,·)$, $\chi_{616}(333,·)$, $\chi_{616}(401,·)$, $\chi_{616}(529,·)$, $\chi_{616}(533,·)$, $\chi_{616}(345,·)$, $\chi_{616}(485,·)$, $\chi_{616}(25,·)$, $\chi_{616}(361,·)$, $\chi_{616}(221,·)$, $\chi_{616}(37,·)$, $\chi_{616}(289,·)$, $\chi_{616}(113,·)$, $\chi_{616}(421,·)$, $\chi_{616}(81,·)$, $\chi_{616}(169,·)$, $\chi_{616}(225,·)$, $\chi_{616}(93,·)$, $\chi_{616}(177,·)$, $\chi_{616}(53,·)$, $\chi_{616}(137,·)$, $\chi_{616}(445,·)$, $\chi_{616}(477,·)$, $\chi_{616}(317,·)$, $\chi_{616}(309,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{2927}a^{27}+\frac{637}{2927}a^{26}-\frac{282}{2927}a^{25}-\frac{394}{2927}a^{24}-\frac{533}{2927}a^{23}-\frac{908}{2927}a^{22}-\frac{624}{2927}a^{21}-\frac{1215}{2927}a^{20}+\frac{1162}{2927}a^{19}-\frac{901}{2927}a^{18}-\frac{815}{2927}a^{17}-\frac{431}{2927}a^{16}+\frac{1378}{2927}a^{15}+\frac{294}{2927}a^{14}-\frac{1354}{2927}a^{13}-\frac{314}{2927}a^{12}-\frac{172}{2927}a^{11}-\frac{220}{2927}a^{10}-\frac{1180}{2927}a^{9}-\frac{926}{2927}a^{8}-\frac{1084}{2927}a^{7}+\frac{294}{2927}a^{6}-\frac{919}{2927}a^{5}+\frac{542}{2927}a^{4}-\frac{414}{2927}a^{3}+\frac{578}{2927}a^{2}+\frac{1353}{2927}a-\frac{185}{2927}$, $\frac{1}{586889843}a^{28}-\frac{21014}{586889843}a^{27}+\frac{229110980}{586889843}a^{26}+\frac{191088661}{586889843}a^{25}+\frac{160643224}{586889843}a^{24}-\frac{1044098}{586889843}a^{23}-\frac{180360988}{586889843}a^{22}+\frac{65931579}{586889843}a^{21}+\frac{187687272}{586889843}a^{20}+\frac{243231902}{586889843}a^{19}-\frac{247602503}{586889843}a^{18}-\frac{112129265}{586889843}a^{17}+\frac{229829723}{586889843}a^{16}-\frac{201755056}{586889843}a^{15}+\frac{106764729}{586889843}a^{14}-\frac{222412714}{586889843}a^{13}-\frac{23338150}{586889843}a^{12}-\frac{275617420}{586889843}a^{11}+\frac{3785968}{13648601}a^{10}-\frac{205873074}{586889843}a^{9}-\frac{79719053}{586889843}a^{8}-\frac{148634695}{586889843}a^{7}-\frac{127722660}{586889843}a^{6}+\frac{123071634}{586889843}a^{5}-\frac{1066341}{586889843}a^{4}+\frac{233895261}{586889843}a^{3}-\frac{98688}{200509}a^{2}-\frac{278384615}{586889843}a-\frac{213713606}{586889843}$, $\frac{1}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!97}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!32}{46\!\cdots\!79}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{72\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{80\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{26\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{81\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{32\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{60\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{62\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!13}{46\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{52\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{81\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{62\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{98\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{90\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{25\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{79\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a+\frac{93\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $29$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -1 \)  (order $2$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:   $\frac{66\!\cdots\!64}{29\!\cdots\!37}a^{29}-\frac{48\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{49\!\cdots\!90}{29\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!80}{29\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!13}{29\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!28}{29\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!07}{29\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{17\!\cdots\!60}{29\!\cdots\!37}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!50}{29\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{79\!\cdots\!00}{29\!\cdots\!37}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!65}{29\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{23\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!37}a^{15}-\frac{93\!\cdots\!59}{29\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{45\!\cdots\!80}{29\!\cdots\!37}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!94}{29\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!58}{29\!\cdots\!37}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!38}{29\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!10}{29\!\cdots\!37}a^{9}+\frac{37\!\cdots\!98}{29\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!68}{29\!\cdots\!37}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!94}{29\!\cdots\!37}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!50}{29\!\cdots\!37}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!63}{29\!\cdots\!37}a^{4}+\frac{77\!\cdots\!48}{29\!\cdots\!37}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!55}{29\!\cdots\!37}a^{2}-\frac{39\!\cdots\!46}{29\!\cdots\!37}a-\frac{72\!\cdots\!29}{29\!\cdots\!37}$, $\frac{12\!\cdots\!28}{29\!\cdots\!37}a^{29}-\frac{26\!\cdots\!60}{29\!\cdots\!37}a^{28}-\frac{93\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!37}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!11}{29\!\cdots\!37}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!74}{29\!\cdots\!37}a^{25}-\frac{48\!\cdots\!47}{29\!\cdots\!37}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!62}{29\!\cdots\!37}a^{23}+\frac{73\!\cdots\!52}{29\!\cdots\!37}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!18}{29\!\cdots\!37}a^{21}-\frac{68\!\cdots\!85}{29\!\cdots\!37}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!78}{29\!\cdots\!37}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!37}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!20}{29\!\cdots\!37}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!08}{29\!\cdots\!37}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!86}{29\!\cdots\!37}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!55}{29\!\cdots\!37}a^{14}+\frac{68\!\cdots\!24}{29\!\cdots\!37}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!72}{29\!\cdots\!37}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!40}{29\!\cdots\!37}a^{11}+\frac{64\!\cdots\!06}{29\!\cdots\!37}a^{10}+\frac{62\!\cdots\!34}{29\!\cdots\!37}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!32}{29\!\cdots\!37}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!02}{29\!\cdots\!37}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!17}{29\!\cdots\!37}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!84}{29\!\cdots\!37}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!97}{29\!\cdots\!37}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!46}{29\!\cdots\!37}a^{3}+\frac{27\!\cdots\!56}{29\!\cdots\!37}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!38}{29\!\cdots\!37}a-\frac{35\!\cdots\!86}{29\!\cdots\!37}$, $\frac{28\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{76\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!10}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{58\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!23}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!66}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{88\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{53\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!33}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{54\!\cdots\!24}{13\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{87\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{83\!\cdots\!60}{13\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{22\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{38\!\cdots\!50}{13\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!05}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!52}{13\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{44\!\cdots\!56}{13\!\cdots\!81}a^{6}-\frac{61\!\cdots\!32}{13\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{65\!\cdots\!39}{13\!\cdots\!81}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!86}{13\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!15}{13\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a-\frac{34\!\cdots\!14}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{33\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{21\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{78\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{13\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!29}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!20}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!58}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{50\!\cdots\!28}{13\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{36\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{24\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!06}{13\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{75\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{53\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!42}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{14\!\cdots\!43}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!74}{13\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{85\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!18}{13\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!81}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!81}a+\frac{27\!\cdots\!75}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{73\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{52\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!81}a-\frac{80\!\cdots\!78}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{73\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!81}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!16}{13\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{52\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{29\!\cdots\!22}{13\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{25\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{44\!\cdots\!72}{13\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!76}{13\!\cdots\!81}a^{21}-\frac{41\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!82}{13\!\cdots\!81}a^{18}+\frac{71\!\cdots\!88}{13\!\cdots\!81}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!17}{13\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{40\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!81}a^{13}-\frac{42\!\cdots\!46}{13\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!84}{13\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!40}{13\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!81}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!54}{13\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{19\!\cdots\!30}{13\!\cdots\!81}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!68}{13\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{48\!\cdots\!98}{13\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!02}{13\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{54\!\cdots\!04}{13\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{83\!\cdots\!70}{13\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!94}{13\!\cdots\!81}a+\frac{56\!\cdots\!03}{13\!\cdots\!81}$, $\frac{75\!\cdots\!62}{10\!\cdots\!33}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!48}{10\!\cdots\!33}a^{28}-\frac{59\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!33}a^{27}-\frac{18\!\cdots\!47}{10\!\cdots\!33}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!33}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!32}{10\!\cdots\!33}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!33}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!89}{10\!\cdots\!33}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!33}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!57}{10\!\cdots\!33}a^{20}-\frac{32\!\cdots\!20}{10\!\cdots\!33}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!64}{10\!\cdots\!33}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!12}{10\!\cdots\!33}a^{17}+\frac{51\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!33}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!33}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!61}{10\!\cdots\!33}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!33}a^{13}+\frac{40\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!33}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!33}a^{11}-\frac{68\!\cdots\!23}{10\!\cdots\!33}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!14}{10\!\cdots\!33}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!73}{10\!\cdots\!33}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!33}a^{7}-\frac{56\!\cdots\!75}{10\!\cdots\!33}a^{6}+\frac{55\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!33}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!92}{10\!\cdots\!33}a^{4}-\frac{63\!\cdots\!50}{10\!\cdots\!33}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!88}{10\!\cdots\!33}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!95}{10\!\cdots\!33}a-\frac{24\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!33}$, $\frac{30\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{36\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{62\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{99\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{60\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{93\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{38\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{96\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{28\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{79\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{90\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{95\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{66\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{68\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{97\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a+\frac{64\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{56\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{41\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{71\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{20\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{14\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{65\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{61\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{22\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{61\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{18\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{33\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{47\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{98\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{68\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a-\frac{11\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{15\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{96\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{24\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{55\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{59\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{41\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{14\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{33\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{19\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{40\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{13\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a-\frac{56\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{33\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{24\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{52\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!06}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{69\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{69\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{29\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{56\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{15\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{50\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{95\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{24\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{91\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{16\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{44\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{45\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{45\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{62\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{69\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{55\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{56\!\cdots\!13}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{32\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{79\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{35\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a+\frac{13\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{24\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{77\!\cdots\!81}{46\!\cdots\!79}a^{28}-\frac{18\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{55\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{56\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{93\!\cdots\!09}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{81\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{30\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{96\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{29\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{49\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{27\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a+\frac{52\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{59\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{19\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{25\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{79\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!97}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{20}+\frac{47\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{99\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{34\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{29\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{73\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{31\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{52\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{31\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{19\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{47\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a+\frac{11\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{54\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{65\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{40\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{40\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{15\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{70\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{75\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{23\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{24\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{47\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{53\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{73\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{58\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{54\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{28\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{40\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{89\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{45\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{21\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{23\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{22\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{79\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a+\frac{59\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{36\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{45\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{33\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{88\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!88}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{78\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{83\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{61\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{41\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{75\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{49\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{39\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{35\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{84\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{20\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{22\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a+\frac{44\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{65\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{71\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{83\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{41\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{90\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{42\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{43\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!47}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{36\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{38\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{71\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{58\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{72\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{30\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{82\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{71\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{79\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a+\frac{79\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{12\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{92\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{27\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{54\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{82\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{43\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{76\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{45\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{32\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{59\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{73\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{76\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{47\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{27\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{89\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a-\frac{73\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{10\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{97\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{74\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{58\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!41}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{39\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{18\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{41\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{40\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{83\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{98\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{49\!\cdots\!62}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{49\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a+\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{18\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{29}+\frac{55\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{58\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{92\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{85\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{45\!\cdots\!52}{20\!\cdots\!97}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{15}-\frac{83\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{42\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{39\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{65\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a-\frac{27\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{71\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{38\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{46\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{17\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{58\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{81\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{35\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{16}+\frac{30\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{18\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{46\!\cdots\!93}{46\!\cdots\!79}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{25\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{21\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!08}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{29\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{30\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{76\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a+\frac{41\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{75\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{51\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!78}{46\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{93\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{91\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{99\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{57\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{24\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{68\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{12\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{12}+\frac{24\!\cdots\!36}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a^{10}-\frac{37\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!16}{20\!\cdots\!97}a^{8}+\frac{26\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{65\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{6}-\frac{72\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{18\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{64\!\cdots\!91}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{44\!\cdots\!29}{20\!\cdots\!97}a+\frac{21\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{81\!\cdots\!03}{46\!\cdots\!79}a^{29}-\frac{77\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{52\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{75\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{14\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{12\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{84\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!87}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{37\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!23}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!32}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{32\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{45\!\cdots\!22}{46\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{96\!\cdots\!20}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{57\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{69\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{32\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{38\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a-\frac{66\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{48\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{52\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{35\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{32\!\cdots\!56}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{11\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{80\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{10\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{19\!\cdots\!99}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{87\!\cdots\!98}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{40\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{62\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!04}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{52\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!67}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{57\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!24}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!75}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!72}{46\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!35}{20\!\cdots\!97}a-\frac{58\!\cdots\!48}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{82\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{99\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{62\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{32\!\cdots\!69}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!05}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{19\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{23\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{34\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{33\!\cdots\!03}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!82}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{70\!\cdots\!07}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{63\!\cdots\!49}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{98\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!28}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{87\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{75\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!27}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!89}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!55}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{38\!\cdots\!22}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{93\!\cdots\!46}{20\!\cdots\!97}a+\frac{19\!\cdots\!50}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{42\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{30\!\cdots\!38}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{68\!\cdots\!80}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!97}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{19\!\cdots\!30}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!14}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{28\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{95\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{70\!\cdots\!39}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{12\!\cdots\!84}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{19\!\cdots\!96}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!25}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{34\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{31\!\cdots\!59}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!12}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!45}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!18}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!31}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!74}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{28\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!33}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{23\!\cdots\!71}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!84}{46\!\cdots\!79}a+\frac{50\!\cdots\!64}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{14\!\cdots\!02}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{58\!\cdots\!10}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{41\!\cdots\!60}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{29\!\cdots\!42}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{12\!\cdots\!44}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{47\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{20\!\cdots\!15}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{47\!\cdots\!53}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{30\!\cdots\!43}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{60\!\cdots\!90}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{42\!\cdots\!57}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!01}{20\!\cdots\!97}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!79}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{11}+\frac{51\!\cdots\!78}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}a^{9}-\frac{46\!\cdots\!58}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{17\!\cdots\!86}{20\!\cdots\!97}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!85}{20\!\cdots\!97}a^{5}-\frac{72\!\cdots\!51}{20\!\cdots\!97}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!72}{20\!\cdots\!97}a^{3}+\frac{76\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!40}{20\!\cdots\!97}a+\frac{27\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}$, $\frac{59\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{29}-\frac{68\!\cdots\!21}{20\!\cdots\!97}a^{28}-\frac{43\!\cdots\!17}{20\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{41\!\cdots\!61}{20\!\cdots\!97}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!73}{20\!\cdots\!97}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!95}{20\!\cdots\!97}a^{24}-\frac{22\!\cdots\!26}{20\!\cdots\!97}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!65}{20\!\cdots\!97}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{19}+\frac{52\!\cdots\!68}{20\!\cdots\!97}a^{18}+\frac{74\!\cdots\!11}{20\!\cdots\!97}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!66}{20\!\cdots\!97}a^{15}+\frac{73\!\cdots\!93}{20\!\cdots\!97}a^{14}+\frac{47\!\cdots\!94}{20\!\cdots\!97}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!76}{20\!\cdots\!97}a^{12}-\frac{65\!\cdots\!34}{20\!\cdots\!97}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!37}{20\!\cdots\!97}a^{10}+\frac{56\!\cdots\!00}{20\!\cdots\!97}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!70}{20\!\cdots\!97}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!54}{20\!\cdots\!97}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!83}{20\!\cdots\!97}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!19}{20\!\cdots\!97}a^{5}+\frac{65\!\cdots\!77}{20\!\cdots\!97}a^{4}+\frac{71\!\cdots\!92}{20\!\cdots\!97}a^{3}-\frac{85\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!81}{20\!\cdots\!97}a-\frac{10\!\cdots\!63}{20\!\cdots\!97}$ Copy content Toggle raw display (assuming GRH)
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  \( 1002666442794481000 \) (assuming GRH)
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{30}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 1002666442794481000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{27652541257338422096297668839356545284021085927702003712}}\cr\approx \mathstrut & 0.102366729903186 \end{aligned}\] (assuming GRH)

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^30 - 2*x^29 - 73*x^28 + 134*x^27 + 2230*x^26 - 3768*x^25 - 37749*x^24 + 58634*x^23 + 395706*x^22 - 561432*x^21 - 2721406*x^20 + 3480410*x^19 + 12690151*x^18 - 14319232*x^17 - 40831660*x^16 + 39414022*x^15 + 91167079*x^14 - 72111502*x^13 - 140553034*x^12 + 85687148*x^11 + 147256817*x^10 - 62879794*x^9 - 101697857*x^8 + 25294552*x^7 + 43762382*x^6 - 3478846*x^5 - 10467281*x^4 - 815316*x^3 + 1021626*x^2 + 235124*x + 12473);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{30}$ (as 30T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 30
The 30 conjugacy class representatives for $C_{30}$
Character table for $C_{30}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\zeta_{11})^+\), 6.6.1229312.1, 10.10.7024111812608.1, 15.15.886528337182930278529.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type R $30$ $30$ R R ${\href{/padicField/13.10.0.1}{10} }^{3}$ $15^{2}$ $30$ ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{10}$ ${\href{/padicField/29.10.0.1}{10} }^{3}$ $15^{2}$ $30$ ${\href{/padicField/41.5.0.1}{5} }^{6}$ ${\href{/padicField/43.2.0.1}{2} }^{15}$ $15^{2}$ $30$ $30$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(2\) Copy content Toggle raw display Deg $30$$2$$15$$45$
\(7\) Copy content Toggle raw display 7.15.10.1$x^{15} + 35 x^{12} + 3 x^{11} + 12 x^{10} + 490 x^{9} - 315 x^{8} - 2517 x^{7} + 3454 x^{6} - 834 x^{5} + 26565 x^{4} + 12846 x^{3} + 13662 x^{2} - 19944 x + 16290$$3$$5$$10$$C_{15}$$[\ ]_{3}^{5}$
7.15.10.1$x^{15} + 35 x^{12} + 3 x^{11} + 12 x^{10} + 490 x^{9} - 315 x^{8} - 2517 x^{7} + 3454 x^{6} - 834 x^{5} + 26565 x^{4} + 12846 x^{3} + 13662 x^{2} - 19944 x + 16290$$3$$5$$10$$C_{15}$$[\ ]_{3}^{5}$
\(11\) Copy content Toggle raw display Deg $30$$5$$6$$24$